Systematisch tellen

Systematisch tellen

Mogelijk tellen

Leerdoel: Je leert wat regelmatige en onregelmatige boomdiagrammen zijn.

  Boomdiagram

Als je drie paar sokken, twee broeken en vier truien hebt, kun je die op verschillende manieren met elkaar combineren. Je kunt dan alle mogelijke combinaties laten zien met een boomdiagram.

 

Voorbeeld mogelijk tellen

 

Voorbeeld

Maak een boomdiagram bij dit plaatje.

 

Het totaal aantal mogelijke combinaties is 24.

Opgave 1-2

Theorie

Als het aantal vertakkingen op elk punt in een kolom gelijk is, dan is het een regelmatige boomdiagram. Je kunt dan het aantal mogelijkheden uitrekenen zonder de hele boomdiagram te tekenen.

 

Als het aantal vertakkingen niet op elk punt in een kolom gelijk is, dan is het een onregelmatige boomdiagram. In dat geval moet je de hele boomdiagram tekenen óf de mogelijkheden systematisch opschrijven.

Opgave 3-6

Machtsbomen en faculteitsbomen

Leerdoelen:

Je leert hoe je met een machtsboom of een faculteitsboom het aantal mogelijkheden berekent.

Machtsboom:

Een boomdiagram waarin bij elk keuzemoment het aantal takken gelijk is, noem je een machtsboom.

Bij drie keuzemomenten met steeds vijf mogelijkheden is het aantal mogelijke volgorden gelijk aan 5×5×5 = 53

Voorbeeld machtsboom:

Een wedstijd kan eindigen in winst, verlies of gelijkspel. Een team speelt vier wedstrijden. Bereken het aantal mogelijke uitslagvolgorden.

Oplossing: Bij elke wedstrijd zijn er steeds drie keuzemogelijkheden.

Je hebt te maken met een machtsboom.

Het aantal mogelijke uitslagvolgorden is   3×3×3×3 = 81             

Faculteitsboom:

 

Een boomdiagram, waarin bij elk keuzemoment het aantal takken één minder wordt, noem je een faculteitsboom.

Als je eerst drie mogelijkheden hebt, daarna twee en tenslotte één mogelijkheid, dan is het aantal mogelijke volgorden 3 × 2 ×1 = 6

 

Een product zoals 3×2×1 heet faculteit. Je noteer dit als 3!

 

Voorbeeld faculteitsboom:

Je legt vier knikkers, een rode, een witte, een blauwe en een groene op een rijtje.

Bereken het aantal mogelijke volgorden.

Oplossing:

Voor elke volgorde knikkers heb je een keuzemogelijkheid minder.

Je hebt te maken met een faculteitsboom.

Het aantal mogelijke volgorden is 4 × 3 × 2 ×1 =4!= 24

Uitleg filmpje: faculteit berekenen op de grafische rekenmachine Casio FX-CG 50

Faculteit berekenen op een grafische rekenmachine

Opgave 8-12

Permutaties

Leerdoel:

 

Je leert hoe je het aantal permutaties berekent.

 

Een ander woord voor volgorde of rangschikking is permutatie. Een permutatie van 3 letters uit 10 letters is een rangschikking van een rijtje van drie dat je kiest uit tien verschillende woorden:

Een eerste, een tweede en een derde. Een boomdiagram is een geschikt telmodel voor het aantal permutaties.

Het aantal permutaties van 3 uit 10 is 10 × 9 × 8 = 720

 

 

Voorbeeld:

In een bak liggen 20 balletjes, genummerd van 1 tot en met 20. Je haalt zes keer een balletje uit de bak en legt ze, in volgorde van trekking, naast elkaar. Hoeveel mogelijke volgorden zijn er?

 

Bij de eerste trekking is er keuze uit 20 balletjes; bij de tweede trekking uit 19 balletjes enzovoort. Het aantal mogelijke volgordes is het aantal permutaties van 6 uit 20:

20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 = 27907200

 

Opgave 13-15

Combinaties

Leerdoel:

Je leert hoe je het aantal combinatie berekent.

 

Een ander woord voor selectie is combinatie.

Een combinatie van 7 uit 10 is een selectie van zeven dingen uit tien verschillende dingen: zeven wel en drie niet.

Het aantal combinatie van zeven uit 10 noteer je als Dit spreek je uit als "10 boven 7".

Bij onderstaande tabel kun je zien wanneer je een combinatie en wanneer je een permutatie moet gebruiken.

Voorbeeld:

Hoeveel verschillende letterreeksen zijn er die uit de zes letters A, A, A, A, B, B bestaan?

Omdat de letters maar één keer gebruikt worden, is dus sprake van trekken zonder terugleggen.

De volgorde waarin de A’s staan maakt niet uit, dus je berekent het aantal combinaties van 4 uit 6.

Dit is = 15

Op de rekenmachine moet je 6 C 4 invoeren.

27!/(15!⋅(27-15)!)=27!/(15!⋅12!)

Hoe gebruik je jouw grafische rekenmachine bij de combinaties opgaven:

Opgave 16-18

Uitdagende opgaven

Blooket

Oefentoets