## Les 7: Vergelijkingen en Ongelijkheden

### Eerstegraads vergelijkingen en ongelijkheden

Plot van een Eerstegraads vergelijking.

Bij eerstegraads vergelijkingen en ongelijkheden heb je een wiskundevergelijking waarbij één waarde onbekend is. Zo'n onbekende waarde noteren we in de wiskunde vaan met x, maar elke andere letter van het alfabet kan hiervoor ook worden gebruikt.

Een eerstegraads vergelijking los je op door aan twee zijden van het is-gelijk-aan-teken (=) steeds dezelfde bewerkingen uit te voeren tot je aan één kant de x hebt staan, en aan de andere kant een cijfer of som.

Voorbeeld:
Oplossing:
1. Tel aan beide kanten van de = 6 op. hierdoor verdwijnt de '-6' aan de kant van de x:
2. De som hierboven zegt nu dat 2×x=6. Als we x delen door 2 houden we alleen x over. Ook 6 moet dan door twee gedeeld worden.

We kunnen ook een ongelijkheid neerzetten. Bijvoorbeeld met de tekens 'is niet gelijk aan' (), 'groter dan of gelijk aan' ( ), 'groter dan' (), 'kleiner dan' () en 'kleiner dan of gelijk aan' ().

Deze vergelijkingen geven niet één getal als antwoord, maar een reeks getallen. Deze reeks getallen noemen we het domein. Hiervoor hebben we notitiewijzen bepaald die aangeven welke getallen in het domein zitten.

Domein noteren:

De ongelijkheid is 'waar'... ...voor alle getallen |
...alleen voor -2 |
...voor alle getallen kleiner dan of gelijk aan 7 |
...voor alle getallen groter dan of gelijk aan 4 |
...voor alle getallen tussen -4 en 8 |
...voor alle getallen behalve 9 |

Bijvoorbeeld:
1. Uitzoeken voor welke waarde de som wél gelijk is aan 4
2. Beide kanten 6 optellen
3. Delen door 2
De som is dus alleen gelijk aan 4 als x=5. Alle andere getallen geven geen 4.
Antwoord noteren we dus als
1. Uitzoeken voor welke waarde de som wél gelijk is aan 8
2. Beide kanten 6 optellen
3. Beide kanten delen door 2
4. Uitzoeken of getallen lager dan 8 leiden tot getallen groter of kleiner dan 7.
Getallen lager dan of gelijk aan 7 leiden dus tot een resultaat lager dan 8. We noteren dus:

Snap je niet helemaal wat hierboven gebeurt? Neem dan even contact op via Teams/Whatsapp.

### Tweedegraads vergelijkingen

Plot van een Tweedegraads vergelijking

Naast eerstegraads vergelijkingen zijn er ook tweedegraads vergelijkingen. Deze komen in drie vormen voor:

Deze vergelijkingen hebben een kwadratische functie. Dit maakt oplossen lastiger dan bij een eerstegraads vergelijking, en betekent vaak dat een rekenmachine nodig is. Ook kunnen bij deze vergelijkingen twee uitkomsten juist zijn.

Hieronder staan een paar voorbeelden, zodat je een idee hebt hoe deze vergelijkingen worden opgelost.

Voorbeelden:
1. de '-8' wegwerken door aan beide kanten van de '=' 8 op te tellen.
2. de '2' wegwerken door beide kanten te delen door 2.
3. kwadraat wegwerken door van beide zeiden de wortel te trekken.
1. Omzetten naar vergelijking met haakjes.
2. Om tot 0 te komen kan zowel als . (want en )
Dus: en
1. Beide zijden delen door 4
2. Beide zijden 1 optellen
3. Linkerzijde omzetten naar kwadraat*.
4. Worteltrekken om kwadraat weg te werken.
of
5. Beide zijden 1 optellen.
en
Je hoeft de wortel hierbij niet verder uit te rekenen. (kommagetallen zijn minder precies)
*Hier vindt een bijzondere verrichting plaats. Deze leg ik uit onder het knopje 'extra's'.
1. Beide zijden 3 optellen.
2. Vergelijking omzetten naar kwadraat*
3. Worteltrekken om kwadraat weg te werken
4. 1 aftrekken aan bijde zijden
en
*Hier vindt een bijzondere verrichting plaats. Deze leg ik uit onder het knopje 'extra's'.

