De eenheidscirkel

De eenheidscirkel

Cursusopzet

Deze cursus behandeld stapsgewijs de exacte waarden van goniometrische verhoudingen, de eenheidscirkel en radialen. Het hoofddoel van deze cursus is het ontwikkelen van een rijk begrip van de exacte-waarden-cirkel.

In deze cursus wordt de stof online op verschillende manieren aangeboden. Namelijk door middel van tekst, een video, oefeningen en reflectie. Afhankelijk van je voorkeur kun je één of meerdere middelen gebruiken om de leerdoelen van deze cursus te bereiken. We raden je sterk aan om in ieder geval alle oefeningen te maken.

Daarnaast vinden er F2F (face-to-face) bijeenkomsten plaats, afgewisseld met de online bijeenkomsten. Tijdens deze bijeenkomsten wordt jullie kennis zowel verdiept als verbreed. Tevens gaan we in deze F2F bijeenkomsten in groepjes aan het werk richting de eindopdracht van deze cursus.

Leerdoelen

In deze cursus komen per thema de volgende leerdoelen aan bod, klik op het getal voor het leerdoel om naar de pagina te gaan waar het leerdoel bereikt kan worden.

Exacte waarden van goniometrische verhoudingen

1Aan het einde van deze cursus kun je de exacte waarden van goniometrische verhoudingen afleiden met behulp van SOSCASTOA.

2Aan het einde van deze cursus ken je de exacte waarden van goniometrische verhoudingen.

3.  Aan het einde van deze cursus kan ik de exacte waarden van een hoek berekenen m.b.v. de somformules. (F2F)

De eenheidscirkel

4Aan het einde van deze cursus weet je wat de eenheidscirkel is.

5Aan het einde van deze cursus weet je wat de draaiingshoek is.

6Aan het einde van deze cursus kun je de coördinaten berekenen op de eenheidscirkel bij een gegeven draaiingshoek.

7Aan het einde van deze cursus kun je de draaiingshoek berekenen bij een gegeven punt op de eenheidscirkel.

Radialen

8Aan het einde van deze cursus weet je wat radialen zijn.

9Aan het einde van deze cursus kun je van graden naar radialen rekenen en andersom.

10. Aan het einde van deze cursus kun je hoeken en punten op de eenheidscirkel berekenen in de eenheid van radialen. (F2F)

De exacte-waarden-cirkel

11Aan het einde van deze cursus ken je de exacte-waarden-cirkel.

12Aan het einde van deze cursus kun je gegevens uit de exacte-waarden-cirkel aflezen.

13. Aan het einde van deze cursus kun je de symmetrieformules binnen de eenheidscirkel gebruiken. (F2F)

Goniometrische vergelijkingen oplossen

14. Aan het einde van deze cursus kan de leerling goniometrische vergelijkingen oplossen. (F2F)

 

Affectief leerdoel van deze cursus:

Aan het einde van de lessen is iedere leerling uit elk groepje individueel aanspreekbaar op ieders inbreng en op het eindresultaat.

 

Benodigde voorkennis

De leerling kent de verschillende soorten hoeken.

De leerling kan met de eenheid graden rekenen.

De leerling kan met soscastoa werken.

 

Planning

Het affectieve leerdoel van deze cursus is opgenomen in elke fysieke les:

Aan het einde van de lessen is iedere leerling uit elk groepje individueel aanspreekbaar op ieders inbreng en op het eindresultaat.

Week thema online/f2f leerdoelen
1 Exacte waarden van goniometrische verhoudingen online

Aan het einde van deze cursus kun je de exacte waarden van goniometrische verhoudingen afleiden met behulp van SOSCASTOA.

Aan het einde van deze cursus ken je de exacte waarden van goniometrische verhoudingen.
fysiek Aan het einde van deze cursus kan ik de exacte waarden van een hoek berekenen m.b.v. de somformules.
2 De eenheidscirkel online

Aan het einde van deze cursus weet je wat de eenheidscirkel is.

Aan het einde van deze cursus weet je wat de draaiingshoek is.

Aan het einde van deze cursus kun je de coördinaten berekenen op de eenheidscirkel bij een gegeven draaiingshoek.

Aan het einde van deze cursus kun je de draaiingshoek berekenen bij een gegeven punt op de eenheidscirkel.
3 Radialen online

Aan het einde van deze cursus weet je wat radialen zijn.

