Differentiëren met de TI 84(+)
Start: voorkennis en machine-instellingen
Voorkennis
Je moet enige oefening hebben gehad in het tekenen van grafieken op je GR.
Ook moet je theorie over het differentiequotiënt hebben bestudeerd en hellinggrafieken
hebben getekend.
Zorg er voor, dat je machine "schoon" is.
Dat wil zeggen: zorg voor een zichtbaar assenstelsel, en een leeg Y-venster.
Geen zichtbaar assenstelsel? Controleer of je WINDOW-venster in orde is.
Bijvoorbeeld: (achter de // staat toelichting)
Xmin = -3
Xmax = 3 // x = 0 is in beeld
Xscl = 1 // op de x-as staan de streepjes om de 1.
Ymin = -2
Ymax = 10 // y = 0 is ook in beeld, dus beide assen moeten zichtbaar zijn.
Yscl = 2 // op de y-as staan de streepjes om de 2.
Xres = 1 // langzaamste tekenmodus; ook het nauwkeurigst.
Zie je nog steeds geen assenstelsel, toets dan 2ND FORMAT in
en zet een zwart balkje van AxesOff naar AxesOn.
Bovenstaand WINDOW is ook te noteren als [-3,3]1 x [-2,10]2 , 1
Afspraak over schrijfwijze
In "rekenmachine-taal" schrijf ik X en Y en gebruik ik de decimale punt.
In "wiskunde-taal" schrijf ik x en y en gebruik ik de decimale komma.
Volgende paragraaf: de eerste techniek.
De eerste techniek: het gebruik van CALC, optie 6
Optie CALC 6 (dy/dx)
Opmerking vooraf: letterlijke GR-invoer staat vanaf nu altijd tussen < > .
Dus <ENTER> betekent: gebruik de ENTER-toets.
Waar verwarring kan ontstaan gebruik ik soms het woord "toets" .
Voer [ - 3, 3]1 x [ - 2, 10]2 ,1 als WINDOW in.
Voer Y1 = X2 in.
Breng Y1 in beeld (met TRACE), <CALC> < 6> , <1.5> , <ENTER> .
Optie CALC 6 heet dy/dx.
In beeld linksonder verschijnt: dy/dx = 3
Dat is het hellingsgetal van de grafiek bij die ene x-waarde x = 1,5.
Als je in het Y-venster direct een x-waarde intoetst, krijg je na <ENTER> de y-waarde.
<1.5> <ENTER> geeft links onderin je venster X = 1.5 en rechtsonder Y = 2.25
De combinatie van die twee uitkomsten , bij x = 1,5 horen y = 2,25 en dy/dx = 3 ,
levert na enig rekenwerk de raaklijn op.
Zie voorbeeld in volgend onderdeel.
Voorbeeld
Voer in: Y1 = X^3 – 2X^2 met Window: [-2, 3]1 x [-8, 8]2 ,1
Toets <TRACE> , daarna <2> . Machine geeft Y = 0; Toets <CALC> <6> en weer <2> .
De machine geeft dy/dx = 4.
Dat wil zeggen: in punt (2,0) is de rc. van de raaklijn (want dat is dat hellinggetal!) = 4.
De raaklijn heeft dus als vergelijking: y = 4x + b, waarbij geldt dat 0 = 4 · 2 + b, dus b = – 8.
Conclusie
De lijn : y = 4x – 8 is de raaklijn aan de grafiek van f(x) = x3 – 2x2 in punt (2,0).
Hint: voer in: Y2 = 4X – 8 en controleer dit!
Oefeningen bij eerste methode
1. Y1 = 2X^3 + X – 4 WINDOW: [ - 2,3]1 x [ - 8,8]2 , 1
a. Teken de grafiek.
b. Bereken dy/dx bij x = - 1, x = 0, en x = 2.
c. Bereken ook de y-coördinaten bij deze x-waarden en stel de vergelijkingen op
van de drie raaklijnen.
2. Y1 = 0.5X^3 – 4X^2 + 3X – 1 WINDOW: [ - 2, 8]2 x [ - 30, 10]5 , 2
a. Teken de grafiek. Verander Xres in 1 en teken de grafiek opnieuw. Wat valt je op?
b. Bereken dy/dx bij x = - 1, x = 1, en x = 4. Gebruik deze resultaten bij onderdeel c, d en e.
c. Stel de vergelijking op van de raaklijn in punt A met xA = 4.
d. De raaklijn aan de grafiek in punt B met xB = - 1 snijdt de y-as in C. Bereken yC.
e. De raaklijnen aan de grafiek in de punten B en E met xE = - 1 snijden elkaar in S.
