Klokken luiden

Klokken luiden

Inleiding

Voorkennis

Om stof van deze leerlijn te kunnen doorlopen is enige voorkennis van groepentheorie nodig:

  • symmetrieën van (ruimtelijke) figuren kunnen beschrijven met behulp van groepentheorie
  • nagaan of een abstracte structuur een (onder)groep is
  • centrale definities van groepentheoretische concepten kunnen benoemen, zowel abstract als in voorbeelden
  • herkennen van groepseigenschappen in diverse bekende wiskundige contexten
  • eigenschappen kennen van veel voorkomende groepen zoals diëdergroepen en permutatiegroepen
  • gangbare notaties kunnen gebruiken voor groepselementen, zoals notatie met letters en cykelnotatie voor permutaties
  • in voorbeelden kunnen nagaan welke uitspraak de stelling van Lagrange over een groep doet
  • kunnen nagaan of een ondergroep een normale ondergroep is
  • een tekst over een toepassing van groepentheorie in eigen woorden kunnen samenvatten

Leerdoelen

De leerdoelen behorende bij deze online leerlijn zijn:

  • Een context (klokkenluiden) kunnen koppelen aan de groepentheorie
  • Bewijsvoeren binnen de groepentheorie vanuit een gegeven context (klokkenluiden)
  • Conclusies trekken vanuit een gegeven context (klokkenluiden) voor de groepentheorie

Wat is klokken luiden

Klokken luiden is een engelse sport. Bij deze sport worden kerkklokken geluid door een team van klokkenluiders. De klokken staan op volgorde van toonhoogte. Elke klok heeft een eigen klokkenluider, klokkenluiders mogen elkaar niet afwisselen. De volgende regels gelden voor de sport van het klokken luiden:

1. Elke klok luidt één keer in elke rij tonen.

2. Elke bel mag in twee opeenvolgende rij tonen maar één plek verschuiven.

3. Een rij tonen mag niet herhaald worden.

4. Het luiden begint en eindigt met dezelfde rij tonen.

Hiernaast is een voorbeeld van een kerkklok te zien. Plaatje van een belVoor de sport hangen ze met de klokmond omhoog, zo heeft de klokkenluider controle over het moment dat de klok luid. Als de klok luid draait hij 360 graden rond zijn as. Na een klokslag hangt de klok weer in de startpositie maar met de klepel in de tegengestelde richting. Een klokslag duurt ongeveer 2 seconden. Omdat dit even duurt kunnen de klokken niet zomaar in willekeurige volgorde geluid worden. Om ervoor te zorgen dat er nooit dezelfde melodie gespeeld wordt moet er steeds één klok het moment van luiden verwisselen met een klok na of voor de klok in de voorgaande rij tonen.

Doordat elke klok een vaste klokkenluider moet hebben is het klokken luiden een echte sport. Elke klokkenluider mag namelijk geen bladmuziek of dergelijke bij zich hebben en moet uit zijn hoofd weten wanneer hij aan de beurt is. Hoe meer klokken, hoe meer er natuurlijk onthouden moet worden en hoe langer het duurt. Het is een echte teamsport.

Hieronder is in de tabel te zien hoe elk aantal klokken een eigen naam heeft. Hoe meer klokken er zijn hoe meer melodieën er te spelen zijn en hoe langer het duurt.

 

Video

Klokken luiden

Van sport naar wiskunde

Om alle melodieën elkaar zo efficiënt mogelijk te laten afwisselen komt wiskunde in beeld. Bij deze sport werd er voor het eerst nagedacht over permutaties zonder dat het begrip permutaties nog bestond. De makkelijkste manier om alle rijen één keer te spelen is de 'Plain Bob' deze is dan ook het makkelijkst te onthouden. Hieronder zie je hoe deze reeks eruit ziet en wat er gebeurt.

De klokkenluiders hoeven bij de Plain Bob dus maar 1 basispatroon te onthouden en drie keer te spelen met steeds een bijzondere transitie tussen de basispatronen door.

Plain Bob Minimus
Plain Bob Minimus

We bekijken Plain Bob eens goed, we zien dat elke kolom is gegenereerd uit de bovenste rij tonen door een simpel breipatroon van verwisselingen. Aan het einde van elke kolom worden de laatste twee klokken verwisseld.

