Hoofdstuk 7: Kwadratische vergelijkingen

Hoofdstuk 7: Kwadratische vergelijkingen

Startpagina

Hoofdstuk 7: Kwadratische vergelijkingen

 

Welkom!

Deze website gaat over Hoofdstuk 7: Kwadratische vergelijkingen uit Getal & Ruimte voor 2 HAVO. Deze site is bedoeld voor de laatste paragraaf (paragraaf 4) van het hoofdstuk. Op deze site kan je de voorkennis, uitleg, kennisclips, oefeningen en een toets vinden. Ook vind er een stukje reflectie plaats.

 

Werkwijze

Je gaat de volledige les besteden om op deze website te werken aan de laatste paragraaf van hoofdstuk 7. Je ziet aan de linkerkant allerlei kopjes staan. Je mag zelf kiezen hoe je deze les aan de slag gaat. Je kan er namelijk voor kiezen om alleen de uitleg te bekijken, en dan opdrachten maken, maar je mag ook alleen de kennisclips bekijken en dan opdrachten maken. Je kan er ook voor kiezen om de uitleg en de kennisclips over te slaan, en dat je alleen de opdrachten maakt.

Het is dus wel de bedoeling dat je sowieso de opdrachten gaat maken. Deze kan je vinden bij het kopje aan de slag. Je kan bij elke opdracht drie verschillende niveau's kiezen. De één is wat makkelijker dan de ander dus kies verstandig!

Voor de volgende les is het de bedoeling dat iedereen de toets heeft gemaakt die onderaan het balkje staat aan de linkerkant. Zorg ervoor dat je dat dus thuis doet, of als je dat al wilt, in de les.

Geniet ervan, veel plezier, en zoals altijd, veel succes!!

 

Doelen:

Na het gebruik van deze website kan je:

  • Vergelijkingen herleiden tot de vorm x2 = c
  • Vergelijkingen oplossen die staan in de vorm van x2 = c
  • De twee verschillende oplosmethodes opnoemen
  • De twee verschillende oplosmethodes gebruiken
  • Het snijpunt berekenen van twee grafieken

Voorkennis

In de vorige drie paragrafen heb je geleerd hoe je moet ontbinden in factoren en hoe je kwadratische vergelijkingen kan oplossen. Hier een stukje herhaling met wat je tot nu toe hebt geleerd.

 

Ontbinden in factoren

Ontbinden in factoren betekend eigenlijk dat je de vergelijking tussen haakjes gaat opschrijven. Dit kan op twee verschillende manieren: 

  1. Grootste gemeenschappelijke factor buiten haakjes werken
  2. Product-som methode

 

Grootste gemeenschappelijke factor buiten haakjes werken

Je gaat in elke term op zoek naar de grootste factor die elke term gemeen heeft. Dit kunnen letters zijn maar ook delers van de getallen. Een voorbeeld hiervan zie je hieronder:

4x2 + 24x = 4x (x + 6)

Hier zie je dat de grootste gemeenschappelijke factor buiten de haakjes komt te staan. In dit geval hebben beide termen de letter x gemeen en kan je ze allebei door 4 delen. De factor wordt dan dus 4x. Hetgeen wat overblijft blijft in dit geval tussen de haakjes staan.

 

Product-som methode

Als je de product-som methode gaat gebruiken, staat de vergelijking in de vorm van ax2 + bx + c. Hierbij moet je twee getallen zien te vinden die vermenigvuldigd c gaan worden, en bij elkaar opgeteld b. Vervolgens schrijf je deze in twee verschillende haakjes. Een voorbeeld hiervan zie je hieronder:

x2 - 7x + 6 = (x - 6)(x - 1)

Hier zie je dat er twee getallen moeten worden gevonden die keer elkaar 6 worden en bij elkaar opgeteld -7. Als je gaat berekenen kom je uit op de twee getallen -6 en -1. Deze schrijf je dan in de haakjes.

