In deze cursus gaan we het hebben over het oplossen van lineaire problemen.
Er zullen instructie video's aanwezig zijn, die optioneel zijn om te bekijken. Hier zie je stap voor stap mijn uitleg betreft de opgave die je op dat moment bekijkt.
Bepaal voor jezelf, of in overleg met mij, of je de Basis opdracht, Intensief opdracht of de Top opdracht gaat maken. Bij intensief zal er meer uitleg bij staan en bij de top opdracht zal je dieper op de stof in gaan.
Aan het einde van deze cursus zou je zekerder over je zaak moeten zijn betreft het oplossen van lineaire problemen.
lndeling
- Balansmethode
- Lineaire formules
- Lineaire grafieken
- Vergelijkingen met twee variabele
- Stelsels oplossen
Aan het einde van deze cursus zijn de volgende leerdoelen behaald:
- Ik kan lineaire problemen oplossen met behulp van de balansmethode.
- Ik kan controleren of een punt op een lineaire formule ligt.
- Ik kan een lineaire formule opstellen aan de hand van een gegeven grafiek.
- Ik kan een lineaire formule opstellen wanneer er textueel informatie is gegeven.
- Ik weet wanneer er gesproken wordt van een functie of formule.
- Ik kan de snijpunten met de assen berekenen.
- Ik kan een stelsel creëren en deze oplossen.
Er zullen per onderdeel drie verschillende niveau's aangeboden worden aan de hand van het zogehete BIT-model.
Zodra het onderwerp nieuw is en jij graag nog wat extra begeleiding wil krijgen, adviseer ik om de Intensief opdachten te volgen. Hier zal ook een instructievideo per onderdeel aanwezig zijn.
Wanneer je de algemene uitleg wil meekrijgen en de opdrachten op het niveau van de toets wil maken, adviseer ik om de Basis opdrachten te volgen.
Op het moment dat je uitdaging zoekt, adviseer ik om de Top opdrachten te volgen. Uitleg zal hier louter uit tekst bestaan.
Bekijk voor jezelf per opdracht in welke categorie je wil deelnemen. Uiteraard bestaat er altijd de mogelijkheid om van moeilijkheidsgraad te wisselen indien nodig.
Balansmethode
Wanneer er gevraagd wordt 'iets plus 11 = 20'zou het zo moeten zijn dat je niet lang hoeft na te denken over het feit dat iets gelijk staat aan 9.
Echter zijn er ook situaties waarin dit soort lineaire vergelijkingen te complex zijn om direct het antwoord te kunnen zien. Hiervoor kan je onder andere de balansmethode gebruiken.
Basis: Uitleg aan de hand van een tekst met een volledig uitgeschreven voorbeeld.
Intensief: Uitleg aan de hand van een tekst met een volledig uitgeschreven voorbeeld en een video.
Top: Uitleg aan de hand van een tekst.
Basis (Balansmethode)
Het gebruik van de balansmethode is je in het tweede leerjaar aangeboden. Bij deze methode ga je op zoek naar de oplossing bij een lineaire vergelijking.
In principe gaat het bij de balansmethode continu om het uitvoeren van een twee stappenplan.
Stap 1: Zorg ervoor dat de Letters bij het Linkerlid staan en de getallen bij het rechterlid. Let op: 3x is een letter, immers: 3x = x + x + x.
Stap 2: Deel door het getal daar direct voor de letter staat, ongeacht of dit een positief, negatief, of gebroken getal is
Voorbeeld:
Los op.
4(x - 2) + 3 = 8 - 7(x - 6)
haakjes uitwerken
4x - 8 + 3 = 8 - 7x + 42
termen overbrengen
4x = 8 + 42
+7x +5
11x = 55
delen voor het getal voor de letter
:11 :11
x = 5
Je hebt nu een paar opgaven gemaakt over de balansmethode, wanneer je hier extra mee wil oefenen kan je de Quizlet kaarten gebruiken via de volgende link.
Hier staan nog eens 12 opgaven waarbij het antwoord zichtbaar wordt zodra je op het kaartje klikt.
Intensief (Balansmethode)
Het gebruik van de balansmethode is je in het tweede leerjaar aangeboden. Bij deze methode ga je op zoek naar de oplossing bij een lineaire vergelijking.
In principe gaat het bij de balansmethode continu om het uitvoeren van een twee stappenplan.
Stap 1: Zorg ervoor dat de Letters aan de Linkerkant van het is gelijk teken staan en de getallen aan de rechterkant van het is gelijk teken. Let op: 3x is een letter, immers: 3x = x + x + x.
Stap 2: Deel door het getal daar direct voor de letter staat, ongeacht of dit een positief, negatief, of gebroken getal is.
