Kan de leerling werken met deze digitale lessenserie.
Kan de leerling de theorie en opdrachten vinden per les.
De leerling kan in eigen woorden uitleggen wat de toegevoegde waarde is van werken in een leerteam.
Introductie
Ik heet iedereen van harte welkom bij deze digitale lessenserie over het onderwerp grafentheorie!
Deze lessenserie wordt aangeboden op een blended leren manier. Voordat we beginnen aan het onderwerp Grafentheorie gaan we samen eerst kijken naar de werkvorm blended leren. Wat is dit eigenlijk en wat heeft dit te maken met studeren?
Daarna gaan we digitale lessenserie globaal bestuderen. Hierbij kijken we naar de opbouw en waar alles staat.
De digitale lessenserie bestaat uit vijf lessen. De eerste les en de laatste les zijn face to face (F2F) bijeenkomsten. Tijdens deze bijeenkomsten wordt geen theorie herhaald maar ligt de nadruk meer bij voorbereiding. Tijdens de eerste F2F bijeenkomst gaan we bijvoorbeeld leerteams vormen. Dit gaan we niet zomaar doen zoals jullie gewend zijn. We maken hierbij gebruik van een leerstijlentest. Deze leerstijlentest geeft jou inzicht in jouw manier van leren. Het doel is om leerteams te vormen waarbij de leerlingen allemaal verschillende leerstijlen hebben. Dit zorgt enerzijds ervoor dat je jouw talenten kunt gebruiken binnen het leerteam. Anderzijds zorgt dit ervoor dat jullie van elkaars leerstijlen kunnen leren.
Les 2, 3 & 4 zijn online en niet F2F. Deze lessen bestaan uit een stuk theorie met daarbij behorende opgaven. De theorie kun je op twee manieren raadplegen. Je kunt het boek raadplegen of de video's in deze digitale lessenserie. Je mag hierbij een eigen keuze maken.
Daarnaast kun je bij de opgaven kiezen uit een ondersteunende route, stabiele route en uitdagende route. Heb jij moeite met de theorie en opgaven? Volg dan de ondersteunende route. Dit doe je door eerst de opgaven te maken met een O en daarna de opgaven met een S. Heb je juist meer behoefte aan uitdaging? Volg dan de uitdagende route. Dit doe je door eerste de opgaven met een S te maken en daarna de opgaven met een U. Heb je geen behoefte aan ondersteuning of uitdaging volg dan de stabiele route. Dit doe je door de opgaven te maken met een S. Alle opdrachten moeten gemaakt worden. Iedere week vind steekproefsgewijs een controle. De opdrachten dien je individueel in te leveren via teams voor het begin van de volgende week.
Ieder leerteam is zelfverantwoordelijk voor het eigen leerproces. Aan het begin krijgt ieder lid uit het team een rol. Dit gebeurt tijdens de eerste F2F bijeenkomst. Als leerteam maak je zelf onderling afspraken over het bestuderen, behandelen en uitwerken van de theorie. Aan het einde van les 2, 3 en 4 wordt van je verwacht dat je als leerteam een eindopdracht inlevert. Ieder leerteam levert één eindopdracht in per les. Deze tellen mee voor het eindcijfer van deze digitale lessenserie.
Wij sluiten deze lessenserie af met een interactieve F2F bijeenkomst. De laatste les staat in het kader van toetsvoorbereiding waarbij wij onder andere de formatieve toets zullen bespreken. Dit doen we met een interessante werkvorm, namelijk werken met expertgroepen.
Beoordeling
Het eindcijfer van deze lessenserie bestaat uit de volgende onderdelen:
Alle opdrachten zijn individueel gemaakt en ingeleverd via teams (voorwaarde)
Inleveropdracht 1 (20%)
Inleveropdracht 2 (10%)
Inleveropdracht 3 (10%)
Formatieve toets (10%)
Eindtoets (50%)
Leerteams
We gaan nu leerteams maken. Voordat we hiermee gaan beginnen gaan we eerst inzicht krijgen in onze eigen leerstijl.
Stap 1:
Jullie mogen allemaal de leerstijlentest maken via onderstaande link:
Zodra je klaar bent met je test, mag je even rustig wachten.
Stap 2:
Uit de test blijkt of je een doener, dromer, beslisser, denker. We willen nu leerteams vormen waarbij verschillende leerstijlen in een team zitten. Dit gaan we als volgt doen!
Alle doeners mogen linksachter in het lokaal verzamelen alle dromers rechtsachter, alle beslissers rechtsvoor en tot slot alle denkers linksvoor. Afhankelijk van het aantal leerlingen krijgt iedere leerling een nummer. De leerlingen met hetzelfde nummer zijn een leerteam.
Stap 3: (Eerste opdracht als leerteam!)
Bedenk als leerteam een vette naam...
