De wereld om je heen zit vol met wiskunde, je moet het alleen wel herkennen.
Wist jij dat wanneer je over een brug fietst deze is ontworpen met behulp van wiskunde.
De vorm van de brug, hoeveel kilo de brug kan dragen, hoeveel verkeer er per uur over de brug heen kan rijden, wat het kost om de brug te bouwen en te onderhouden zijn allemaal zaken die met wiskunde te maken hebben.
In dit hoofdstuk hebben we het weer over verbanden. Dit jaar heb je al leren werken met lineaire verbanden. Het onderwerp verbanden komt ieder jaar meerdere keren terug. We herhalen telkens je kennis over verbanden en breiden dit elk hoofdstuk een klein beetje uit.
In dit hoofdstuk herhalen we kort onze kennis over lineaire verbanden en leren we werken met kwadratisch verbanden. We leren een berekening maken bij een kwadratisch verband, een tabel tekenen en invullen en natuurlijk de grafiek bij de tabel tekenen. Ook leer je hoe je een vergelijking oplost bij een kwadratisch verband.
De voorkennis bij dit hoofdstuk sluit aan bij het hoofdstuk over lineaire formules.
In de voorkennis herhalen we het werken met de rekenvolgorde.
In een eerder hoofdstuk heb je kennis gemaakt met een lineair verband. We hebben geleerd dat een lineair verband een vaste opbouw heeft, dat je bij een lineair verband een tabel en een grafiek kunt maken.
Andersom hebben we ook geleerd hoe je bij een regelmatigetabel een formule kunt maken.
Moet je een berekeningen maken waar verschillende rekentekens (bewerkingen +, -, :, x , \( \sqrt{...}\) en ...2) in worden gebruikt? Houd dan rekening met de voorrangsregels. Dit houdt in dat je de opgave niet zomaar in volgorde van links naar rechts moet uitrekenen. Sommige bewerkingen moet je namelijk eerder uitrekenen en hebben dus voorrang. Denk maar aan het verkeer. Hier moet je ook de regels goed toepassen, anders gebeuren er ongelukken.
Volgorde van bewerkingen
1. Bereken eerst wat tussen haakjes staat.
(ook binnen haakjes voorrangregels toepassen)
2. Bereken de machten en/of wortels
(van links naar rechts!)
3. Bereken keer en/of delen
(van links naar rechts!)
4. Als laatste erbij en/of eraf.
(van links naar rechts!)
Let wel op, we werken natuurlijk wel van links naar rechts.
Wat bedoelen we hier nu mee?
voorbeeld:
6 - 4 + 10 =
We zien hier een opgave met daarin - en + , deze bewerkingen staan op dezelfde hoogte in ons schema, ze zijn dus gelijkwaardig. In dat geval werken we van links naar rechts, dus wat we het eerste tegen komen.
6 - 4 + 10 =
2 + 10 = 12
Je ziet ook hoe we een bewerking met voorrangsregels uitschrijven. Onderstreep het deel dat je uitrekent, zet onder dat deel de uitkomst en ga daarna verder met de volgende bewerking.
Voorbeeld:
2 x ( 8 + 2 ) - 32 = Eerst tussen haakjes uitrekenen.
2 x 10 - 32 = kwadraten en wortels berekenen.
2 x 10 - 9 = keer en delen.
20 - 9 = 11 plus en min.
In het filmpje hiernaast wordt het allemaal nog eens stapje voor stapje voorgedaan.
Doe hier je voordeel mee. Kijk, zet stop en probeer. Kijk opnieuw, zet eens op pauze en spoel terug. Op deze manier leer jij jezelf deze techniek aan.
72 spreken we uit als zeven in het kwadraat of zeven tot de tweede macht.
√36spreken we uit als de wortel van zesendertig.
72 = 7 x 7 = 49
112 = 11 x 11 = 121.
32 = 3 x 3 = 9
Ken je de kwadraten uit het hoofd, dan ken je ook de bijbehorende wortel
√25= 5 want 5 x 5 = 25
en √144 = 12 want 12 x 12 = 144
42 =
√169 =
252 =
√4 =
62 =
√16 =.
* leer de kwadraten van de getallen van 1 t/m 15, 20 en 25 uit het hoofd!
2.
Voorrangsregels
Schrijf over enreken uit. Schrijf de tussenstappen ook op.
5+2×4 =
(12−2) ×3 =
(17 + 3)2 : 80 - 40 =
\(\mathsf{ 6\ +\ 2\ ×\ 3\ ×\ 2\sqrt{25}\ }\)=
3
Deelstreep
Wanneer er gewerkt wordt met een deelstreep, dan reken je eerst het gedeelte boven de deelstreep uit, daarna het gedeelte onder de deelstreep. Je maakt dan de deling die overblijft.
Schrijf over en reken uit. Schrijf de tussenstappen ook op.
4 - 2 x (3 + 1)2 x 2 =
\(\mathsf{ 4\ ×\ 2^2\ +\ \sqrt{4}\ +\ 4\ }\) =
Begingetal en stapgrootte
Begingetal en stapgrootte, uitleg ..................................................................................
Aan het begin van dit leerjaar heb je kennis gemaakt met lineaire formules. Dit zijn formules waar regelmaat in voorkomt. Met regelmaat bedoelen we gelijke toe- of afname. Een soort herhaling.
In een tabel kun je dat goed laten zien.
Hieronder zie je het internetgebruik van Kevin.
We zien hier een voorbeeld van gelijkmatige afname. Maak je boven in je tabel (hoort bij de x-as) stapjes van 1, dan gaan er onder in je tabel telkens 5 vanaf.
Nog een voorbeeld.
Rosalie fietst elke dag van huis naar school en weer terug. Dat is elke dag 16 km in totaal.
Op haar fietscomputertje kan zij het totaal aantal kilometers bijhouden. Dat aantal zie je rechts onder in het display. Rosalie heeft in totaal al 320 km gefietst op haar fiets.
Ook hier kunnen we natuurlijk een tabel bij invullen.
We zien hier dat wanneer we boven in de tabel (x-as) stapjes van 1 maken er onder in de tabel telkens 16 bijkomen.
Is er in het verhaaltje of in de tabel sprake van herhaling (regelmaat) dan kunnen we er een lineaire formule bij maken. Een lineaire formule heeft altijd een vast schema.
Dit schema zie er als volgt uit:
Uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer.
In een lineaire formule zie je twee belangrijke stukken:
het begingetal (dit vindt je altijd voor x = 0 ook wel het vaste bedrag genoemd.)
de stapgrootte (wat er per stapje van 1 gebeurt ook wel het hellingsgetal genoemd.)
Noteer de berekening en de stapgrootte in je schrift.
Formule bij een tabel
Formule bij een tabel, uitleg ...........................................................................
Met behulp van het schema kun je bij een tabel met regelmaat een lineaire formule maken.
Voorbeeld 1.
Jasmina maakt in haar vrije tijd graag foto's. Deze laat zij online afdrukken. Als je online iets bestelt zitten daar natuurlijk bezorgkosten aan vast. Ook betaal je per foto een klein bedrag. De tabel hieronder gaat daar over.
Wanneer we een formule maken bij een regelmatige tabel vullen we de onderdelen van ons vaste schema in:
uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer
We zoeken in de tabel de verschillende onderdelen op
Uitvoer - dit zijn de woordjes (variabele) onder in je tabel -> Prijs
Invoer - dit zijn de woordjes (variabele) boven in je tabel -> Aantal
Begingetal - Lees je af onder de nul in je tabel ->2,50
Stapgrootte - Bereken je met de boogjes -> 0,20
De verschillende onderdelen zet je op de goede plaats in het schema:
uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer
prijs = 2,50 + 0,20 x aantal foto's
Met de formule kun je nu bijvoorbeeld ook uitrekenen wat het kost als je 20 foto's besteld. Je vult dan het aantal van 20 in op de plek van de foto's. Daarbij hoort de volgende berekening.
prijs = 2,50 + 0,20 x aantal foto's
prijs = 2,50 + 0,20 x 20 = 6,50 Je betaalt dus € 6,50 voor 20 foto's
Voorbeeld 2.
Wanneer je voor een groot feest een zaal huurt kost dat natuurlijk geld. Ook de consumpties per persoon (wat je eet en drinkt) kost natuurlijk geld. De tabel hieronder gaat daar over.
