De komende tijd gaan we aan de slag met het vak wiskunde. Geen zorgen, je hoeft je hoofd niet de hele periode te breken over moeilijke formules: we gaan op speelse wijze aan de slag met wiskunde. We gaan met een aantal challenges aan de slag waarbij je praktisch aan de slag gaat met wiskunde.
Veel plezier!
Wiskundelessen
Les 1: Rekenregels
Bij het oplossen van een rekensom gelden regels in de volgorde waarop je handelingen uitvoert. Deze volgorde is:
1. Haakjes wegwerken
2. Machtsverheffen (machten en wortels oplossen v.l.n.r.)
3. Vermenigvuldigen en delen (v.l.n.r.)
4. Optellen en aftrekken (v.l.n.r.)
Letters in rekensommen vervangen getallen. Dit is handig als een getal bijvoorbeeld elke keer een andere waarde heeft. Als letters hetzelfde zijn, mag je ze optellen. Een keer-teken (×) laat je bij letters weg.
Bijvoorbeeld:
\(a + a + b = 2a + b\)
\(3a - b = a + a +a -b\)
Bij vermenigvuldigen met letters reken je eerst met de cijfers, en daarna met de letters. het maalteken (×) laat je weg. Letters schrijf je op alfabetische volgorde.
Bijvoorbeeld:
\(3a×4b=12ab\)
Als je gaat rekenen met haakjes hoed je het ×-teken niet te schrijven.
\(2(2a-4)\) is dus hetzelfde als \(2×(2a-4)\).
Haakjes werk je weg door het getal voor de haakjes te vermenigvuldigen met het getal buiten de haakjes.
Bijvoorbeeld:
\(2(2a-4)= 2×2a - 2×4 = 4a - 8\)
Les 2: Getallen en Cijfers
Getallen en cijfers zijn twee verschillende dingen, al worden ze in de volksmond vaak door elkaar gebruikt.
Je moet ook met negatieve getallen kunnen rekenen. Gelukkig hebben we rekenregels afgesproken, zodat iedereen dezelfde dingen doet met negatieve getallen.
Deze regels zijn:
negatief getal × negatief getal = positief getal
negatief getal × positief getal = negatief getal
positief getal × negatief getal = negatief getal
Bijvoorbeeld:
\(-2×-4=8\)
\(2×-4 = -8\)
\(-2+4=-8\)
Breuken zijn een getalweergave die aangeeft hoeveel delen van een geheel er zijn. Een breuk heeft een teller en een noemer.
De noemer geeft aan uit hoeveel delen een geheel bestaat. Dit is het getal aan de onderkant van de breuk.
De teller telt het aantal delen dat nu aanwezig zijn. Dit is het getal aan de bovenkant van de breuk.
Bijvoorbeeld:
\({{A} \over B}\)
A is de teller
B is de noemer
Als je breuken gaat optellen, vermenigvuldig je eerst de teller van de ene breuk met de noemer van de andere breuk. Dit doe je voor beide breuken. Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen. De getallen die hieruit komen tel je bij elkaar op, en deel je door het product (vermenigvuldiging) van de noemers. Schematisch ziet dat er zo uit: \({{A} \over B}+{{C} \over D}= {{A×D + C×B} \over B×D}\)
Met breuken delen is hetzelfde als vermenigvuldigen, alleen moet je één breuk 'omdraaien'. Schematisch zit dat er zo uit: \({{A}\over B} ÷ {{C}\over D} = {{A}\over B} × {{D}\over C}\)
Om makkelijk getallen te kunnen omrekenen (zoals de prijs van twee kilo appels als je de prijs van vijf kilo appels weet) kun je gebruik maken van een verhoudingstabel.
Bijvoorbeeld:
Aantal kg
5
1
8
Prijs in €
4,00
0,80
6,40
Je rekent met een verhoudingstabel dus eerst terug naar de prijs van één eenheid, en daarna door naar de prijs van de eenheid die je wil weten.
Verhoudingstabellen kun je ook goed gebruiken bij schaalrekenen. Tekeningen en modellen zijn vaak op schaal. Dit betekent dat de lengtes op de tekening of model in verhouding even groot zijn als in het echt. De schaal wordt aangegeven als 1 : x . Op de plaats van x komt te staan hoeveel één centimeter op de tekening in het echt is.
Bijvoorbeeld:
1 : 80
Dit betekent dat één centimeter op de tekening gelijk staat aan 80cm in het echt.
Je kunt een verhoudingstabel gebruiken om de schaal uit te rekenen. Dit ziet er zo uit:
cm Model
2,50
1
cm Werkelijk
200
80
Schematisch is dit:
cm Model
A
1
cm Werkelijk
B
C
In vak 'A' vul je het aantal cm in dat je hebt gemeten.
In vak 'B' vul je het aantal cm in dat 'A' in het echt is.