Rolverdeling
Rolverdeling
Gedurende deze lessenserie zal iedere lid uit het leerteam een rol hebben. Je kun uit de volgende rollen kiezen:
- Voorzitter
- Tijdbewaker
- Informant
- Checker
Het is belangrijk om eerst naar de inhoud van elk rol te gaan kijken.
Opdracht 1
Als leerteam ga je op internet zoeken naar de verschillende rollen en schrijf de belangrijkste competenties per rol op.
Opdracht 2
Noteer (inidividueel) je sterkste punten en je minder sterke punten.
Opdracht 3
Bespreek de resultaten uit opdracht 2 en verdeel de verschillende rollen in jullie leerteam.
Les 2: Het koningsbergenprobleem
Leerdoelen
Je kent minimaal drie basisbegrippen en/ of definities van grafentheorie.
Je kunt de historische context van het ontstaan van grafentheorie uitleggen in eigen woorden.
Je kunt in eigen woorden vertellen waar het koningsbergen probleem uit bestond.
Je kunt een eenvoudig probleem omzetten naar een graaf en andersom.
Theorie
Uitleg grafentheorie (deel 1)
Uitleg grafentheorie (deel 2)
Opdrachten
Het is de bedoeling dat je aan het eind van deze les een oplossing kunt geven voor het koningsbergenprobleem. Lever deze opdrachten individueel in via teams aan het einde van week 2.
Opdracht 1: (O)
Hieronder zie je drie schematische tekeningen van een aantal plaatsen en de verbindingswegen tussen de plaatsen.
De knooppunten zijn de plaatsen en de verbindingslijnen zijn de wegen.
Inleveropdracht 1 (groepsopdracht)
Deze twee opdrachten zijn een onderdeel van jullie toets. De opdrachten tellen voor 20% mee. De bedoeling is dat jullie per leerteam één product moeten inleveren. Vermeld duidelijk wie en wat aan deze twee opdrachten heeft gewerkt en wat de rol van elk van jullie was.
Voor opdracht 4 en 5 kun je als extra ondersteuning de volgende video bekijken:
Euler vroeg zich af of iemand een wandeling kon maken waarbij hij één keer de zeven bruggen gebruikt. Je weet nu inmiddels wat grafen zijn en waar deze uit bestaan. Laten we proberen een oplossing te geven voor het koningsbergenprobleem.
a. Begin met het maken van een schematische weergave van het probleem. Kom je er niet uit dan mag je het internet raadplegen.
b. Bekijk de schematische weergave. Is het mogelijk om de bruggen te bewandelen waarbij je elke brug precies één keer gebruikt? Zo ja, geef de route. Zo nee leg uit waarom niet.
Inleveropdracht deel 2
Bevat de volgende graaf een eulerpad? Zo ja, geef deze. Zo nee, leg uit waarom niet.
Les 3: Grafentheorie in de praktijk
Leerdoelen
Je kunt een eenvoudig probleem omzetten naar een graaf en andersom.
Je weet wat een algoritme is en kunt in eigen woorden een definitie geven.
Je kunt een algoritme gebruiken.
Je kunt het algoritme gebruiken van Euler/Prim/Dijkstra om een probleem op te lossen.
Theorie
Voor deze les is het belangrijk om eerst de theorie van zowel les 3 als van les 4 te bestuderen. Het is ook aangeraden om de bijbehorende theorie al te hebben bestudeerd voor dat je met de opdrachten begint. Hieronder vind je een samenvatting van de theorie uit het boek.
Theorie A : Een boom en een gewogen graaf
We kunnen bij elke lijn van een graaf getallen zetten. Deze getallen kunnen bijvoorbeeld kosten of afstand betekenen. Wanneer bij elke lijn een getal hoort dan noemen we de graaf een gewogen graaf.
Een boom is een graaf die geen kringen bevat. Er is sprake van een kring in een graaf als je vanuit een knooppunt terug kunt keren in datzelfde knooppunt zonder een pad twee keer te gebruiken
Robert Prim was niet de enige die het algoritme had ontdekt. In dezelfde tijd ontdekte de Nederlander Edsger Dijkstra hetzelfde algoritme zonder ooit van Robert gehoord te hebben. Ook Nederland was zo'n rijk en modern land. Helaas was het land in 1953 met een grote storm overstroomd. Om dit soort overstromingen in de toekomst te voorkomen, bouwden we de Deltawerken: zes enorm dammen die ons tegen het zeewater verdedigen. Maar voor zulke bouwwerken zijn ingewikkelde berekeningen nodig en zoiets als een rekenmachine bestond nog niet. Edsger bouwde daarom mee aan de ARMAC, de eerste Nederlandse computer. Het ding was zo groot als een kleine huiskamer en had een geheugen van ongeveer 100 kB. Edsger wilde de bedrading van de computer zo efficiënt mogelijk maken en vond daarvoor hetzelfde algoritme van Prim uit. Het algoritme mag dan niet naar Edsger vernoemd zijn, maar Edsger gebruikte zijn ontdekking om vervolgens een tweede algoritme uit te vinden. Dit algoritme van Dijkstra vindt de kortste route tussen twee punten en wordt vandaag nog door iedere routeplanner gebruikt.
