Juliana, een Calvijnschool

2H04 Machten en wortels 2021

2H04 Machten en wortels 2021

Thema

Inleiding

2H03 Inleiding .....................................................................................................

Sissa Ben Dahir is de uitvinder van het schaakspel. De koning van India vond het een prachtig spel. Hij vroeg Sissa Ben Dahir wat hij voor de uitvinding als beloning wilde hebben.


Sissa Ben Dahir zei: 'Geef me 2 graankorrels op het eerste veld van het schaakbord, 4 graankorrels op het tweede veld, 8 op het derde veld, 16 op het vierde veld en zo verder.'


De koning lachte en antwoordde: 'Is dat echt alles wat je wilt hebben?'. Hij gaf opdracht om een zak graan te halen en Sissa Ben Dahir uit te betalen.

Aan het eind van het thema wordt verteld hoe het verhaal afloopt. Maar om de afloop goed te kunnen begrijpen, moet je kunnen rekenen met machten en dat ga je leren in dit thema.

 

Je zult merken dat er een aantal makkelijkere/herhalende opdrachten zijn en een aantal wat moeilijkere/verdiepende opdrachten zijn. Tijdens het maken van de kleine toetsjes zul je merken of je wat meer moet oefenen of dat je meer uitdaging wilt. Je mag dus zelf bepalen wat je wel en niet doet. De paragrafen moet je sowieso doen en de docent zal aangeven welke opdrachten nog meer moeten. Maar voor de rest heb je het helemaal in eigen hand. Veel succes!

Leerdoelen

2H03 Leerdoelen ..............................................................................................................

Aan het eind van dit thema:

  • kun je het kwadraat van een getal uitrekenen;
  • weet je dat bij het rekenen kwadrateren voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken gaat;
  • kun je de wortel uit een getal uitrekenen;
  • kun je vermenigvuldigen met negatieve getallen;
  • weet je wat machtsverheffen is.
  • Kun je machtsverheffen met allerlei soorten getallen.
  • ken je van de getallen 1 t/m 15, 20 en 25 de kwadraten uit het hoofd
  • Kun je de juiste regels van de rekenvolgorde toepassen

Voorkennis

Klik hier voor een korte toets over datgene wat je al moet kunnen.
Kijk of je nog begrijpt wat er vorig jaar is geoefend. In deze toets komen alle vaardigheden terug die je nodig hebt om dit hoofdstuk goed te kunnen maken.

§1 Kwadraten

Kwadraten

De zijden van dit vierkant zijn 6.
De oppervlakte van het vierkant is 6 × 6 = 36.

In plaats van 6 × 6 schrijf je ook wel 6².
Je spreekt dit uit als 'zes-tot-de-tweede' of
'zes kwadraat'.

Op de meeste rekenmachines heb je een speciale
toets () voor kwadraten:

6 36

De volgende kwadraten moet je uit je hoofd kennen:

1² = 1 ­ ­ 3² = 9 5² = 25 7² = 49 ­ ­ 9² = 81 11² = 121 13² = 169 15² = 225 25² = 625
2² = 4 4² = 16 6² = 36 8² = 64 10² = 100 12² = 144 14² = 196 20² = 400  
 

Let op: bij het rekenen gaat kwadrateren voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.

Voorbeelden:

8 + 3² =
8 + 9 = 17		 30 – 5² =
30 – 25 = 5		 3² + 4 × 2 =
9 + 8 = 17

 

Reken wel altijd eerst uit wat tussen haakjes staat:

(4 + 2)² =

    6²     = 36


Controleer de berekeningen hierboven met je rekenmachine.

 

 

Voorbeeld 1

 

Jelmer heeft een vierkante kamer.
Er passen precies 7 tapijttegels naast elkaar op de vloer.
Hij heeft dus 7 × 7 = 7² = 49 tegels in zijn kamer.
Ga na of dat klopt.


De tegels zijn ook vierkant en hebben zijden van
50 cm = 0,5 m.
De oppervlakte van één tegel is 0,5 × 0,5 = 0,25 m².
(m² spreek je uit als: vierkante meter)

De lengte van de kamer is 7 tegels, dus 7 × 0,5 m = 3,5 m.
De oppervlakte van de kamer is 3,5 × 3,5 = 3,5² = 12,25 m².

Voorbeeld 2

 

Een rechthoek bestaat uit twee delen:
een vierkant en een rechthoek.

Het vierkant is a bij a.
De rechthoek is 2 bij a.

De totale oppervlakte van de rechthoek is a² + 2 × a

Voor verschillende waarden van a kun je de oppervlakte uitrekenen.

Als a = 3 dan is de oppervlakte 3² + 2 × 3 = 9 + 6 = 15

Als a = 4,5 dan is de oppervlakte 4,5² + 2 × 4,5 = 20,25 + 9 = 29,25

Als a = 20 dan is de oppervlakte 20² + 2 × 20 = 400 + 40 = 440

 

 

  Opgaven 1 t/m 8

Opgaven kwadraten ......................................................................................................

1    Vierkant 1

 

Vul in:
Van het vierkant hiernaast is iedere zijde ....
De oppervlakte van het vierkant is .... ×.... = ....
In plaats van .... × ....  schrijf je ook wel ....2 .
Je spreekt dat uit als: ........

 

 

 

 

2    Kwadraten

 

Maak de volgende sommen.
Schrijf ook de tussenstap op.

32 =  3  ×  3  = .... 10² = .... × .... = ....
52 = .... × .... = .... 15² = .... × .... = ....
82 = .... × .... = .... 20² = .... × .... = ....

 

 

3    Rekenvolgorde

 

Bij rekenen gaat machtsverheffen voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.


Maak de volgende sommen:

3² + 7 = .... (2 × 5)² = ....
5² - 20 = .... 5² + 3²  = ....
40 - 5² = .... 2² + 4 · 3 = ....

 

 

 

 

4    Rechthoek

 

De rechthoek hiernaast bestaat uit twee delen:
een vierkant en een rechthoek.

Vul in:
De oppervlakte van het vierkant is a × a = ....
De oppervlakte van de rechthoek is 3 × a = ....
De totale oppervlakte is dus:

.... + ....
 

In de tabel zie je een aantal waarden van a.
Bereken bij iedere waarde de bijbehorende oppervlakte.

a  1 2 3 4 5
oppervlakte  .... .... .... .... 40

 

 

5    Rekenen

 

Maak de volgende sommen.

  5² = .... 21 - 4² = ....
12² = .... 5·2² = ....
8 + 4² = .... (8 - 2²) = ....

 

 

6    Formule

 

Bekijk de formule voor de oppervlakte.

oppervlakte = a² + 2·a

Neem de onderstaande tabel over en vul hem verder in:

a  1 2 3 4 5
oppervlakte  .... .... .... .... 35

 

 

7    Vierkant 2

 

Bekijk het vierkant.
Voor het vierkant geldt de formule:

oppervlakte = ( z + 3 )²
 
Neem de onderstaande tabel over en vul hem in.
z  1 2 3 4 5
oppervlakte  .... .... .... .... 64

 

 

8    Kwadraten van 1 t/m 20

 

Neem de tabel over en noteer de kwadraten van de getallen van 1 tot en met 15, 20 en 25.

n n²
1 1
2 4
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  
11  
12  
13  
14  
15  
20  
25  

 

Leer deze kwadraten uit je hoofd!

 

 

 

 

 

 

 

Uitwerkingen

Kwadraten, uitwerkingen ...........................................................................................................

1     

 

Van het vierkant hiernaast is iedere zijde 4.
De oppervlakte van het vierkant is 4 × 4 = 16.
In plaats van 4 × 4  schrijf je ook wel 42.
Je spreekt dat uit als: vier kwadraat.