Vak 'C' reken je uit door 'B' door 'A' te delen.
Procenten zijn, net als breuken, een manier om een deel van een geheel te weergeven. Een percentage reken je uit door: \({{deel}\over geheel}×100\). Je kunt dit doen met verhoudingstabellen, kruisproducten of met een rekensom.
Bijvoorbeeld:
Verhoudingstabel
Getal
50
x
Percentage
100
20
Je rekent in dit geval x uit door te kijken wat de verhouding is tussen 100 en 20. Om van 100 naar 20 te komen moet je delen door 5. Dit doe je ook met 50. 50 ÷ 5 = 10
20% van 50 is dus 10.
Je kunt jezelf controleren met \({{deel}\over geheel} × 100\): \({{10}\over 50}×100=20\)
Kruisproducten
Getal
A
C
Percentage
B
D
Door te rekenen met kruisproducten kun je snel missende vlakken in en tabel uitrekenen. Het is namelijk zo dat \(A × D = B × C\). Om C uit te rekenen gebruik je dan \({{B×D}\over A} = C\).
Rekensom
Ook met een rekensom kun je snel uitrekenen hoeveel een bepaald percentage van een getal is. Percentages staan namelijk gelijk aan decimale getallen: 1,0 is 100% en 0,01 is 1%. Dit decimale getal vermenigvuldig je met het hele getal.
Om uit te rekenen wat 21% van 83 is kun je dus gebruik maken van de som: \(0,21 × 83 = 17,43\)
Les 4: Rekenen met bewerkingen
Je kunt met getallen ook bewerkingen uitvoeren zoals machtsverheffen, worteltrekken, en logaritmes. Een macht omschrijft hoe veel keer een bepaald getal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Je kunt een macht dus zo lezen:
\(2^2 = 2×2\)
\(2^3 = 2×2×2\)
\(2 ^4= 2×2×2×2\)
Dit betekent dat je machten vaak uit je hoofd kunt uitrekenen. Als dit niet kan, kun je je rekenmachine gebruiken. \(2^2\) typ je op je rekenmachine als \(2 '^'2\).
verder kennen we een aantal regels bij machten. Het 'grote' getal noem je het grondgetal (G), en het 'kleine' getal noem je de exponent (E).
Verder geldt dat:
\(G^0 = 1\)
\(G^1=G\)
\(G^p × G^q = G^{p+q}\)
\(G^p ÷ G^q = G^{p-q}\)
\(G^{-p}={{1}\over G^p}\)
\(G^{{1}\over n} = \sqrt [n] G\)
\(G^{{1}\over 2} = \sqrt [2] G\)
\(G^{{p}\over q} \sqrt [2] {G^p}\)
Het 'tegenovergestelde' van een macht is een wortel. Met een wortel kun je uitrekenen wat het grondgetal was, als je de macht weet.
Voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen gelden ook bij wortels bepaalde regels. Deze regels zijn als volgt:
\(\sqrt [p] A × \sqrt [q] B = (p×q)×\sqrt {(A×B)}\)
\(\sqrt [p] A × \sqrt [q] B = {{p}\over q} × \sqrt {{A}\over B}\)
Optellen en aftrekken kan alleen als de getallen onder de wortel gelijk zijn.
\(\sqrt [p] A + \sqrt [q] A = \sqrt [p+q] A\)
\(\sqrt [p] A - \sqrt [q] A = \sqrt [p-q] A\)
Als je het grondgetal en de uitkomst weet, kun je met een logaritme uitrekenen wat de exponent was. Dit werkt zo:
Als \( G^E = A \) dan \(E = \log _{G} A\)
pH (zuurtegraad) is een voorbeeld van een logaritme. De pH bereken je door \(- \log _{10} [H^{+}]\).
[H+] betekent 'concentratie waterstof-ionen'.
Bijvoorbeeld:
\([H^+] = 1,0 ×10^{-3} mol× L^{-1}\)
\(pH = - \log _{10} 0,001 = 3,0\)
Als je de pH al weet, kun je dus ook de concentratie uitrekenen.
Om kleine of grote getallen makkelijk te kunnen opschrijven is de zogeheten 'wetenschappelijke notatie' in het leven geroepen. Een notatie die, zoals de naam zegt, vooral in de wetenschap wordt gebruikt. De wetenschappelijke notatie werkt als volgt:
\(3.000.000 = 3×10^6\)
Je ziet dat de enorme hoeveelheid nullen wordt vervangen door een vermenigvuldiging met een grondgetal met exponent. In het geval hierboven door 106.
106 = 1.000.000,
3 × 1.000.000 = 3.000.000
\(0,00006 = 6 × 10^{-5}\)
De nullen achter een komma kunnen ook worden weggewerkt met de wetenschappelijke notatie. De exponent wordt dan een negatief getal. In het geval hierboven 10-5.