We zoeken in de tabel de verschillende onderdelen op
Uitvoer - dit zijn de woordjes (variabele) onder in je tabel -> Prijs
Invoer - dit zijn de woordjes (variabele) boven in je tabel -> Aantal
Begingetal - Lees je af onder de nul in je tabel ->500
Stapgrootte - Bereken je met de boogjes -> 5
Vul nu het vaste schema in om de formule bij de tabel te maken:
uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer
prijs = 500 + 5 x aantal feestgangers
Met de formule kun je berekenen wat het kost als er bijvoorbeeld 40 personen naar je feest komen.
prijs = 500 + 5 x aantal feestgangers
prijs = 500 + 5 x 40 = 700 Een feestje voor 40 personen kost je dus € 700
Noteer de variabele die we gebruiken voor de x-as (horizontaal)
Noteer de variabele die we gebruiken voor de y-as (verticaal)
Noteer het begingetal
Bereken de stapgrootte
Maak nu de formule bij de tabel
11
Formule bij tabel
Noteer de variabele die we gebruiken voor de x-as (horizontaal)
Noteer de variabele die we gebruiken voor de y-as (verticaal)
Neem de tabel over en zet er boogjes bij met daarbij de juiste getallen.
Bereken het begingetal
Bereken de stapgrootte
Maak nu de formule bij de tabel
12
Formule bij tabel
Bekijk de tabel hierboven.
Noteer het begingetal.
Bereken de stapgrootte.
Schrijf de formule op die bij de tabel hoort.
13
Formule bij tabel
Bekijk de tabel hierboven. Deze tabel lijkt in eerste instantie niet regelmatig.
Teken ook de boogjes bij de tabel op het werkblad en zet er de getallen bij
Wat valt je op?
Is hier sprake van een lineair verband?
§2 Werken met verbanden
Hoe maak je ook al weer berekeningen wanneer de formule gegeven is en hoe teken je een tabel en een grafiek bij een gegeven formule? Dit zijn de onderwerpen van deze paragraaf.
Werken met formules
Werken met formules, Uitleg .......................................................................................
Een berekening maken met een gegeven formule.
Wanneer je bij een opgaven het woordje bereken ziet staan noteer je altijd een berekening in je schrift. Vergeet je de berekening op te schrijven, dan kun je er helaas ook geen punten mee verdienen.
Wanneer we een berekening maken met een gegeven formule is het de bedoeling dat we één van de twee variabel (letters of woordjes in een formule) vervangen door het gegeven getal.
Voorbeeld
Met de formule Verdiensten = 2 + 3 x aantal gewerkte uren. kun je uitrekenen wat je deze maand verdiend hebt. De dikgedrukte woorden noemen we de variabele.
Ian werkt deze maand 12 uur, bereken zijn verdiensten
Aanpak.
We vullen op de plek van het aantal gewerkte uren het getal 12 in.
Verdiensten = 2 + 3 x aantal gewerkte uren.
Verdiensten = 2 + 3 x 12.
Bereken dit uit het hoofd of op de rekenmachine. Je antwoord is dan 38 euro.
Melissa werkt 20 uur. Bereken ook haar verdiensten.
Aanpak.
We vullen op de plek van het aantal gewerkte uren het getal 20 in.
Verdiensten = 2 + 3 x aantal gewerkte uren.
Verdiensten = 2 + 3 x 20.
Bereken dit uit het hoofd of op de rekenmachine. Je antwoord is dan 62 euro.
Giovanni werkt bij een bekende pizzaketen.
Hoeveel geld hij verdient, kan hij berekenen met de volgende woordformule.
inkomsten in € = 4,50 + 3,2 x tijd in uren
Maak van de woordformule een formule met letters.
Heb je bij het verkorten van de formule ook het keerteken weggelaten? Heb je dat niet gedaan, schrijf de formule dan nog eens op zonder keerteken. *Tussen een cijfer en een letter laten we bij wiskunde het keerteken (x) weg!
Op maandagavond werkt Giovanni 4 uur. Bereken wat hij die avond verdiend heeft. Schrijf je berekening op in je schrift.
.
Aan het eind van de maand heeft Giovanni in totaal 25 uur gewerkt. Bereken zijn verdiensten voor die maand. Schrijf je berekening op in je schrift.
2
Serveerster
Michaëla werkt ook bij de pizzaketen waar Giovanni werkt. Zij werkt niet als bezorger, maar in de bediening in het restaurant. Zij kan haar verdiensten berekenen met de volgende formule:
v= 2,50 + 4t
hierin is v de verdiensten in euro en t de tijd in uren dat Michaëla werkt.
Michaëla werkt op woensdagmiddag 3,5 uur. Bereken haar verdiensten, noteer de berekening in je schrift.
.
Michaëla werkt in de 2e week van februari 9 uur en een kwartier, bereken haar verdiensten.
.
Aan het eind van de maand heeft Michaëla 17,5 uur gewerkt. Bereken haar verdiensten die maand.
3
Uber-taxi
Emre stapt in een uber-taxi naar huis. Het instaptarief is €2,50. Elke kilometer die hij rijdt kost dit €0,50.
Bij deze rit hoort de formule: Kosten = 2,50 + 0,50 x aantal gereden kilometer
Maak van de woord formule een formule met letters. Gebruik voor de kosten de K en voor de gereden kilometers de letter A. Laat ook het keerteken weg.
Bereken de kosten voor een rit van 12 kilometer
Bereken de kosten voor een rit van 8 kilometer.
Emre moet aan het eind van de rit €12,- betalen. Bereken zijn aantal gereden kilometers.
4
Taxitender
Wanneer je een taxi rit maakt kun je behalve voor de diensten van Uber ook kiezen voor andere taximaatschappijen. Bij taxitender betaal je geen instaptarief, je betaald alleen €0,75 per gereden kilometer. Hierbij hoort de formule:
K=0,75A Hierin is K de kosten in euro en A het aantal gereden kilometer.
Bereken de kosten voor een taxirit van 21 kilometer.
Bereken de kosten voor een rit van 12 kilometer.
Je hebt aan het eind van je taxirit 12 euro afgerekend. Bereken het aantal kilometer dat je hebt gereden.
Van formule naar grafiek
Van formule naar grafiek, uitleg .........................................................................................
Bij een gegeven formule moet je ook vaak een grafiek tekenen.
Dit gaat altijd in een bepaalde volgorde.
Noteer de formule in je schrift.
Maak een tabel.
Teken bij de tabel de grafiek.
Voorbeeld:
Gegeven is de formule y = 7 + 3X
Neem de formule over in je schrift. Zet een x-teken tussen het cijfer en de letter.
Maak een tabel.
Maak bij je formule een tabel. Denk na over handige stapjes op de x-as (boven in je tabel)
Een tabel bij een lineaire formule hoeft maar uit 3 punten te bestaan.
Vul de tabel in.
Teken nu het assenstelsel dat bij de tabel past in je schrift.
Teken nu de punten uit je tabel in een assenstelsel. Kijk goed naar de getallen in je tabel. Bepaal altijd eerst hoe lang je assen moeten worden.
Aan het eind kijk je nog even of je wel de juiste woordjes of letters bij de grafiek hebt getekend.
Neem de tabel hieronder over in je schrift en bereken de ontbrekende getallen.
Teken de grafiek die bij de formule past in je schrift. Vergeet de assen niet te benoemen.
6
Formule, tabel, grafiek
Gegeven is de formule:y = -0,5x + 4
Neem de formule over in je schrift.
Neem de tabel hieronder over in je schrift en bereken de ontbrekende getallen. . . .
Teken de grafiek die bij de formule past in je schrift. Vergeet de assen niet te benoemen.
7
Kaars branden
Bij het branden van een cilindervormige kaars kun je ook een formule maken.
De formule die bij de kaars op het plaatje hiernaast past is:
Hoogte in cm = 21 - 3 x aantal branduren
Bereken de hoogte van de kaars na 4 branduren.
Bereken de hoogte van de kaars na 6 en half branduur.
Op je werkblad staat een tabel. Vul deze verder in.
Teken in je schrift de grafiek die bij de formule en tabel past.