 

2     

 

32 =  3  ×  3  = 9 10² = 10 × 10 = 100
52 =  5  ×  5  = 25 15² = 15 × 15 = 225
82 =  8  ×  8  = 64 20² = 20 × 20 = 400

 

3     

 

3² + 7 = 16 (2 × 5)² = 100
5² - 20 =  5 5² + 3²  = 34
40 - 5² = 15 2² + 4·3 = 16

 

4     

 

De oppervlakte van het vierkant is a × a = a2
De oppervlakte van de rechthoek is 3 × a = 3a
De totale oppervlakte is dus a² + 3a.

a  1 2 3 4 5
oppervlakte  4 10 18 28 40

 

5     

 

  5² = 25 21 - 4² = 5
12² = 144   5·2² = 20
8 + 4² = 24 ( 8 - 2² ) = 4

 

6     

 

a  1 2 3 4 5
oppervlakte  3 8 15 24 35

 

7     

 

z  1 2 3 4 5
oppervlakte  16 25 36 49 64

 

8     

 

n n²
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
11 121
12 144
13 169
14 196
15 225
16 256
17 289
18 324
19 361
20 400

 

 

Test jezelf

2H03.1 Test jezelf .....................................................................................................

Je sluit de paragraaf Kwadraten af met een toets.

Na het maken van de vragen krijg je een score en kun je de gegeven antwoorden vergelijken met de goede antwoorden.


Succes!

Test jezelf:Kwadraten

§2 Wortels

Wortels

We zeggen wel eens dat een wortel het tegenovergestelde van een kwadraat is.

 

dus: als  52 = 5 x 5 = 25 dan is
\(\color{red} {\small{ \mathsf{ \sqrt{ 25 }\ =\ 5 } } }\)

want 5 x 5 = 25

Het vierkant heeft een oppervlakte van 16.

De zijde van het vierkant is 4, want 4 x 4 = 16

Je zegt de wortel van 16 is 4.
Je schrijft √16 = 4


De volgende wortels moet je uit je hoofd kennen:

√1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6
­ √49 = 7 ­ ­ ­ ­ √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10 √121 = 11 √144 = 12
√169 = 13 √196 = 14 √225 = 15 √400 = 20 √625 = 25  

 

 

 

Wortels die niet "mooi" uitkomen

 

Dit vierkant heeft een oppervlakte van 5 cm².
De zijde van het vierkant is √5.
√5 is geen geheel getal.
Het antwoord ligt tussen 2 en 3.

 

 

 

Met je rekenmachine benader je √5 zo:

toets eerst in: *  
als antwoord krijg je dan: \(\color{red}{ \small{ \mathsf{ \sqrt{ 5 } } } }\)  

Dat lijkt niet op te schieten! Ligt aan de instellingen van je rekenmachine.

Maar je lost het als volgt op: druk 1 maal op de wisseltoets:
en je krijgt als uitkomst: 2,236067978.
Afgerond op 2 decimalen wordt dat dan: √5 ≈ 2,24

 

* De functie worteltrekken staat boven de kwadraattoets.

Hieronder zie je twee vierkanten.
De zijden van het eerste vierkant zijn 2 m.
De oppervlakte is dus:

2 × 2 = 2² = 4 m²

Het tweede vierkant is twee keer zo groot
De oppervlakte is dus 8 m².
De zijde van het tweede vierkant is dus:

\(\color{blue} {\small{ \mathsf{ \sqrt{8}\ ≈\ 2,828 m } } }\)

 

Kwadraat  Wortel

De bewerkingen 'kwadrateren' en 'worteltrekken' werken na elkaar:

  • startgetal → → ... → → uitkomst

Met welk (positief) getal je ook begint, de uitkomst is steeds hetzelfde als het begingetal.
Ga na of dat klopt.

Begin bijvoorbeeld maar met het getal 9. Wat is de uitkomst?
Begin ook eens met het getal 17. Wat is nu de uitkomst?

De bewerkingen 'kwadrateren' en 'worteltrekken' zijn elkaars tegenovergestelde.

Het kan dus ook andersom:

  • startgetal → → ... → → uitkomst

 

  Opgaven 1 t/m 10

Wortels,  Opgaven ..............................................................................................................

waar nodig: * afronden pas aan het eind!

1    Vierkant

 

Vul in:

De zijde van het vierkant is .... , want
... × .... = 16.

Je zegt de ........ van 16 is 4.

Je schrijft: .... = 4.

 

 

2    Wortels bepalen

 

Neem over en vul in:

√9 = .... , want .... × .... = 9 √100 = .... , want .... × .... = 100
√25 = .... , want .... × .... = 25 √64 = .... , want .... × .... = 64
√36 = .... , want .... × .... = 36 √1 = .... , want .... × .... = 1

 

 

3    Vijver

 

De oppervlakte van een vierkante vijver is 20 m².

Bereken de lengte van een zijde.

Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.
√20 ≈ ....

 

 

4     Weiland

 

Joachim werkt op een boerderij. De boerderij bezit veel weilanden. Op een van de weilanden wil Joachim paarden zetten. Om te voorkomen dat de paarden weglopen zet Joachim het weiland af met paaltjes en schrikdraad.

Het weiland heeft een oppervlakte
van 6,25 ha (6,25 hm2).

 

Bereken de lengte van een van de zijde van het weiland in meters, rond indien nodig je antwoord af op twee cijfers achter de komma (2 decimalen).
*Tip: reken eerst de hm2 om naar m2.

 

 

5   Wortels schatten

 

Voorbeeld:
√5 ligt tussen √4 en √9 en dus ligt √5 tussen 2 en 3.


Neem over en vul in:

√12 ligt tussen √ .... en √ .... en dus ligt √12 tussen .... en .... .

√20 ligt tussen √ .... en √ .... en dus ligt √20 tussen .... en .... .

 

 

6     Wortels uitrekenen 1

 

Maak de volgende sommen.
Rond waar nodig af op twee cijfers achter de komma.*

√36 .... .... √256 .... ....
√49 .... .... √196 .... ....
√144 .... .... √169 .... ....

 

 

7     Wortels uitrekenen 2

 

Maak de volgende sommen.

Rond waar nodig af op twee cijfers achter de komma.*

√5 .... .... √8 .... ....
√64 .... .... √40 .... ....
√60 .... .... √121 .... ....

 

 

8     Samengestelde berekeningen

 

Maak de volgende sommen.
Rond waar nodig af op twee cijfers achter de komma.*

\(\small \mathsf { { \sqrt{4^2 + 3^2} }}\) .... .... \(\small \mathsf { { \sqrt{4^2} + \sqrt{3^2} }}\) .... ....
\(\small \mathsf { { \sqrt{(4 + 3)²} }}\)  .... .... \(\small \mathsf { { \sqrt{64 \ - 4^2\ - 1²} }}\) .... ....
\(\small \mathsf { {1 + \sqrt{16} }}\).... .... \(\small \mathsf { { (\sqrt{27})^2 }}\) .... ....

 

 

9     Volgorde van berekeningen

 

82 - √400 = 6 + 5 x 2 : √4 - 32 =
(√49 - 4)2 = 32 + (6 + 3 x 5) : √36 =
14 - √81 + 22 x 3 = 7 + (11 - 4)2 - √49 =

 

 

10     Wortels en breuken

 

In een wortel kunnen ook breuken voorkomen.
Bereken de volgende wortels en geef het antwoord als een breuk. LET OP: altijd vereenvoudigen en/of helen uit halen.
\(\small \mathsf { { \sqrt{9 \over 16} }}\) .... .... \(\small \mathsf { { \sqrt{4\over 9} + \sqrt{81\over 36} }}\) .... ....
\(\small \mathsf { { \sqrt{49\over 25} }}\)  .... .... \(\small \mathsf { { \sqrt{16 \over 9} +\sqrt {169 \over 36} }}\) .... ....
\(\small \mathsf { {1 + \sqrt{144\over 121} }}\).... .... \(\small \mathsf { { \sqrt{256\over196}+ {2\over9} }}\) .... ....

 

 

Uitwerkingen

Wortels, Uitwerkingen ...................................................................................................

1     

 

De zijde van het vierkant is 4 , want  4 × 4 = 16.

Je zegt de wortel van 16  is 4.

Je schrijft: √16 = 4.

 

2     

 

√9 = 3 , want 3 × 3 = 9 √100 = 10 , want 10 × 10 = 100
√25 = 5 , want 5 × 5 = 25 √64 = 8 , want 8 × 8 = 64
√36 = 6 , want 6 × 6 = 36 √1 = 1 , want 1 × 1 = 1

 

3     

 

√20 ≈ 4,47 m

 

4      

 

6,25Hm2= 62500m2

√62500 =250 m

 

5      

 

√12 ligt tussen √9 en √16 en dus ligt √12 tussen 3 en 4.