Wanneer je bij stap 1 een term naar de andere kant toe brengt, houd er dan rekening mee dat je het tegenovergestelde doet van de bewerking die er staat. Dus plus wordt min en min wordt plus.
Belangrijk: je eindigt altijd met letter = getal
Voorbeeld
Los op.
6x - 12 = 8x + 3
Termen overbrengen.
6x = 3
-8x +12
-2x = 15
Delen voor het getal voor de letter.
:-2 :-2
x = -7,5
Bekijk onderstaande video, als je bovenstaande stappenplan niet helemaal begrijpt
Je hebt nu een paar opgaven gemaakt over de balansmethode, wanneer je hier extra mee wil oefenen kan je de Quizlet kaarten gebruiken via de volgende link.
Hier staan nog eens 12 opgaven waarbij het antwoord zichtbaar wordt zodra je op het kaartje klikt.
Top (Balansmethode)
Het gebruik van de balansmethode is je in het tweede leerjaar aangeboden. Bij deze methode ga je op zoek naar de oplossing bij een lineaire vergelijking.
In principe gaat het bij de balansmethode continu om het uitvoeren van een twee stappenplan.
Stap 1: Zorg ervoor dat de Letters bij het Linkerlid staan en de getallen bij het rechterlid. Let op: 3x is een letter, immers: 3x = x + x + x.
Stap 2: Deel door het getal daar direct voor de letter staat, ongeacht of dit een positief, negatief, of gebroken getal is
Het kan ook voorkomen dat je vergelijkingen hebt met breuken erin. In principe kan je nog steeds het tweestappenplan uitvoeren, echter is de kans op een rekenfout groter wanneer de opgave breuken bevat.
Om breuken weg te werken in de vergelijking, vermenigvuldig je de gehele vergelijking (exclusief hetgeen binnen de haakjes) met de kleinst gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van de noemers. Nu alles weer uit louter gehele getallen bestaat is de uitvoering makkelijker.
Je hebt nu een paar opgaven gemaakt over de balansmethode, wanneer je hier extra mee wil oefenen kan je de Quizlet kaarten gebruiken via de volgende link.
Hier staan nog eens 12 opgaven waarbij het antwoord zichtbaar wordt zodra je op het kaartje klikt.
Lineaire formules
Wanneer er wordt gekeken naar de grafiek, dan bestaat soms de mogelijkheid om deze af te lezen.
Echter kan het ook zo zijn dat dit niet nauwkeurig genoeg af te lezen is of dat je een waarde moet hebben die buiten de grafiek valt. In deze gevallen hebben we de formule nodig die bij de grafiek hoort.
In deze opdracht gaan we bekijken hoe deze formule kunnen maken.
Basis: Uitleg aan de hand van een tekst met een volledig uitgeschreven voorbeeld.
Intensief: Uitleg aan de hand van een tekst met een volledig uitgeschreven voorbeeld en een video.
Top: Uitleg aan de hand van een tekst.
Basis (Lineaire formules)
Ook de basis van dit onderdeel is behandeld in het tweede leerjaar. Echter bestaat de mogelijkheid dat je dit even bent vergeten, bij deze een beeld van de voorkennis
De standaard lineaire formule ziet er als volgt uit:
\(y=ax+b\)
Hierbij hoort een rechte lijn als grafiek.
\(a\) is de richtingscoeffectient, dit betekent dat je '\(a\)' naar boven gaat, wanneer je er 1 naar rechts gaat
\(b\) is het snijpunt met de y-as. De coördinaten van dit snijpunt zijn dan ook \((0,b)\)
We spreken over een coördinaat in de tweede dimensie zodra er een \(x\) en een \(y\) waarde is. Deze wordt ook op deze volgorde zo genoteerd \((x,y)\).
Om te controleren of een punt op de grafiek ligt, vervang je letterlijk de \(x\) en de \(y\) door de twee waarden die er staan en ga je na of het linker- en rechterlid gelijk zijn aan elkaar.
Voorbeeld
Gegeven is de formule y = 8x - 13
Controleer of het punt R(5,27) op de grafiek ligt.
Uitwerking
Vervang de x door 5 en de y door 27
27 = 8 × 5 - 13
Bereken het rechterlid en controleer de antwoorden
27 = 27
Zowel het linker- als rechterlid zijn gelijk
dus, ja.
Wanneer er gesproken wordt over twee lijnen die evenwijdig zijn, dan kan je concluderen dat de '\(a\)' gelijk zijn aan elkaar.
Voorbeeld
De lijn l:y = ax + b is evenwijdig aan lijn m:y = 5x + 3
De lijn l gaat door het punt P(1,6)
Bereken a en b
Uitwerking
De lijnen l en m zijn evenwijdig aan elkaar, dus rcl = rcm = 5
dus \({\color{blue}a{\color{blue}={\color{blue}5}}}\)
Tot slot gaan we nog een formule opstellen bij een grafiek, want zoals het begin van deze paragraaf zei: echter kan het ook zo zijn dat dit niet nauwkeurig genoeg af te lezen is of dat je een waarde moet hebben die buiten de grafiek valt.