Na een aantal uren is de kaars nog 4,5 cm. Bereken na hoeveel uur dat is. Schrijf je berekeningen op.
8
Lekkage
Tijdens een sportdag wordt er door het warme weer limonade uitgedeeld aan de deelnemers. Jammer genoeg heeft iemand het kraantje onder aan het vat niet goed dicht gedaan, daardoor loopt het vat langzaam leeg.
Hierbij hoort de formule: I = 5 - 0,2AHierin is I het aantal liter in het vat en A het aantal minuten.
Bereken de inhoud van het vat na 5 minunten.
Bereken de inhoud van het vat na 18 minunten.
Op je werkblad staat een tabel. Vul deze verder in.
Teken op het werkblad de grafiek die bij de formule en tabel past.
Na een aantal minunten is er nog 0,6 liter in het vat over. Bereken na hoeveel minunten dit is.
9
Lucifers
Met lucifers kun je allerlei patronen leggen, bekijk de figuren hiernaast maar eens.
Voor één driehoek heb je 3 lucifers nodig.
Om twee driehoeken te leggen heb je 5 lucifers nodig.
Om drie driehoeken te leggen heb je 7 lucifers nodig.
Hierbij hoort de formule: A = 2D + 1 Hierin is A het aantal lucifers en Dhet aantal driehoeken
Bereken het aantal lucifers van driehoek nummer 7
Bereken A voor D = 5
Teken een tabel met minimaal 3 stappen bij de formule.
Teken de grafiek die bij de tabel past.
Je hebt in totaal 23 lucifers, hoeveel driehoeken kun je nu leggen? Schrijf je berekening op.
10
Lucifers
Behalve dat je driehoeken met lucifers kunt leggen kun je natuurlijk ook andere patronen maken bijvoorbeeld vierkanten.
Voor figuurnummer nul (één vierkant) heb je 4 lucifers nodig
Voor figuurnummer één heb je er 7 nodig.
Voor figuurnummer twee heb je 10 lucifers nodig.
Hierbij hoort de formule: A = 4 + 3f Hierin is A het aantal lucifers en f het figuurnummer.
Bereken het aantal lucifers van figuurnummer 5
Bereken A voor f = 8
Teken een tabel met minimaal 3 stappen bij de formule.
Teken de grafiek die bij de tabel past.
Je hebt in totaal 40 lucifers, hoeveel driehoeken kun je nu leggen? Schrijf je berekening op.
§3 Kwadratische verbanden
Binnen het VMBO leer je werken met verschillende soorten verbanden. Er zijn namelijk niet alleen situaties die passen bij een lineair verband, er zijn allerlei soorten situaties. Er zijn dus ook allerlei soorten verbanden die we de komende tijd en jaren met elkaar gaan behandelen.
Hieronder zie je welke verbanden we de komende tijd gaan leren herkennen.
Lineaire verband.
Kwadratisch verband.
Exponentiël verband.
Machtsverband.
Wortelverband.
Omgekeerd evenredig verband.
Periodiek verband.
In deze paragraaf leer je hoe je werkt met kwadratische verbanden.
Als je naar de bouwwerken kijkt en naar de tabel die er onderstaat, dan herken je misschien wel een bepaalde regelmaat. Bij deze vorm van regelmaat kun je een kwadratische formule maken
Het aantal kubussen per bouwwerk kun je berekenen met de volgende formule:
aantal kubussen = nummer2 + 1
Deze formule kun je korter schrijven:
a = n2 + 1
In de formule zie je een kwadraat. Daarom heet zo'n formule een kwadratische formule.
Vul je in de formule voor nummer7 in, dan krijg je:
a = n2 + 1
a = 72 + 1
a = 49 + 1 = 50, dus bouwwerk nummer 7 bestaat uit 50 kubussen.
Voorbeeld:
Gebruik de formule: aantal kubussen = 3n2 + 2
Hoeveel kubussen heb je nodig voor bouwwerk 6?
Uitwerking:
n = 6 dus:
aantal kubussen
= 3 x 62 + 2 = 3 x 36 + 2
= 108 + 2
= 110
Instructievideo formules met kwadraten:
\
In de instructievideo heb je hetvolgende gezien:
Kwadratische formules zijn formules met daarin een kwadraat.
Vul je een negatief getal in de formule in, zet het dan tussenhaakjes!
Bereken y voor x = 6 betekent vul het getal 6 op de plek van de x in en bereken je uitkomst.
32 en (-3)2 geven hetzelfde antwoord 32 = 3 x 3 = 9 en (-3)2 = (-3) x (-3) = 9
Parabool
Teken je de grafiek bij een kwadratische formule, dan krijgt de grafiek de vorm van een parabool.
De grafiek wordt een parabool vanwege het kwadraat.
Hiernaast zie je verschillende parabolen.
Een parabool is altijd spiegelsymmetrisch: er zijn twee spiegelbeeldige helften
Als je zelf een grafiek gaat tekenen bij een kwadratische formule dan maak je eerst een tabel met een oneven aantal punten (7 of meer). Daarna teken je de punten uit de tabel in een assenstelsel. Teken door de punten een vloeiende kromme. Je tekent dit uit de losse pols, dus niet met behulp van je geodriehoek.
Grafiek tekenen bij een kwadratische formule
Neem de formule over in je schrift.
Maak een tabel met 7 punten.
Teken de grafiek die bij de tabel past.
Voorbeeld:
hoogte = 3a - 0,5a2
hoogte en a in meters
Teken een tabel met 7 punten (of meer)
a
0
1
2
3
4
5
6
hoogte
0
2,5
4
4,5
5
2,5
0
Teken nu de coordinaten uit je tabel in het assenstelsel en verbind deze met een vloeiende lijn. Er ontstaat een parabool.
Het hoogste punt van deze parabool ligt bij x = 3. Dit noemen we de top. Het coördinaat is: top(3 ; 4,5)
Links en rechts van deze top is de parabool gelijk, symmetrisch
Sarah beweert dat wanneer je de invoer 2 keer zo groot maakt, de uitvoer ook twee keer zo groot wordt, laat met berekeningen zien of Sarah gelijk heeft.
2
Werken met kwadratische formules
Gegeven is de formule:Kosten = 0,05 x invoer2 - 0,25 x invoer + 70
Voor de invoer kun je weer allerlei getallen invullen, let op, je vult het getal nu twee keer in de formule in. Het woordje invoer staat ook twee keer in de formule.
Bereken de kosten bij een invoer van 10.
Bereken de kosten bij een invoer van 25.
Waarom zou je geen negatief getal mogen invoeren in deze formule. Leg je antwoord aan de hand van een berekening uit.
3
Formules met x en y
Gegeven is de formuley = 3x2 - 0,5x + 5
bereken y voor x = 3
Bereken y voor x = -5 * Let op, vul je een negatief getal in een formule in, zet dat dan tussen haakjes!
Bereken y voor x = 7
Bereken y voor x = -9
Bereken y voor x = 0,5
Bereken y voor x = -1,2
4
Formule bij een verhaaltje
Wanneer je een kubus maakt van roosterpapier kun je elk roosterpunt aan de buitenkant kleuren. Bekijk de kubussen hieronder maar eens.
Op kubus 1 kun je 8 roosterpunten kleuren.
Op kubus 2 kun je al 26 roosterpunten kleuren.
Op kubus 3 zijn dat er al 56.
Er is een formule ontwikkeld waarmee je het aantal roosterpunten dat je kunt kleuren kunt berekenen:
A = 6n2 + 2Hierin is A het aantal roosterpunten en N het nummer van de kubus
Laat met een berekening zien dat het aantal roosterpunten bij kubus 3 ook met de formule klopt.
Bereken het aantal roosterpunten dat je kunt kleuren voor kubus nummer 5.
Bereken het aantal roosterpunten bij kubus nummer 8.
Hoeveel meer roosterpunten kun je op kubus 9 meer kleuren dan op kubus 7? Schrijf je berekeningen op.
Teken je de grafiek bij een kwadratische formule, dan krijgt de grafiek de vorm van een parabool.
De grafiek wordt een parabool vanwege het kwadraat.
Hiernaast zie je verschillende parabolen.