√20 ligt tussen √16 en √25 en dus ligt √20 tussen 4 en 5.

 

6      

 

√36 = 6 √256 = 16
√49 = 7 √196 = 14
√144 = 12 √169 = 13

 

7      

 

√5 ≈ 2,24 √8 ≈ 2,83
√49 = 7 √40  ≈ 6,32
√60 ≈ 7,75 √121 = 11

 

8      

 

\(\small \mathsf { { \sqrt{4^2 + 3^2}=}}\)  \(\small{ \mathsf{ \sqrt{25}=5 } }\)   \(\small \mathsf { { \sqrt{4^2} + \sqrt{3^2} = 4 + 3 =7 }}\)
     
\(\small \mathsf { { \sqrt{(4 + 3)^2}= }}\) \(\small{ \mathsf{ \sqrt{7} \approx2,65 } }\)   \(\small{ \mathsf{ \sqrt{64 \ - 4^2\ - 1^2}= }}\)  \(\small{ \mathsf{ \sqrt{64 - 16 + 1} = \sqrt{ 49} = 7} }\)
     
\(\small \mathsf { {1 + \sqrt{16} =1+4=5}}\)   \(\small \mathsf { { (\sqrt{27})^2 =27}}\)

 

9      

 

82 - √400 = 64 - 20 = 44

 6 + 5 x 2 : √4 - 32 = 6 + 10 : 2 - 9 =
                            = 6 + 5 - 9 = 2
   
(√49 - 4)2 = (7 - 4)2 = (3)2 = 9

   

32 + (6 + 3 x 5) : √36 = 9 + (6 + 15) : 6 =
                                  = 9 + (21) : 6 =
                                  = 30 : 6 = 5
   

14 - √81 + 22 x 3 = 14 - 9 + 4 x 3 =
                           = 14 - 9 + 12 =
                           =  5 + 12 = 17

7 + (11 - 4)2 - √49 = 7 + (7)2 - 7 =
                             = 7 + 49 - 7 =
                             = 56 - 7 = 49

 

10     

 

\(\small \mathsf { { \sqrt{9 \over 16} }}\) = \(\mathsf{ \small{ {3 \over 4} } }\) \(\small \mathsf { { \sqrt{4\over 9} + \sqrt{81\over 36} }}\)= \(\mathsf{ \small{ {2 \over 3} } }\)+\(\mathsf{ \small{ {9 \over 6} } }\)= \(\mathsf{ \small{ 2{1 \over 6} } }\)
   
\(\small \mathsf { { \sqrt{49\over 25} }}\) = \(\mathsf{ \small{ {7 \over 5} } }\) = \(\mathsf{ \small{ 1{2 \over 5} } }\) \(\small \mathsf { { \sqrt{16 \over 9} +\sqrt {169 \over 36} }}\)= \(\mathsf{ \small{ {4 \over 3} } }\)+\(\mathsf{ \small{ {13 \over 6} } }\)= \(\mathsf{ \small{ 3{1 \over 2} } }\)
   
\(\small \mathsf { {1 + \sqrt{144\over 121} }}\)= 1 + \(\mathsf{ \small{ {12 \over11} } }\) =\(\mathsf{ \small{ 2{1 \over 11} } }\) \(\small \mathsf { { \sqrt{256\over196}+ {2\over9} }}\)= \(\mathsf{ \small{ {16 \over 14} } }\)+\(\mathsf{ \small{ {2 \over 9} } }\)= \(\mathsf{ \small{ {86 \over 63}=1{23\over63} } }\)
   

Test jezelf

2H03.2T Test jezelf ....................................................................................................

Toets Wortels
Je sluit de paragraaf Wortels af met een toets.

Na het maken van de vragen krijg je een score en kun je de gegeven antwoorden vergelijken met de goede antwoorden.


Succes!

Test jezelf:Wortels

§3 Machten

Machten

Derde macht

De ribben van de kubus zijn 6 lang.
De inhoud van de kubus is 6 × 6 × 6 = 216

In plaats van 6 × 6 × 6 schrijf je ook 6³.
Je spreekt dit uit als 'zes-tot-de-derde (macht)'
of de 'derdemacht van 6'.

Bij de inhoud van een figuur gebruik je ook vaak een eenheid, zoals kubieke centimeter*.
Je schrijft cm³.

 

* of een andere inhoudsmaat

 

Nog meer machten

In plaats van 7 × 7 × 7 × 7 × 7 schrijf je 75.

Je spreekt dit uit als 'zeven-tot-de-vijfde' of de 'vijfdemacht van 7'.

Op je rekenmachine heb je een speciale toets voor machten:
7 5 16807

In plaats van 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 schrijf je 210.
Je spreekt dit uit als 'twee-tot-de-tiende' of de 'tiendemacht van 2'.

2 10   1024

Ga met je rekenmachine na of de berekeningen kloppen.

 

Machten van tien

Grote getallen schrijf je vaak als machten van 10.

honderd = 100 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 10 × 10 = 10²

duizend = 1000 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 10 × 10 × 10 = 10³

miljoen = 1 000 000 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 106

miljard = 1 000 000 000 ­ ­ ­= 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 109

 

Voorbeelden

Bekijk de machten van 2 en 5.
twee

twee kwadraat:  ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 2² = ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 2 × 2 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 4
twee tot de derde macht:  ­ ­ ­ ­ ­ ­ 2³ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 2 × 2 × 2 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 8
twee tot de vierde macht:  ­ ­ ­ ­ ­ 24 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 2 × 2 × 2 × 2 ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 16 enzovoorts

vijf

vijf kwadraat:  ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 5² = ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 5 × 5 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 25
vijf tot de derde macht:  ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 5³ = ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 5 × 5 × 5 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 125
vijf tot de vierde macht:  ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 54 = ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 5 × 5 × 5 × 5 ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 625 enzovoorts

 

  Opgaven 1 t/m 8

2H03.3 Opgaven ...............................................................................................................

1   Kubus

 

Vul in:

Van deze kubus zijn alle ribben 5 lang.
De inhoud is dan

.... × .... × .... = 125
In plaats van 5 × 5 × 5  schrijf je ook:

..........
Dit spreek je uit als ........

 

 

2    Machten

 

Neem over en vul in:

4³ = 4 × 4 × 4 = .... 10³ = .... = ....
34 = .... × .... × .... × .... = .... 8² = .... = ....
25 = .... × .... × .... × .... × .... = .... 14 = .... = ....

 

 

3    Inhoud kubus

 

Bekijk de uitleg van opgave 1 nog eens.
Weet je de lengte van de zijde van een kubus dan kun je heel gemakkelijk de bijbehorende inhoud berekenen. Je doet dan het volgende:
                  inhoud= lengte van de zijde3
korter geschreven i = z3

Neem de tabel hieronder over en vul hem verder in.

Z (zijde)

1

2

3

4

5

6

I (inhoud)

 

 

 

 

 

 

 

4     Vergelijken

 

 

Vul in: <, = of > (kleiner dan, gelijk aan of groter dan)

* Let op, het tekentje zegt altijd iets over het linker getal dus: 4 < 7 (4 is kleiner dan 7)

10³ ....  310

 210 .... 1000
  24 .... 4² 1³  .... 31
  54 .... 45 43 .... 34

 

 

5     Berekenen

 

Bereken. Schrijf je berekeningen op!

10³ 64
  7³ 7² + 4³
11³ 3³ - 24

 

 

6     Samengestelde berekeningen

 

Bereken: Schrijf je berekeningen op!