In principe kan je hier een stappenplan voor volgen. Zolang je dit stappenplan aanhoudt bij het maken van een lineaire formule bij een lineaire grafiek, kom je altijd op een antwoord uit.
Noteer de standaard formule van een lijn
Bereken je rc (a) uit door eerst twee mooie roosterpunten te vinden en vervolgens de volgende deling uit te voeren\(\frac{verticaal\;verschil}{horizontaal\;verschil}\)
Vul nu één van de twee gekozen roosterpunten in je gemaakte formule en bereken het snijpunt met de verticale as (b)
Schrijf de formule nu netjes op
Onderstaand een uitgewerkt voorbeeld.
Voorbeeld
Stel de formule op van de grafiek die hiernaast gegeven is.
Ook de basis van dit onderdeel is behandeld in het tweede leerjaar. Echter bestaat de mogelijkheid dat je dit even bent vergeten, bij deze een beeld van de voorkennis
De standaard lineaire formule ziet er als volgt uit:
\(y=ax+b\)
Hierbij hoort een rechte lijn als grafiek.
\(a\) is de richtingscoeffectient, dit betekent dat je '\(a\)' naar boven gaat, wanneer je er 1 naar rechts gaat
\(b\) is het snijpunt met de y-as. De coördinaten van dit snijpunt zijn dan ook \((0,b)\)
We spreken over een coördinaat in de tweede dimensie zodra er een \(x\) en een \(y\) waarde is. Deze wordt ook op deze volgorde zo genoteerd \((x,y)\).
Om te controleren of een punt op de grafiek ligt, vervang je letterlijk de \(x\) en de \(y\) door de twee waarden die er staan en ga je na of het linker- en rechterlid gelijk zijn aan elkaar.
Wanneer er gesproken wordt over twee lijnen die evenwijdig zijn, dan kan je concluderen dat de '\(a\)' gelijk zijn aan elkaar.
Voorbeeld
De lijn l:y = ax + b is evenwijdig aan lijn m:y = 5x + 3
De lijn l gaat door het punt P(1,6)
Bereken a en b
Uitwerking
De lijnen l en m zijn evenwijdig aan elkaar, dus rcl = rcm = 5
dus \({\color{blue}a{\color{blue}={\color{blue}5}}}\)
Wanneer bovenstaande voorbeeld niet wordt begrepen, staat hieronder wederom een video.
Tot slot gaan we nog een formule opstellen bij een grafiek, want zoals het begin van deze paragraaf zei: echter kan het ook zo zijn dat dit niet nauwkeurig genoeg af te lezen is of dat je een waarde moet hebben die buiten de grafiek valt.
In principe kan je hier een stappenplan voor volgen. Zolang je dit stappenplan aanhoudt bij het maken van een lineaire formule bij een lineaire grafiek, kom je altijd op een antwoord uit.
Noteer de standaard formule van een lijn
Bereken je rc (a) uit door eerst twee mooie roosterpunten te vinden en vervolgens de volgende deling uit te voeren\(\frac{verticaal\;verschil}{horizontaal\;verschil}\)
Vul nu één van de twee gekozen roosterpunten in je gemaakte formule en bereken het snijpunt met de verticale as (b)
Schrijf de formule nu netjes op
Onderstaand een uitgewerkt voorbeeld.
Voorbeeld
Stel de formule op van de grafiek die hiernaast gegeven is.
Zie onderstaande video wanneer je bovenstaande opgave stap voor stap wil zien.
Top (Lineaire formules)
Ook de basis van dit onderdeel is behandeld in het tweede leerjaar. Echter bestaat de mogelijkheid dat je dit even bent vergeten, bij deze een beeld van de voorkennis
De standaard lineaire formule ziet er als volgt uit:
\(y=ax+b\)
Hierbij hoort een rechte lijn als grafiek.
\(a\) is de richtingscoeffectient, dit betekent dat je '\(a\)' naar boven gaat, wanneer je er 1 naar rechts gaat
\(b\) is het snijpunt met de y-as. De coördinaten van dit snijpunt zijn dan ook \((0,b)\)
We spreken over een coördinaat in de tweede dimensie zodra er een \(x\) en een \(y\) waarde is. Deze wordt ook op deze volgorde zo genoteerd \((x,y)\).
Om te controleren of een punt op de grafiek ligt, vervang je letterlijk de \(x\) en de \(y\) door de twee waarden die er staan en ga je na of het linker- en rechterlid gelijk zijn aan elkaar.
Wanneer er gesproken wordt over twee lijnen die evenwijdig zijn, dan kan je concluderen dat de '\(a\)' gelijk zijn aan elkaar.
