Inleiding
Hoi!
De les van vandaag verloopt even iets anders dan dat jij gewend bent, want we gaan helemaal online aan de slag. Hier zullen we heel de les mee bezig zijn.
Wat heb je nodig?
Zorg dat je de volgende spullen voor je op tafel hebt liggen:
- Schrift
- Potlood
- Gum
- Pen
- Oordopjes
- Liniaal of geodriehoek
Hoe ga je te werk?
Vandaag ga jij helemaal zelf aan de slag met de nieuwe stof van paragraaf 6.2. Dit doe je door deze Wikiwijs te doorlopen. Zo kom je zowel uitlegvideo's als geschreven en getekende uitleg tegen.
Verder vind je hier ook oefenopdrachten die je gaat maken. Deze opdrachten maak je zelf, dus er wordt niet overlegd. Je hoeft meestal alleen het antwoord in te vullen in het programma, dus schrijf je berekeningen in je schrift.
Dit onderwerp wordt over het algemeen erg moeilijk gevonden, dus zorg ervoor dat je serieus aan de slag gaat!
Heb je bovenstaande tekst helemaal gelezen? Klik dan op het pijltje rechts onderin om door te gaan naar de volgende pagina.
Wat ga je leren?
Vandaag ga je aan de slag met de stelling van Pythagoras! Deze stelling heeft heel veel te maken met rechthoekige driehoeken.
Het is de bedoeling dat je aan het einde van deze les deze stelling kan gebruiken om:
- De schuine zijde kan berekenen als de twee rechthoekszijdes bekend zijn;
- Een rechthoekszijde te berekenen als de twee andere zijdes bekend zijn;
- Te onderzoeken of een driehoek rechthoekig is.
Ga nu door naar de volgende pagina.
Voorkennis testen
Voordat je aan de slag gaat met de nieuwe stof, maak je eerst deze vragen over de voorkennis. Afhankelijk van hoe goed jouw voorkennis is, mag je een deel van de Wikiwijs overslaan, dus maak deze serieus en onthoud hoeveel punten je behaald hebt.
Ga door naar de volgende pagina.
Quizizz over de voorkennis
Uitslag
Bekijk jouw uitslag.
In totaal kon je zeven punten halen. Had jij:
- Tussen de 1 en 5 punten, sla dan niets over en ga verder naar de volgende pagina;
- 6 of 7 punten, ga dan verder naar de pagina "Theorie 1".
Herhaling
Zijdes van een rechthoekige driehoek benoemen
Een rechthoekige driehoek heeft drie zijdes. De twee zijdes die aan de rechte hoek, dus de hoek met het vierkantje, vastzitten worden rechthoekszijdes genoemd. De zijde tegenover de rechte hoek wordt de schuine zijde van de driehoek genoemd.
Theorie 1: De schuine zijde berekenen met de stelling van Pythagoras
Voor een rechthoekige driehoek geldt altijd dat ene rechthoekszijde2 + andere rechthoekszijde2 = schuine zijde2. Dit heet de stelling van Pythagoras. Deze stelling wordt gebruikt voor het berekenen van zijdes in een rechthoekige driehoek.
(Onthoud: de tweetjes in de formule heten kwadraten. Een kwadraat betekent dat iets met zichzelf vermenigvuldigd wordt.)
Als we de stelling van Pythagoras gebruiken, gebruiken we het volgende schema om de lengtes die we weten in te vullen:
|
\(rhz^2=\)
|
|
|
|
|
\(rhz^2=\)
|
|
|
\(+\)
|
| \(sz^2=\) |
|
|
|
Nadat je het schema ingevuld hebt, krijg je een antwoord in de vorm \(rhz^2= ...\) , maar we willen naar een antwoord in de vorm van \(rhz=...\) , dus zonder kwadraat. Om hier te komen, nemen we de wortel van het getal, dus bijvoorbeeld: we komen uit op \(rhz^2=16\), dan nemen we de wortel van 16 om \(rhz=\sqrt{16}=4\) te krijgen.
Bekijk nu de onderstaande video.
Uitgeschreven uitleg
Bereken de lengte van schuine zijde BC:
Hieronder zie je driehoek ABC. De rechthoekszijdes AC en AB zijn gegeven, maar de schuine zijde BC is nog onbekend. Deze gaan we berekenen aan de hand van de stelling van Pythagoras.
Stap 1: Teken het schema
|
\(rhz^2=\)
|
|
|
|
|
\(rhz^2=\)
|
|
|
\(+\)
|
|
\(sz^2=\)
|
|
|
|
Stap 2: Vul de getallen in die je weet
Je weet de twee rechthoekszijdes, dus vul deze in in je schema.
|
\(rhz^2=\)
|
\(3^2\)
|
|
|
|
\(rhz^2=\)
|
\(4^2\)
|
|
\(+\)
|
|
\(sz^2=\)
|
|
|
|
Stap 3: Bereken de kwadraten
|
\(rhz^2=\)
|
\(3^2=9\)
|
|
|
|
\(rhz^2=\)
|
\(4^2=16 \)
|
|
\(+\)
|
|
\(sz^2=\)
|
|
|
|
Stap 4: Tel de antwoorden bij elkaar op
|
\(rhz^2=\)
|
\(3^2=9\)
|
|
|
|
\(rhz^2=\)
|
\(4^2=16 \)
|
|
\(+\)
|
|
\(sz^2=\)
|
\(25 \)
|
|
|
Stap 5: Neem het wortel van het antwoord
We weten dat het kwadraat van de schuine zijde gelijk is aan 25. Dit betekent dat \(sz=\sqrt{25}=5\). De lengte van de schuine zijde is dus 5.