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{4^3 + 3^4 } } }\) \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 6^2 + \sqrt{2^8}\ \ -3\ } } }\)
\(\small{ \mathsf{ \sqrt{4^3} + \sqrt{3^4 } } }\) \(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{2^3 + 17\ } +\ \sqrt{4 } } }\)
\(\small{ \mathsf{( \sqrt{4^3 + 3^4 })^2 } }\) \(\small{ \mathsf{ \sqrt{8^3 + 5^4 + 7^2 } } }\)
\(\small{ \mathsf{ (\sqrt{4^3})^3 + (\sqrt{3^4 })^2 } }\) \(\small{ \mathsf{ \sqrt{2^8 - 4^4 } } }\)

 

 

7     Inhoud zwembad

 

Tegenwoordig kun je door zeecontainers aan elkaar te lassen prachtige gebouwen maken. Een bedrijf heeft op deze manier een zwembad ontwikkeld. De prijs van dit zwembad wordt bepaald door de inhoud. Het grondvlak van het zwembad is altijd een vierkant, De hoogte van het zwembad is 2,10m.

Om de inhoud van het zwembad te bereken gebruikt het bedrijf de volgende formule

Inhoud = L3 - 15000
Hierbij moet de lengte (L) ingevuld worden in decimeter.

a. Neem de tabel over en vul hem in.

L (lengte in dm)

30

35

40

45

50

Inhoud

 

 

 

 

 

 

 

8     Volgorde van bewerkingen

 

Bereken. Schrijf je berekeningen op!

33 : √81  + 5 =

6 x ( 32 - 52) =

51 – 3 x 24 =

8 – 14 : (√36 + 1) + 33 =

 

Uitwerkingen

2H03.3 Uitwerkingen .........................................................................................................

 

1     

 

Van deze kubus zijn alle ribben 5 lang.

De inhoud is dan 5 × 5 × 5 = 125

In plaats van 5 × 5 × 5  schrijf je ook: 5³

Dit spreek je uit als 'vijf-tot-de-derde'

 

2     

 

4³ = 4 × 4 × 4 = ....

10³ = 10 × 10 × 10 = 1000              
34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 8² = 8 × 8  = 64
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 14 = 1 ×1 × 1 × 1 = 1

 

3    

 

Z (zijde)

1

2

3

4

5

6

I (inhoud)

1

8

27

64

125

216

 

4      

 

10³ <  310

 210 > 1000
  24 = 4² 1³  < 31
  54 < 45 43 < 34

 

5      

 

10³ = 1000                   64 = 1296
  7³ = 343 7² + 4³ = 49 + 64 = 113
11³ = 1331 3³ - 24 = 27 - 16 = 11

 

6      

 

\(\mathsf{ \small{ \sqrt{4^3 + 3^4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{64 + 81 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{145} } }\)

≈ 12,04

 

 

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 6^2 + \sqrt{2^8}\ \ -3\ } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 36 + \sqrt{256}\ \ -3\ } } }\)

= \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 36 + 16 -3\ } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{49} } }\) = 7

 

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{4^3} + \sqrt{3^4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{64} + \sqrt{81 } } }\) =

8 + 9 = 17

 

\(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{2^3 + 17\ } +\ \sqrt{4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{8 + 17\ } +\ \sqrt{4 } } }\)

= \(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{25} +\ \sqrt{4 } } }\) = 43 -25 + 2 = 20

 

\(\small{ \mathsf{( \sqrt{4^3 + 3^4 })^2 } }\) = \(\small{ \mathsf{ (\sqrt{145})^2 } }\) = 145

 

 

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{8^3 + 5^4 + 7^2 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{512 + 625 + 49 } } }\) =

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{1186} } }\) ≈ 34,44

 

\(\small{ \mathsf{ (\sqrt{4^3})^3 + (\sqrt{3^4 })^2 } }\) =

\(\small{ \mathsf{ (\sqrt{64})^3 + (\sqrt{81})^2 } }\) =

  8³ + 9² = 512 + 81 = 593

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{2^8 - 4^4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{256 - 256 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{0} } }\)= 0

 

 

 

7      

 

L (lengte)

30

35

40

45

50

Inhoud

12000

27875

49000

76125

110000

 

 

8      

 

33 : √81  + 5 = 27 : 9 + 5 = ...
                            3    + 5 = 8

6 x (32 - 52) = 6 x (32 - 25) = ...
                   = 6 x     (7)     = 42

51 – 3 x 24 = 51 - 3 x 16 = ....
                     51 -   48    =  3

8 – 14 : (√36 + 1) + 33 = 8 - 14 : (6 + 1) + 27 = ...
                                    = 8 - 14 :    (7)    + 27 = ...
                                    = 8 -      2           + 27 =  33

Test jezelf

2H03.3T Test jezelf ..............................................................................................................................................

Je sluit de paragraaf Machten af met een toets.

Na het maken van de vragen krijg je een score en kun je de gegeven antwoorden vergelijken met de goede antwoorden.


Succes!

Test jezelf:Machten

2H03.3 Uitwerkingen .........................................................................................................

 

1     

 

Van deze kubus zijn alle ribben 5 lang.

De inhoud is dan 5 × 5 × 5 = 125

In plaats van 5 × 5 × 5  schrijf je ook: 5³

Dit spreek je uit als 'vijf-tot-de-derde'

 

2     

 

4³ = 4 × 4 × 4 = ....

10³ = 10 × 10 × 10 = 1000              
34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 8² = 8 × 8  = 64
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 14 = 1 ×1 × 1 × 1 = 1

 

3    

 

Z (zijde)

1

2

3

4

5

6

I (inhoud)

1

8

27

64

125

216

 

4      

 

10³ <  310

 210 > 1000
  24 = 4² 1³  < 31
  54 < 45 43 < 34

 

5      

 

10³ = 1000                   64 = 1296
  7³ = 343 7² + 4³ = 49 + 64 = 113
11³ = 1331 3³ - 24 = 27 - 16 = 11

 

6      

 

\(\mathsf{ \small{ \sqrt{4^3 + 3^4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{64 + 81 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{145} } }\)

≈ 12,04

 

 

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 6^2 + \sqrt{2^8}\ \ -3\ } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 36 + \sqrt{256}\ \ -3\ } } }\)

= \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 36 + 16 -3\ } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{49} } }\) = 7

 

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{4^3} + \sqrt{3^4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{64} + \sqrt{81 } } }\) =

8 + 9 = 17

 

\(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{2^3 + 17\ } +\ \sqrt{4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{8 + 17\ } +\ \sqrt{4 } } }\)

= \(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{25} +\ \sqrt{4 } } }\) = 43 -25 + 2 = 20

 

\(\small{ \mathsf{( \sqrt{4^3 + 3^4 })^2 } }\) = \(\small{ \mathsf{ (\sqrt{145})^2 } }\) = 145

 

 

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{8^3 + 5^4 + 7^2 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{512 + 625 + 49 } } }\) =

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{1186} } }\) ≈ 34,44

 

\(\small{ \mathsf{ (\sqrt{4^3})^3 + (\sqrt{3^4 })^2 } }\) =

\(\small{ \mathsf{ (\sqrt{64})^3 + (\sqrt{81})^2 } }\) =

  8³ + 9² = 512 + 81 = 593

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{2^8 - 4^4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{256 - 256 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{0} } }\)= 0

 

 

 

7      

 

L (lengte)

30

35

40

45

50

Inhoud

12000

27875

49000

76125

110000

 

 

8      

 

33 : √81  + 5 = 27 : 9 + 5 = ...
                            3    + 5 = 8

6 x (32 - 52) = 6 x (32 - 25) = ...
                   = 6 x     (7)     = 42

51 – 3 x 24 = 51 - 3 x 16 = ....
                     51 -   48    =  3

8 – 14 : (√36 + 1) + 33 = 8 - 14 : (6 + 1) + 27 = ...
                                    = 8 - 14 :    (7)    + 27 = ...
                                    = 8 -      2           + 27 =  33

§4 Bijzondere machten

Bijzondere machten

Bekijk het volgende rijtje machten:    

 

Je ziet: telkens als de exponent 1 kleiner wordt, deel je de uitkomst door 3

(of: telkens als je door 3 deelt wordt de exponent 1 kleiner)

Als we, op dezelfde manier, dit rijtje verder naar beneden uitbreiden, dan krijg je:

 

Je kunt dus ook spreken van een "eerste" macht en van een "nulde" macht

Dit geldt bij machten van elk grondtal, behalve bij het grondtal 0.

