Een extent

Als de klokkenluiders alle permutaties uitspelen noemen we dit een extent. In de hedendaagse groepen theorie bedoelen we daarmee dat we alle elementen uit de groep hebben benoemd. In de Plain Bob maken de drie kolommen samen de permutatiegroep S4. De eerste kolom is de ondergroep van S4, de tweede en de derde kolom zijn de nevenklassen. Samen vormen zij heel S4. Maar hoe weten we nu dat we alle permutaties gespeeld hebben? Eigenlijk bewezen de klokkenluiders door de theorie achter het spelen van een extent al meerdere regels uit de groepentheorie.

Om de notatie wat makkelijker, overzichtelijker en minder uitgebreid te maken noemen we a=(12)(34), b=(23) en c=(34). H is dan:

H={e, a, ba, aba, baba, ababa, bababa, abababa}

Om de overgang te maken naar de volgende kolom vermenigvuldigen we aan de rechterkant met (234), in termen van onze gekozen a, b en c kunnen we deze nevenklasse schrijven met behulp van  w=abababac, waarin die vermenigvuldiging met (234) opgenomen zit. Als we deze we gebruiken kunnen we de nevenklasse ook schrijven als:

Hw={w, aw, baw, abaw, babaw, ababaw, bababaw, abababaw}

In deze nevenklasse zie je duidelijk de transitie van de eerste kolom naar de tweede kolom terug in elk element (w). Echter, het breipatroon is in de tweede kolom precies hetzelfde als in de eerste, je verwisseld steeds volgens een vast patroon termen van plek in de rij. Als we ons niet vasthouden aan het verwisselen van getallen maar aan het verwisselen van posities, zoals hierboven, zien we veel makkelijker het verband tussen deze twee verzamelingen.

De derde kolom en laatste nevenklasse passen we weer diezelfde permutatie van (234) toe. Als we de tweede nevenklasse hebben gevonden is de derde nevenklasse dan ook zo genoteerd:

Hww={ww, aww, baww, abaww, babaww, ababaww, bababaww, abababaww}

Weer zie je de overgang van de tweede kolom naar de derde kolom en het vaste breipatroon die we elke kolom zien duidelijk terug.