Een parabool is altijd spiegelsymmetrisch: er zijn twee spiegelbeeldige helften
Als je zelf een grafiek gaat tekenen bij een kwadratische formule dan maak je eerst een tabel met een oneven aantal punten (7 of meer). Daarna teken je de punten uit de tabel in een assenstelsel. Teken door de punten een vloeiende kromme. Je tekent dit uit de losse pols, dus niet met behulp van je geodriehoek.
Grafiek tekenen bij een kwadratische formule
Neem de formule over in je schrift.
Maak een tabel met 7 punten.
Teken de grafiek die bij de tabel past.
Voorbeeld:
hoogte = 3a - 0,5a2
hoogte en a in meters
Teken een tabel met 7 punten (of meer)
a
0
1
2
3
4
5
6
hoogte
0
2,5
4
4,5
5
2,5
0
Teken nu de coordinaten uit je tabel in het assenstelsel en verbind deze met een vloeiende lijn. Er ontstaat een parabool.
Het hoogste punt van deze parabool ligt bij x = 3. Dit noemen we de top. Het coördinaat is: top(3 ; 4,5)
Links en rechts van deze top is de parabool gelijk, symmetrisch
In de vorige paragraaf heb je geleerd om bij een kwadratische verband een grafiek te tekenen. Het tekenen van een grafiek gaat altijd in drie stappen:
Neem de formule over in je schrift
Maak een passende tabel (bij een kwadratisch verband bereken je 7 punten)
Teken de grafiek bij de tabel.
Ook heb je geleerd hoe je de berekeningen bij een kwadratische formule maakt en opschrijft.
voorbeeld:
gegeven is de formule y=-0,5x2 + 3
bereken y voor x = 3 en voor x = -3
Uitwerking:
vul op de plek van de variabele x het getal 3 in.
y = -0,5x2 + 3
x= 3 dus y = -0,5 x 32 + 3 x = -3 dus y = -0,5 x (-3)2 + 3
y = -0,5 x 9 + 3 y = -0,5 x 9 + 3
y = -4,5 + 3 = -1,5 y = -4,5 + 3 = - 1,5
In je berekening zie je dat x = 3 en x = -3 hetzelfde antwoord geven. Dit komt doordat een kwadratische formule symmetrisch is ten opzichte van de verticale lijn door zijn top.
In de afbeelding hierboven zie je ook wanneer een parabool een dalparabool of een bergparabool wordt.
Is het getal voor het x2 positief dan krijg je een dalparabool. Is het getal voor x2 negatief, dan krijg je een bergparabool.
voorbeeld:
gegeven zijn de formules:
y = 3x2 - 12
y = 7 + 0,25x2
y = 3x - x2 + 2
y = 6,4 - 0,2x2
het getal (3) voor x2 is positief dus een dalparabool
het getal (0,25) voor x2 is positief dus een dalparabool
het getal (-1)voor x2 is negatief dus een bergparabool
het getal (-0,2)voor x2 is negatief dus een bergparabool
Maak in je schrift een tabel, neem voor x de getallen van -3 tot en met 3 en vul dit in de bovenste rij in.
Bereken de punten en vul dit in je tabel in.
Teken in je schrift de grafiek bij deze formule.
Noteer de coördinaten van de top en teken met een kleurpotlood de symmetrie-as in je figuur.
2
Uittrap keeper
Kenneth is keeper van een voetbalelftal. Kenneth oefent veel op het nemen van een doeltrap zodat hij de bal met een vere trap naar de spits van het elftal kan schieten. Bij de baan die de bal aflegt wanneer je deze wegtrapt hoort een kwadratische formule.
hoogte in m = 2a - 0,1a2
hierin is de hoogte in meters en a = afstand in meters.
Vul je voor a=2 in, dan krijg je hoogte = 3,6 meter. Controleer dat met je rekenmachine en schrijf je berekening op.
Hoe hoog is de bal na 1 meter? Schrijf de berekening in je schrift.
Hoe hoog is de bal na 8 meter? Schrijf de berekening in je schrift.
Neem de tabel over en vul hem in.
a
0
2
4
6
8
10
12
14
16
hoogte in m
3,6
Teken een assenstelsel.
Maak de horizontale as 8 cm lang en neem stapjes van 2 (1 cm = 2 afstand).
Maak de verticale as 10 cm lang en neem stapjes van 1m (1 cm = hoogte 1 m)
Teken de punten van de tabel in het assenstelsel.
Teken een vloeiende kromme door de punten.
Wat is het hoogste punt van de grafiek? Noteer de coördinaten van de top in je schrift.
3
Boogbrug
Wist jij dat er bij een boogbrug ook een kwadratische formule hoort? In het plaatje zie je dat dit type brug de vorm heeft van een parabool. De formule voor de boog van deze brug is
hoogte = 1,5a - 0,25a2
hoogte in meters.
Neem de tabel hieronder over in je schrift
a
0
1
2
3
4
5
6
hoogte in m
Teken in je schrift een assenstelsel en teken daarin de punten uit de tabel.
Teken een vloeiende kromme door de punten in je assenstelsel.
Hoeveel meter is de grootste afstand tussen het water en de boog?
Hoe breed is de boog van de brug?
4
Afschieten vuurpijl
Aan het eind van de wereldhavendagen wordt er in rotterdam een grote vuurwerkshow gehouden. Bij het afschieten van een vuurpijl hoort ook een kwadratische formule. De baan van de vuurpijl heeft namelijk de vorm van een parabool.
Hierbij hoort de formule:
hoogte in m = 20a - a2
a: afstand
Neem de tabel over en vul hem in
hoogte in m = 20a - a2
a
. 0
. 4
. 8
. 10
. 12
. 16
. 20
hoogte in meter
Teken een assenstelsel.
Maak de horizontale as 5 cm lang en de verticale as 10 cm lang.
Op de horizontale maak je stapjes van 4.
Op de verticale as maak je stapjes van 10.
Teken de parabool die bij de vuurpijl hoort.
5
Dalparabool in een assenstelsel
We zien hier de grafiek bij de formule: y = 0,25x2 + 2.
Hoe kun je aan de formule de vorm van de grafiek aflezen?
Welk getal moet je op de plek van x invullen om de top van deze parabool uit te rekenen?
Welke waarde voor x moet je invullen om de coördinaten van punt B te berekenen?
Bereken de coördinaten van punt C.
6
Bergparabool in een assenstelsel
We zien hier de grafiek getekend bij de formule
y = -0,5x2 + 10
Welk getal moet je op de plek van x in de formule invullen om de coördinaten van de top te berekenen?
Welke x waarden hoort er bij een hoogte van 8? Noteer deze waarden in je schrift
Bereken de coördinaten van punt D. Schrijf de berekeningen in je schrift.
7
Brug
Je ziet een plaatje van de Müngstener Brücke over het riviertje de Wupper in Duitsland. De boog van deze brug heeft de vorm van een parabool. Het midden van de brug bevindt zich 100 meter boven de grond.
Bij de boog van de brug hoort de formule: H= -0,0625x2 + 100
Hierin is H de hoogte van de boog boven de grond en x de afstand vanuit het midden van de brug.
Bereken de hoogte van de boog boven de grond bij een afstand van x = 10.
Bereken H voor x = -20.
Laat met een berekening zien dat de burg in totaal 80 meter breed is. Noteer de berekeningen die je gebruikt in je schrift.
8
Tunneltje
Je ziet hier een plaatje van een tunneltje in Kerkrade. In dit tunneltje is een x-as en een y-as getekend.
De hoogte in meters (y) van het tunneltje wordt gegeven door de formule: y = - 0,32x2 + 4
de breedte in meters (x) wordt gemeten vanuit het midden van het tunneltje
Bereken de hoogte van het tunneltje één meter naar rechts van het midden.
Bereken de hoogte van het tunneltje één meter naar links van het midden.
Bereken het hoogste punt van het tunneltje (de top).
9
Kwadratische formules
Een basketballer gooit de bal precies in de basket. De baan van het middelpunt van de bal is (bij benadering) een deel van een parabool.
Je ziet in de figuur dit deel van de parabool in een assenstelsel. Zowel `x` als `h` worden in meter uitgedrukt.
Bij de parabool hoort de formule: H = -0,2(x-3)2 + 4
Op het moment dat de speler de bal loslaat, is `x = 0` .
Je kunt in de figuur de hoogte die daarbij hoort schatten.