Oefenen
Theorie 2: Een rechthoekszijde berekenen met de stelling van Pythagoras
Zoals je hebt gezien, kun je de lengte van de schuine zijde berekenen als je de lengtes van de twee rechthoekszijdes weet.
Maar ... je kunt de stelling van Pythagoras ook gebruiken om een van de rechthoekszijdes te berekenen! Dit kan als je de schuine zijde en de andere rechthoekszijde bekend zijn, zoals in de kennisclip hieronder.
Bekijk onderstaande kennisclip. Hierin wordt een voorbeeld gegeven over hoe je dit kan doen.
Uitgeschreven uitleg
Bereken de lengte van QR:
Hieronder zie je driehoek PQR. Je weet de lengtes van één rechthoekszijde (PR) en de schuine zijde (PQ). De andere rechtoekszijde (QR) is nog onbekend, maar deze kun je wel berekenen.
Stap 1: Teken het schema
|
\(rhz^2=\)
|
|
|
|
|
\(rhz^2=\)
|
|
|
\(+\)
|
|
\(sz^2=\)
|
|
|
|
Stap 2: Vul de getallen in die je weet
Let op: zet in jouw schema voor de tweede "\(rhz^2=\)" een vraagteken om aan te geven dat je deze zijde niet weet.
|
\(rhz^2=\)
|
\(13^2\)
|
|
|
|
\(rhz^2=\)
|
|
|
\(+\)
|
|
\(sz^2=\)
|
\(16^2\)
|
|
|
Stap 3: Bereken de kwadraten
|
\(rhz^2=\)
|
\(13^2=169\)
|
|
|
|
\(rhz^2=\)
|
|
|
\(+\)
|
|
\(sz^2=\)
|
\(16^2=256\)
|
|
|
Stap 4: Bereken wat er op de puntjes moet staan
|
\(rhz^2=\)
|
\(13^2=169\)
|
|
|
|
\(rhz^2=\)
|
\(...\)
|
|
\(+\)
|
|
\(sz^2=\)
|
\(16^2=256\)
|
|
|
\(256-169=87\), dus op de puntjes moet 87 staan.
|
\(rhz^2=\)
|
\(13^2=169\)
|
|
|
|
\(rhz^2=\)
|
\(87\)
|
|
\(+\)
|
|
\(sz^2=\)
|
\(16^2=256\)
|
|
|
Stap 5: Bereken de lengte van de rechthoekszijde
We weten \(rhz^2=87\), dus \(rhz=\sqrt{87}\approx 9,3\). De lengte van de onbekende rechthoekszijde (QR) is dus ongeveer 9,3.
Oefenen
Theorie 3: Onderzoeken of een driehoek rechthoekig is
In de vorige opdrachten stond telkens aangegeven of de driehoek rechthoekig was, maar soms staat dit er niet bij. Hier kan je met de stelling van Pythagoras dan alsnog achter komen!
Hoe dan?
Zoals je hebt gezien, werkt de stelling van Pythagoras alleen als de driehoek rechthoekig is. Dit betekent dat, als de stelling goed uitkomt, de driehoek wel rechthoekig moet zijn.
Bekijk onderstaande video om te bekijken hoe je dit kunt doen.
Uitgeschreven uitleg
Onderzoek of driehoek KLM een rechthoekige driehoek is:
Zie driehoek KLM hieronder. De driehoek ziet er rechthoekig uit, maar dit staat niet officieel aangegeven. Met de stelling van Pythagoras kunnen we uitzoeken of de driehoek ook écht een rechthoekige driehoek is.
Stap 1: Teken het schema
Let erop dat je een vraagteken bij het plusje zet. Dit doen we omdat we nog niet zeker weten of de optelling klopt.
|
\(rhz^2=\)
|
|
|
|
|
\(rhz^2= \)
|
|
|
\(+\)?
|
|
\(sz^2=\)
|
|
|
|
Stap 2: Vul de getallen in die je weet
|
\(rhz^2=\)
|
\(12^2\)
|
|
|
|
\(rhz^2= \)
|
\(15^2\)
|
|
\(+\)?
|
|
\(sz^2=\)
|
\(19^2\)
|
|
|
Stap 3: Bereken de kwadraten
|
\(rhz^2=\)
|
\(12^2=144\)
|
|
|
|
\(rhz^2= \)
|
\(15^2=225 \)
|
|
\(+\)?
|
|
\(sz^2=\)
|
\(19^2=361\)
|
|
|
Stap 4: Check of het schema klopt
Afgaande op het schema zou je uit moeten komen op 361 als je 144 en 225 bij elkaar optelt, maar als je de som \(144+225\) invult op je rekenmachine kom je hier niet op uit...
- Als het antwoord in jouw schema anders is dan het antwoord op jouw rekenmachine, dan is de driehoek niet rechthoekig.
- Als het antwoord in jouw schema hetzelfde is als het antwoord op jouw rekenmachine, dan is de driehoek wel rechthoekig.
Dus, de driehoek KLM is niet rechthoekig.
Oefenen
Uitdagende opdracht
Had je allebei de vragen goed? Ga dan nu aan de slag met de volgende opdracht:
Bedenk nu zelf een rechthoekige driehoek.
Let erop dat de lengte van de zijdes klopt als je ze invult in de stelling van Pythagoras.
Feedback
