Wiskunde Dictaat

Wiskunde Dictaat

1 Machten

Benodigde voorkennis:

Je moet:

  • kunnen letterrekenen
  • de rekenvolgorde uit je hoofd kennen en kunnen toepassen
  • basisvaardig zijn in hoofdrekenen
  • vaardig zijn in het afronden bij vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.

Leerdoelen

Aan het einde van dit hoofdstuk:

  • ken je de rekenregels van machten uit je hoofd
  • kan j machten herleiden door de rekenregels toe te passen
  • (met je rekenmachine) machten uitrekenen en afronden

 

 

1.1 Macht, grondtal en exponent

Uitlegvideo WiskundeAcademie

Stel we hebben de factor \(2\) en we vermenigvuldigen dit drie keer met zichzelf:

\(2*2*2\)

Bovenstaande noemen we ook wel een product (vermenigvuldiging) van gelijke factoren.

Een macht is een 'herhaalde vermenigvuldiging van gelijke factoren'.(definitie)

Nu was het vorige voorbeeld nog wel makkelijk op te schrijven maar als we de \(2\) bijvoorbeeld zeven keer met zichzelf gaan vermenigvuldigen:

\(2*2*2*2*2*2*2\)

kunnen we het beter opschrijven als macht:

\(2^7\)

De factor \(2\) in de bovenstaande macht noemen we het grondtal. De \(^7\) noemen we de exponent. De exponent geeft dus aan hoevaak de factor/grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Samen vormen ze een macht.

Een macht: \(a^p\)​ bestaat uit een grondtal(\(a\)) en een exponent(\(^p\)). Het grondtal is de factor en de exponent geeft aan hoevaak het grondtal met zichzelf is vermenigvuldigd.

We spreken \(2^7\) uit als: "twee tot de 7e macht".

We spreken een macht uit als: '[grondtal] tot de [exponent]e macht'


Wanneer de exponent van een macht gelijk is aan 0, dan is de uitkomst van de macht 1.

\(12^0=1\)

Echter geldt dit niet wanneer het grondtal gelijk is aan 0. Want een macht met een grondtal van 0 geeft als uitkomst altijd 0:

\(0^3=0*0*0=0\)

Dus ook:

\(0^0=0\)

Wanneer de exponent gelijk is aan 0, dan is de uitkomst 1. Onder voorwaarde dat het grondtal niet gelijk is aan 0: \(a^0=1 \) als \(a\neq0\)

Opdracht 1

De legende van de rijstkorrel en het schaakbordChess PNG images

De Indiase koning Shirham verveelde zich op een dag en eiste daarom dat er een nieuwe spel zou worden uitgevonden. Na een paar dagen kwam de geleerde Sissa ben Dahir terug met een spel wat we tegenwoordig schaken noemde. De koning was zo verrukt op het spel dat hij Tegen Sissa zei: "Noem je beloning en je krijgt het!".

Sissa dacht even na, en zei toen: "Ik wil graag rijst. Ik wil graag 1 rijstkorrel op het 1e vlakje van het schaakbord. Op het 2e vlakje 2 en op het 3e vlakje 4. Op het 4e vlakje dan 8 en zo elke keer het dubbele van het vorige vlakje, totdat alle 64 vlakken gevuld zijn. De totale hoeveelheid rijst wat er dan op het bord ligt wil ik als beloning...".

  1. Hoeveel rijstkorrels komen er op het 6e vlakje?
  2. Hoeveel rijstkorrels komen er op het 8e vlakje?

Wanneer je telkens het dubbel neemt van het vorige vlakje is dit gelijk aan een vermenigvuldiging met de factor 2. Op 3e vlakje hadden we 4 rijstkorrels: Namelijk de 2 korrels van vlakje 2 en dat vermenigvuldigd met 2.

Het aantal rijstkorrels van het 3e vlakje kunnen we dus schrijven als:

\(2*2\)

Nu hebben we een product van gelijke factoren, oftewel we kunnen dit schrijven als macht. Het grondtal is 2 en de exponent ook.