Bereken met behulp van de formule de precieze hoogte waarop de bal wordt losgelaten. Het gaat daarbij om het middelpunt van de bal.
Bereken de coördinaten van het hoogste punt van de parabool. Als je goed naar de afbeelding kijkt zie je dat het hoogste punt van de baan van de bal zich bij x=3 bevindt.
Een tennisser is aan het trainen. Op de baseline (achterste lijn van het veld) tegenover hem schiet een tenniskanon met grote snelheid een bal op hem af, precies over de lengte van het veld. Het tennisveld is 24 m lang en het net is 1 m hoog. Door in de applet de groene punt te bewegen zie je de baan van de bal ontstaan.
Bij de baan van de bal hoort de formule:
H = -0,01(x-10)2 + 1,5
Hierin is x de horizontale afstand vanaf het tenniskanon en H de hoogte van de bal
Voor de plek waar het kanon staat vullen we het getal 0 in. Bereken de hoogte waarop de bal uit het kanon komt.
Het midden van het veld bevindt zich op 10 meter van het kanon. We vullen dus het getal 10 in de formule in. Bereken de hoogte van het bal wanneer deze over het midden van het veld vliegt.
Op 12 meter van het kanon staat het tennisnet, dit net is 1 meter hoog. Bereken hoeveel hele centimeter de bal over het net gaat. Schrijf natuurlijk je berekening op.
Bereken hoe hoog de bal is aan het eind van het veld.
Stuitert de bal voor of achter de achterlijn van het veld?
11
Dal- of bergparabool
Bekijk de vier formules hieronder. Schrijf bij iedere formule op of de grafiek een bergparabool of een dal parabool wordt. Noteer het romeinse cijfer met daarachter dalparabool of bergparabool in je schrift.
y = 3x2 - 7
y = -x2 - x + 6
y = x - 7 + 2x2
y = 13 - 2x2 + 5
12
Dal- of bergparabool
Bekijk de vier formules hieronder. Schrijf bij iedere formule op of de grafiek een bergparabool of een dal parabool wordt. Noteer het romeinse cijfer met daarachter dalparabool of bergparabool in je schrift.
y = -x + 2x2 - 7
y = - 0,5x2 + 7
y = -2x+ 2x2 + 2
y = -6 -1,2x2 + x
§5 Vergelijkingen oplossen
In paragraaf 5 herhalen we onze kennis over de balansmethode en leren we hoe je een niet lineaire vergelijking kunt oplossen.
Een vergelijking is een formule waarbij het antwoord al is ingevuld.
Voorbeeld:
31 = 11 + 2x
3a + 6 = -2a +26
\( \sqrt{2a + 6} \) = 10
-3x2 + 100 = 25
In de voorbeelden hierboven is er telkens één onbekende variabele. Het is de bedoeling dat wij achterhalen hoeveel die variabele waard is. Dus: 'welk getal moet je invullen op de plek van de letter zodat de opgave klopt'?
Dit kan op 2 verschillende manieren.
De balansmethode.
De balansmethode gebruik je wanneer je met lineaire vergelijkingen werkt.
In een lineaire vergelijking herken je meestal een begingetal en een stapgrootte.
Eerder heb je al geleerd hoe je een lineaire vergelijking oplost.
Hiernaast is de balansmethode afgebeeld als weegschaal.
Op de balans hiernaast zie je uitgebeeld:
2 + 4x = 12
Neem de vergelijking over in je schrift.
2 + 4x = 12
Haal aan beide kanten losse blokjes weg
*let op: bewaar het evenwicht. Noteer je stappen.
Als je het goed gedaan hebt, heb je links de x-jes over en recht de losse blokjes
Controleer dit met wat er in je schrift staan. Fout? doe vraag a en b opnieuw.
Bereken wat één x waard is. Noteer de stap in je schrift en schrijf je antwoord op.
2
De balans oplossen
Hiernaast zie je een balans getekend.
Noteer de vergelijking die bij de balans hoort in je schrift.
Los de vergelijking op.
Welke waarde van x heb je gevonden?
3
Zoek de fout
Hieronder zie je de uitwerking van de vergelijking 2x + 1 = 9. Ergens gaat het fout.
2x + 1
=
9
-1x
-1x
1x + 1
=
8
-1
-1
1x
=
7
Bij welke stap zit de fout?
Welke fout wordt er gemaakt?
Neem de vergelijking over en los hem netjes op (verbeter de opgaven!)
Begrijp je nog niet helemaal wat we aan het doen zijn? Bekijk dan dit filmpje nog even voordat je verder gaat met vraag vier.
4
De balansmethode
Vul in: De balans hiernaast is in evenwicht.
Neem over en vul in.
Aan de linkerkant van de balans liggen:
... losse en ... x-en
Aan de rechterkant van de balans liggen:
... losse en ... x-en
De vergelijking die bij de balans hoort is: 4 + ...x = ... + 3x
Los de vergelijking op.
4 + 5x
=
10 + 3x
...
...
5x
=
6 + 3x
...
...
...
=
6
...
...
x
=
.....
Het op deze manier oplossen van een vergelijking noem je de .........
5
De balansmethode
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
Is de vergelijking waarmee je werkt niet-lineair, dan kun je dieoplossen met de inklem-methode. De inklem-methode is als het ware slim gokken. Je vult net zo lang getallen in tot je het goede antwoord hebt gevonden. Bij inklemmen houdt je in een schema bij wat je allemaal geprobeerd hebt.
In het filmpje wordt voorgedaan hoe je met het inklemschema werkt.
Voorbeeld:
Lorain bereknt haar verdiensten met de formule: inkomsten in € = 3,50 + 4,25t t: tijd in uren
Lorain verdient € 41,75, dat vult zij bij de formule in.
Zij krijgt dan: 41,75 = 3,50 + 4,25t
Vul in de formule voor t het getal 5 in.
Zijn de verdiensten meer of minder dan 41,75?
Vul voor t het getal 10 in.
Zijn de verdiensten meer of minder dan 41,75?
Lorain twijferlt tussen het invullen van t=9 of t=11.
Welke van de twee getallen zou jij kiezen?
Maak de berekening. Klpot het?
Uitwerking:
In een inklem-schema noteer je minimaal 3 antwoorden!
- één te grote uitkomst,
- één te kleine uitkomst
- het goede antwoord.
Meer mag altijd, minder niet, dan krijg je voor je uitwerking minder of geen punten!
In opgave 1 t/m 5 heb je jouw kennis over de balansmethode weer even herhaalt. Je werkte in al die opgaven met lineaire formule. Is de vergelijking niet-lineair, dan kun je de balansmethode meestal niet gebruiken, je gebruikt dan de inklemmethode.
Bekijk de formules hieronder, vul deze formule in de goede kolom op je werkblad in.
• y = 3x + 2 • A = n2 + 1 • y = x4 - x - 4
• H = 0,5 x \( \sqrt{3t} \) • B = -2u2 - 3u + 2 • y = 6 - \( \sqrt{0,5\space x} \)
• p = - 6 + 2r • k = -0,2 x3,5 + 4 • y = x7 - 1000
• y = -0,5x2 + x - 6 • y = 0,5 x \( \sqrt{2 + x} \) • y = x + 6
Lineaire formule
Kwadratische formule
Wortelformule
Machtsformule
7
Inklemmen bij lineaire vergelijkingen
Klik op het youtube-icoon om een video-uitleg over de inklemmethode te bekijken. Los daarna de opgave hieronder op met de inklemmethode.
Los op:
3,5a + 10 = 41,5
- 6 + 1,2x = 10,8
2c + 7 = 16
8
Inklemmen
Los de volgende vergelijkingen op met inklemmen. Schrijf het inklemschema dat je gebruikt telkens netjes in je schrift.
Hiernaast zie je een kaars. Een formule die ongeveer het verband tussen de hoogte van deze kaars en de brandtijd aangeeft, is:
hoogte = 32 – 4 x \(\sqrt{brandtijd} \)
Hierin is hoogte in cm en brandtijd in uren.
Hoe heet het wiskundige model van deze kaars?
Na een aantal uur branden is de kaars nog maar 12 cm lang. Bereken bij hopeveel branduren dat is.