 

We kunnen zo zelfs het rijtje nog verder uitbreiden met negatieve exponenten:

 

 

    Op die manier krijg je breuken.

    

     3-1  = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 3^{1}} }\) = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 3} }\)

     3-2 =  \(\mathsf{ \small{ 1 \over 3^2} }\) = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 9} }\)

     

Ook dit mag je toepassen bij alle grondtallen, behalve bij 0.

 

Voorbeelden

71 = 7

40 = 1

5-2 = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 25 } }\) ( = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 5^2 } }\) )

01 = 0

 

Maar:

0-1 bestaat niet!  (Waarom eigenlijk niet?)

 

  Opgaven 1 t/m 4

Bijzondere machten Opgaven .............................................................................................................................

1    Berekenen

 

Bereken, als dat kan, de volgens machten.
Schrijf, waar nodig, de uitkomst als een breuk!

a. 45

   e. 4-2
b. 91   f. 3-3
c. 130   g. 0-2
d. 04   h. 01

 

2    berekenen en vergelijken 1

 

Bereken:

a. 32 × 32   e. 34
b. 43 × 44   f. 47
c. 22 × 27   g. 29
d. 53 × 55   h. 58

Wat valt je op als je de antwoorden van de opgaven uit de eerste kolom vergelijkt met die uit de tweede kolom?
Kun je hier een regeltje bij bedenken?

 

3    Berekenen en vergelijken 2

 

Bereken:

a. 56 : 54   e. 52
b. 64 : 63   f. 61
c. 47 : 44   g. 43
d. 37 : 33   h. 34

Wat valt je op als je de antwoorden van de opgaven uit de eerste kolom vergelijkt met die uit de tweede kolom?
Kun je hier een regeltje bij bedenken?

 

4    Grondtal 0

 

Waarom bestaat een macht zoals 0-2 niet?

Uitwerkingen

2H04.4 Uitwerkingen .........................................................................................................................

1     

 

a. 45 = 1024

   e. 4-2 = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 4^2 } }\) = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 16 } }\)
b. 91 = 9           f. 3-3 = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 3^3 } }\) = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 27 } }\)
c. 130 = 1   g. 0-2  KAN NIET!
d. 04 = 0   h. 01 = 0

 

 

2     

 

a. 32 × 32 = 81   e. 34 = 81
b. 43 × 44  = 16.384   f. 47 = 16.384
c. 22 × 27 = 512   g. 29 = 512
d. 53 × 55 = 390.625   h. 58 = 390.625

De uitkomsten in beide kolommen zijn gelijk.

**

 

 

3     

 

a. 56 : 54 = 25   e. 52 = 25
b. 64 : 63 = 6   f. 61 = 6
c. 47 : 44 = 64   g. 43 = 64
d. 37 : 33 = 81   h. 34 = 81

De antwoorden in beide kolommen zijn gelijk
**

 

4     

 

0-2 betekent \(\mathsf{ \small{ 1 \over 0^2 } }\) = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 0} }\)  Maar dat kan niet, want je mag/kan niet delen door nul!
Daarom bestaat 0-2 niet.

§5 Negatieve getallen (Terugblik)

Som(+) en Verschil(-)

Een ander woord voor optelling (=erbij) is som. Daarom spreken wiskundigen ook vaak van opgaven of opdrachten in plaats van sommen. Som betekend dus plus, erbij.

Ook voor een vermindering (=eraf) gebruiken we een ander woord. Als we spreken over minsommen (raar woord) bedoelen we het verschil. Kijk maar het verschil tussen  9 en 4 is:

9 - 4 = 5

 

SOM

Je kunt optellen met negatieve getallen.

8 + -3   is hetzelfde als   8 – 3.

Dus:

8 + -3 =

8 –  3 = 5

 

Voorbeelden:

5 + -3 =

 4 + -7 = -2 + -4 =
5  – 3 = 2 4  – 7 = -3 -2  –  4 = -6

 

 

Voorbeeld

Irma doet mee aan een danswedstrijd.
Na haar optreden krijg zij van de jury de volgende puntenaantallen:

De totaalscore voor Irma bereken je met de volgende som:

  • 4 + -2 + 1 + -2
    4      –  2 + 1  –  2 = 1

De totaalscore voor Irma is dus 1.
Bij het maken van dit soort opgaven noteer je altijd eerst de opgave in je schrift en daarna de uitwerking (tussenstappen) er onder !

 

VERSCHIL

Je kunt ook negatieve getallen ergens van aftrekken.

8 – -3 is hetzelfde als 8 + 3.

Dus:

8 – -3 =

8 + 3 = 11.

Voorbeelden:

5 – -3 =
5 + 3 = 8		 4 – -7 =
4 + 7 = 11		 -9 – -4 =
-9 + 4 = -5

 

Voorbeeld

Irma doet mee aan een danswedstrijd.
Na haar optreden krijg zij van de jury de volgende puntenaantallen:

De totaalscore voor Irma bereken je met de volgende som:

  • 5 +  -1 + 2 +  -4 =
    5 – 1 + 2   – 4 = 2     De totaalscore voor Irma is dus 2.

Irma mag de slechtste score laten vervallen.
De laagste score is -4. De nieuwe score wordt dan:

2 – -4 =
2  +  4 = 6

Ga na of dit klopt!

 
Bij het maken van dit soort opgaven noteer je altijd eerst de opgave in je schrift en daarna de uitwerking (tussenstappen) er onder !

 

 

 

 

  Opgaven 1 t/m 4

Opgaven som en verschil ..................................................................................

Maak alle opgaven ZONDER rekenmachine!

1    Temparaturen

 

Hieronder zie je een aantal europese steden met daarachter de temperatuur in °C

Brussel 3°   Moskou -12°   Lissabon 10°
Rotterdam 4°   Madrid 11°   Helsinki -9°
Londen -1°   Ankara 16°   Parijs 5°
Oslo -8°   Praag -4°   Wenen -6°

Bereken telkens het verschil in temperatuur tussen de steden hieronder.

Schrijf telkens de berekeningen op je ruitjespapier.

(Schrijf de stad die als eerste genoemd wordt ook als eerste op dus:
Rotterdam en Brussel =  4 - 3 = 1)

  1. Rotterdam en Ankara
  2. Praag en Lissabon
  3. Parijs en Oslo
  1. Madrid en Londen
  2. Praag en Wenen
  3. Helsinki en Moskou

 

 

2    Getallenlijn

 

 

 

 

 

 

 

 

Teken zelf 6 getallenlijnen en werk daarop onderstaande opgaven uit.

  1.   -4  +   6
  2.    5   -   7
  3.   -3   -  2
  1.    -3  +   2
  2.    -2   -    6
  3.     1   +   5

 

 

3    Som en verschil

 

Denk er aan: maak het jezelf gemakkelijk en pas je regel hieronder toe.

 

 

 

 

 

 

 

 

Neem over en bereken:

Som ( +)

  1. - 13  +   3
  2.     9  + - 5
  3.    11 + - 7
  4.    - 8 + 4

 

  1.     -8 + 12
  2. -56 + - 6
  3.   78 +  - 58
  4. -121 - - 21

Verschil ( - )

  1. - 16  -   3
  2.    11 - - 5
  3.      1 - - 2
  4.   14  - 12

 

  1.    62 - - 22
  2.   34  - - 14
  3.    -9 -   18
  4.    20 -  40

 

 

4    Som en verschil, door elkaar

 

Neem over en bereken:

  1. - 17  +  - 7
  2.      9  -   5
  3.    11 + - 7
  4. - 24 - - 12
  1.   18 - - 16
  2. -51 +    6
  3.    78 -   58
  4.   -21 + - 21
  1.       17  -   17
  2.    - 22 - - 22
  3.      18 + - 18
  4.     -14  + 14
  1.    45 -  15
  2.   34  - - 16
  3.    140 + - 20
  4.   - 63 +  23

Product en quotiënt

Vermenigvuldigen (product) en delen (quotiënt) met negatieve getallen.

Natuurlijk kun je met negatieve getallen ook keer- en deelopgaven maken.
De getallenlijn kun je daarbij  niet echt meer als hulpmiddel gebruiken, dat zou erg omslachtig worden.