Aan het einde van deze cursus kun je van graden naar radialen rekenen en andersom.
fysiek Aan het einde van deze cursus kun je hoeken en punten op de eenheidscirkel berekenen in de eenheid van radialen.
4 De exacte-waarden-cirkel online

Aan het einde van deze cursus ken je de exacte-waarden-cirkel.

Aan het einde van deze cursus kun je gegevens uit de exacte-waarden-cirkel aflezen.
fysiek Aan het einde van deze cursus kun je de symmetrieformules binnen de eenheidscirkel gebruiken.
5 Goniometrische vergelijkingen oplossen fysiek Aan het einde van deze cursus kan de leerling goniometrische vergelijkingen oplossen.

 

Exacte waarden van goniometrische verhoudingen

Deze leerdoelen van de online bijeenkomst van dit thema moet je beheersen vóór de F2F bijeenkomst:

1. Aan het einde van deze cursus kun je de exacte waarden van goniometrische verhoudingen afleiden met behulp van SOSCASTOA.

2. Aan het einde van deze cursus ken je de exacte waarden van goniometrische verhoudingen.

 

Het leerdoel van de F2F bijeenkomst is:

3. Aan het einde van deze cursus kan ik de exacte waarden van een hoek berekenen m.b.v. de somformules.

 

Ontdekken d.m.v. oefeningen

De zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek verhouden zich als 1:1:√2. In een rechthoekige driehoek mogen we soscastoa gebruiken. We kunnen de verhouding van de 45° hoek tot de zijden dus uitdrukken in exacte waarden met behulp van goniometrie.

In de volgende opdracht ontdek je waar dit in resulteert. Lees je liever over de opbrengst hiervan in één keer ga dan naar theorie in woorden, kijk je liever een filmpje waar het wordt getoond ga dan naar theorie in filmpje.

We kunnen dus schrijven \(sin(45°) = {1 \over \sqrt{2} }\)

Maar, we weten:

\( {1 \over \sqrt{2}}= {1 \over \sqrt{2}} * { \sqrt{2} \over \sqrt{2}} = {1 \over 2}\sqrt{2}\)

Dus:

\(sin(45°) = {1 \over 2 }\sqrt{2}\)

Begrijp je bovenstaande resultaten niet? Bekijk dan deze video.

Theorie

De zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek verhouden zich als 1:1:\( \sqrt{2}\). In een rechthoekige driehoek mogen we soscastoa gebruiken. We kunnen de verhouding van de 45° hoek tot de zijden dus uitdrukken in exacte waarden met behulp van goniometrie.

In een rechthoekige driehoek kunnen we soscastoa gebruiken om hoeken en zijden te berekenen. In de bovenstaande driehoek hebben we met rood de overstaande rechtshoekszijde, aanliggende rechthoekszijde en schuine rechthoekszijde ten opzichte van de rechterhoek van 45° aangegeven.

We kunnen nu de \(sin(45°)\) uitdrukken in de overstaande en schuine zijde. De sinus van een hoek is de overstaande delen door de schuine zijde, dus als we dit in de vaste verhouding van een gelijkbenige rechthoekige driehoek uitdrukken krijgen we \(sin(45°)={1 \over \sqrt{2} }\) vanwege de worteltruc kunnen we \({1 \over \sqrt{2} }\) schrijven als \({1 \over 2} \sqrt{2}\).

Op dezelfde wijze krijgen we \(cos(45°)={1 \over 2} \sqrt{2}\). Dit omdat de aanliggende zijde 1 is en we deze delen door de schuine zijde \(\sqrt{2}\). Tot slot \(tan(45°)={1 \over 1}=1\).

Hetzelfde kunnen we doen binnen een rechthoekige driehoek met scherpe hoeken van 30° en 60°. In deze driehoek verhouden de zijden zich tot elkaar als 1:2:\(\sqrt{3}\).

Door SOSCASTOA ook in deze driehoek te gebruiken kunnen we deze resultaten als volgt in een tabel zetten. Oefen hier om deze zelf in te vullen.