10
Inklemmen
Hiernaast zie je een foto van de Red-Bull Cliffdive competitie. Hierbij hoort een verband tussen de hoogte van het plateau en de tijdsduur van de sprong in seconden. Voor dit verband geldt de volgende formule
Hierin is de tijdsduur van de sprong in seconden en de hoogte waar vanaf gesprongen wordt in meters.
Joshua springt van een hoogte van 9 meter. Bereken de tijdsduur van zijn sprong, rond je antwoord af op 1 decimaal.
Om een sprong te maken die minstens 1,5 seconden duurt, moet van een bepaalde hoogte in het water gesprongen worden.
Bereken in hele meters hoe hoog het plateau dan minstens moet zijn. Schrijf je berekening op.
11
Inklemmen
Sarah is bloemiste, zij heeft een eigen bloemenzaak.
Om de opbrengst van de winkel te berekenen gebruikt ze de vergelijking:
O = -5p2 + 250p Hierin is O de opbrengst in euro en P de prijs van de bossen bloemen.
Bereken de verdienste van Sarah wanneer zij €10,- per bos bloemen vraagt. .
Bereken O voor p = €12,50
Afgelopen week heeft Sarah €2405,- euro verdiend.
Bereken de prijs die Sarah voor de bossen bloemen vroeg.
13
Inklemmen
Uit de krant:
Nederland moet het wereldrecord krattenstapelen afstaan aan Duitsland. In de Noord-Duitse plaats Satow bij Rostock bouwden vrijwilligers vandaag de grootste piramide van kratten voor bier- en andere drankflesjes.
Ze stapelden 105.995 lege kratten tot een hoogte van 13 meter. Dat gebeurde met hulp van een bouwkraan, vertelde medewerkster Vera Jahnke. Een vertegenwoordiger van Guiness Records kwam de vrijwilligers een oorkonde overhandigen.
Als een piramide geheel uit kratten bestaat, kan men het totaal aantal kratten t uitrekenen door het aantal lagen n te tellen en de volgende formule te gebruiken:
t = (2n3 + 3n2 + n) : 6
Laat met een berekening zien dat voor een piramide met 60 lagen 73 810 kratten nodig zijn.
Bereken hoeveel lagen (n) de piramide van het nieuwe record heeft. Schrijf je berekening op
14
Zelf kiezen hoe je oplost
\(\mathsf{ 10\ =\ 2\ \times\ \sqrt{x} }\) .
3x - 4 = 32 .
4098 = 2 + 8r
15
Los op
128 - 0,5 x 2a = 112 .
64 = 4 + 12x .
6 = 2x2 - 3x+ 4
§6 Gemengde opgaven
In de gemengde opgaven oefen je de verschillende onderdelen van het hoofdstuk nog eens door elkaar heen. Dit is een goede voorbereiding op de komende toets.
Merk je dat je bepaalde opgaven nog niet helemaal beheerst, lees dan eerste de uitleg in de paragraaf waar de opgave bij hoort, kijk het instructiefilmpje en probeer de opgave nog een keer.
Lukt het nog niet om de opgave zelfstandig op te lossen vraag dan hulp. Stel vragen in de lessen of vraag aan een leerling uit de klas of hij/zij je kan helpen met het zetten van de juiste stappen.
Neem de opgaven hieronder netjes over in je schrift en reken deze uit. Pas de voorrangregels toe.
Schrijf de volledige uitwerking op!
a.
4 + 2 x 3
d.
4 x (2 + 3) x - 2
b.
4 x 2 - 3 x 4
e.
\(\sqrt{81}\) + 1 x 7 - 21
c.
(2 + 3) x - 6
f.
22 + 6 x (8 : 2)
Nog meer oefenen met de volgorde van bewerkingen? Maak dan de opgaven hieronder.
Met het schuifbalkje kun je zien of je het goed hebt gedaan. Klik je op de pijltjes in de rechter bovenhoek dan krijg je nieuwe opgaven.
Zodra je te maken hebt met een regelmatige tabel (er komt telkens hetzelfde bij of er gaat telkens hetzelfde af) dan kun je hier een formule bij maken.
Vul het schema op je werkblad in. *let op, er is een tabel die niet lineair is!
- Noteer de variabele
- Noteer het begingetal.
- Bereken de stapgrootte.
- Schrijf de formule op die bij de tabel hoort
4
§2 Werken met verbanden
Gideon werkt als fietskoerier
Hoeveel geld hij verdient, kan hij berekenen met de volgende woordformule.
inkomsten in € = 5,25 + 2,75 x tijd in uren
Maak van de woordformule een formule met letters.
Heb je bij het verkorten van de formule ook het keerteken weggelaten? Heb je dat niet gedaan, schrijf de formule dan nog eens op zonder keerteken. *Tussen een cijfer en een letter laten we bij wiskunde het keerteken (x) weg!
Op maandagavond werkt Gideon 4 uur. Bereken wat hij die avond verdiend heeft. Schrijf je berekening op in je schrift.
Aan het eind van de maand heeft Gideon in totaal 25 uur gewerkt. Bereken zijn verdiensten voor die maand. Schrijf je berekening op in je schrift.
5
§2 Werken met verbanden
Gegeven is de formule: y = 3x - 2
Neem de formule over in je schrift. .
Neem de tabel hieronder over in je schrift en bereken de ontbrekende getallen.
x
0
1
2
3
y
Teken de grafiek die bij de formule past in je schrift. Vergeet de assen niet te benoemen.
6
§2 Werken met verbanden
Jasmina en Mitchell gaan een wandeltocht maken in de bergen. Voor de steilste stukken in de tocht maken ze gebruik van cabineliften.
De cabine doet er 10 minuten over om boven te komen. Voor de tocht met deze cabine is de volgende formule opgesteld
H = 1194 + 74 x t
Hierin is hde hoogte waarop de cabine zich bevindt in meters en tde tijd in minuten na het vertrek van de cabine vanuit A.
Bereken op hoeveel meter hoogte de cabine zich na 6 minuten bevindt. Schrijf je berekening op..
Bereken H voor t = 8.
Teken in je schrift een tabel bij de formule. Maak op de x-as stappen van 2 ga door tot je bij 10 minunten bent..
Teken de grafiek bij de tabel van vraag c
7
§3/§4 Kwadratische verbanden
Gegeven is de formule y = 0,5x2 + 2x - 1
bereken y voor x = 3
Bereken y voor x = -5 * Let op, vul je een negatief getal in een formule in, zet dat dan tussen haakjes!
Bereken y voor x = 7
Bereken y voor x = -9
Bereken y voor x = 0,5
Bereken y voor x = -1,2
8
§3/§4 Kwadratische verbanden
Gegeven is de formule: y = -0,5x² + 2
Neem de tabel die je hieronder ziet staat over in je schrift en vul deze verder in.
De organisatie van een jaarlijks festival gaat er vanuit dat het aantal verkochte kaartjes verband houdt met de prijs van een kaartje.
Als een kaartje te duur is, kopen minder mensen een kaartje. Als de prijs te laag is, denken sommige mensen dat het geen goed festival zal zijn en kopen ook minder mensen een kaartje.
Het aantal verkochte kaartjes wordt berekend met de formule:
aantal = –20p2 + 800p – 4000
Hierin is aantalhet aantal verkochte kaartjes en p de prijs van een kaartje in euro.
Laat met een berekening zien dat er volgens de formule 3500 kaartjes worden verkocht als de prijs van een kaartje 25 euro is.
Bereken het aantal verkochte kaartjes bij een prijs van 30 euro.Maak een passende tabel bij de formule.
Maak op de x-as stapjes van 5 euro.
Teken de grafiek die bij de tabel en de formule past.
Teken met potlood de symmetrie-as in je parabool..
Noteer de coördinaten van de top van de parabool.
10
§3/§4 Kwadratische verbanden
Hiernaast zie je een tekening van een stuk sierbestrating. De stenen die hiervoor gebruikt worden heten klinkers.
De klinkers worden in drietallen naast elkaar gelegd. Zo ontstaat telkens een vierkant.
De vierkanten worden gelegd volgens een bepaald patroon. Hieronder zie je de eerste vier figuren uit een reeks. Het rangnummer van elke figuur is aangegeven met de letter n. De figuur met rangnummer 2 bestaat dus uit 4 vierkanten.