Dit resulteert in het volgende algoritme:

1. Elk paar verwisseld

2. Het binnenste paar verwisseld

3. Levert het verwisselen van elk paar nog een nieuwe rij op?

    3.1 Ja, ga naar 1.

    3.2 Nee, ga naar 4.

4. De eerste twee bellen blijven op hun plek, de verdere paren verwisselen.

    4.1 Zijn er nog andere rijen mogelijk?

        4.1a Ja, ga naar 1.

        4.1b Nee, klaar.  

Dit algoritme is makkelijk toe te passen bij elk even aantal klokken, probeer het eens!

Permutaties spelen een belangrijke rol in verschillende takken van de wiskunde. In het bijzonder de groepentheorie, de tak van wiskunde die zich bezig houdt met symmetrieën, zit vol met permutaties.

We bekijken de Plain Bob vanuit de groepentheorie. We beginnen hiervoor bij Diëdergroepen om vervolgens de overstap te maken naar permutatiegroepen.

Heb je het principe van klokkenluiden nog niet genoeg begrepen om deze overstap naar groepentheorie te maken, kijk dan de volgende video:

 

 

Klokkenluiden en Diëdergroepen

De symmetrieën van een vierkant corresponderen met de verwisselingen van de klokken in elke kolom van de Plain Bob Minimus. Als we naar de eerste kolom van de Plain Bob kijken zien we het volgende gebeuren als we de vier tonen als hoekpunten van een vierkant zien.

In de figuur hiernaast zie je hoe de acht symmetrieën van een vierkant corresponderen met de acht permutaties uit de eerste kolom van de Plain Bob Minimus. Het is eigenlijk een andere weergave van het breipatroon dat we net hebben gezien. De laatste transitie van de eerste kolom naar de volgende kolom is het verwisselen van de onderste twee hoekpunten. Vervolgens worden precies dezelfde spiegelingen nogmaals uitgevoerd waarna weer de onderste twee hoekpunten verwisselen en de laatste reeks van acht spiegelingen worden uitgevoerd.

 

Klokkenluiden en permutatiegroepen

Inleiding

Net als er steeds dezelfde spiegelingen worden uitgevoerd in de diëdergroep, worden ook steeds dezelfde transposities uitgevoerd als we deze situatie vertalen naar een permutatiegroep.

We gaan het algoritme van de Plain Bob minimus eens bekijken vanuit permutatiegroepen. We pakken het algoritme waarmee we de Plain Bob bij een even aantal bellen kunnen spelen er weer bij:

1. Elk paar verwisseld

2. Het binnenste paar verwisseld

3. Levert het verwisselen van elk paar nog een nieuwe rij op?

    3.1 Ja, ga naar 1.

    3.2 Nee, ga naar 4.

4. De eerste twee bellen blijven op hun plek, de verdere paren verwisselen.

    4.1 Zijn er nog andere rijen mogelijk?

        4.1a Ja, ga naar 1.

        4.1b Nee, klaar.  

Om de eerste rij van de Plain Bob te verkrijgen doorlopen we stap 1 en 2 tot we vraag 3 met nee moeten beantwoorden.

We kunnen dit als volgt vertalen in een permutatiegroep. Stel X=(12)(34), Y=(23) en Z=(34), dan zijn X, Y en Z de enige transposities die toegepast worden. De eerste rij zie je in de tabel hieronder. Bij stap 1 van het algoritme hoort de permutatie X, bij stap 2 hoort de permutatie Y. X wordt steeds afgewisseld met Y.

 

We noemen de eerste rij van de Plain Bob de jagers groep, gezien de eerste bel steeds de plek naast zich najaagd. Hij schuift steeds een stapje op.

Dit is natuurlijk nog maar stap 1 en 2 van het algoritme. Als we dan nog niet alle permutaties hebben gehad moeten we naar stap 4. Namelijk: De eerste twee bellen blijven op hun plek, de verdere paren verwisselen. Hier werden nevenklassen geboren. Om de tweede en derde kolom van de Plain Bob te verkrijgen vermenigvuldigen we elke term met Y-1Z=(234). Dit is de transpositie om het laatste paar te verwisselen, controleer maar!

Rechts vermenigvuldigen met (234) geeft ons de nevenklasse:

 

De laatste rij en daarmee de laatste nevenklasse verkrijg je door H tweemaal rechts te vermenigvuldigen met (234).

