De eerste techniek: het gebruik van CALC, optie 6

Optie CALC 6 (dy/dx)                                                                        

 
Opmerking vooraf: letterlijke GR-invoer staat vanaf nu altijd tussen < > .
Dus <ENTER> betekent: gebruik de ENTER-toets.
Waar verwarring kan ontstaan gebruik ik soms het woord  "toets" .

Voer  [ - 3, 3]1 x [ - 2, 10]2  ,1 als WINDOW in.
Voer Y1 = X2 in.

Breng Y1 in beeld (met TRACE), <CALC> < 6> , <1.5> , <ENTER> . 
Optie CALC 6 heet dy/dx
In beeld linksonder verschijnt: dy/dx = 3

Dat is het hellingsgetal van de grafiek bij die ene x-waarde x = 1,5.
Als je in het Y-venster direct een x-waarde intoetst, krijg je na <ENTER> de y-waarde.
<1.5> <ENTER> geeft links onderin je venster X = 1.5 en rechtsonder Y = 2.25

De combinatie van die twee uitkomsten ,  bij x = 1,5 horen y = 2,25 en dy/dx = 3 , 
levert na enig rekenwerk de raaklijn op.

Zie voorbeeld in volgend onderdeel.

 

 

 

 

Voorbeeld                                                                      

Voer in: Y1 = X^3 – 2X^2  met Window: [-2, 3]1 x [-8, 8]2 ,1
Toets <TRACE> , daarna <2> . Machine geeft Y = 0; Toets <CALC> <6> en weer <2> .
De machine geeft dy/dx = 4.

Dat wil zeggen: in punt (2,0) is de rc. van de raaklijn (want dat is dat hellinggetal!) = 4.

De raaklijn heeft dus als vergelijking:  y = 4x + b, waarbij geldt dat 0 = 4 · 2 + b, dus b =  – 8.

Conclusie

De lijn :  y = 4x – 8 is de raaklijn aan de grafiek van f(x) = x3 – 2x2 in punt (2,0).
Hint: voer in: Y2 = 4X – 8 en controleer dit!

 

 

 

 

   Oefeningen bij eerste methode                                             

 

 1. Y1 = 2X^3 + X – 4  WINDOW: [ - 2,3]1 x  [ - 8,8]2 , 1

     a. Teken de grafiek.

     b. Bereken dy/dx bij x = - 1, x = 0, en x = 2.

     c. Bereken ook de y-coördinaten bij deze x-waarden en stel de vergelijkingen op

        van de drie raaklijnen.

 

 2. Y1 = 0.5X^3 – 4X^2 + 3X – 1  WINDOW: [ - 2, 8]2 x [ - 30, 10]5 , 2

     a. Teken de grafiek. Verander Xres in 1 en teken de grafiek opnieuw. Wat valt je op?

     b. Bereken dy/dx bij x = - 1, x = 1, en x = 4. Gebruik deze resultaten bij onderdeel c, d en e.

     c. Stel de vergelijking op van de raaklijn in punt A met xA = 4.

     d. De raaklijn aan de grafiek in punt B met xB = - 1 snijdt de y-as in C. Bereken yC.

     e. De raaklijnen aan de grafiek in de punten B en E met xE = - 1 snijden elkaar in S.

         Bereken de coördinaten van S.