10-5 = 0.00001
6 × 0.00001 = 0.00006
\(2.500.000.000 = 2,5 ×10^{9}\)
Bij de wetenschappelijke notatie komen nooit 10-tallen voor. Je hebt dus altijd maar één cijfer voor de komma staan.
Zoals je in de vlakken hierboven misschien al is opgevallen is het aantal plaatsen dat de komma opschuift gelijk aan de exponent.
Bij decimale getallen geldt een significantie. Significant is eigenlijk 'betekenisvol'. Alleen kommagetallen die iets betekenen worden weergeven. Dit vind zijn oorsprong in meetinstrumenten. Als je met het ene meetinstrument 3 cijfers achter de komma kunt meten, maar met een andere maar 1 cijfer achter de komma, betekenen die twee cijfers die het eerste getal extra heeft voor de uitkomst niks.
Je neemt bij significante getallen altijd het aantal cijfers achter de komma van het getal met de minste cijfers achter de komma.
Bijvoorbeeld:
\(0,23 + 25,002 × 12,121212 =\)
Het getal met de minste cijfers achter de komma is 0,23. Deze heeft twee cijfers achter de komma. Dit betekent dat de uitkomst van de som nooit meer dan twee cijfers achter de komma mag hebben.
Het antwoord is dus niet 303,284542424 maar 303,28.
Exponenten van wortels, machten en logaritmen tellen niet mee in de significantie.
Les 5: Grafen en Matrices
Grafen
Een zogeheten 'graaf' is een schematische weergave van knopen en wegen. Een simpele variant is hieronder getekend.
Een rode stip op de graaf betekent dat er een verbinding is tussen twee wegen. Een kruising van wegen zonder stip heeft dus geen verbinding.
De knooppunten van een graaf kunnen we weergeven in een verbindingstabel. In het verbindingstabel geef je alle knooppunten aan. Vervolgens geef je met een 1 of 0 aan of er verbinding is tussen de knooppunten. 1 betekent dat er een verbinding is, 0 betekent dat er geen verbining is. In het voorbeeld hieronder is de tabel ingevuld voor de graaf uit de vorige opdracht.
Bijvoorbeeld:
Naar \ Van
A
B
C
D
E
A
X
1
0
0
0
B
1
X
1
1
0
C
0
1
X
1
1
D
0
1
1
X
1
E
0
1
1
1
X
Een graaf waarbij je van punt x naar punt y kunt én ook van punt y naar punt x is een symmetrische graaf.
Een graaf waarbij je van punt x naar punt y kunt, maar niet van punt y naar punt x is een gerichte graaf.
De richting in een gerichte graaf wordt aangegeven met een pijl.
Bijvoorbeeld:
In de algebra kennen we ook matrices. Een matrix is een manier om getallen die een verband hebben ook samen weer te geven. Zo'n matrix is een soort tabel zonder lijnen, waarin cijfers boven en naast elkaar zijn weergegeven. Hoeveel getallen worden weergegeven bepaalt ook de vorm van een matrix. Hieronder zie je een voorbeeld van een matrix.
Als er een m aantal rijen en een n aantal kolommen is, spreekt men van een m × n-matrix. Je geeft bij het beschrijven van een matrix dus eerst het aantal rijen aan, gevolgd door het aantal kolommen. De matrix hierboven is dus een 2 × 3-matrix.
De getallen in een matrix noem je de elementen van de matrix. 2×3-matrix A (hierboven) heeft 2×3 elementen. Dat zijn dus ook 6 elementen. Het element op het kruispunt van de r-de rij en de k-de kolom wordt genoteerd als het rk-element. Omdat de matrix in ons voorbeeld 'A' heet, kunnen we elementen uit die matrix aangeven met Ark. Zo is in ons voorbeeld A12 = -1 en A23 = 5
Matrices die dezefde vorm hebben kun je met elkaar optellen. Schematisch gaat dit zo:
\(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + a \\ y + b \end{bmatrix}\)
Matrices vermenigvuldigen heeft iets weg van het optellen van matrices maar is net iets lastiger. Je vermenigvuldigt de rijen van de eerste matrix met de kolommen van de tweede matrix. Schematsich gaat dit dus zo:
\(\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a×x + c×y \\ b×x + d×y \end{bmatrix}\)
Als we dit in een voorbeeld met cijfers laten zien wordt het misschien duidelijker:
Dus: \( C = \begin{bmatrix} 31 \\ 13 \end{bmatrix}\)
Les 6: Goniometrie
We kennen in de wiskunde een groot aantal vormen. Deze vormen hebben ieder een omtrek en oppervlakte. Deze moet je kunnen berekenen.
Vierhoeken
Een rechthoek is een vorm met 4 rechte hoeken. Als alle zijden van een rechthoek dezelfde lengte hebben, spreken we van een vierkant.