Tot slot gaan we nog een formule opstellen bij een grafiek, want zoals het begin van deze paragraaf zei: echter kan het ook zo zijn dat dit niet nauwkeurig genoeg af te lezen is of dat je een waarde moet hebben die buiten de grafiek valt.
In principe kan je hier een stappenplan voor volgen. Zolang je dit stappenplan aanhoudt bij het maken van een lineaire formule bij een lineaire grafiek, kom je altijd op een antwoord uit.
Noteer de standaard formule van een lijn
Bereken je rc (a) uit door eerst twee mooie roosterpunten te vinden en vervolgens de volgende deling uit te voeren\(\frac{verticaal\;verschil}{horizontaal\;verschil}\)
Vul nu één van de twee gekozen roosterpunten in je gemaakte formule en bereken het snijpunt met de verticale as (b)
Schrijf de formule nu netjes op
Lineaire grafieken
Wanneer je een lineaire formule hebt is het lastig om voor je te zien hoe deze er nu uit ziet. In deze paragraaf leer je hoe deze getekend dienen te worden en hoe je vervolgens oppervlaktes kan uitrekenen tussen de assen en de grafiek.
Basis: Uitleg aan de hand van een tekst met een volledig uitgeschreven voorbeeld.
Intensief: Uitleg aan de hand van een tekst met een volledig uitgeschreven voorbeeld en een video.
Top: Uitleg aan de hand van een tekst.
Basis (Lineaire grafieken)
Allereerst beginnen we deze paragraaf met een onderwerp om de opdrachten die later volgen te verduidelijken.
Net zoals in ons leven kunnen grafieken ook een naam hebben. Dit maakt het uiteindelijk makkelijker om aan te geven met welk lineair verband je nou exact bezig bent. Zo wordt de formule y = 2x - 5 bijvoorbeeld hernoemd naar de functie f(x) = 2x -5, vanaf nu heet de formule Fredje. De formule y = -3x + 12 gaan we vanaf nu Gertje noemen, dus g(x) = -3x + 12.
De vormen die genoteerd zijn beginnend met 'f(x) = ...' en 'g(x) = ...' noemen we functievoorschiften. Op de plek binnen de haakjes noteer je wat je in plaats van de variabele gaat plaatsen. Vb. f(3) = 2 × 3 - 5 = 1.
In het eerste leerjaar heb je geleerd wat je moet doen om snijpunten te vinden tussen de grafiek de verschillende assen. Zo weet je dat je de x gelijk moet stellen aan nul om het snijpunt met de verticale as te vinden. Wanneer je de y vervangt naar nul vind je de x-waarde waar de grafiek de horizontale as snijdt.
Met het eerste en het tweede stukje tekst gecombineerd kunnen we het volgende zeggen:
Snijpunt met de horizontale- (x-) as → f(x) = 0
Snijpunt met de verticale- (y-) as → f(0)
Voorbeeld
Gegeven zijn de functies \(f(x)=-2x+5\;en\;g(x)=x+2\).
a. Bereken het coördinaat van het snijpunt met de x-as
b. Bereken het coördinaat van het snijpunt met de y-as
c. Bereken het coördinaat van het snijpunt tussen de twee grafieken.
Let hierbij op dat het gaat om een oppervlakte, alle negatieve getallen die we hebben berekend worden positief. Er bestaan immers geen negatieve afstanden en oppervlakten.
Intensief (Lineaire grafieken)
Allereerst beginnen we deze paragraaf met een onderwerp om de opdrachten die later volgen te verduidelijken.
Net zoals in ons leven kunnen grafieken ook een naam hebben. Dit maakt het uiteindelijk makkelijker om aan te geven met welk lineair verband je nou exact bezig bent. Zo wordt de formule y = 2x - 5 bijvoorbeeld hernoemd naar de functie f(x) = 2x -5, vanaf nu heet de formule Fredje. De formule y = -3x + 12 gaan we vanaf nu Gertje noemen, dus g(x) = -3x + 12.
De vormen die genoteerd zijn beginnend met 'f(x) = ...' en 'g(x) = ...' noemen we functievoorschiften. Op de plek binnen de haakjes noteer je wat je in plaats van de variabele gaat plaatsen. Vb. f(3) = 2 × 3 - 5 = 1.
In het eerste leerjaar heb je geleerd wat je moet doen om snijpunten te vinden tussen de grafiek de verschillende assen. Zo weet je dat je de x gelijk moet stellen aan nul om het snijpunt met de verticale as te vinden. Wanneer je de y vervangt naar nul vind je de x-waarde waar de grafiek de horizontale as snijdt.