Een extent

Als de klokkenluiders alle permutaties uitspelen noemen we dit een extent. In de hedendaagse groepen theorie bedoelen we daarmee dat we alle elementen uit de groep hebben benoemd. In de Plain Bob maken de drie kolommen samen de permutatiegroep S4. De eerste kolom is de ondergroep van S4, de tweede en de derde kolom zijn de nevenklassen. Samen vormen zij heel S4. Maar hoe weten we nu dat we alle permutaties gespeeld hebben? Eigenlijk bewezen de klokkenluiders door de theorie achter het spelen van een extent al meerdere regels uit de groepentheorie.

Om de notatie wat makkelijker, overzichtelijker en minder uitgebreid te maken noemen we a=(12)(34), b=(23) en c=(34). H is dan:

H={e, a, ba, aba, baba, ababa, bababa, abababa}

Om de overgang te maken naar de volgende kolom vermenigvuldigen we aan de rechterkant met (234), in termen van onze gekozen a, b en c kunnen we deze nevenklasse schrijven met behulp van  w=abababac, waarin die vermenigvuldiging met (234) opgenomen zit. Als we deze we gebruiken kunnen we de nevenklasse ook schrijven als:

Hw={w, aw, baw, abaw, babaw, ababaw, bababaw, abababaw}

In deze nevenklasse zie je duidelijk de transitie van de eerste kolom naar de tweede kolom terug in elk element (w). Echter, het breipatroon is in de tweede kolom precies hetzelfde als in de eerste, je verwisseld steeds volgens een vast patroon termen van plek in de rij. Als we ons niet vasthouden aan het verwisselen van getallen maar aan het verwisselen van posities, zoals hierboven, zien we veel makkelijker het verband tussen deze twee verzamelingen.

De derde kolom en laatste nevenklasse passen we weer diezelfde permutatie van (234) toe. Als we de tweede nevenklasse hebben gevonden is de derde nevenklasse dan ook zo genoteerd:

Hww={ww, aww, baww, abaww, babaww, ababaww, bababaww, abababaww}

Weer zie je de overgang van de tweede kolom naar de derde kolom en het vaste breipatroon die we elke kolom zien duidelijk terug.

Verwerkingsopgaven deel 1

De Plain Bob voor 6 klokken luidt als volgt. De ondergroep van S6 is H6, de jagersgroep. De jagersgroep komt tot stand door X=(12)(34)(56) en Y=(23)(45) te kiezen. Om de nevengroepen, oftewel de andere kolommen, te genereren gebruiken we Z=(34)(56).

 

Bij 6 of meer bellen levert de Plain Bob geen extent op. Om een extent te bereiken moeten nog veel meer nevenklassen gevonden worden. Totaal moeten we namelijk op 720 rijen zitten. Aan de orde van Y-1Z bij 6 bellen kunnen we al zien dat we niet alle kolommen zullen vinden met alleen de Plain Bob. Hier zie je trouwens ook duidelijk de moeilijkheidsgraad van deze sport. Het is niet een één algoritme onthouden. Het is een reeks aan lastige algoritmes onthouden en uitspelen.

De Grandsire

We hebben inmiddels een werkend algoritme en de bijbehorende ondergroep gevonden voor een even aantal bellen. Maar wat als we een oneven aantal bellen hebben?

Bij een oneven aantal bellen kan de Grandsire gememoriseerd worden. Deze lijkt op de Plain Bob, we bekijken hem eerst voor vijf bellen.

Als we vijf bellen hebben kunnen we de ondergroep H5 genereren door X=(12)(34), Y=(23)(45) en Z=(12)(45) te nemen. In tegenstelling tot de Plain Bob passen we bij de Grandsire eerst Z toe, dit is echter irrelevant als we kijken vanuit de groepentheorie (waarom?).

Nadat Z is toegepast passen we Y afgewisseld met X toe. We eindigen met Y om vervolgens de volgende kolom te starten met Z. Je start de volgende kolom als een vermenigvulding met X een reeds gevonden permutatie aan je groep toevoegd.

Hoe meer bellen we hebben hoe moeilijker het memoriseren wordt. Er moeten dan namelijk meerdere patronen gememoriseerd worden, met één patroon valt er geen extend te spelen.

Verwerkingsopgaven deel 2

  • Het arrangement Klokken luiden is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Anne Holland
    Laatst gewijzigd
    2022-05-31 08:48:48
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Het lesdoel van deze les is
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten

    Bronnen

    Bron Type
    Klokken luiden
    https://youtu.be/khc-iA0FZEY     		Video

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van