 

Oplossen van kwadratische vergelijkingen

Er is een groot verschil tussen oplossen van kwadratische vergelijkingen en het ontbinden hiervan. Als we gaan ontbinden in factoren, gaan we alleen de haakjes opschrijven. Als we willen gaan oplossen, dan moeten we de waardes van x vinden waarvoor de vergelijking klopt.

Om een vergelijking op te lossen, moet er een is gelijk aan teken staan. Oftewel; =. Alleen als je dat ziet staan moet je gaan oplossen. Het allerbelangrijkste bij het oplossen is dat je er voor moet zorgen dat er het getal 0 staat aan de rechterkant van =. Als dat niet zo is, dan moet je daar eerst voor zorgen. Dat ga je dan met de balansmethode doen. Hieronder zie je twee voorbeelden van het oplossen. Eén voorbeeld waarbij er al een 0 staat en een ander voorbeeld waarbij er geen 0 staat.

x2 + 13x - 30 = 0                                    x2 - 10x - 20 = 4

(x + 15)(x - 2) = 0                                   x2 - 10x - 24 = 0

x + 15 = 0 v x - 2 = 0                             (x - 12)(x + 2) = 0

x = -15 v x = 2                                         x - 12 = 0 v x + 2 = 0

                                                                  x = 12 v x = -2

 

In het filmfragment wat hieronder staat, zie je nog een keer uitgelegd hoe je kan oplossen door middel van ontbinden in factoren.

Oplossen door middel van ontbinden in factoren

Uitleg

In deze uitleg kan je het volgende vinden:

  • Een nieuwe oplosmethode
  • Herleiden tot de nieuwe oplosmethode
  • Twee verschillende oplosmethodes vergelijken
  • Snijpunt van twee grafieken berekenen

Nieuwe oplosmethode

Vergelijking in de vorm x2 = c

We hebben geleerd in de vorige paragraaf dat we kwadratische vergelijkingen kunnen oplossen door middel van ontbinden in factoren. Maar dit kan niet altijd zo! Er bestaat namelijk nog een andere manier, namelijk de vorm x2 = c. Deze vorm gebruik je alleen maar als er van alle termen maar één term een x2 bevat en alle andere termen losse getallen. Hieronder volgt een voorbeeld:

x2 = 36

x = 6 v x = -6

We zien hier dat van de twee termen die er zijn, er één term een x2 bevat, en de andere een los getal. Als we dat zien dan moeten we de vorm x2 = c gebruiken. We zien ook dat de c een positief getal is, namelijk 36. Hieruit volgt dat er twee oplossingen zijn. Er zijn namelijk twee getallen die in het kwadraat hetzelfde getal vormen. 

Er zijn drie verschillende mogelijkheden als we de vorm x2 = c gaan gebruiken:

  • c is positief (groter dan 0) --> Er zijn twee oplossingen
  • c is gelijk aan 0 --> Er is maar één oplossing, namelijk x = 0
  • c is negatief (kleiner dan 0) --> Er zijn geen oplossingen

Herleiden tot de nieuwe oplosmethode

Herleiden tot de vorm x2 = c

Als je de vorm x2 = c gaat gebruiken om een kwadratische vergelijking op te lossen, moet je er altijd voor zorgen dat alle termen met een x2 in zich aan de linkerkant van het =-teken staan, en alle losse getallen aan de rechterkant van het =-teken. 

Als er nog een getal direct voor de x2 staat, moeten we alle termen delen door dat getal. Doe dit wel pas als laatst, anders ga je het jezelf moeilijk maken.

Hieronder staan drie voorbeelden over het herleiden tot de vorm x2 = c.