Het algoritme
Het woord algoritme komt van “dixit algorismi” wat Latijn is voor “Al-Khwarizmi heeft gezegd”. Al-Khwarizmi was een Arabische wiskundige uit de negende eeuw. Zijn uitleg over rekenen met Hindoe-Arabische cijfers werd erg populair en hieruit volgde het woord algorism. Dit betekende een stappenplan voor het doen van rekenkunde. Ons moderne woord algoritme is hiervan afgeleid en heeft een veel ruimere betekenis gekregen.
Een algoritme is een stappenplan die je volgt om een doel te bereiken. Een recept voor het bakken van een appeltaart is een algoritme maar ook een stappenplan om de richtingscoëfficiënt bij een lineaire lijn te vinden is een algoritme.
Dijkstra’s methode
Dit onderstaande stukje komt uit het originele wiskundige artikel van Edsger Dijkstra. Hij beschrijft hier het algoritme (zoals ook Prim dat gevonden heeft).
De minimaal opspannende boom bestaat uit takken AB, BC en BD en heeft een totale lengte van
AB + BC + BD = 10
Uitleg grafentheorie (deel 3)
Opdrachten
Lever deze opdrachten individueel in via teams aan het einde van week 3.
Opdracht 1 (O)
Je kunt een graaf omzetten naar een matrix
Opdracht 2 (S)
Inleveropdracht 2 (groepsopdracht)
Deze inleveropdracht is een onderdeel van jullie toets. Deze inleveropdracht telt voor 10% mee. De bedoeling is dat jullie per leerteam één product moeten inleveren.
a. Gebruik het officiële algoritme van Prim, zoals Edsger Dijkstra dit deed, om de opspannende boom van de graaf hieronder te vinden. Begin bij punt A. Bereken ook de totale lengte van de opspannende boom.
b. Beschrijf jullie de stappen en de aanpak van deze opdracht. Waar liepen jullie tegenaan?
Les 4: Matrixvoorstelling van een graaf
Leerdoelen
Je kunt het verband leggen tussen een graaf en een matrix.
Je kunt een eenvoudig probleem omzetten naar een graaf.
Je kunt een graaf omzetten naar een matrix.
Theorie
Hieronder tref je een samenvatting van de theorie uit het boek.
We kunnen een graaf ook beschrijven met een matrix. Aan iedere v\(\in\)V ken je een rij en een kolom toe en voor elk paar {v,w} \(\in\)E zet je een 1 op het kruispunten tussen de rijen en kolommen die corresponderen met de punten v,w\(\in\)V . De rest van de elementen van de matrix krijgen de waarde 0. Zie het voorbeeld hieronder
Uitleg grafentheorie (deel 4)
Opdrachten
Inleveropdracht 3 (groepsopdracht)
Deze opdracht is een onderdeel van jullie toets. Deze inleveropdracht telt voor 10% mee. De bedoeling is dat jullie per leerteam één product moeten inleveren.
a. Hieronder treffen jullie een wegenkaart van een deel van een plattelandsgemeente. De getallen stellen de afstanden in km voor.
Maak van de wegenkaart een verbindingsmatrix.
b. Maakals leerteam een poster die wij in ons wiskundelokaal kunnen ophangen. Probeer zoveel mogelijk de drie verschillende onderwerpen visueel te maken voor de andere leerteams. Wat heb jij opgestoken, wat vonden jullie interessant en willen jullie graag delen/ laten zien?
Les 5 F2F: toets voorbereiding
Leerdoelen
Leerdoelen:
Alle leerdoelen horende bij deze digitale lessenserie.
Lesplanning laatste F2F bijeenkomst
Deze laatste les is een interactieve F2F bijeenkomst. De laatste les staat in het kader van toetsvoorbereiding waarbij wij onder andere de formatieve toets zullen bespreken. Dit doen we met een interessante werkvorm, namelijk werken met expertgroepen.
STAP 1:
Maken van de formatieve toets.
STAP 2:
De docent deelt instructies uit over de expertgroepen. Ieder leerteam krijgt een onderdeel van de formatieve toets. Deze gaat het leerteam bekijken samen met de uitwerkingen. Het leerteam maakt koppelingen naar de theorie.
STAP 3:
Ieder leerteam presenteert ong. in 5 minuten de bevindingen en legt dit uit aan de andere leerteams. Ieder leerteam is immers nu expert op een onderdeel.
STAP 4:
Ieder leerteam maakt een samenvatting over het hoofdstuk. Dit mag geheel op eigen wijze. Aan het einde van de les presenteert ieder leerteam de samenvatting.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Het arrangement 5H/V Grafentheorie is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteurs
Abdelilah
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2022-03-25 08:07:32
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Toets
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