Bereken de coördinaten van S.
De tweede techniek: het gebruik van DRAW, optie 5
Optie DRAW 5 (Tangent)
“Tangent” betekent “rakende” of “raaklijn”.
DRAW vind je als <2ND><PRGM>
Voer in: Y1 = X^3 – 2X^2 , <TRACE>, <DRAW> <5> en <2>. met WINDOW [ - 2,3]1 x [ - 8,8]2 , 1
In beeld verschijnt nu de raaklijn zèlf, maar ook haar vergelijking. Omdat de GR hiervoor het sjabloon Y = AX + B gebruikt en alleen maar A en B door een (benaderde) waarde vervangt, ziet het er soms wat raar uit. In dit geval: Y = 4.000001X + - 8.000002
Het “goede” antwoord is natuurlijk(?) y = 4x – 8 Zie TIP.
Om deze lijn weg te krijgen (je hebt hem niet zelf ingevoerd als Y2!) toets je <DRAW> <1>, Clear Drawing
TIP
Wees hier op bedacht: Als je in het MODE-venster op de tweede regel het keuze-balkje op FLOAT hebt staan, krijg je in bepaalde gevallen niet-afgeronde uitkomsten. Zet je het balkje op 2 en voer je bovenstaand voorbeeld nog eens uit, krijg je Y = 4X +- 8. Die +- moet je zelf omzetten in een enkele min!
De rekenmachine kan namelijk alleen maar vergelijkingen vinden of oplossen door een heel systeem van benaderingen en stopt na een beperkt aantal pogingen. De laatste, die je te zien krijgt, is vaak wel erg nauwkeurig maar soms niet exact!
Let op: als gevraagd wordt om de vergelijking van de raaklijn algebraïsch op te stellen,
gebruik je niet deze methode. Dan is deze manier alleen ter contrôle toegestaan.
Oefeningen bij tweede methode
1. Gegeven is de functie f(x) = - 0,5x3 + 3x2 – 4x + 1
Voer deze functie in bij Y1 met WINDOW [ - 2, 6]1 x [ - 8, 6]2 , 1
a. Teken de raaklijn aan de grafiek van f in punt A met xA = 0 en noteer de vergelijking.
b. Teken de raaklijn aan de grafiek van f in het rechtersnijpunt van de grafiek met de x-as.
Noteer ook hiervan de vergelijking. Geef a en b zonodig in twee decimalen.
TIP
Gebruik de optie <CALC> <2> om eerst de x-coördinaat van dat punt te berekenen.
c. De raaklijn aan de grafiek van f in punt B met xB= 1 snijdt de grafiek ook in een punt C.
Bereken de coördinaten van C en geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
TIP
Voer de vergelijking van de raaklijn in bij Y2.
De derde techniek: het gebruik van MATH, optie 8
In voorbereiding
optie MATH 8, nDeriv(
Oudere TI-84+ machines, waarop geen nieuwe software is geïnstalleerd, hebben een redelijk Spartaans notatiesysteem voor formules. Een TI-84 (+) kan worden voorzien van het nieuwste softwarepakket, OS255,
met behulp van TI-Connect en door ook de bijbehorende handleiding te downloaden. Hiervoor heb je een verbindingskabeltje nodig van GR naar PC.
Op de "ouderwetse" manier, die je overigens kunt simuleren door op een nieuwe machine in het MENU naar beneden te scrollen en op de regel "MATPRINT CLASSIC" voor CLASSIC te kiezen, werkt het
als volgt: ga naar het Y-menu, kies Y2 en Toets <MATH> <8> . Er verschijnt: nDeriv(
Toets nu <Y1> (Via sneltoets <ALPHA> <F4>, <F4> staat boven <TRACE> en kies Y1) dan naar Y-Vars met < → > en <2>. Daarna< , X , X , > en <ENTER>
Er staat nu Y2 = nDeriv( Y1, X, X) Daarmee kan de GR de grafiek van de hellingfunctie tekenen.
Opmerking: de optie <CALC> <6> <2>, toegepast op een getekende Y1-functie, waarmee je dy/dx uitrekent bij x = 2, komt overeen met Y2 = nDeriv( Y1, X, 2)
Je kunt op Y2 allerlei opties loslaten, want Y2 gedraagt zich als een gewone functie. Dus <CALC> <5>, Intersect, werkt uitstekend. Zie voorbeeld.
Voorbeeld
