In de rekentechniek wordt de stof over kwadratische vergelijkingen en kwadratische functies uit de derde klas herhaald.
Opgaven
Los op
Kwadraatafsplitsen
Als je de vergelijking \((x−1)^2=4\) op moet lossen, kom je er nog wel uit als je de haakjes wegwerkt, je kunt dan ontbinden.
Met ontbinden lukt je dat waarschijnlijk niet als je de haakjes wegwerkt bij \((x−1)^2=5\).
Je lost de vergelijking \((x−1)^2=5\) handig op als volgt. \(\small (x−1)^2=5\) \(x - 1 = \sqrt 5\) of \(x - 1 =‐ \sqrt 5\) \(x = 1 + \sqrt 5\) of \(x = 1 - \sqrt 5\)
En \(2(x−1)^2=4\) oplossen gaat handig zo. \(2(x−1)^2=4\) \((x−1)^2=2\) \(x - 1 = \sqrt 2\) of \(x - 1 =‐ \sqrt 2\) \(x = 1 + \sqrt 2\) of \(x = 1 - \sqrt 2\)
Als je de haakjes wegwerkt bij \((x−1)^2=5\),
krijg je \(x^2−2x−4=0\).
Om \(x^2−2x−4\) te herschrijven tot \((x−1)^2−5\) moet je de omgekeerde weg bewandelen. Dat noemen we kwadraatafsplitsen.
Dus: \(x^2−6x+10 →[\text{KWADRAATAFSPLITSEN}]→ (x−3)^2+1\) \(x^2−5x+10 →[\text{KWADRAATAFSPLITSEN}]→ {(x - 2\frac{1}{2})^2} + 3\frac{3}{4}\) \(2x^2−8x+9 →[\text{KWADRAATAFSPLITSEN}]→ 2(x−2)^2+1\)
L-vormig gazon
Kwadraatafsplitsen
Splits het kwadraat af
We hebben steeds de oppervlakte van een L-vorm geschreven als het verschil in oppervlakte van twee vierkanten, bijvoorbeeld \(x^2+10x=(x+5)^2−25\).
We gebruiken dit bij het oplossen van vergelijkingen.
Voorbeeld
Los op:
\(x^2+10x+12\)
\(=\)
\(0\)
\(x^2+10x\) vervangen door \((x+5)^2−25\)
\((x+5)^2−25+12\)
\(=\)
\(0\)
Vereenvoudigen
\((x+5)^2−13\)
\(=\)
\(0\)
PLUS \(13\)
\((x+5)^2\)
\(=\)
\(13\)
\(x=‐5+\sqrt{13}\)
of
\(x=‐5−\sqrt{13}\)
Maximum of minimum
Als coëfficiënt vóór x^2 niet 1 is
Bekijk hoe je kwadraat afsplitst bij vormen waarin de coëfficiënt vóór \(x^2\) niet \(1\) is.
Voorbeeld 1:
\(y=2x^2+4x−7\)
de coëfficiënt van \(x^2\) buiten haakjes brengen
\(y=2(x^2+2x)−7\)
binnen de haakjes kwadraatafsplitsen
\(y=2((x+1)^2−1)−7\)
de buitenste haakjes wegwerken
\(y=2(x+1)^2−2−7\)
vereenvoudigen
\(y=2(x+1)^2−9\)
Voorbeeld 2:
\(y=‐x^2+4x−7\)
de coëfficiënt van \(x^2\) buiten haakjes brengen
\(y=‐(x^2−4x)−7\)
binnen de haakjes kwadraatafsplitsen
\(y=‐((x−2)^2−4)−7\)
de buitenste haakjes wegwerken
\(y=‐(x−2)^2+4−7\)
vereenvoudigen
\(y=‐(x+1)^2−3\)
Splits van de volgende vormen het kwadraat af
De abc-formule
Met behulp van kwadraatafsplitsen kun je de abc-formule bewijzen, zie hoofdstuk 29 van 3 vwo.
We citeren.
Of de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van \(D=b^2−4ac.\) We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
Discriminare (Latijn) betekent: onderscheid maken. (Hier wordt onderscheid gemaakt tussen het aantal oplossingen.)
De abc-formule (wortelformule)
De vierkantsvergelijking \(ax^2+bx+c=0\) met \(a≠0\) heeft
geen oplossingen als \(D<0\),
één oplossing als \(D=0\), namelijk: \(x=‐\frac{b}{2a}\) en
twee oplossingen als \(D>0\) namelijk: \(x=\frac{‐b+\sqrt{D}}{2a}\) of \(x=\frac{‐b-\sqrt{D}}{2a}\)
Voorbeeld: \(7x^2−6x+1=0\)
Deze vergelijking krijg je uit \(ax^2+bx+c=0\) door \(a=7\), \(b=‐6\) en \(c=1\) in te vullen. \(D=(‐6)^2−4⋅7⋅1=36−28=8\) (dus de vergelijking heeft twee oplossingen) \(\sqrt{D}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) \(x=\frac{‐(‐6)+2\sqrt{2}}{14}\) of \(x=\frac{‐(‐6)-2\sqrt{2}}{14}\) \(x=\frac{3}{7}+\frac{1}{7}\sqrt{2}\) of \(x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\sqrt{2}\)
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