Er bestaat een verband tussen het aantal klinkers van een figuur en zijn rangnummer n. De formule voor dit verband is:aantal klinkers = 3 × n2
Bereken het aantal klinkers van rangnummer 7
Bereken het aantal klinkers van rangnummer 12
Kim heeft 1875 klinkers gekocht. Welk figuurnummer kan er bij haar in de tuin gelegd worden? Schrijf je berekening op.
11
§5 Vergelijkingen oplossen
Hiernaast zien we de balans die hoort bij de vergelijking
4a + 11 = 6a + 3
Noteer het stappenplan dat je gebruikt bij de balansmethode.
Waarom moet je bij deze vergelijking de balansmethode toepassen?
Los de vergelijking op.
12
§5 Vergelijkingen oplossen
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
Welk getal moet je op de plek van x in de formule invullen om de coördinaten van de top te berekenen?
Bereken de coördinaten van punt B. Schrijf de berekeningen in je schrift.
Welke x waarden hoort er bij een hoogte van 3,5?
Noteer de berekening die je gebruikt in je schrift.
Bij de rode grafiek hoort de formule
y = 0,5x2 - 3x -2
Bereken de coördinaten van punt C
Welke waarde voor x hoort er bij y = 6?
Bereken het snijpunt van beide grafieken. Schrijf je berekening op.
14
§5 Vergelijkingen oplossen
Het bedrijf ‘Store for you’ verhuurt opslagruimtes tot een vloeroppervlakte van 30 m2
De kosten voor het huren van opslagruimte hangen af van het aantal m2 dat je huurt.
De kosten worden berekend met de volgende formule:
K = –0,1a2 + 8,5a + 25
Hierin zijn K de kosten in euro’s per maand en a de vloeroppervlakte in m2 .
Emre heeft een opslagruimte nodig. Hij wil graag weten wat een opslagruimte van 10m2 kost om te huren.
Bereken voor Emre wat de maandelijkse kosten zijn voor het huren van zo'n opslagruimte. .
Emre wil maximaal €140,60 per maand uitgeven aan opslag ruimte. Bereken de maximale grote van de opslagruimte die Emre kan huren.
15
§5 Vergelijkingen oplossen
Los onderstaande vergelijkingen op.
12 + 2 x 2a = 140 .
50 = -6 + 8x .
0,5x2 - 3x+ 4 = -0,5
§7 D-toets
Test: Diagnostische toets
0%
Je kunt deze d-toets gebruiken om na te gaan of je alle onderdelen van het hoofdstuk voldoende beheerst.
Zijn er paragrafen die je moeilijk vond, of wijst deze d-toets uit dat je delen nog niet beheerst, oefen de betreffende paragrafen dan nog eens.
Lees de uitleg van de paragraaf waar je veel foutjes in maakt, maak per stukje uitleg telkens 2 a 3 opgaven. Net als met sporten zul je moeten trainen, oefenen, zweten, fouten maken en het nog eens op nieuw moeten proberen. Wie weet waar hij/zij moeite mee heeft en dit veel oefent komt goed voorbereid naar de toets.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Aan het eind van het hoofdstuk, vlak voor de repetitie kun je nog eens testen of je alle onderdelen van het hoofdstuk begrepen hebt. Je maakt daarvoor de herhalingsopgaven.
Doe dit serieus, zo krijg je een goed beeld van de paragrafen die goed gaan en paragrafen waar je echt nog een keer extra mee moet gaan oefenen.
Ben je vergeten hoe bepaalde opgaven uitgewerkt moeten worden, blader dan terug in je schrift, neem de bijbehorende paragraaf voor je en bekijk de uitleg nog eens.
Als laatste redmiddel zijn er nog korte instructiefilmpje toegevoegd aan de herhaling.
Succes met de voorbereidingen op de komende toets.
Schrijf de voorrangregels op in je schrift. (de vier stappen)
2
Formule bij tabel
Uit welke twee delen bestaat een lineaire formule?
Schrijf de vaste opbouw van een lineaire formule op (formule voorschrift)
Bekijk de tabel hieronder beantwoord daarna vraag c en vraag d.
Noteer het begingetal van deze tabel
Bereken de stapgrootte bij deze tabel
Schrijf de formule op die bij de tabel hoort.
3
Grafiek bij formule
Het is al weer bijna lente, dus het weer wordt al een stuk aangenamer. Het aantal mensen dat een pretpark gaat bezoeken neemt ook weer toe.
Een bekend pretpark in nederland berekent zijn maandelijkse winst met de volgende formule:
W= -250000 + 45B
Hierin is W de winst in euro en B het aantal bezoekers van die maand.
Waarom zou de formule beginnen met een negatief getal denk je?
Bereken de winst wanneer er 10000 bezoekers zijn in een maand.
Maak een passende tabel. Maak op de x-as stappen van 5000
Teken de grafiek bij de formule.
4
Kwadratische formule, tekenen
Gegeven is de formule: y = -0,25x2 + 8
Neem de formule over in je schrift.
Maak een passende tabel bij de formule (Weet je het nog minimaal 7 stappen)
Maak op de x-as stapjes van 1 en begin bij -3.
Teken de grafiek bij de tabel.
5
Kwadratische formule, berekeningen
In het plaatje hierboven zie je hoe een kanon wordt afgeschoten. De baan van de kogel schrijgt een parabolische baan. Naast het plaatje zie je een assenstelsel met daarin de baan van het schot nog eens afgebeeld.
Bij dit kanonsschot hoort de formuley=-0,28x2 + 2,8x Hierin is y de hoogte in meters en x de afstand gemeten in meters vanaf het kanon.
Bereken de hoogte van de kanonskogel op een afstand van 4 meter van het kanon
Bereken y voor x = 8
Hoeveel meter van het kanon komt de kanonskogel op de grond terecht. Laat zien dat je antwoord klopt met een berekening.
Noteer de coördinaten van de top.
6
Werken met een kwadratische formule
Wanneer je het kanon uit vraag 5 draait komt de kanonskogel verder, of minder ver van het kanon op de grond terecht. Het kanon wordt een stukje gedraait, hierbij hoort de formule:
y = -0,35x2 + 3,5xHierin is y de hoogte in meters en x de afstand gemeten in meters vanaf het kanon.
Bereken de hoogte van de kanonskogel op een afstand van 4 meter.
Bereken de hoogte van de kanonskogel op een afstand van 6 meter.
Bereken y voor x = 3
Bereken y voor x = 7.
Probeer nu eens de coördinaten van de top te berekenen.
Teken een tabel met 7 punten begin bij 0. En vul met behulp van de formule de ontbrekende waarde in.
Teken de grafiek bij de tabel.
7
Parabolen benoemen.
Hoe kun je aan een kwadratische formule zien of hier een dalparabool uit volgt? . .
Bekijk de afbeelding met parabolen. Noteer daarna van iedere parabool de coördinaten van de top en of deze parabool een berg- of dalparabool is.
Maak er een schema van
Grafiek
Soort parabool
Coördinaten van de top
A
B
C
D
.
8
Lineaire vergelijking oplossen
Bekijk het filmpje over de balansmethode nog eens als je niet meer precies weet hoe je dit moet doen. Los daarna onderstaande vergelijkingen op.
12 = 2x + 4
28 = 8 + 5x
2A - 6 = 22
3x + 2 = 5x - 8
8a + 6 = 5a + 12
9
Lineaire vergelijking oplossen
Het maken van een pizza kost natuurlijk geld. Het maken van de bodem kost €0,75. Per ingredient komt daar nog eens €1,25 bij.
Hierbij hoort de formule: K = 0,75 +1,25GHierin is K de kosten in euro en G het aantal ingrediënten.
Je moet € 7 euro betalen voor je pizza. Bereken het aantal ingrediënten dat er op jouw pizza gebruikt is. Schrijf je berekening op.
Je kunt er ook voor kiezen om je pizza ergens anders te halen.
Hier bereken je de kosten voor een pizza met de formule : K = 0,50 + 1,30G
Je wilt berekenen bij welk aantal ingrediënten de pizzabakkers even duur zijn.
Welke vergelijking hoort hier bij? Noteer de vergelijking in je schrift.
Reken je opgeschreven vergelijking uit.