De omtrek van een rechthoek zonder gelijke zijden (\(a \neq b\)) reken je uit door: \(2a + 2b\)
De oppervlakte van een rechthoek zonder gelijke zijden (\(a \neq b\)) reken je uit door: \(a ×b\)
De omtrek van een rechthoek met gelijke zijden (\(a = b\)) reken je uit door: \(4a\)
De oppervlakte van een rechthoek met gelijke zijden (\(a = b\)) reken je uit door: \(a×a\) ofwel \(a^2\)
Een vlieger is een vierhoek waarvan één diagonaal de symmetrieas is. Twee aan twee zitten zijden van gelijke lengte. Tevens zijn twee hoeken van gelijke grootte. De diagonalen (lijnen die van hoek tot hoek lopen) van een vlieger staan loodrecht op elkaar.
De omtrek van een vlieger reken je uit door: \(2z + 2y\)
De oppervlakte van een vlieger reken je uit door:\(diagonaal_{QS} × diagonaal _{TR}\)
Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden. Er zijn echter geen rechte hoeken.
De omtrek van een ruit reken je uit door:\(4a\)
De oppervlakte van een ruit reken je uit door:\({{a×b}\over 2}\).
Een paralellogram lijkt veel op een ruit. Echter kruisen bij een paralellogram de diagonalen elkaar niet haaks. (De kruising van de diagonalen in een paralellogram heeft geen rechte hoeken, een ruit wel.)
Bij een paralellogram zijn de twee zijden die tegenover elkaar liggen van gelijke lengte, en evenwijdig. De hoeken die tegenover elkaar liggen zijn ook van dezelfde grootte.
Omtrek reken je uit door:\(2Q×2R\)
Oppervlakte reken je uit door:\(basis×hoogte\). Om de oppervlakte te bepalen moet je lengte van de basis weten (rode lijn). Vervolgens trek je een loodrechte lijn op de blauwe lijn op dezelfde afstand vanaf een hoek als dat de basis lang was.
Bijvoorbeeld:
Bij deze paralellogram is de basis 8cm. Als we op de langere lijn een loodrechte lijn trekken na 8cm naar de overkant, zien we dat deze lijn 6cm lang is.
Oppervlakte is dus:\(b×h=8×6=48\)
Een trapezium is een vierhoek waarbij slechts twee zijden evenwijdig zijn. Deze twee zijden hoeven niet van gelijke lengte te zijn.
Bij een Trapezium reken je de oppervlakte uit met: \({{(\text{lengte lange basis [C] + lengte korte basis [A]})× \text{hoogte [q]}} \over 2}\)
Bijvoorbeeld:
Bij deze trapezium is de lange basis 12, en de korte basis 8. De hoogte is 12. De oppervlakte wordt daarmee:
\(\text{Oppervlakte} = {{(15+8)×12}\over 2}=138\)
Driehoeken
Een vorm met drie hoeken wordt ook wel een driehoek genoemd. We kennen een aantal varianten driehoeken. Deze lopen we een voor een langs.
Rechthoekige Driehoek
Een rechthoekige driehoek heeft, jawel, een rechte hoek. Met 'rechte' hoek wordt een hoek van precies 90° bedoeld. Doordat de driehoek deze rechte hoek heeft, kan de stelling van Pythagoras worden gebruikt om de lengte van een onbekende zijde te bepalen, mits de lengtes van de twee andere zijden wel bekend is. Schematisch ziet deze formule er zo uit: \(A^2 + B^2 = C^2\). Let hier wel op dat de uitkomst een kwadraat is.
Per zijde die je wil uitrekenen verandert de formule. Omdat er drie zijden zijn, kennen we ook drie formules. Deze zijn hieronder verder uitgezet.
Formules voor Rechthoekige driehoeken
Onbekende zijde A: \(A = \sqrt{C^2 - B^2}\)
Onbekende zijde B: \(B = \sqrt{C^2 -A^2}\)
Onbekende zijde C: \(C = \sqrt{A^2 +B^2}\)
Een driehoek heeft ook een omtrek. Deze is makkelijk uit te rekenen door de lengtes van alle zijden bij elkaar op te tellen. (\(\text{omtrek} = A+B+C\))
Doordat een rechthoekige driehoek een soort halve vierhoek is, kun je de oppervlakte op een manier uitrekenen die vergelijkbaar is met dat van een vierhoek. \(\text{Oppervlakte} = {{A+B}\over 2}\) ofwel \(\text{Oppervlakte} = {{\text{basis + hoogte}\over2}}\)
Gelijkbenige Driehoek
Een gelijkbenige driehoek heeft twee zijden van dezelfde lengte. Een gelijkbenige driehoek kun je met een symmetrieas in tweeën delen, waardoor twee rechthoekige driehoeken ontstaan. Hierdoor kun je bij gelijkbenige driehoeken ook de stelling van pythagoras gebruiken.
Bij deze driehoek geldt dus \(\text{ Lengte A = Lengte B}\)
Je kunt, zolang je de hoogte (q) weet, de lengte van C uitrekenen met de stelling van Pythagoras. Dit zie je in het voorbeeld hieronder.
Bijvoorbeeld:
Door de symmetrielijn zijn twee rechthoekige driehoeken ontstaan. Van deze rechthoekige driehoeken is de lange zijde ('C' in de Stelling van Pythagoras) en één zijde van de rechte hoek ('A' of 'B' uit de stelling van Pythagoras) bekend. De lengte van C in onze gelijkbenige driehoek = 2× de uitkomst van de stelling van Pythagoras. (dit komt doordat de symmetrielijn C in het midden snijdt)
De gelijkbenige driehoek heeft een oppervlakte. De oppervlakte reken je uit door: \(\text{Oppervlakte} = {1\over2}C × q\) ofwel \(\text{Oppervlakte}={1\over2}\text{basis} × \text{hoogte}\)
De laatste twee varianten van driehoeken zijn de Scherphoekige- en stomphoekige driehoek. Alle driehoeken zijn ofwel een scherphoekige driehoek, ofwel een stomphoekige driehoek.
Om te bepalen of een driehoek Scherp- of Stomphoekig is, moet gekeken worden naar de uitkomst van de kwadraten van de zijdes.
Als: \(A^2+B^2 > C^2 \)
Dan: Scherphoekige Driehoek.
Anders: Stomphoekige Driehoek.
Ellipsen
De laatste vorm die wordt behandeld is de ellips. Een ellips is een ronde vorm zonder hoeken. Een voorbeeld van een ellips is de Cirkel.
Een ellips heeft een straal (r) en een diameter (d).
Cirkels
Bij een cirkel is de straal over de volledige vorm een constante lengte. De diameter is bij een cirkel gelijk aan 2× de straal.
Voor een cirkel geldt:
\(\text{Omtrek}= \pi ×d\)
\(\text{Oppervlakte} = \pi ×r^2\)
Je ziet in deze formules een speciaal getal voorkomen: het getal pi (\(\pi\)). Pi is een irrationeel getal: hij geeft aan hoe vaak de diameter van een cirkel om de omtrek past. Het is een getal dat niet goed kan worden uitgedrukt in onze decimale cijfervorm, doordat het hierbij oneindig veel cijfers achter de komma krijgt. Bij benadering komt pi uit op ~3,14.
De eerste 100 decimalen van Pi staan op de pagina Extra's > Pi
Ovalen
Bij een ellips waarbij de straal geen constante lengte heeft (een ovaal) kun je de omtrek niet gemakkelijk uitrekenen. De formules die hiervoor nodig zijn, zijn zeer uitvoerig en lastig. De oppervlakte kan wél worden uitgerekend. Hiervoor heb je twee lengtes nodig: de langste straal (p), en de kortste straal (q).
De formule is hierbij: \(\text{Oppervlakte} =\pi ×p×q\)
Alle afbeeldingen in dit hoofdstuk zijn met de hand gemaakt in Paint. Uit je waardering met een Napoleon.
Extra's
Waarom is x⁰ = 1?
Als we kijken naar de rekenregels zien we iets opvallends: \(x^0 = 1\), ongeacht de grootte van \(x\).
Waarom is dit?
Om dat te beredeneren moeten we een aantal stappen zetten.
Wolfram|Alpha is een website van Wolfram, die alle databases van Wolfram af gaat met één simpele zoekopdracht. Wolfram is een bedrijf voor 'Computional Intelligence'. Ze maken dus Artificial Intelligence die alle wetenschapsgebieden af kan gaan.
Wil je een grafiek laten plotten, de oppervlakte van een cirkel uitrekenen of weten hoe \(C_6H_{12}O_6\) er uit ziet? Gebruik dan Wolfram|Alpha.
Grafiek Plotten
Wil je de grafiek voor \(y= x^2+1\) plotten? Dat kan. Typ in de zoekbalk 'plot x^2 +1' en wolfram doet wat je vraagt!
Bij andere bewerkingen is een andere syntax van toepassing. De grafiek van een formule met een wortel schrijf je zo:
\(y = \sqrt{x-2+\pi}\) wordt 'plot \sqrt{x-2+\pi}' de \sqrt zorgt voor de wortel, en de \pi zorgt voor pi. De krulhaken geven aan wat onder de wortel staat.
Dit kan natuurlijk ook makkelijker. Hiervoor kies je de knop "math input" waarna je bewerkingen uit een lijst kunt kiezen.
Andere Bètavakken
Ook bij scheikunde en natuurkunde kun je Wolfram|Alpha goed gebruiken. Zo kan Wolfram|Alpha reactievergelijkingen voor je oplossen of natuurkundeproblemen oplossen.
Les 7: Vergelijkingen en Ongelijkheden
Eerstegraads vergelijkingen en ongelijkheden
Plot van een Eerstegraads vergelijking.
Bij eerstegraads vergelijkingen en ongelijkheden heb je een wiskundevergelijking waarbij één waarde onbekend is. Zo'n onbekende waarde noteren we in de wiskunde vaan met x, maar elke andere letter van het alfabet kan hiervoor ook worden gebruikt.
Een eerstegraads vergelijking los je op door aan twee zijden van het is-gelijk-aan-teken (=) steeds dezelfde bewerkingen uit te voeren tot je aan één kant de x hebt staan, en aan de andere kant een cijfer of som.
Voorbeeld:
\(2x-6=0\)
Oplossing:
1. Tel aan beide kanten van de = 6 op. hierdoor verdwijnt de '-6' aan de kant van de x: \(2x=6\)
2. De som hierboven zegt nu dat 2×x=6. Als we x delen door 2 houden we alleen x over. Ook 6 moet dan door twee gedeeld worden. \({{2x}\over2}={{6}\over2} \text{ dus } x=3\)
We kunnen ook een ongelijkheid neerzetten. Bijvoorbeeld met de tekens 'is niet gelijk aan' (\(\neq\)), 'groter dan of gelijk aan' ( \(\geq\)), 'groter dan' (\(>\)), 'kleiner dan' (\(<\)) en 'kleiner dan of gelijk aan' (\(\leq\)).
Deze vergelijkingen geven niet één getal als antwoord, maar een reeks getallen. Deze reeks getallen noemen we het domein. Hiervoor hebben we notitiewijzen bepaald die aangeven welke getallen in het domein zitten.
Domein noteren:
De ongelijkheid is 'waar'...
...voor alle getallen
\(\rm I\!R\)
...alleen voor -2
\(\text {{-2}}\)
...voor alle getallen kleiner dan of gelijk aan 7
\(\langle \leftarrow;7]\)
...voor alle getallen groter dan of gelijk aan 4
\([4; \rightarrow \rangle\)
...voor alle getallen tussen -4 en 8
\([-4;8]\)
...voor alle getallen behalve 9
\(\rm I\!R \)\(\text \ \text {{9}}\)
Bijvoorbeeld:
\(2x-6 \neq 4\)
1. Uitzoeken voor welke waarde de som wél gelijk is aan 4
2. Beide kanten 6 optellen \(2x=10\)
3. Delen door 2 \(x=5\)
De som is dus alleen gelijk aan 4 als x=5. Alle andere getallen geven geen 4.
Antwoord noteren we dus als \(x= \rm I\!R \text \ \text {{5}}\)
\(2x-6 < 8\)
1. Uitzoeken voor welke waarde de som wél gelijk is aan 8
2. Beide kanten 6 optellen \(2x = 14\)
3. Beide kanten delen door 2 \(x=7\)
4. Uitzoeken of getallen lager dan 8 leiden tot getallen groter of kleiner dan 7. \(2x-6=6 \\ 2x=12 \\x=6\)
Getallen lager dan of gelijk aan 7 leiden dus tot een resultaat lager dan 8. We noteren dus: \(x= \langle \leftarrow; 7]\)
Snap je niet helemaal wat hierboven gebeurt? Neem dan even contact op via Teams/Whatsapp.
Tweedegraads vergelijkingen
Plot van een Tweedegraads vergelijking
Naast eerstegraads vergelijkingen zijn er ook tweedegraads vergelijkingen. Deze komen in drie vormen voor:
\(ax^2=y\)
\(ax^2+bx=y\)
\(ax^2+bx+c=y\)
Deze vergelijkingen hebben een kwadratische functie. Dit maakt oplossen lastiger dan bij een eerstegraads vergelijking, en betekent vaak dat een rekenmachine nodig is. Ook kunnen bij deze vergelijkingen twee uitkomsten juist zijn.
Hieronder staan een paar voorbeelden, zodat je een idee hebt hoe deze vergelijkingen worden opgelost.
Voorbeelden:
\(2x^2-8=0\)
1. de '-8' wegwerken door aan beide kanten van de '=' 8 op te tellen. \(2x^2=8\)
2. de '2' wegwerken door beide kanten te delen door 2. \(x^2=4\)
3. kwadraat wegwerken door van beide zeiden de wortel te trekken. \(x=\sqrt[2]4=2\)
\(2x^2-4x=0\)
1. Omzetten naar vergelijking met haakjes. \(2x(x-2)=0\)
2. Om tot 0 te komen kan zowel \(2x=0\) als \(x-2=0\). (want \(0×(x-2)=0\) en \(2x(0)=0\))
Dus: \(x=0\) en \(x=2\)
\(4x^2-8x=20\)
1. Beide zijden delen door 4 \(x^2-2x=5\)
2. Beide zijden 1 optellen \(x^2-2x+1=6\)
3. Linkerzijde omzetten naar kwadraat*. \((x-1)^2=6\)
4. Worteltrekken om kwadraat weg te werken. \(x-1=\sqrt[2]6\) of \(-\sqrt[2]6\)
5. Beide zijden 1 optellen. \(x=1+\sqrt[2]6\) en \(x=1-\sqrt[2]6\)
Je hoeft de wortel hierbij niet verder uit te rekenen. (kommagetallen zijn minder precies)
*Hier vindt een bijzondere verrichting plaats. Deze leg ik uit onder het knopje 'extra's'.