Gelukkig ken je de tafels van 1 t/m 10 al wel uit het hoofd!

Bij bewerkingen met product (x) en quotiënt (:) is het belangrijk dat je de regels goed toepast. Bij het optellen som (+) en het verschil (-) heb je al eens regels toegepast.

De regels bij product en quotiënt zijn als volgt:

 

Dus:

  • twee dezelfde, dan wordt het antwoord positief
  • twee verschillende, dan wordt het antwoord negatief

 

  Opgaven 5 t/m 13

 

Maak alle opgaven ZONDER rekenmachine!

Opgaven product en quotiënt ..........................................................................................

5    Invulen en uitrekenen

 

  1. Neem over en vul op de juiste plaats de woorden ‘positief’ en ‘negatief’ in.
    positief x positief = …………………………………………………….
    negatief x positief = ……………………………………………………
    positief x negatief = ……………………………………………………
    negatief x negatief = …………………………………………………...
  2. Maak de volgende voorbeelden af:
    3 x 5 =            -3 x 5 =                3 x -5 =             -3 x -5 =
  3. Maak nu ook de volgende sommen.
    7 x -3 =           -9 x -2 =              -2 x -7 =            -4 x 4 =

 

 

6    Danswedstrijd

Irma doet  mee aan een danswedstrijd.
Na haar optreden krijgt zij van de jury de puntenaantallen hieronder:

            

De jury is erg streng.
Met welke vermenigvuldiging kun je berekenen wat de score wordt?
Bereken ( zonder rekenmachine! ) de totaalscore.

 

 

7    Vermenigvuldigen

Maak de volgende vermenigvuldigingen:

-7 x -3 = 2 x -7 = 7 x -3 = -2 x   -12 =
19 x -2 = -1 x – 4 = 0 x -5 = 3 x -125 =

 

 

8    Invullen

 

Neem over in je schrift en vul de open plaatsen in.

-7 x …… = -14 -6 x …… = 30 -1 x …… = 7 -8 x …… = -24
9 x …… = 27 -11 x …… = 55 -5 x …… = 0 -3 x …… = 30

 

 

9    Bereken (zonder rekenmachine)

-16 :  4 = -6 : -2 = -8 : -2 = -96 : -6 =
9 : -3 = 36 :   9 = 56 :   7 = -18 :   0 =

 

 

10    Bereken (zonder rekenmachine)

15 : -3 = -20 : -4 = -35 : -7 =
-15 : -3 = 18 : -6 = 35 : –7 =

 

 

11    Bereken (zonder rekenmachine)

 

Schrijf, zo nodig, de tussenstappen op.

72 : -4 : -2 -36 : 3 : 4 -66 :  11 : -3
54 : -2 : 3 -96 : -16 : -2 24 :  -3  : 4

                        

 

12    Verjaardag

 

  1. Je bent jarig en besluit een feestje te geven. Er komen 9 vrienden en vriendinnen langs. Jij + 9 vriend(inn)en maakt dus 10 personen.
    Je besteld voor jullie 5 pizza's.
    Schrijf de deelsom op die bij deze opgave hoort op en reken uit.
  1. Voor je verjaardag heb je ook koekjes gebakken. Je hebt in totaal 1600 gram deeg gemaakt. Dit is genoeg voor 20 koekjes.
    Bereken wat ieder koekje weegt.
  • Weet je het nog? Zodra je het woordje bereken in de opgave ziet staan, is het de bedoeling dat je een berekening in je schrift of op je toetsblad noteert!
    Doe je dat niet, dan krijg je geen punten voor alleen de uitkomst     :(
  1. In totaal heb je 3 liter flessen cola en 2 liter pakken sap gekocht. Je hebt dus 5 liter (5000 ml) aan drinken voor je verjaardag ingeslagen. In 1 glas past 200 ml. Bereken hoeveel glazen cola je kunt uitschenken.

 

.

13    Oefenen, oefenen, ...

 

Om te werken aan je concentratie, snelheid en om vaardigheden in te slijpen (automatiseren) maken we vooral veel opgaven.
Net als met trainen, veel trainen, dan wordt je er veel beter in, krijg je meer uithoudingsvermogen en wordt je uiteindelijk een kampioen!

  1. -6 x -2 =
  2.   5 x -5 =
  3.   7 x 8 =
  4. -9 x -1 =
  5. -3 x 0 =
  1.    18 : -2 =
  2.   -49 : -7 =
  3.   -21 : 3 =
  4.    80 : 20 =
  5.   -30 : 5 =
  1.     8 x -4 =
  2.    45 : -9 =
  3.    56 : 7 =
  4. -12 x -2 =
  5.     0 : -6 =

 

§6 Negatieve getallen en machten

Machten van negatieve getallen

Ook van negatieve getallen kun je machten uitrekenen.

Belangrijk is daarbij de manier waarop je dat noteert.

 

Stel, je wilt de 4e macht van -3 uitrekenen.

Je schrijft dan:  (-3)4

(-3)4  = -3 × -3 × -3 × -3 = 81

 


Op je rekenmachine voer je in:

        

 

Haakjes

De haakjes bij machten van negatieve getallen zijn heel belangrijk!

Als je ze weglaat, en dus noteert:  -34 , dan betekent dit iets heel anders!

Omdat machtsverheffen gaat voor de bewerking - of + betekent

-34 = - ( 3 × 3 × 3 × 3 ) = -81

 

Je mag het ook zó opschrijven:

-34 = -3 × 3 × 3 × 3 = -81

 

Ook op je rekenmachine moet je de berekiningen goed invoeren!

 

Even/oneven exponenten

Bij even exponenten van negatieve getallen is de uitkomst altijd een positief getal.

bij oneven exponenten van negatieve getallen is de uitkomst altijd een negatief getal.

Voorbeelden:

(-2)2 = 4 (-2)3 = -8 -24 = -16
(-5)4 = 625 (-5)5 = -3125 -54 = -625
(-4)6 = 4096 (-4)7 = -16384 -46 = -4096
(-7)4 = 2401 (-7)3 = -343 -74 = -2401
(-6)6 = 46656 (-6)5 = -7776 -66 = -46656

 

 

 

Bekijk ook het volgende filmpje:

 

  Opgaven 1 t/m 4

Machten van negatieve getallen Opgaven .................................................

1    Alles zonder rekenmachine!

 

Neem over en vul in:rekenmachine verboden!

(-3)2 = ... × ... = ... -32 = ... × ... = ...
(-3)3 = ... × ... × ... = ... -33 = ... × ... × ... = ...

 

 

2    Alles zonder rekenmachine!

 

Bereken de volgende machten. Schrijf tussenstappen op!rekenmachine verboden!

(-2)3 = ...... = ... -23 = ...... = ...
(-4)2 = ...... = ... -42 = ...... = ...
(-5)4 = ...... = ... -54 = ...... = ...
5-2 = ...... = ... (-3)0 = ...

 

 

3    Alles zonder rekenmachine!

 

Bereken. Schrijf ook de tussenstappen op!rekenmachine verboden!

(4 + 2)2 + 32 (42 - 19)3 - 42
4 + 23 : 4 -22 × -32 : 6
\(\small{ \mathsf{ -6\ +3^2- \sqrt{5^2 - 3^2} } }\) \(\small{ \mathsf{ -\sqrt{13^2 - 12^2}-3^3 } }\)
\(\small{ \mathsf{ ( \sqrt{5^2 - 3^2})^3:8-7 } }\) \(\small{ \mathsf{ - \sqrt{11+(-3)^2+5} } }\)

 

 

4    Met de rekenmachine

 

Bereken.

(52 -32)3 : 82 - 72 92 + 8 × 9 : 18
(63 + 3) - 42 33 : 3 + 2 × (10 - 12)2
5 × -32 + (22 + 5)2 19 + (-5)3 + 132 - 73
5-2 × 103 : 8 + 92 -42 × 2-3 + 42 × -23

 

 

D-toets

2H03.D Diagnostische toets ...........................................................................................

Eindtoets Machten en wortels
Je sluit het thema Machten en wortels af met de eindtoets.

Succes!