10
Kwadratische vergelijking oplossen
Los op met inklemmen: (als je niet meer weet hoe dit moet, kijk dan naar het filmpje in de uitleg)
Hiernaast zie je in hetoranjede grafiek vany = -x2 + 6
Op deze grafiek is punt A getekend, punt A ligt op een hoogte van -2.
Hierbij hoort de vergelijking -x2 + 6 = -2
Los deze vergelijking op.
Op degroene grafiek ligt punt B.
Hierbij hoort de vergelijkingx2 - 1= 10 Los deze vergelijking op.
11
Vergelijkingen oplossen
Los onderstaande vergelijkingen op, kies zelf de bijbehorende strategie.
3a + 4 = 40
2x2 - 10 = 22
5x - 10 = 3x + 22
-0,5x2 + 2 = -30
§9 Extra stof
Verbanden, Extra stof ............................................................................
Als je nog wat dieper op de stof in wilt gaan, dan kun je hier verder.
Kwadratische formules
Werken met kwadratische formules .............................................................................
Werken met kwadratische formules
In dit hoofdstuk heb je het volgende geleerd over kwadratische formules.
Je hebt ontdekt dat de tabel bij een kwadratische formule een evenwijdig figuur oplevert, de parabool. Dit kon een bergparabool zijn zoals hierboven is afgebeeld of een dalparabool.
Opgaven 1 t/m 3
Opgaven werken met kwadratisech formules .....................................................................
1
Bezorger
Maak bij onderstaande formules tabellen en vul deze in.
Y= -0,5X2 + 1
G = A2 – 4
2
Symmetrische figuur
Leg uit hoe het komt dat je bij x = – 2 en bij x = 2 dezelfde antwoorden krijgt. Illustreer dit met een voorbeeld.
(Maak een tabel en teken de grafiek of laat dit met berekeningen zien)
3
Grafieken tekenen
Teken in één assenstelsel de grafieken van y = 1x2 – 4x + 0 en y = –2x2 + 5 x + 3
* tip: maak eerst 2 tabellen gebruik hier in de getallen –2 tot en met 4
Opbouw kwadratische formule
Opbouw kwadratische formule .........................................................................
Vaste opbouw van een kwadratische formule.
we gaan de theorie over kwadratische formules een stuk uitbreiden. Je kunt namelijk aan de opbouw van de formule een aantal zaken afleiden.
Een kwadratische formule is altijd opgebouwd volgens het volgende principe.
y = ax2+ bx+ c.
Op de plek van de letters a, b en c kun je elk denkbaar getal invullen dus ook een breuk of een negatief getal.
Kijk maar:
y = ax2+ bx+ c
y = ax2+ bx+ c
y = 3x2- 2x+ 8.
y = -2x2+ 0,5x+ 2
In dit voorbeeld is:
In dit voorbeeld is:
voor a het getal 3 ingevuld 3x2
voor a het getal 3 ingevuld -2x2
voor b is het getal - 2 ingevuld - 2x
voor b is het getal - 2 ingevuld + 0,5x
voor c is het getal 8 ingevuld + 8
voor c is het getal 8 ingevuld + 2
Pas wel op, als je het getal 0 (nul) invult, dan valt het stukje weg! Het heeft dan namelijk geen waarde meer. kijk maar:
y = ax2+ bx+ c.
y = ax2+ bx+ c.
y = -2,5x2+ 2
y = 0,5x2+ 7x
In dit voorbeeld is:
In dit voorbeeld is:
voor a het getal 3 ingevuld -2,5x2
voor a het getal 3 ingevuld 0,5x2
voor b is het getal 0 ingevuld (is er niet)
voor b is het getal - 2 ingevuld + 07x
voor c is het getal 8 ingevuld + 2
voor c is het getal 8 ingevuld (is er niet)
Opgaven 4 & 5
Opgaven 4 & 5, opbouw kwadratische formule ........................................................................................
4
Formules vormen
y = ax2+ bx+ c
Schrijf steeds de bijbehorende kwadratische formule op. Vul in het bovenstaande functievoorschrift (formule) steeds op de juiste plaats de getallen in.
a = 2b = -3 en c = 2
a = –4b = 6 en c = –8
a = 3b = 0 en c = 4
a = –0,5b = 1,5 en c = 0
5
Formules vormen
Waarom mag je voor het stukje ax2nooit het getal nul invullen?
Top parabool berekenen
Top parabool berekenen ..........................................................................................
Hoe bereken je de top van een parabool?
Bekijk onderstaande video
In deze video maak je kennis met de formule
Xtop = \(-b \over 2a\) voor Ytop voer je jouw gevonden xtop in de formule in.
De top van een parabool
In kwadratische formules kun je de coördinaten van de top berekenen
Algemene vorm van een kwadratische formule: y = ax² + bx + c
Notatie coördinaten van de top: (ytop, xtop)
Van de parabool hiernaast is de top (2,5)
Dus xtop = 2 en ytop = 5
Van de grafiek van een kwadratische formule kun je de top berekenen.
Er geldt: xtop = -\(\mathsf { \small {b \over 2a} } \) ytop bereken je door xtop in te vullen in de formule.
Vindt je het nog wat onduidelijk? Hieronder staat nog een video waarin je ziet hoe je de coördinaten van de top van een parabool kunt berekenen
Opgaven 6 t/m 9
Opgaven 6 t/m 9, Top parabool berekenen .....................................................................................
6
Top van een parabool
Gegeven is de formule: x2 + 4
Neem de tabel hieronder over en vul deze verder in
x
-3
-2
-2
0
1
2
3
y
8
13
Teken de grafiek die bij de tabel hoort.
Teken in de grafiek de symmetrie as
Reken de coördinaten top van de parabool na met de formule Xtop= \({-b \over 2a}\) en Ytop.
7
Top van een parabool
Gegeven is de formule: -x2 + 4x
Neem de tabel hieronder over en vul deze verder in
x
0
1
2
3
4
5
y
0
4
Teken de grafiek die bij de tabel hoort.
Teken in de grafiek de symmetrie as
Reken de coördinaten top van de parabool na met de formule Xtop= \({-b \over 2a}\) en Ytop
8
Top van een parabool berekenen
Bereken de coördinaten van de top van de volgende parabolen
y = -2x2 + 28x + 8
.
y = 5x2 + 60x - 125
.
y = x2 - 12x + 4
.
y = 0,5x2 - 4x + 1
9
Brug bij Emmerich
De brug over de Rijn bij Emmerich is met een lengte van 1228 meter de langste hangbrug van Duitsland. De afstand tussen de twee pylonen is 500 meter.
De kabel tussen de twee pylonen vormt bij benadering een dalparabool. De hoogte van de kabel van de brug boven het water kun je berekenen met de formule:
hoogte kabel = 0,0005a2 – 0,2a + 70Hierin is a de afstand gemeten vanaf de eerste pylon
Het wegdek is 62 meter boven boven het water.
Bereken de kleinste afstand tussen de kabel en het wegdek in hele meters volgens de formules. Schrijf je berekening op.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Diagnostische toets
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
Wist jij dat wanneer je over een brug fietst deze is ontworpen met behulp van wiskunde.
Werkbladen hoofdstuk 7
Bekijk de parabolen hiernaast.
Kenneth is keeper van een voetbalelftal. Kenneth oefent veel op het nemen van een doeltrap zodat hij de bal met een vere trap naar de spits van het elftal kan schieten. Bij de baan die de bal aflegt wanneer je deze wegtrapt hoort een kwadratische formule.
oplossen met de inklem-methode. De inklem-methode is als het ware slim gokken. Je vult net zo lang getallen in tot je het goede antwoord hebt gevonden. Bij inklemmen houdt je in een schema bij wat je allemaal geprobeerd hebt.
Hiernaast zie je een foto van de Red-Bull Cliffdive competitie. Hierbij hoort een verband tussen de hoogte van het plateau en de tijdsduur van de sprong in seconden. Voor dit verband geldt de volgende formule
Sarah is bloemiste, zij heeft een eigen bloemenzaak.
In de gemengde opgaven oefen je de verschillende onderdelen van het hoofdstuk nog eens door elkaar heen. Dit is een goede voorbereiding op de komende toets.
Volgorde van bewerkingen (voorrangregels)
Bij de blauwe grafiek hoort de formule:
