## Les 6: Goniometrie

We kennen in de wiskunde een groot aantal vormen. Deze vormen hebben ieder een omtrek en oppervlakte. Deze moet je kunnen berekenen.

## Vierhoeken

Een rechthoek is een vorm met 4 rechte hoeken. Als alle zijden van een rechthoek dezelfde lengte hebben, spreken we van een vierkant.

De omtrek van een rechthoek zonder gelijke zijden () reken je uit door:
De oppervlakte van een rechthoek zonder gelijke zijden () reken je uit door:

De omtrek van een rechthoek met gelijke zijden () reken je uit door:
De oppervlakte van een rechthoek met gelijke zijden () reken je uit door: ofwel

Een vlieger is een vierhoek waarvan één diagonaal de symmetrieas is. Twee aan twee zitten zijden van gelijke lengte. Tevens zijn twee hoeken van gelijke grootte. De diagonalen (lijnen die van hoek tot hoek lopen) van een vlieger staan loodrecht op elkaar.

De omtrek van een vlieger reken je uit door:
De oppervlakte van een vlieger reken je uit door:

Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden. Er zijn echter geen rechte hoeken.

De omtrek van een ruit reken je uit door:
De oppervlakte van een ruit reken je uit door: .

Een paralellogram lijkt veel op een ruit. Echter kruisen bij een paralellogram de diagonalen elkaar niet haaks. (De kruising van de diagonalen in een paralellogram heeft geen rechte hoeken, een ruit wel.)

Bij een paralellogram zijn de twee zijden die tegenover elkaar liggen van gelijke lengte, en evenwijdig. De hoeken die tegenover elkaar liggen zijn ook van dezelfde grootte.

Omtrek reken je uit door:

Oppervlakte reken je uit door: . Om de oppervlakte te bepalen moet je lengte van de basis weten (rode lijn). Vervolgens trek je een loodrechte lijn op de blauwe lijn op dezelfde afstand vanaf een hoek als dat de basis lang was.

Bijvoorbeeld:

Bij deze paralellogram is de basis 8cm. Als we op de langere lijn een loodrechte lijn trekken na 8cm naar de overkant, zien we dat deze lijn 6cm lang is.

Oppervlakte is dus:
Een trapezium is een vierhoek waarbij slechts twee zijden evenwijdig zijn. Deze twee zijden hoeven niet van gelijke lengte te zijn.

Bij een Trapezium reken je de oppervlakte uit met:

Bijvoorbeeld:

Bij deze trapezium is de lange basis 12, en de korte basis 8. De hoogte is 12. De oppervlakte wordt daarmee:

### Driehoeken

Een vorm met drie hoeken wordt ook wel een driehoek genoemd. We kennen een aantal varianten driehoeken. Deze lopen we een voor een langs.

### Rechthoekige Driehoek

Een rechthoekige driehoek heeft, jawel, een rechte hoek. Met 'rechte' hoek wordt een hoek van precies 90° bedoeld. Doordat de driehoek deze rechte hoek heeft, kan de stelling van Pythagoras worden gebruikt om de lengte van een onbekende zijde te bepalen, mits de lengtes van de twee andere zijden wel bekend is. Schematisch ziet deze formule er zo uit: . Let hier wel op dat de uitkomst een kwadraat is.

Per zijde die je wil uitrekenen verandert de formule. Omdat er drie zijden zijn, kennen we ook drie formules. Deze zijn hieronder verder uitgezet.

Formules voor Rechthoekige driehoeken
Onbekende zijde A:
Onbekende zijde B:
Onbekende zijde C:

Een driehoek heeft ook een omtrek. Deze is makkelijk uit te rekenen door de lengtes van alle zijden bij elkaar op te tellen. ()

Doordat een rechthoekige driehoek een soort halve vierhoek is, kun je de oppervlakte op een manier uitrekenen die vergelijkbaar is met dat van een vierhoek. ofwel

### Gelijkbenige Driehoek

Een gelijkbenige driehoek heeft twee zijden van dezelfde lengte. Een gelijkbenige driehoek kun je met een symmetrieas in tweeën delen, waardoor twee rechthoekige driehoeken ontstaan. Hierdoor kun je bij gelijkbenige driehoeken ook de stelling van pythagoras gebruiken.

Bij deze driehoek geldt dus

Je kunt, zolang je de hoogte (q) weet, de lengte van C uitrekenen met de stelling van Pythagoras. Dit zie je in het voorbeeld hieronder.

Bijvoorbeeld:

Door de symmetrielijn zijn twee rechthoekige driehoeken ontstaan. Van deze rechthoekige driehoeken is de lange zijde ('C' in de Stelling van Pythagoras) en één zijde van de rechte hoek ('A' of 'B' uit de stelling van Pythagoras) bekend. De lengte van C in onze gelijkbenige driehoek = 2× de uitkomst van de stelling van Pythagoras. (dit komt doordat de symmetrielijn C in het midden snijdt)

De gelijkbenige driehoek heeft een oppervlakte. De oppervlakte reken je uit door: ofwel

De laatste twee varianten van driehoeken zijn de Scherphoekige- en stomphoekige driehoek. Alle driehoeken zijn ofwel een scherphoekige driehoek, ofwel een stomphoekige driehoek.

Om te bepalen of een driehoek Scherp- of Stomphoekig is, moet gekeken worden naar de uitkomst van de kwadraten van de zijdes.

Als:

Dan: Scherphoekige Driehoek.

Anders: Stomphoekige Driehoek.

Ellipsen

De laatste vorm die wordt behandeld is de ellips. Een ellips is een ronde vorm zonder hoeken. Een voorbeeld van een ellips is de Cirkel.

Een ellips heeft een straal (r) en een diameter (d).

### Cirkels

Bij een cirkel is de straal over de volledige vorm een constante lengte. De diameter is bij een cirkel gelijk aan 2× de straal.

Voor een cirkel geldt:

Je ziet in deze formules een speciaal getal voorkomen: het getal pi (). Pi is een irrationeel getal: hij geeft aan hoe vaak de diameter van een cirkel om de omtrek past. Het is een getal dat niet goed kan worden uitgedrukt in onze decimale cijfervorm, doordat het hierbij oneindig veel cijfers achter de komma krijgt. Bij benadering komt pi uit op ~3,14.

De eerste 100 decimalen van Pi staan op de pagina Extra's > Pi

### Ovalen

Bij een ellips waarbij de straal geen constante lengte heeft (een ovaal) kun je de omtrek niet gemakkelijk uitrekenen. De formules die hiervoor nodig zijn, zijn zeer uitvoerig en lastig. De oppervlakte kan wél worden uitgerekend. Hiervoor heb je twee lengtes nodig: de langste straal (p), en de kortste straal (q).

De formule is hierbij:

Alle afbeeldingen in dit hoofdstuk zijn met de hand gemaakt in Paint. Uit je waardering met een Napoleon.