In de rekentechniek wordt de stof over kwadratische vergelijkingen en kwadratische functies uit de derde klas herhaald.
Opgaven
Los op
Kwadraatafsplitsen
Als je de vergelijking \((x−1)^2=4\) op moet lossen, kom je er nog wel uit als je de haakjes wegwerkt, je kunt dan ontbinden.
Met ontbinden lukt je dat waarschijnlijk niet als je de haakjes wegwerkt bij \((x−1)^2=5\).
Je lost de vergelijking \((x−1)^2=5\) handig op als volgt. \(\small (x−1)^2=5\) \(x - 1 = \sqrt 5\) of \(x - 1 =‐ \sqrt 5\) \(x = 1 + \sqrt 5\) of \(x = 1 - \sqrt 5\)
En \(2(x−1)^2=4\) oplossen gaat handig zo. \(2(x−1)^2=4\) \((x−1)^2=2\) \(x - 1 = \sqrt 2\) of \(x - 1 =‐ \sqrt 2\) \(x = 1 + \sqrt 2\) of \(x = 1 - \sqrt 2\)
Als je de haakjes wegwerkt bij \((x−1)^2=5\),
krijg je \(x^2−2x−4=0\).
Om \(x^2−2x−4\) te herschrijven tot \((x−1)^2−5\) moet je de omgekeerde weg bewandelen. Dat noemen we kwadraatafsplitsen.
Dus: \(x^2−6x+10 →[\text{KWADRAATAFSPLITSEN}]→ (x−3)^2+1\) \(x^2−5x+10 →[\text{KWADRAATAFSPLITSEN}]→ {(x - 2\frac{1}{2})^2} + 3\frac{3}{4}\) \(2x^2−8x+9 →[\text{KWADRAATAFSPLITSEN}]→ 2(x−2)^2+1\)
L-vormig gazon
Kwadraatafsplitsen
Splits het kwadraat af
We hebben steeds de oppervlakte van een L-vorm geschreven als het verschil in oppervlakte van twee vierkanten, bijvoorbeeld \(x^2+10x=(x+5)^2−25\).
We gebruiken dit bij het oplossen van vergelijkingen.
Voorbeeld
Los op:
\(x^2+10x+12\)
\(=\)
\(0\)
\(x^2+10x\) vervangen door \((x+5)^2−25\)
\((x+5)^2−25+12\)
\(=\)
\(0\)
Vereenvoudigen
\((x+5)^2−13\)
\(=\)
\(0\)
PLUS \(13\)
\((x+5)^2\)
\(=\)
\(13\)
\(x=‐5+\sqrt{13}\)
of
\(x=‐5−\sqrt{13}\)
Maximum of minimum
Als coëfficiënt vóór x^2 niet 1 is
Bekijk hoe je kwadraat afsplitst bij vormen waarin de coëfficiënt vóór \(x^2\) niet \(1\) is.
Voorbeeld 1:
\(y=2x^2+4x−7\)
de coëfficiënt van \(x^2\) buiten haakjes brengen
\(y=2(x^2+2x)−7\)
binnen de haakjes kwadraatafsplitsen
\(y=2((x+1)^2−1)−7\)
de buitenste haakjes wegwerken
\(y=2(x+1)^2−2−7\)
vereenvoudigen
\(y=2(x+1)^2−9\)
Voorbeeld 2:
\(y=‐x^2+4x−7\)
de coëfficiënt van \(x^2\) buiten haakjes brengen
\(y=‐(x^2−4x)−7\)
binnen de haakjes kwadraatafsplitsen
\(y=‐((x−2)^2−4)−7\)
de buitenste haakjes wegwerken
\(y=‐(x−2)^2+4−7\)
vereenvoudigen
\(y=‐(x+1)^2−3\)
Splits van de volgende vormen het kwadraat af
De abc-formule
Met behulp van kwadraatafsplitsen kun je de abc-formule bewijzen, zie hoofdstuk 29 van 3 vwo.
We citeren.
Of de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van \(D=b^2−4ac.\) We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
Discriminare (Latijn) betekent: onderscheid maken. (Hier wordt onderscheid gemaakt tussen het aantal oplossingen.)
De abc-formule (wortelformule)
De vierkantsvergelijking \(ax^2+bx+c=0\) met \(a≠0\) heeft
geen oplossingen als \(D<0\),
één oplossing als \(D=0\), namelijk: \(x=‐\frac{b}{2a}\) en
twee oplossingen als \(D>0\) namelijk: \(x=\frac{‐b+\sqrt{D}}{2a}\) of \(x=\frac{‐b-\sqrt{D}}{2a}\)
Voorbeeld: \(7x^2−6x+1=0\)
Deze vergelijking krijg je uit \(ax^2+bx+c=0\) door \(a=7\), \(b=‐6\) en \(c=1\) in te vullen. \(D=(‐6)^2−4⋅7⋅1=36−28=8\) (dus de vergelijking heeft twee oplossingen) \(\sqrt{D}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) \(x=\frac{‐(‐6)+2\sqrt{2}}{14}\) of \(x=\frac{‐(‐6)-2\sqrt{2}}{14}\) \(x=\frac{3}{7}+\frac{1}{7}\sqrt{2}\) of \(x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\sqrt{2}\)
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