Met het eerste en het tweede stukje tekst gecombineerd kunnen we het volgende zeggen:
Snijpunt met de horizontale- (x-) as → f(x) = 0
Snijpunt met de verticale- (y-) as → f(0)
Voorbeeld
Gegeven zijn de functies \(f(x)=-2x+5\;en\;g(x)=x+2\).
a. Bereken het coördinaat van het snijpunt van f(x) en de x-as
b. Bereken het coördinaat van het snijpunt van f(x) de y-as
c. Bereken het coördinaat van het snijpunt tussen de twee grafieken.
Let hierbij op dat het gaat om een oppervlakte, alle negatieve getallen die we hebben berekend worden positief. Er bestaan immers geen negatieve afstanden en oppervlakten.
Top (Lineaire grafieken)
Allereerst beginnen we deze paragraaf met een onderwerp om de opdrachten die later volgen te verduidelijken.
Net zoals in ons leven kunnen grafieken ook een naam hebben. Dit maakt het uiteindelijk makkelijker om aan te geven met welk lineair verband je nou exact bezig bent. Zo wordt de formule y = 2x - 5 bijvoorbeeld hernoemd naar de functie f(x) = 2x -5, vanaf nu heet de formule Fredje. De formule y = -3x + 12 gaan we vanaf nu Gertje noemen, dus g(x) = -3x + 12.
De vormen die genoteerd zijn beginnend met 'f(x) = ...' en 'g(x) = ...' noemen we functievoorschiften. Op de plek binnen de haakjes noteer je wat je in plaats van de variabele gaat plaatsen. Vb. f(3) = 2 × 3 - 5 = 1.
In het eerste leerjaar heb je geleerd wat je moet doen om snijpunten te vinden tussen de grafiek de verschillende assen. Zo weet je dat je de x gelijk moet stellen aan nul om het snijpunt met de verticale as te vinden. Wanneer je de y vervangt naar nul vind je de x-waarde waar de grafiek de horizontale as snijdt.
Met het eerste en het tweede stukje tekst gecombineerd kunnen we het volgende zeggen:
Snijpunt met de horizontale- (x-) as → f(x) = 0
Snijpunt met de verticale- (y-) as → f(0)
Wanneer je de snijpunten heb berekend, kan je ook de oppervlakte van het ingesloten stuk berekenen.
Vergelijkingen met twee variabele
Al langer dan twee jaar ben je gewend dat een lineaire formule er in de vorm y=ax+b uit ziet. Echter bestaan er ook andere vormen van deze formule. px + qy = r is zo'n vorm en die gaan we in deze paragraaf bespreken. Wanneer je van deze tweede vorm terug gaat naar de standaard vorm, heb je in feite de y vrijgemaakt.
Basis: Uitleg aan de hand van een tekst met een volledig uitgeschreven voorbeeld.
Intensief: Uitleg aan de hand van een tekst met een volledig uitgeschreven voorbeeld en een video.
Top: Uitleg aan de hand van een tekst.
Basis (Vergelijkingen met twee variabele)
Naast dat je in deze paragraaf iets tegen komt wat je nog geen enkele keer heb gezien in de drie jaar dat je nu bezig bent met het vak wiskunde. Is er één ding heel erg fijn. In het eerste jaar heb je geleerd hoe een coördinaat eruit ziet. Dit is namelijk in de vorm (x ; y). Dit is bij een vergelijking met twee variabele niet anders.
In deze paragraaf gaan we controleren of coördinaten op de grafiek liggen. Daarnaast gaan we ook de formule weer terug zetten naar hoe we het gewend zijn; namelijk in de vorm y = ax + b.
Voorbeeld
Gegeven is de vergelijking 2x - y = 10.
Controleer of de volgende punten wel of niet een oplossing zijn van de vergelijking.
A(3, -4); B(-3, 4); C(5, 0); D(0, -10)
Uitwerking
Vervang de x door het eerste coördinaat en de y door het tweede coördinaat.
Er zijn ook situaties dat de in het dagelijks leven te gebruiken zijn. Wanneer je later als inkoper van een bedrijf twee producten koopt waarvan product A €15 en product B €20 kost. Dan kan je een vergelijking maken wanneer zodra je het eind bedrag weet. Stel dat het eindbedrag dat betaald is €140 is, dan is de bijbehorende vergelijking 15x + 20y = 140. Hierbij staat x voor het aantal keer dat je product A aanschaft en y voor het aantal keer dat je product B aanschaft.
Wanneer je een vergelijking in de vorm vanpx + qy = romzet naar de standaardvorm van y = ax + b dan heb je, zoals we dat noemen de y vrijgemaakt.
Wanneer je een letter vrijmaakt, dan zorg je ervoor dat alleen die enkele letter in het linkerlid staat. Alle andere letters en getallen staan dan in het rechterlid. Dit onderdeel heb je nodig voor de laatste paragraaf. We gaan hier in deze paragraaf alvast even mee oefenen.
