Je loopt door een parkje heen over het voetpad. Je loopt eerst rechtdoor, en moet vervolgens rechts afslaan. In plaats van dat je netjes over het voetpad loopt (eerst rechtdoor en dan naar rechts), zie je dat meer mensen de kortere route hebben genomen over het grasveld. Dit heet een olifantenpaadje. Maar, is dit de kortere route? En, hoeveel korter is dit dan?
Dit hoofdstuk gaat over de stelling van Pythagoras. De lesdoelen zijn als volgt:
- Hoe de stelling van Pythagoras luidt.
- Het berekenen van zijden van rechthoekige driehoeken.
- Hoe je kunt narekenen of een driehoek rechthoekig is.
Leerniveau: 2 havo
Vak: Wiskunde
Doelgroep: 2 havo leerlingen op de middelbare school
Voorkennis
Toets: Voorkennis
0%
De volgende oefening bestaat uit zes vragen om te kijken of je voorkennis goed genoeg is. De vragen zullen gaan over kwadraten, wortels en vergelijkingen. Mochten de vragen nog te lastig zijn, raad ik je aan om uit het hoofdstuk 2 van het boek getal en ruimte deel 1 nog een aantal extra opdrachten te maken (voornamelijk waarbij er oppervlaktes berekend worden met wortels/ kwadraten).
Heel veel succes, ik vertrouw erop dat jullie dit kunnen. Uiteraard kunnen jullie ook altijd contact op nemen met mij mocht het teveel zijn weggezakt.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
In de afbeelding hierboven zie je drie vierkanten met een ingesloten driehoek. Elke zijde van die driehoek vormt dus een vierkant. De kleinere vierkantjes zijn allemaal even groot.
De stelling van Pythagoras geeft als eis dat wij te maken hebben met een rechthoekige driehoek, anders mogen we de stelling van Pythagoras niet gebruiken.
Een rechthoekige driehoek herkennen wij aan het kleine (rode) vierkantje links onderin de afbeelding hierboven (bij punt A weergegeven). Aangezien hij bij de driehoek hier aanwezig is, mogen we dus de stelling van pythagoras toepassen.
Verder weten we dat de zijden van een vierkant allemaal hetzelfde zijn. Dus: als een zijde van die driehoek 4 is, dan is de aanliggende vierkant 4 bij 4 (=16). de andere zijden van de driehoek is 3 x 3 = 9.
En dit klopt! Kijk maar nog eens goed naar de eerste afbeelding: De rode vierkant bestaat uit 16 kleine rode vierkantjes, en de gele uit 9.
Als we nu eens alle rode en gele vierkantjes bij elkaar optellen, tellen wij er 16+9 = 25. Maar, als we alle blauwe vierkantjes samentellen, zien we ook dat dit er 25 zijn! Dat is niet toevallig..
Stelling van Pythagoras:
\(a^2+b^2=c^2\)
a = zijde AB
b = zijde BC
c = zijde BC
Houd er hierbij rekening mee dat a en b altijd aan de rechthoekzijde vast zitten. Verder worden deze zijden gekwadrateerd, omdat we tenslotte de oppervlakte van de aanliggende vierkanten willen berekenen:
\(3*3=3^2 = 9 \)
\(4*4=4^2=16\)
Als wij de oppervlaktjes bij elkaar optellen, maken we dus gebruik van de stelling van Pythagoras:
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
Dus, de oppervlakte bij zijde c, is 25. Hoe lang is zijde c dan nou eigenlijk?
Bij zijden a en b wisten we de lengte van de zijden, maar nog niet de oppervlakte van de bijehorende vierkanten. Bij zijden c weten we wél de oppervlakte van de bijbehorende vierkant, maar nog niet de lengte van de zijden zelf.. we moeten nu dus het tegenovergestelde van kwadrateren toepassen: de wortel nemen!
√25 = 5. Dus de zijden die hoort bij c, is 5.
Een driehoek heeft drie hoeken, en drie zijden. Het is je misschien net al opgevallen, dat we de oppervlakte van de twee kleinste vierkanten bij elkaar hebben opgetelt. Want, als we de stelling van Pythagoras gaan toepassen in een andere volgorde (bijvoorbeeld 32 + 52, dan klopt het niet meer..).