\(x^2+2x-3=0\)
1. Beide zijden 3 optellen. \(x^2+2x=3\)
2. Vergelijking omzetten naar kwadraat* \((x+1)^2=4\)
3. Worteltrekken om kwadraat weg te werken \(x+1=\pm2\)
4. 1 aftrekken aan bijde zijden \(x=-3\) en \(x=1\)
*Hier vindt een bijzondere verrichting plaats. Deze leg ik uit onder het knopje 'extra's'.
ABC-formule
Zoals je via extra's inmiddels hebt gezien, is een vergelijking op veel manieren om te bouwen om hem algebraïsch op te lossen. Er is ook een formule om een vergelijking of ongelijkheid niet algebraïsch op te lossen: de zogeheten ABC-formule. Deze is vaak ook algebraïsch op te lossen, maar door de wortel die in de formule zit wil dit niet altijd lukken.
Je weet inmiddels het volgende:
Algemene formule tweedegraads vergelijking: \(ax^2+bx+c=y\)
als \(a=1\) wordt \(a\) weggelaten, maar is er nog wel.
als \(b=1\) wordt \(b\) weggelaten, maar is er nog wel.
als \(c=0\) wordt \(c\) weggelaten, maar is er nog wel.
als \(y \neq 0\) kan \(y\) worden herleid tot 0 door af te trekken of op te tellen aan beide kanten van de '='.
In de ABC-formule heb je de \(a\), \(b\) en \(c\) uit de tweedegraads vergelijking nodig. De formule ziet er als volgt uit:
\(x= {-b \pm \sqrt[2]{b^2-4ac}\over2a}\)
Je ziet hierin een aantal dingen. Zo zie je de \(b^2\) , \(4a\) en \(2a\) terug die je al kent van het algebraïsch omvormen van tweedegraads vergelijkingen. De formule geeft altijd twee uitkomsten, doordat hij in twee vormen voorkomt.
Dat de ABC-formule in twee vormen voorkomt zie je aan de \(\pm\). De twee vormen zijn dus:
\(x = {-b + \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(x = {-b - \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
Het verschil tussen deze twee formules zit in het teken na de \(-b\) . Dit is namelijk óf een +, óf een -. Om de formule goed te gebruiken, moet je altijd allebij de varianten toepassen en beide antwoorden noteren.
Voorbeeld:
\(2x^2-3x+10=12\)
1. Herleiden tot 0. Dit doen we door aan beide kanten van het '='-teken 12 af te trekken. (anders kan de ABC-formule niet worden toegepast) \(2x^2-3x-2=0\)
3. Algebraïsch oplossen van de ABC-formule voor zover dit kan. \([x = {--3 \pm \sqrt{-3^2-4×2×-2} \over 2×2} ]\Rightarrow [x={{3\pm \sqrt{9+16}}\over{4}}] \Rightarrow [x={3\pm\sqrt{25}\over{4}}] \Rightarrow [x={3\pm5\over{4}}]\)
4. Oplossen van de '-'-variant van de ABC-formule \(x_{1}={3-5\over4}={-2\over{4}}=-{1\over{2}}\)
5. Oplossen van de '+'-variant van de ABC-formule \(x_{2}={3+5\over{4}} = {8\over{4}}=2\)
dus: \(x=-{1\over{2}}\) en \(x=2\).
Je hoeft de antwoorden niet altijd decimaal te benaderen. Als een wortel niet makkelijk uit te rekenen is (maar een 'kommagetal' geeft), mag je de vergelijking laten staan zoals hij was bij de één-na-laatste omvorming bij stap 3. (\(x_{1}={3+\sqrt25\over{4}}\) en \(x_{2}={3-\sqrt25\over{4}}\) zijn dus ook juiste antwoorden)
Machtsvergelijkingen
Plot van een Machtsvergelijking
We hebben al formules gezien van een vergelijking met een macht (\(x^2\)), maar we kunnen de \(x\) ook als macht inzetten. Dan krijg je onderstaande vergelijking:
\(a^x+b=y\)
Om deze vergelijkingen te kunnen oplossen, ga je werken met een bewerking die je al eerder hebt gebruikt: het logaritme.