Voorbeeld
a. Maak x vrij bij 5x - y= 10
b. Maak y vrij bij 2x + y = 7
Uitwerking
a. Bij het vrijmaken van x moet dus alles wat geen x is naar het rechter lid.
5x - y = 10
+y +y
5x = 10 + y
:5 :5 :5
x = 2 + 0,2y Het staat dan netter om letters vooraan te zetten dus: x = 0,2y + 2
b. Bij het vrijmaken van y moet dus alles wat geen y is naar het rechter lid.
2x + y = 7
-2x -2x
y = 7 - 2x Hier hetzelfde als bovenstaande, dus: y = -2x + 7
Intensief (Vergelijkingen met twee variabele)
Naast dat je in deze paragraaf iets tegen komt wat je nog geen enkele keer heb gezien in de drie jaar dat je nu bezig bent met het vak wiskunde. Is er één ding heel erg fijn. In het eerste jaar heb je geleerd hoe een coördinaat eruit ziet. Dit is namelijk in de vorm (x ; y). Dit is bij een vergelijking met twee variabele niet anders.
In deze paragraaf gaan we controleren of coördinaten op de grafiek liggen. Daarnaast gaan we ook de formule weer terug zetten naar hoe we het gewend zijn; namelijk in de vorm y = ax + b.
Voorbeeld
Gegeven is de vergelijking 2x - y = 10.
Controleer of de volgende punten wel of niet een oplossing zijn van de vergelijking.
A(3, -4); B(-3, 4); C(5, 0); D(0, -10)
Uitwerking
Vervang de x door het eerste coördinaat en de y door het tweede coördinaat.
2(3) - (-4) = 10 → 6 + 4 = 10 → 10 = 10 , dus ja A voldoet.
2(-3) - (4) = 10 → -6 -4 = 10 → -10 = 10 , dus nee B voldoet niet.
2(5) - (0) = 10 → 10 - 0 = 10 → 10 = 10. dus ja C voldoet.
2(0) - (-10) = 10 → 0 + 10 = 10 → 10 = 10, dus ja D voldoet.
Zie onderstaande video zodra de pijlen hierboven onoverzichtelijk blijken te zijn.
Er zijn ook situaties dat de in het dagelijks leven te gebruiken zijn. Wanneer je later als inkoper van een bedrijf twee producten koopt waarvan product A €15 en product B €20 kost. Dan kan je een vergelijking maken wanneer zodra je het eind bedrag weet. Stel dat het eindbedrag dat betaald is €140 is, dan is de bijbehorende vergelijking 15x + 20y = 140. Hierbij staat x voor het aantal keer dat je product A aanschaft en y voor het aantal keer dat je product B aanschaft.
Wanneer je een vergelijking in de vorm vanpx + qy = romzet naar de standaardvorm van y = ax + b dan heb je, zoals we dat noemen de y vrijgemaakt.
Wanneer je een letter vrijmaakt, dan zorg je ervoor dat alleen die enkele letter in het linkerlid staat. Alle andere letters en getallen staan dan in het rechterlid. Dit onderdeel heb je nodig voor de laatste paragraaf. We gaan hier in deze paragraaf alvast even mee oefenen.
Voorbeeld
a. Maak x vrij bij 5x - y= 10
b. Maak y vrij bij 2x + y = 7
Uitwerking
a. Bij het vrijmaken van x moet dus alles wat geen x is naar het rechter lid.
5x - y = 10
+y +y
5x = 10 + y
:5 :5 :5
x = 2 + 0,2y Het staat dan netter om letters vooraan te zetten dus: x = 0,2y + 2
b. Bij het vrijmaken van y moet dus alles wat geen y is naar het rechter lid.
2x + y = 7
-2x -2x
y = 7 - 2x Hier hetzelfde als bovenstaande, dus: y = -2x + 7
Top (Vergelijkingen met twee variabele)
Naast dat je in deze paragraaf iets tegen komt wat je nog geen enkele keer heb gezien in de drie jaar dat je nu bezig bent met het vak wiskunde. Is er één ding heel erg fijn. In het eerste jaar heb je geleerd hoe een coördinaat eruit ziet. Dit is namelijk in de vorm (x ; y). Dit is bij een vergelijking met twee variabele niet anders.
In deze paragraaf gaan we controleren of coördinaten op de grafiek liggen. Daarnaast gaan we ook de formule weer terug zetten naar hoe we het gewend zijn; namelijk in de vorm y = ax + b.
Er zijn ook situaties dat de in het dagelijks leven te gebruiken zijn. Wanneer je later als inkoper van een bedrijf twee producten koopt waarvan product A €15 en product B €20 kost. Dan kan je een vergelijking maken wanneer zodra je het eind bedrag weet. Stel dat het eindbedrag dat betaald is €140 is, dan is de bijbehorende vergelijking 15x + 20y = 140. Hierbij staat x voor het aantal keer dat je product A aanschaft en y voor het aantal keer dat je product B aanschaft.