 

 

Video

Exacte waarden van goniometrische verhoudingen

Reflectie d.m.v. oefeningen

F2F bijeenkomst 1

In deze les gaan we verder met de exacte waarden van goniometrische verhoudingen. Let erop dat je de resultatentabel uit je hoofd moet kennen voor deze les!

Het leerdoel van de F2F les is:

3. Aan het einde van deze cursus kan ik de exacte waarden van een hoek berekenen m.b.v. de somformules.

Klassikaal maar ook in groepjes werken we naar dit leerdoel toe.

Tevens gaan we in deze les groepjes maken waarmee jullie de groepsopdrachten en de eindopdracht zullen maken. Tot slot zal de eindopdracht en de wijze van afname uitgelegd worden.

Eenheidscirkel

Theorie

De eeheidscirkel is een cirkel met middelpunt O(0,0) en straal 1.

Nemen we een hoek met het eerste been van O(0,0), naar  A(0,1) (de rode lijn in de afbeelding hieronder) en het tweede been van O(0,0) naar P(x,y) (de groene lijn in de afbeelding hieronder) dan noemen we hoek AOP de draaiingshoek. Deze hoek noemen we hoek α.

P beweegt over de cirkel tegen de wijzers van de klok in. Het (in dit geval rode) been ligt vast op O(0,0) naar A(1,0). De hoek kan ook groter dan 360° zijn (linkerafbeelding) of negatief, dan gaat hij met de wijzers van de klok mee (rechterafbeelding).

Bekijk deze theorie hier in een video met uitleg. 

Video

Eenheidscirkel en draaiingshoek

Oefeningen

In deze oefening leer je hoe je bij een gegeven draaiingshoek punt P berekend, ook leer je hoe je bij een gegeven punt P de draaiingshoek berekend. Als je liever een filmpje kijkt, kan dat hier. 

Video

Punt P op een cirkel berekenen bij een gegeven draaiingshoek

Draaiingshoek bij gegeven punt P op eenheidscirkel

Reflectie d.m.v. oefeningen

Radialen

Deze leerdoelen van de online bijeenkomst van dit thema moet je beheersen vóór de F2F bijeenkomst:

4. Aan het einde van deze cursus weet je wat de eenheidscirkel is.

5. Aan het einde van deze cursus weet je wat de draaiingshoek is.

6. Aan het einde van deze cursus kun je de coördinaten berekenen op de eenheidscirkel bij een gegeven draaiingshoek.

7. Aan het einde van deze cursus kun je de draaiingshoek berekenen bij een gegeven punt op de eenheidscirkel.

8. Aan het einde van deze cursus weet je wat radialen zijn.

9. Aan het einde van deze cursus kun je van graden naar radialen rekenen en andersom.

 

Het leerdoel van de F2F bijeenkomst is:

10. Aan het einde van deze cursus kun je hoeken en punten op de eenheidscirkel berekenen in de eenheid van radialen. (F2F)

Theorie

Tot nu toe hebben jullie altijd met graden gewerkt om hoeken te berekenen. Een meer wetenschappelijke methode is echter het gebruik van radialen. Radialen hebben alles te maken met de eenheidscirkel. Vanaf nu gaan we namelijk alle hoeken tekenen met benen van lengte 1. We kunnen nu alle hoeken op de eenheidscirkel leggen. De grootte van de hoek hangt nu af van de lengte van de cirkelboog.

Hieronder zie je drie verschillende (groene) hoeken. Waarbij drie verschillende lengtes van de cirkelboog bij horen (rood).

In plaats van graden gebruiken we nu radialen, ook wel rad. Als de lengte van de cirkelboog 1 is, is de hoek 1 radiaal, oftewel 1 rad. Een cirkel heeft een omtrek van 2πr. In dit geval is de radius/straal 1 dus bij de eenheidscirkel is de omtrek 2π. Bij een volle hoek van 360° hoort de gehele cirkelboog/omtrek, een volle hoek is dus in 2π rad. Bij een gestrekte hoek van 180° hoort dus de helft van de omtrek van de cirkel, oftewel π rad. Zo kunnen we elke hoek in graden ook in radialen uitdrukken. In deze applet zie je hoe de eenheidscirkel met bijbehorende radialen tot stand komt.