De twee zijden die wij kwadrateren en bij elkaar optellen, zijn altijd de zijden die aan de rechte hoek vastzitten. We noemen deze zijden hierom ook rechthoekzijden.
De schuine zijde van de driehoek ligt altijd tegenover de rechte hoek.
Let op: een schuine zijde ziet er niet altijd schuin uit. Houd er dus rekening mee dat de schuine zijde altijd tegenover de rechte hoek ligt.
Tip: schrijf altijd bij het plaatje (of maak een schets in je schrift van de driehoek) welke de schuine zijde is. Als je dit erbij schrijft is het niet alleen duidelijk voor jezelf, maar ook voor mij als ik je werk aan het nakijken ben! :)
Stappenplan
Om de stelling van Pythagoras toe te passen, zal dit een handige doorloopfase zijn om elke vraag mee te kunnen beantwoorden:
1. Maak een schets van de driehoek waar de vraag over gaat.
2. Geef duidelijk aan waar de rechte hoek zit, wat de rechthoekzijden en schuine zijde is. Het kan zijn dat er een vraag gesteld wordt over een driehoek die geen rechte hoek heeft. In dit geval kan je geen zijde berekenen met de stelling van Pythagoras, en mag je aangeven: kan niet worden berekend.
3. Schrijf de stelling van Pythagoras op (a2 + b2 = c2)
4. Schrijf recht onder de stelling van Pythagoras wat je weet. Je vervangt dus de letter a en/of b en/of c door het getal wat je weet.
5. Maak je berekening
6. Klaar? Check voor een laatste keer of je daadwerkelijk antwoord hebt gegeven op de vraag. Misschien moest je afronden op twee decimalen, of je antwoord in cm opschrijven.
Uitlegfilmpjes
In dit onderdeel staan filmpjes over de stelling van Pythagoras. Mochten er nog onduidelijkheden zijn kan het misschien helpen om deze filmpjes te bekijken.
Stelling van Pythagoras 1
Stelling van Pythagoras 2
Stelling van Pythagoras 3
De laatste clip gaat dieper in over het bewijs van de stelling van Pythagoras. Voor de leerlingen die graag wat meer uitdaging willen, raad ik zeker aan deze clip te kijken!
Stelling van Pythagoras 4
Oefenen
Toets: Oefenen voor de toets
0%
De volgende vragen geven je een goede indicatie van hoe de toets eruit zal zien.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
QUIZ
Hierin kunnen jullie een QUIZ maken waarbij jullie (in eigen woorden) moeten kunnen uitleggen wat de volgende wiskundige woorden betekenen. Door op het woord/ uitleg te klikken zie je wat het woord is/ wat de uitleg van het woord is. door op het pijltje te klikken ga je naar de volgende 'kaart'. Na afloop kun je het scherm sluiten, want deze wikiwijspagina blijft in een ander tabblad open staan. Veel succes!
Extra
Als docent vind ik het natuurlijk heel belangrijk dat ik de kennis die ik heb, aan jou kan overbrengen. Aangezien ik niet alleen aan jou lesgeef, maar er nog 23 andere leerlingen bij jou in de klas zitten, is het voor mij niet altijd even makkelijk om alle lesstof bij iedereen op het zelfde tempo over te brengen. Het kan zijn dat je de vragen tot nu toe heel makkelijk en soepel hebt gemaakt, maar het kan natuurlijk ook zijn dat je denkt van 'he? Ik snap er nog niks van en veel vragen gaan fout!'. Hierom kan jij zelf bepalen in welke categorie jij eerder valt, omdat mijn uitleg tot nu misschien nog niet duidelijk was.
1. Kies voor onderdeel 'Remediërend' om extra uitleg te krijgen over de stof door extra vragen te beantwoorden.
2. Kies voor 'Verdieping' om als leerling extra uitgedaagd te worden.
Remediërend
Toets: extra opgaven
0%
Het kan natuurlijk zo zijn dat je het nog best lastig vond en het beantwoorden van de vragen nog niet zo soepel ging. Hierom kun je nog een aantal extra opgaven maken. Hopelijk zal het kwartje nu wel vallen
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Oefentoets
Als het goed is beheers je nu alle voorgaande stof en ben je klaar voor de oefentoets. Veel succes!