### ABC-formule

Zoals je via extra's inmiddels hebt gezien, is een vergelijking op veel manieren om te bouwen om hem algebraïsch op te lossen. Er is ook een formule om een vergelijking of ongelijkheid niet algebraïsch op te lossen: de zogeheten ABC-formule. Deze is vaak ook algebraïsch op te lossen, maar door de wortel die in de formule zit wil dit niet altijd lukken.

Je weet inmiddels het volgende:
Algemene formule tweedegraads vergelijking:
als wordt weggelaten, maar is er nog wel.
als wordt weggelaten, maar is er nog wel.
als wordt weggelaten, maar is er nog wel.
als kan worden herleid tot 0 door af te trekken of op te tellen aan beide kanten van de '='.

In de ABC-formule heb je de , en uit de tweedegraads vergelijking nodig. De formule ziet er als volgt uit:

Je ziet hierin een aantal dingen. Zo zie je de , en terug die je al kent van het algebraïsch omvormen van tweedegraads vergelijkingen. De formule geeft altijd twee uitkomsten, doordat hij in twee vormen voorkomt.

Dat de ABC-formule in twee vormen voorkomt zie je aan de . De twee vormen zijn dus:

Het verschil tussen deze twee formules zit in het teken na de . Dit is namelijk óf een +, óf een -. Om de formule goed te gebruiken, moet je altijd allebij de varianten toepassen en beide antwoorden noteren.

Voorbeeld:
1. Herleiden tot 0. Dit doen we door aan beide kanten van het '='-teken 12 af te trekken. (anders kan de ABC-formule niet worden toegepast)
2. ABC-formule invullen.
dus:
3. Algebraïsch oplossen van de ABC-formule voor zover dit kan.
4. Oplossen van de '-'-variant van de ABC-formule
5. Oplossen van de '+'-variant van de ABC-formule
dus:
en .

Je hoeft de antwoorden niet altijd decimaal te benaderen. Als een wortel niet makkelijk uit te rekenen is (maar een 'kommagetal' geeft), mag je de vergelijking laten staan zoals hij was bij de één-na-laatste omvorming bij stap 3. ( en zijn dus ook juiste antwoorden)

### Machtsvergelijkingen

Plot van een Machtsvergelijking

We hebben al formules gezien van een vergelijking met een macht (), maar we kunnen de ook als macht inzetten. Dan krijg je onderstaande vergelijking:

Om deze vergelijkingen te kunnen oplossen, ga je werken met een bewerking die je al eerder hebt gebruikt: het logaritme.

Het logaritme gebruik je als volgt:

Voorbeeld:
1. Logaritme gebruiken.
2. Logaritme uitrekenen.
Nu lopen we tegen een probleem aan. Tenzij je een grafische rekenmachine tot je beschikking hebt, kun je een logaritme zoals we die nu hebben niet invullen in je rekenmachine. De knop 'log' op je rekenmachine pakt namelijk altijd , en wij willen nu . Niet getreurd, dit is op te lossen.
Dus in onze rekenmachine vullen we in:
1. 2 optellen aan beide kanten om de '-2' weg te werken.
2. Logaritme invullen.
3. 1 aan beide kanten aftrekken om '+1' weg te werken.
3. Logaritme uitrekenen.
Je mag ook stoppen met uitrekenen na , zeker als dit exacter is dan een kommagetal.

Je hebt ze bij de vorige les al gezien: de grafieken van de verschillende vergelijkingen. In deze les gaan we met die grafieken aan de slag. Je leert hoe je snijpunten vindt, wat een richtingscoëfficiënt is en wat een startwaarde inhoudt.