 

Video

radialen

Oefeningen

Video

Exacte waarden van goniometrische verhoudingen radialen

Theorie

De tabel met de exacte waarden van goniometrische verhoudingen kunnen we nu wat aanpassen. We kunnen de hoeken nu uitdrukken in radialen en voegen twee rijen toe. Bekijk deze video om te zien hoe deze tabel tot stand komt. 

Leer deze tabel! (Hier) kun je met het geleerde oefenen. 

Reflectie d.m.v. oefeningen

F2F bijeenkomst 2

Tijdens de online lessen heb je met radialen leren rekenen. Tijdens deze bijeenkomst gaan we de verbinding leggen tussen radialen, de eenheidscirkel en soscastoa. Tevens gaan we de basis leggen voor de volgende F2F bijeenkomst: we maken een start met het ontdekken van de symmetrieformules. Deze ontdekkingstocht doe je met je groepje die vorige week is gemaakt.

Het leerdoel van deze bijeenkomst is:

10. Aan het einde van deze cursus kun je hoeken en punten op de eenheidscirkel berekenen in de eenheid van radialen. (F2F)

 

De exacte-waarden-cirkel

Deze leerdoelen van de online bijeenkomst van dit thema moet je beheersen vóór de F2F bijeenkomst:

11. Aan het einde van deze cursus ken je de exacte-waarden-cirkel.

12. Aan het einde van deze cursus kun je gegevens uit de exacte-waarden-cirkel aflezen.

 

Het leerdoel van de F2F bijeenkomst is:

13. Aan het einde van deze cursus kun je de symmetrieformules binnen de eenheidscirkel gebruiken. (F2F)

Theorie

Nu we de eenheidscirkel, zijn radialen en exacte waarden kennen kunnen we de exacte waarden cirkel tekenen. Deze hebben we in de toekomst nodig om goniometrische vergelijkingen op te lossen.

Begrijp je niet hoe we de exacte waarden tabel kunnen gebruiken om de exacte-waarden-cirkel op te stellen kijk dan deze video.

Video

Exacte-waarden-cirkel

Theorie

Hoe gebruiken we deze exacte-waarden-cirkel? We kunnen twee soorten vragen krijgen.

1. Geef de exacte waarde voor \(cos({2 \over 3} π)=\)

Je kijkt dan eerst in de eenheidscirkel. Als we bij \({2 \over 3} π\) zijn op de cirkel dan is onze x-waarde, die we alltijd zoeken bij cosinus (cas), \(- {1 \over 2}\). Zie de afbeelding hieronder.

Zo kan ook de exacte waarde voor \(sin(1{5 \over 6} π)\) gevraagd worden. Bij sinus zoeken we juist naar de y-waarde behorende bij de hoek in radialen. Die is bij \(sin(1{5 \over 6} π)\) gelijk aan \(- {1 \over 2}\). Zie de afbeelding hieronder.

2. Geef de twee mogelijke exacte waarden voor α tussen 0 en 2π als \(sin(α)=-{1 \over 2} \sqrt{2}\).

In dit geval kijken we waar de eenheidscirkel is als we op de y-as (sinus > y) bij \(- {1\over2} \sqrt{2}\) zijn. Dat geeft twee antwoorden \(1 {1 \over 4} π\) en \(1 {3 \over 4} π\).

Zie de afbeelding hieronder.

Reflectie d.m.v. oefeningen

F2F bijeenkomst 3

Tijdens deze bijeenkomst gaan we verder met het ontdekken en bewijzen van de symmetrieformules. 

 

Het leerdoel van deze bijeenkomst is:

13. Aan het einde van deze cursus kun je de symmetrieformules binnen de eenheidscirkel gebruiken. (F2F)

Eindopdracht (F2F bijeenkomst 4 en 5)

In de vierde F2F ligt de focus op de volgende leerdoelen:

14. Aan het einde van deze cursus kan de leerling goniometrische vergelijkingen oplossen. (F2F)

Affectief leerdoel van deze cursus:

Aan het einde van de lessen is iedere leerling uit elk groepje individueel aanspreekbaar op ieders inbreng en op het eindresultaat.

Tevens bereiden we ons deze week voor op de eindopdracht.

 

In de vijfde F2F bijeenkomst wordt de eindopdracht in de eerder gemaakte groepjes gemaakt waarin alle leerdoelen getoetst zullen worden.

Extra

De worteltruc

Worteltruc

Oefening resultatentabel