2. Logaritme uitrekenen. Nu lopen we tegen een probleem aan. Tenzij je een grafische rekenmachine tot je beschikking hebt, kun je een logaritme zoals we die nu hebben niet invullen in je rekenmachine. De knop 'log' op je rekenmachine pakt namelijk altijd \(^{10}\!\log{y}\), en wij willen nu \(^2\!\log 4\). Niet getreurd, dit is op te lossen.
Je mag ook stoppen met uitrekenen na \(x = \Big ({\log 8 \over {\log 3}} \Big) -1\), zeker als dit exacter is dan een kommagetal.
Je hebt ze bij de vorige les al gezien: de grafieken van de verschillende vergelijkingen. In deze les gaan we met die grafieken aan de slag. Je leert hoe je snijpunten vindt, wat een richtingscoëfficiënt is en wat een startwaarde inhoudt.
Les 8: Grafieken en Functies
Bewerken van tweedegraads functies
Tweedegraads vergelijkingen moeten soms worden bewerkt voordat ze algebraïsch kunnen worden opgelost. Hiervoor moet je het volgende weten:
\(ax^2+bx+c=0\) is hetzelfde als \(a(x+d)^2+e=0\). Hier zie je twee nieuwe waarden ontstaan: \(d\) en \(e\) .
\(d\) en \(e\) moeten worden berekend. Dat doe je met onderstaande formules.
\(d={b\over{2a}}\)
\(e=c-{b^2\over{4a}}\)
Hieronder staat een tweedegraadsvergelijking volledig uitgeschreven opgelost, zodat je kunt zien hoe dit in zijn werk gaat.
3. De '1' aan de voorkant kunnen we weglaten, want die doet niets. \((x+1)^2-1=3\)
4. Bijde kanten 1 optellen. \((x+1)^2=4\)
4. Worteltrekken om kwadraat weg te werken. \(x+1=\sqrt[2]4=\pm2\)
Je ziet hier dat de uitkomst de aanduiding '\(\pm\)' heeft. Dit komt doordat de uitkomst zowel positief als negatief kan zijn. (\(-2^2=4\) en \(2^2=4\))
5. 1 aftrekken aan beide kanten. \(x=-2-1=-3\) en \(x=2-1=1\)
Een andere methode die je moet onthouden is het ontbinden van een vergelijking.
Hierbij geldt dat \(x^2+bx+c=y\) gelijk is aan \((x+q)(x+r)=y\). Hierbij is \(q×r=c\) en \(q+r=b\). Om dit even in een voorbeeld te zetten, is de som uit het voorbeeld hierboven nog eens uitgewerkt.
Voorbeeld:
\(x^2+2x-3=0 \)
1. Ontbinden. \(q×r=c\) dus \(-1×3=-3\) \(q+r=b\) dus \(-1+3=2\) \((x+q)(x+r)=y\) dus \((x-1)(x+3)=0\)
2. Als uit één van de twee sommen tussen haakjes 0 komt, is het antwoord automatisch 0.
dus:
\(x=1\) en \(x=-3\)
Je ziet dat deze methode minder stappen heeft, maar je kunt deze methode alleen gebruiken om de uitkomst '0' te vinden. Een som die niet om uitkomst '0' vraagt moet je dus eerst omzetten.
(\([x^2-5x=14] \Rightarrow [x^2-5x-14=0]\))
Challenges
De challenges hieronder zijn onze benadering voor wiskunde. Voer de opdrachten uit en lever in via It'sLearning.
Challenge A
Grafieken en Functies
Bekijk onderstaande youtube-videos. Maak vervolgens een mindmap waarin de volgende termen worden uitgelegd. Lever in via It'sLearning.
Liniair Functievoorschrift
Eerstegraads Functie
Richtingscoëfficiënt
Hellingsgetal
Startwaarde
Evenwijdige lijnen
Loodracht snijdende lijnen
Stijgende lijnen
Dalende lijnen
Horizontale lijnen
Assenstelsel
x-as
y-as
Coördinaten
Snijpunt
Oorsprong
Challenge B
Bekijk onderstaande video's. Noteer per video minstens twee termen en de uitleg hiervan.
Wiskundemethode
Dit bestand bevat de wiskundemethode voor het MBO. Je hoeft niet alles hieruit te kunnen en kennen, maar als je even wil oefenen is dit goed naslagwerk.
Als je na deze opleiding wil doorstromen naar het HBO, is het belangrijk dat je wiskunde-kennis op het juiste niveau is. Voor een Bacheloropleiding mag je uitgaan van een eindexamen HAVO-niveau voor wiskunde. In het geval van een Bètaopleiding wordt dit Wiskunde B.
Om je wiskunde naar het juiste niveau te krijgen is het handig om examenbundels aan te schaffen. Dit doe je makkelijk via Bol.com of je lokale boekenwinkel.
Challenges
Oefentoetsen
Helaas.... De eindtoets is nog niet beschikbaar. Kom op een later moment terug.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
Wiskundemethode