 

6x2 - 486 = 0                      4x2 - 8 = -8                           7x2 + 63 = 0

6x2 = 486                            4x2 = 0                                  7x2 = -63

x2 = 81                                 x2 = 0                                    x2 = -9 

x = 9 v x = -9                       x = 0                                      geen oplossing

Twee verschillende oplosmethode vergelijken

Verschil bekijken tussen de twee verschillende oplosmethodes

We kennen nu inmiddels twee verschillende oplosmethodes:

  1. Ontbinden in factoren
  2. Herleiden tot de vorm x2 = c

 

Ontbinden in factoren kan op twee verschillende manieren:

  1. Grootste gemeenschappelijke factor
  2. Product-som methode

Bij het ontbinden in factoren heb je altijd twee oplossingen, je zorgt er altijd voor dat het rechterlid 0 is

 

Als je gaat herleiden tot de vorm x2 = c, heb je drie verschillende mogelijkheden:

  1. c > 0 --> er zijn twee oplossingen
  2. c = 0 --> er is één oplossing, namelijk x = 0
  3. c < 0 --> er is geen oplossing

 

 

Hoe kan je nou zien waneer je welke oplosmethode moet gaan gebruiken?

  1. Als er in de vergelijking een x2, een x en een los getal staat, gebruik je altijd de product-som methode
  2. Als er in de vergelijking een x2 en verder allemaal termen met een letter, gebruik je altijd de grootste gemeenschappelijke factor
  3. Als er in de vergelijking een x2 en verder allemaal losse getallen staan, ga je de vorm x2 = c gebruiken

 

Bekijk ook de kennisclip die hierover gaat bij het kopje kennisclips.

Snijpunt van twee grafieken berekenen

Snijpunt bereken van twee grafieken

Om het snijpunt van twee grafieken te berekenen, moeten we de twee grafieken aan elkaar gelijkstellen. De grafieken zijn immers op precies hetzelfde punt gelijk aan elkaar. 

Voor een voorbeeld hiervan kijken we naar de grafiek van hieronder:

Bron: Geogebra
Bron: Geogebra

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

We zien hier dat de grafiek van y = x2 - 5 de lijn van y = 4 snijdt in twee punten. We kunnen dus de volgende vergelijking opstellen:

x2 - 5 = 4

Nu hebben we een bekende vergelijking, die we met behulp van de vorm x2 = c kunnen gaan oplossen

x2 - 5 = 4

x2 = 9

x = 3 v x = -3

We hebben nu de x-coördinaten gevonden van de twee punten. Uiteraard moeten we nog de bijbehorende y-coördinaten vinden. Dit gaan we doen door de gevonden oplossingen van x in te vullen in de formule. 

Het maakt niet uit welke formule je gaat kiezen, in dit geval kies ik de formule y = x2 - 5.

We schrijven het als volgt op:

x = 3 geeft y = 32 - 5 = 4              (3,4)

x = -3 geeft y = (-3)2 - 5 = 4        (-3,4)

We hebben nu de twee punten gevonden, maar welke hoort bij A en welke hoort bij B? Hiervoor gaan we weer kijken naar de grafiek. We zien dat punt A aan de linkerkant van de y-as ligt. Dat betekend dat hier een negatieve x-coördinaat bij hoort. Daarom kunnen we het volgende zeggen:

Punt A (-3,4) en punt B (3,4).

 

Voor nog een extra uitleg zie de kennisclip dat hierover gaat.

Kennisclips

Je kan twee kennisclips bekijken. Ze gaan over het volgende:

  • Verschillende oplosmethodes
  • Snijpunt van twee grafieken berekenen

Kijk deze kennisclips aandachtig en doe goed mee!

Kennisclip 1: Verschillende oplosmethodes

In deze kennisclip ga je leren hoe je erachter kunt komen welke manier je moet gaan gebruiken met het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

Klik op de link hieronder om de kennisclip te openen.

Kennisclip 2: Snijpunt van twee grafieken berekenen

In deze kennisclip ga je leren hoe je het snijpunt kan gaan berekenen van twee grafieken.

Klik op de link hieronder om de kennisclip te openen.