Wanneer je een vergelijking in de vorm vanpx + qy = romzet naar de standaardvorm van y = ax + b dan heb je, zoals we dat noemen de y vrijgemaakt.
Wanneer je een letter vrijmaakt, dan zorg je ervoor dat alleen die enkele letter in het linkerlid staat. Alle andere letters en getallen staan dan in het rechterlid. Dit onderdeel heb je nodig voor de laatste paragraaf. We gaan hier in deze paragraaf alvast even mee oefenen.
Stelsels oplossen
Een brood kost €1 en de kosten van een luxe meergranen brood is €2. Op een dag zijn er 155 broden verkocht en is er €235 opgebracht aan de verkoop van broden. Hoeveel er nu van elk brood verkocht zijn is nu nog een raadsel, echter kan je dit wel oplossen aan de hand van een stelsel. Wanneer deze is opgesteld kan het worden opgelost en heb je overzichtelijk gemaakt hoeveel van elk brood is verkocht. Hoe je dit doet, gaan we in deze paragraaf behandelen.
Basis: Uitleg aan de hand van een tekst met een volledig uitgeschreven voorbeeld.
Intensief: Uitleg aan de hand van een tekst met een volledig uitgeschreven voorbeeld en een video.
Top: Uitleg aan de hand van een tekst.
Basis (Stelsels oplossen)
Wanneer je een stelsel gaat proberen op te lossen, dien je een vier stappen plan uit te voeren. Wanneer je aan dit stappen plan houdt, kom je uiteindelijk aan de oplossing van het lineaire probleem. Hieronder staat het stappenplan beschreven.
S1: Maak een letter vrij in één van de twee vergelijkingen. Het maakt in feite niet uit welke letter in welke vergelijking je vrij maakt. Logischerwijs kies je voor de letter waarbij de overige waarden zo mooi mogelijk blijven.
S2: Vul het antwoord van S1 in bij de andere vergelijking en los deze op.
S3: Vul het antwoord van S2 in bij het antwoord van S1 en los deze op.
S4: Geef de oplossing in de vorm van een coördinaat.
Voorbeeld
Los het volgende stelsel op: \(\bigg\{{\begin{matrix}6x-5y=6\\2x-y=-2\end{matrix}}\)
In bovenstaande voorbeeld wordt de y vrijgemaakt in de tweede vergelijking. Maar als je de andere letter of zelfs de andere vergelijking had gekozen, dan komt je uiteindelijk dus op hetzelfde antwoord uit. Zie hiervoor onderstaand voorbeeld.
Voorbeeld
Los het volgende stelsel op: \(\bigg\{{\begin{matrix}6x-5y=6\\2x-y=-2\end{matrix}}\)
Het antwoord is dus identiek, echter kost dit meer moeite omdat er breuken in je berekeningen zitten. Deze probeer je te vermijden, omdat de kans groter is dat je een foutje maakt.
Als allerlaatste onderdeel van dit hoofdstuk blijven we bij het onderwerk Stelsels Oplossen. Alleen nu in de vorm van een verhaal waarbij jij eerst zelf het stelsel moet maken.
Vaak staan er in een verhaal twee onderwerpen over de gekozen producten. Dit kunnen bijvoorbeeld 'geld en aantal' zijn of 'snelheid en tijd'. Zoek de gegevens met eenzelfde onderwerp, hier kan je vaak een vergelijking van maken. Zie onderstaand voorbeeld en probeer het vervolgens zelf.
Voorbeeld
Maak een stelsel bij het onderstaande verhaal en los deze op.
Een theaterzaal heeft plaatsen van €8 en €12. In totaal zijn er 280 plaatsen. Tijdens de laatste uitvoering van een stuk zijn alle plaatsen van de zaal bezet. De totale opbrengt van die avond bedraagd €2660.
Wanneer je een stelsel gaat proberen op te lossen, dien je een vier stappen plan uit te voeren. Wanneer je aan dit stappen plan houdt, kom je uiteindelijk aan de oplossing van het lineaire probleem. Hieronder staat het stappenplan beschreven.
S1: Maak een letter vrij in één van de twee vergelijkingen. Het maakt in feite niet uit welke letter in welke vergelijking je vrij maakt. Logischerwijs kies je voor de letter waarbij de overige waarden zo mooi mogelijk blijven.
S2: Vul het antwoord van S1 in bij de andere vergelijking en los deze op.
S3: Vul het antwoord van S2 in bij het antwoord van S1 en los deze op.
S4: Geef de oplossing in de vorm van een coördinaat.