Diagnostische toets:Machten en wortels

Samenvatting

Hier is het begin van de samenvatting die je zelf kan downloaden en aanpassen. Zo weet je wel precies wat je moet weten en kan je hem op je eigen leerstijl aanpassen. Probeer extra voorbeelden voor jezelf te bedenken die het makkelijker maken.

 

Succes!

 

 

Kahoot (Herhalend)

Test jezelf op machten en wortels

Extra opgaven (Herhalend)

Herhalingsopgaven

Machten Herhalingsopgaven ..................................................................................................................

1    Kwadraten

 

Een kwadraat van een getal krijg je door een getal te vermenigvuldigen met zichzelf.

Een kwadraat wordt ook wel een tweede macht genoemd.

Zo is vijf kwadraatdus 5 × 5; je schrijft 52

52 betekent 5 × 5.
52 = 5 × 5 = 25     

Neem over en vul in:

42 = .... × .... = ... 72 = .... × .... = ...
62 = .... × .... = ... 122 = .... × .... = ...
92 = .... × .... = ... 152 = .... × .... = ...

 

 

2    Wortels

 

Een wortel is het tegenovergestelde van een macht.

Bij een wortel zoek je naar het getal dat, in het kwadraat, precies het getal geeft dat in de wortel staat.

Zo is de wortel uit 25 dus 5, want 52 = 25.

Je schrijft:  \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{25}=5 } } }\)

Neem over en vul in:

\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{4}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{100}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{9}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{81}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{36}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{169}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{49}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{196}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \)

 

 

3    Nog meer wortels

 

Niet alle wortels geven als uitkomst een heel getal.

Met behulp van je rekenmachine kun je ook in dat geval een oplossing vinden.
Je vindt dan een uitkomst met (heel veel) decimalen. Je rondt dan af op het aantal decimalen dat bij de opgaven gevraagd wordt.

[ Moeite met afronden?? Laat dat dan over aan je rekenmachine!
  Kijk even hier om te zien hoe dat werkt ]

Neem over en vul in. Rond af op 2 decimalen.

\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{7}\approx\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{50}\approx\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{13}\approx\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{75}\approx\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{27}\approx\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{150}\approx\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{39}\approx\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{250}\approx\dots} } } \)

 

 

4    Machten

 

Bij een macht gaat het om een herhaalde vermenigvuldiging die heel kort is opgeschreven.

In een macht onderscheiden we een grondtal en een exponent.

De exponent geeft aan hoe vaak het grondtal in de vermenigvuldiging voorkomt.

53 betekent 5 × 5 × 5 en heeft als uitkomst 125

Kort opgeschreven: 53 = 5 × 5 × 5 = 125

Neem over en werk de volgende opdrachten uit:

in 64 is het grondtal ...; de exponent is ... 64 = ....... = ...
in 35 is het grondtal ...; de exponent is ... 35 = ....... = ...
in 56 is het grondtal ...; de exponent is ... 56 = ....... = ...
in 74 is het grondtal ...; de exponent is ... 74 = ....... = ...
in 18 is het grondtal ...; de exponent is ... 18 = ....... = ...
in 29 is het grondtal ...; de exponent is ... 29 = ....... = ...
in 06 is het grondtal ...; de exponent is ... 06 = ....... = ...
in 95 is het grondtal ...; de exponent is ... 95 = ....... = ...

 

 

5    Bijzondere machten

 

De exponent in een macht kan ook 0 zijn of een negatief getal.

Als de exponent 0 is geeft de macht als uitkomst altijd 1 (onthouden!)*.

Als de exponent een negatief getal is krijg je als uitkomst een breuk.
Zo is \(\small{ \mathsf{ 6^{-3} = {1 \over 6^3} = {1 \over 216} } }\)

Werk de volgende machten uit:

3-3 = ...... = .... 30 = ...... = ....
5-2 = ...... = .... 03 = ...... = ....
8-4 = ...... = .... 4-6 = ...... = ....
2-5 = ...... = .... 9-3 = ...... = ....

* maar over 00 is nog wel wat discussie mogelijk ....

 

 

6    Negatieve getallen en machten

 

Je kunt ook negatieve getallen als grondtal gebruiken in een macht. Het is dan wel belangrijk dat je het negatieve getal tussen haakjes zet! Als je de haakjes vergeet, dan gaat de macht vóór het minteken (rekenvolgorde).

Bijvoorbeeld:

de vierde macht van -3 schrijf je als (-3)4

(-3)4 = -3 × -3 × -3 × -3 = 81

Als je de haakjes vergeet wordt het:

-34 = - 3 × 3 × 3 × 3 = -81   Dit is de vierde macht van 3, met een minteken ervoor.

Werk de volgende machten uit:

(-4)2 = ....... = ... -42 = ....... = ...
(-5)3 = ....... = ... -53 = ....... = ...
(-2)6 = ....... = ... -26 = ....... = ...
(-7)3 = ....... = ... -73 = ....... = ...

 

 

7    Rekenvolgorde

 

Er zijn duidelijke afspraken over de volgorde waarin je berekeningen maakt.

Bij het rekenen moet je deze rekenvolgorde hanteren:

  • H: eerst doe je wat binnen haakjes staat;

  • MW: vervolgens machten en wortels van links naar rechts;

  • VD: daarna vermenigvuldigen en delen van links naar rechts;

  • OA: tenslotte optellen en aftrekken van links naar rechts.

Je ziet dat machten en wortels gelijkwaardig zijn, dat hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen en optellen en aftrekken. Met haakjes kun je de volgorde beïnvloeden: wat daarbinnen staat doe je eerst.

Ezelsbrug nodig? Bijvoorbeeld: "Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland" als je dit gebruikt als H-MW-VD-OA.

Een voorbeeld:

\(\small{ \mathsf{ 23-\sqrt{5^2 + 12^2} + (-4)^3=}}\)

\(\small{ \mathsf{ 23-\sqrt{25 + 144} + -64=}}\)

\(\small{ \mathsf{ 23-\sqrt{169}\ \ \ \ -\ \ \ 64=}}\)

\(\small{ \mathsf{ 23\ \ -\ \ 13 \ \ -\ \ \ 64 =\ \ -54}}\)

Werk nu de volgende opaven uit. Noteer de tussenstappen onder elkaar!

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{25} +(15-6)^2 + (-3)^4=}}\)
\(\small{ \mathsf{ 16 +\sqrt{13^2 + 5^2} - (-3)^3 =}}\)
​\(\small{ \mathsf{7^3 + (-6)^3 + \sqrt{ 17^2 -15^2} =}}\)​
​\(\small{ \mathsf{-7^2 + (\sqrt{25^2-24^2})^2=}}\)​
​\(\small{ \mathsf{\sqrt{64} - 4^2 + (11-14)^5=}}\)​

 

Machten en wortels Extra opgaven .........................................................................................

8     Kwadraten

 

Bereken.

3² = .... 11² = ....
6² = .... 20² = ....
82 = .... 14² = ....
2² = .... 13² = ....

 

 

9     Samengestelde berekeningen 1

 

Bereken.

3² + 9 = .... 6 × 5 + 3² = ....
5² - 6 = .... 6² : 3 = ....
4² + 9² = .... (3 + 4)² = ....
10² + 7² = .... (8 - 4)² = ....

 

 

 

 

 

 

 

10     Wortels

 

Bereken.

√36 = .... √25 = ....
√49 = .... √64 = ....
√81 = .... √1 = ....
√121 = .... √144 = ....

 

 

11     Samengestelde berekingnen 2

 

Bereken.

5³ + 24 = .... √121 + 7³ = ....
6² + 54 = .... 6³ - √25 = ....
9² - 34 = .... (4 + 10)² + √16 = ....
44 - 7² = .... √81 × √81 = ....

 

 

12     Vierkant

 

Bekijk het vierkant hiernaast.

  1. Met welke formule kun je de oppervlakte van het vierkant berekenen?

  2. Neem onderstaande tabel over en vul hem verder in.

a  1 2 3 4 5 6 7 8
oppervlakte  .... .... .... .... .... .... .... ....

 

 

 

13     Vergelijken

 

Bereken de uitkomsten en vul daarna in < of >.