Afsluiting
Tot slot..
Wil ik graag als docent jou bedanken voor de input die jij als leerling hebt gestoken in dit leerarragement. Niet alleen heb jij je best gedaan om alle vragen te beantwoorden en alles zelfstandig goed door te lezen, óók heb je de moeite genomen om deze nieuwe manier van leren te ontdekken, en daar wil ik je heel graag voor bedanken.
Ik hoop dat je dit een nuttige les vond, en ik ben hierom ook heel benieuwd hoe je dit hebt ervaren. was dit bijvoorbeeld nuttiger dan een les zoals wij die regulier volgen, of vond je juist dit zo via de laptop leuker en/ of handiger? Graag ontvang ik jou mening hierover op de mail, als je dat wilt natuurlijk!
Ik ben hoe dan ook heel trots als docent om jou als leerling in mijn klas te mogen hebben. Of je nou altijd goede cijfers haalt of niet; je hebt hoe dan ook je best gedaan om tot deze afsluiting te komen en hebt dus duidelijk de tijd genomen voor deze les, en tot slot doe ik het daar natuurlijk allemaal voor.
Mocht je het onderwerp toch nog lastig vinden, aarzel dan niet om contact met mij op te nemen (bijvoorbeeld via teams) en al je vragen te stellen. Natuurlijk kun je ook de gele theorievlakken van je boek Getal en Ruimte hoofdstuk 5.1 en 5.2 doornemen.
Voor de volgende les gaan we starten met hoofdstuk 5.3, waarbij de stelling van Pythagoras wordt toegepast op vragen uit het dagelijks leven. Neem hiervoor alvast de Theorie (A) door op bladzijde 24. Ook moet het huiswerk met de volgende opdrachten zijn gemaakt:
getal en Ruimte hoofdstuk 5.1 en 5.2 opgaven 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 17 en 19
Het arrangement De stelling van Pythagoras is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Violet Halsema
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2023-01-08 21:20:28
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Je loopt door een parkje heen over het voetpad. Je loopt eerst rechtdoor, en moet vervolgens rechts afslaan. In plaatst van dat je netjes over het voetpad loopt (eerst rechtdoor en dan naar rechts), zie je dat meer mensen de kortere route hebben genomen over het glasveld. Dit heet een olifantenpaadje. Maar, is dit de kortere route? En, hoeveel korter is dit dan?
Dit hoofdstuk gaat over de stelling van Pythagoras. De lesdoelen zijn als volgt:
- Hoe de stelling van Pythagoras luidt.
- Het berekenen van zijden van rechthoekige driehoeken.
- Hoe je kunt narekenen of een driehoek rechthoekig is.
- Hoe je in ruimtefiguren doorsneden tekent.
- De lengten van lijnstukken in ruimtefiguren berekenen.
Leerniveau: 2 havo
vak: Wiskunde
Doelgroep: 2 havo leerlingen op de middelbare school
Je loopt door een parkje heen over het voetpad. Je loopt eerst rechtdoor, en moet vervolgens rechts afslaan. In plaatst van dat je netjes over het voetpad loopt (eerst rechtdoor en dan naar rechts), zie je dat meer mensen de kortere route hebben genomen over het glasveld. Dit heet een olifantenpaadje. Maar, is dit de kortere route? En, hoeveel korter is dit dan?
Dit hoofdstuk gaat over de stelling van Pythagoras. De lesdoelen zijn als volgt:
- Hoe de stelling van Pythagoras luidt.
- Het berekenen van zijden van rechthoekige driehoeken.
- Hoe je kunt narekenen of een driehoek rechthoekig is.
- Hoe je in ruimtefiguren doorsneden tekent.
- De lengten van lijnstukken in ruimtefiguren berekenen.
Leerniveau: 2 havo
vak: Wiskunde
Doelgroep: 2 havo leerlingen op de middelbare school
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Voorkennis
Oefenen voor de toets
extra opgaven
Verdiepende vragen
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