Aan de slag

Op deze pagina kan je de oefeningen vinden waarmee je aan de slag gaat. Je kan ervoor kiezen om op niveau 1 te werken, op niveau 2 of op niveau 3. Elk niveau bevat soortgelijke oefeningen maar de één is net wat moeilijker of makkelijker dan de ander.

Kies dus al vanaf het begin welk niveau je gaat doen en hou je daaraan! Volg dan de volgende stappen:

 

Wat moet je doen?

Je maakt eerst de multiplechoice quiz. Deze kan je vinden bij het kopje welke oplosmethode?

Daarna ga je kwadratische vergelijkingen oplossen. Deze kan je vinden bij het kopje oplossen.

Vervolgens ga je het snijpunt van twee grafieken berekenen. Deze kan je vinden bij het kopje snijpunt berekenen.

 

Met wie ga ik dit doen?

Je doet dit in volledige zelfstandigheid. Uiteraard mag je wel vragen stellen aan de docent.

 

Hoe ga je dat doen?

Gebruik deze website voor je antwoorden, gebruik je schrift voor de berekeningen.

 

Wie mag ik om hulp vragen?

Steek je hand op als je een vraag hebt. De docent komt dan langs.

 

Hoe lang heb ik de tijd?

Je hebt tijd tot het einde van de les. Kijk hoe ver je kan komen. Misschien heb je wat minder uitleg nodig dan iemand anders en misschien wel wat meer.

 

Wat is de uitkomst?

Als je deze opdrachten heb gemaakt, dan weet je hoe je verschillende kwadratische vergelijkingen kan oplossen.

 

Wat moet je doen als je klaar bent?

Maak de toets die staat onder het kopje toets. Dit is ook huiswerk voor de volgende les.

Welke oplosmethode?

Wat voor oplosmethode ga je gebruiken? (Niveau 1)

Hieronder vind je een aantal vergelijkingen. Jij moet gaan kiezen wat voor oplosmethode je moet gaan gebruiken. Kies uit ontbinden in factoren of herleiden tot de vorm x2 = c

Wat voor oplosmethode ga je gebruiken? (Niveau 2)

Hieronder vind je een aantal vergelijkingen. Jij moet gaan kiezen wat voor oplosmethode je moet gaan gebruiken. Kies uit ontbinden in factoren of herleiden tot de vorm x2 = c

Wat voor oplosmethode ga je gebruiken? (Niveau 3)

Hieronder vind je een aantal vergelijkingen. Jij moet gaan kiezen wat voor oplosmethode je moet gaan gebruiken. Kies uit ontbinden in factoren of herleiden tot de vorm x2 = c

Oplossen

Los de onderstaande vergelijking op. (Niveau 1)

Los de onderstaande vergelijking op. (Niveau 2)

Los de onderstaande vergelijking op. (Niveau 3)

Snijpunt berekenen

Bereken het snijpunt van de twee grafieken (niveau 1).

Bereken het snijpunt van de twee grafieken (niveau 2).

Bereken het snijpunt van de twee grafieken (niveau 3).

Toets

Welkom bij de toets. Klik op de link hieronder om de toets te starten.

Let op: de toets moet je voor de volgende les hebben gemaakt! Wacht er niet tot het laatste moment mee om de toets te maken.

Geniet ervan, veel plezier en vooral ook; veel succes!!

 

Toets paragraaf 4 hoofdstuk 7

Reflectie

Gefeliciteerd! Je bent aangekomen bij de reflectie.

Dit betekend dat je alles hebt afgerond, inclusief de toets! Of je bent gewoon erg nieuwschierig naar de reflectie.

 

Ik wil je hoe dan ook bedanken voor het bezoeken van deze website. Ik hoop dat je er heel veel van heb geleerd. 

Ik zou het waarderen als je voor mij een korte reflectie zou willen invullen. Hieruit kan ik maken of je het leuk vond of juist niet. Vul het dus zo serieus mogelijk in!

De link voor de reflectie staat hieronder.

Reflectie op de website