9² .... √100 (5 + 7)² .... 5 × 7²
56 .... 8³ 12² .... √121
√49 .... 3² 64 .... (6 + 6)²
10.000 .... 210 4² .... √169

 

Rekenvolgorde

2H03.Rekenvolgorde Opgaven .............................................................................................

1     Berekenen

 

5 + 2 × 4 =

(10 − 2) × 3 =

5 × 5 + 3 =

20 − 8 × 2 =

 

 

2     Sparen

 

Evert brengt folders rond.
Hij verdient hiermee €4,- per week.
Evert krijgt €5,- zakgeld per week.
Evert spaart al het geld dat hij verdient/krijgt.
Hoeveel spaart Evert per jaar? Schrijf de berekening op.

 

 

3     Volgorde

 

Reken uit. Doe de opgaven eerst zonder rekenmachine en notee de tussenstap(-pen).
Controleer je antwoorden met je rekenmachine.

31 + 2 × 5 = … = …   6 + 4 × 8 + 2 = … = …
3 × 4 − 1 = … = …   (6 + 4) × 8 + 2 = … = …
(12 – 3) × 2 = … = …   6 + 4 × (8 + 2) = … = …
6 × (3 + 2) = … = …   (6 + 4) × ( 8 – 6) = … = …

 

 

4     Vierkant

 

Bekijk de kaart.
Aan een tafel zitten 4 mensen.
Ze bestellen allemaal een tomatensoep,
een pizza en een Coppa di Mascarpone.
Hoeveel moeten ze samen afrekenen.
Schrijf je berekening op.

 

 

 

 

 

5     Flippo's

 

Flippo’s zijn ronde schijfjes met daarop vier getallen.

 

De bedoeling is dat je met de vier getallen op de flippo de uitkomst 24 maakt.
Je mag optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen. Je moet wel alle vier de getallen gebruiken.
Werken met haakjes mag.


Hier zie je drie flippo’s.
Lukt het je om met de getallen 24 als uitkomst te maken?

Flippo 1:   …
Flippo 2:   …
Flippo 3:   …

 

Werkbladen (Verdiepend)

 

 

Als je de antwoorden van de werkbladen wilt hebben als controle, dan kan je die vragen aan je docent. Die print het dan uit voor je. 

Verdiepingsopdracht

Vooraf

2H03.T Vooraf ..............................................................................................................
Tijd
Voor de verdiepingsopdracht van het thema heb je 1 lesuur nodig. 
 

Benodigheden
(Kleur)potloden, stiften, schaar, lijm, karton, plakband.

Stap 1

2H03.T Stap 1 ...............................................................................................................
In de inleiding heb je het verhaal over de uitvinding van het schaakbord gelezen. Lees het verhaal eventueel nog een keertje. In de tabel hieronder zie hoeveel graankorrels op de de eerste zes velden komen.
Reken nu ook uit hoeveel graankorrels er op het zevende veld komen. En op het achtste veld. En op het negende en tiende veld. Reken ook eens uit hoeveel graankorrels er op het 20ste veld komen. Kun je dat getal uitspreken?

Het aantal graankorrels dat op het 64ste veld van het schaakbord komt, is een getal van 20 cijfers. Zoveel graankorrels zitten er niet in één zakje graan.

Het verhaal over de uitvinding van het schaakspel liep niet goed af voor de uitvinder van het spel. Toen de koning hoorde wat de uitvinder wilde hebben, lachte hij nog en zei hij: 'Is dat echt alles wat je wilt hebben?' Maar toen bleek dat de koning niet genoeg graan had om Sissa Ben Dahir te betalen, werd hij heel boos. Hij werd zo boos dat hij Sissa Ben Dahir in de gevangenis liet gooien om hem er nooit meer uit te laten......

 

Stap 2

2H03.T Stap 2 ...................................................................................................................
Je gaat aan de slag met het maken van de verdiepingsopdracht. Je mag samen met een klasgenoot deze opdracht bedenken. Natuurlijk moeten machten en/of wortels een rol spelen in het eindproduct.

Tip:
Zoek op internet allerlei afbeeldingen waarin machten en wortels voorkomen. Maak met deze afbeeldingen een collage met als titel 'Machten en wortels'.

Tip:
Maak een kruiswoordpuzzel. De omschrijvingen zijn sommen waarin machten en wortels voorkomen. De antwoorden moet je invullen.

Zijn jullie klaar met de opdracht? Laat deze dan beoordelen door jullie docent en wiet weet gebruiken we deze opdracht wel in de les en/of in de toets.

Gebruik rekenmachine

Wortels en kwadraten

Wortels en kwadraten ..................................................................................................................

Machten en machtswortels

Machten en machtswortels ................................................................................................

 

 

Extra materiaal

LvoorL

2H03.1 LvL ........................................................................................................

Leerlingen voor leerlingen
Op de website www.lvoorl.nl vind je verschillende video's die door leerlingen voor leerlingen zijn gemaakt.

Hieronder staat een video die goed past bij dit thema.
Bekijk de video. Kun je de video goed volgen?
Bespreek de inhoud van de video met een klasgenoot.
Kwadraat

 

Extra uitleg kwadraten

2H03.1 Extra materiaal Kwadraten .............................................................................LogoM4Ainvlak.gif

Via onderstaande link vind je nog meer uitleg over kwadraten en rekenvolgorde.

Ook nog een aantal extra oefeningen. Daarbij wel de antwoorden (uitkomsten), maar niet de tussenstappen.

 

Klik hier voor het extra materiaal

Extra uitleg wortels

2H03.2 Extra materiaal Wortels ...........................................................................LogoM4Ainvlak.gif

Via onderstaande link vind je nog meer uitleg over wortels en rekenvolgorde.

Ook nog een aantal extra oefeningen. Daarbij wel de antwoorden (uitkomsten), maar niet de tussenstappen.

 

Klik hier voor het extra materiaal.

Extra uitleg machten

2H03.3 Extra materiaal Machten ..............................................................................LogoM4Ainvlak.gif

Via onderstaande link vind je nog meer uitleg over machten.

Ook nog een aantal extra oefeningen. Daarbij wel de antwoorden (uitkomsten), maar niet de tussenstappen.

 

Klik hier voor het extra materiaal

Extra uitleg rekenvolgorde

2H03.R Rekenvolgorde Math4all ..................................................................................LogoM4Ainvlak.gif

Bij het rekenen moet je deze rekenvolgorde hanteren:

  • H: eerst doe je wat binnen haakjes staat;

  • MW: vervolgens machten en wortels van links naar rechts;

  • VD: daarna vermenigvuldigen en delen van links naar rechts;

  • OA: tenslotte optellen en aftrekken van links naar rechts.

Je ziet dat machten en wortels gelijkwaardig zijn, dat hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen en optellen en aftrekken. Met haakjes kun je de volgorde beïnvloeden: wat daarbinnen staat doe je eerst.

Ezelsbrug nodig? Bijvoorbeeld: "Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland" als je dit gebruikt als H-MW-VD-OA.

 

Bekijk ook de volgende video's over rekenvolgorde:

              

Via onderstaande link vind je nog meer uitleg over de rekenvolgorde.

Ook nog een aantal extra oefeningen. Daarbij wel de antwoorden, maar (helaas) niet de tussenstappen. Die moet jij er wel bij zetten!

 

Klik hier voor het extra materiaal

Spelletjes

Het onderstaande spelletje kan je gebruiken om te testen en te oefenen hoe de rekenvolgorde werkt.

Als je het nog moeilijk vindt en graag wat makkelijker wilt beginnen, dan kies je voor 2 stapjes.

Wil je juist wat meer uitdaging? Dan kan je direct voor 5 stapjes kiezen. Dan heb je meteen door wat je moet kunnen voor de toets later.

Zorg er uiteindelijk voor dat je precies weet wat de volgorde is. Schrijf de volgorde van bewerkingen op een blaadje tijdens het maken zodat je niks over het hoofd ziet.

Toets

Bronnen

https://www.digipuzzle.net/minigames/orderofoperations/orderofoperations_eduspel.htm

 

https://maken.wikiwijs.nl/142195#!page-5169361 van stichting VO-content