Voorbeeld
Los het volgende stelsel op: \(\bigg\{{\begin{matrix}6x-5y=6\\2x-y=-2\end{matrix}}\)
In bovenstaande voorbeeld wordt de y vrijgemaakt in de tweede vergelijking. Maar als je de andere letter of zelfs de andere vergelijking had gekozen, dan komt je uiteindelijk dus op hetzelfde antwoord uit. Zie hiervoor onderstaand voorbeeld.
Uiteraard heb ik ook van dit voorbeeld een video gemaakt, die hier onder te vinden is. Voor extra oefening kun je ook een interactieve video bekijken via het programma Lesson Up. Je hoeft hiervoor geen account te hebben, klik hiervoor op de volgende link: https://LessonUp.app/invite/h/wfEnG8ahNMCRHncyH
Voorbeeld
Los het volgende stelsel op: \(\bigg\{{\begin{matrix}6x-5y=6\\2x-y=-2\end{matrix}}\)
Het antwoord is dus identiek, echter kost dit meer moeite omdat er breuken in je berekeningen zitten. Deze probeer je te vermijden, omdat de kans groter is dat je een foutje maakt.
Je gaat nu een opdracht stap voor stap doornemen.
Als allerlaatste onderdeel van dit hoofdstuk blijven we bij het onderwerk Stelsels Oplossen. Alleen nu in de vorm van een verhaal waarbij jij eerst zelf het stelsel moet maken.
Vaak staan er in een verhaal twee onderwerpen over de gekozen producten. Dit kunnen bijvoorbeeld 'geld en aantal' zijn of 'snelheid en tijd'. Zoek de gegevens met eenzelfde onderwerp, hier kan je vaak een vergelijking van maken. Zie onderstaand voorbeeld en probeer het vervolgens zelf.
Voorbeeld
Maak een stelsel bij het onderstaande verhaal en los deze op.
Een theaterzaal heeft plaatsen van €8 en €12. In totaal zijn er 280 plaatsen. Tijdens de laatste uitvoering van een stuk zijn alle plaatsen van de zaal bezet. De totale opbrengt van die avond bedraagd €2660.
Wanneer je een stelsel gaat proberen op te lossen, dien je een vier stappen plan uit te voeren. Wanneer je aan dit stappen plan houdt, kom je uiteindelijk aan de oplossing van het lineaire probleem. Hieronder staat het stappenplan beschreven.
S1: Maak een letter vrij in één van de twee vergelijkingen. Het maakt in feite niet uit welke letter in welke vergelijking je vrij maakt. Logischerwijs kies je voor de letter waarbij de overige waarden zo mooi mogelijk blijven.
S2: Vul het antwoord van S1 in bij de andere vergelijking en los deze op.
S3: Vul het antwoord van S2 in bij het antwoord van S1 en los deze op.
S4: Geef de oplossing in de vorm van een coördinaat.
Als allerlaatste onderdeel van dit hoofdstuk blijven we bij het onderwerk Stelsels Oplossen. Alleen nu in de vorm van een verhaal waarbij jij eerst zelf het stelsel moet maken.
Vaak staan er in een verhaal twee onderwerpen over de gekozen producten. Dit kunnen bijvoorbeeld 'geld en aantal' zijn of 'snelheid en tijd'. Zoek de gegevens met eenzelfde onderwerp, hier kan je vaak een vergelijking van maken.
Toets
Zodra je op dit punt bent gekomen, zou je klaar moeten zijn voor de toets. Deze zal ook digitaal afgenomen worden via Google Forms.
Om met de toets te kunnen starten wordt er eerst gevraagd naar jouw e-mail adres. Gebruik hiervoor je Edictum account. Dit is jouw schoolaccount waar je ook de Chromebook mee in komt.
Klik op onderstaande hyperlink en je zal bij de toets komen. Succes met het maken van de toets!
Het arrangement Mourik_Erkelens_WISADL01x is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Michael Mourik
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2021-11-07 22:36:30
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Lesdoel: Leerlingen zijn kundiger geworden met het oplossen van lineaire problemen
Leerjaar: 3
Niveau: vwo
Leerniveau
VWO 3;
Leerinhoud en doelen
Verbanden en formules;
Werken met representaties - lineair;
Rekenen/wiskunde;
Lineaire verbanden;
Werken met representaties - lineaire formule opstellen;
Vaktaal lineair;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
2 uur en 0 minuten
Mourik_Erkelens_WISADL01x
nl
Michael Mourik
2021-11-07 22:36:30
Lesdoel: Leerlingen zijn kundiger geworden met het oplossen van lineaire problemen
Leerjaar: 3
Niveau: vwo
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
eel is behandeld in het tweede leerjaar. Echter bestaat de mogelijkheid dat je dit even bent vergeten, bij deze een beeld van de voorkennis