\(2^2\)

Het aantal rijstkorrels van het 4e vlakje is dan gelijk aan:

\(2*2*2=2^3\)

  1. Vul de volgende tabel verder in:
vlakje 3 4 5 10 20 64
macht 22 23     29    
aantal korrels 4 8        

 

  1. Wat is de macht die bij het 1e vlakje hoort? Hoe spreken we deze macht uit?
  2. Maak een schatting van de grote van de berg rijst die bij vlakje 64 hoort. Schrijf dit getal op en bekijk daarna deze video.

Opdracht 2

Tot de nulde macht

Reken uit met je rekenmachine

  1. \(10^0= \)
  2. \(5^0= \)
  3. \(0^0=\)

Reken vanaf hier zonder rekenmachine

  1. \(1^0= \)
  2. \(14*92^0=\)
  3. Vul de volgende tabel verder in
\(10^3\) 1000
\(10^2 \) 100
\(10^1\)  
\(10^0\)  
\(10^{-1}\)  
\(10^{-2} \)  
\(10^{-3} \)  
  1. Vul de volgende tabel verder in
\(5^3\) 125
\(5^2 \) 25
\(5^1\)  
\(5^0\)  
\(5^{-1}\)  
\(5^{-2} \)  
\(5^{-3} \)  
  1. Hoeveel is \(a^0\)?

1.2 Vermenigvuldigen van machten

Uitlegvideo Wiskundeacademie

In de vorige parragraaf hebben we gezien dat we een herhaalde vermenigvuldiging van gelijke factoren kunnen schrijven als macht:

\(5*5*5*5=5^4\)

Voor letters werkt dit precies hetzelfde:

\(k*k*k=k^3\)

Maar hoe kunnen we nu een vermenigvuldigen van machten herleiden tot één macht? Stel we hebben:

\(3^2*3^4=?\)

Dan kunnen we dit ook schrijven als een herhaalde vermenigvuldiging van factoren:

\(3*3\)       \(*\)      \(3*3*3*3 = ?\)         

We hebben nu de factor 3 die 6 keer met zichzelf vermenigvuldigd word. Oftewel 3 tot de 6e macht:

\(3*3*3*3*3*3=3^6\)

We zien nu dat het grondtal gelijk is gebleven (3) en dat we de exponenten hebben opgeteld(2+4=6).

Dit werkt hetzelfde met letters:

\(d^3*d^2=d*d*d\)      \(*\)    \(d*d=d^5\)

Oftewel:

\(d^3*d^2=d^{3+2}=d^5\)

Wanneer je het product neemt van machten met hetzelfde grondtal, blijft het grondtal gelijk en tel je de exponenten op. Algemene regel: \(a^p*a^q=a^{p+q}\)

Opdracht 1

Schrijf je volgende producten van machten als één macht.

  1. \(4^2*4^3=\)
  2. \(7^6*7^0=\)
  3. \(a^5*a^2=\)
  4. \(t^{0,5}*t^{1,5}= \)
  5. \(a^x*a^y=\)

Als we even terugkijken naar ons eerste voorbeeld:

\(5*5*5*5=5^4\)

Dan staat hier eigenlijk:

\(5^1*5^1*5^1*5^1=5^{1+1+1+1}=5^4\)

Dus wanneer de exponent ontbreekt dan is deze gelijk aan 1. \(x =x^1\)

Opdracht 2

Herleidt de volgende producten van machten tot één macht.

  1. \(4^2*4=\)
  2. \(7*7^8*7*7^3=\)
  3. \(a*a^2*a^3*a^0=\)
  4. \(t^{0,5}*t^{0,5}= \)
  5. \(a*a^x=\)

Stel we hebben een opgave  met verschillende grondtallen:

\(a^2b^5*ab^2=\)

Aangezien we aan het vermenigvuldigen zijn mogen we de volgorde aanpassen. Daarnaast plaatsen we tussen de letters ook het vermenigvuldigingsteken. Zo kunnen we deze vergelijking dezelfde grondtallen bij elkaar plaatsen:

\(a^2*a*b^5*b^2=\)

Vervolgens kunnen we dezelfde grondtallen samennemen:

\(a^{2+1}*b^{5+2}=a^3b^7\)

Opdracht 3

Herleidt de volgende producten van machten.

  1. \(a^3n^4*a^2n^3=\)
  2. \(x^6y*y^3x^2=\)
  3. \(b*a^5b=\)
  4. \(t^{2,5}*p^3*t^{0,5}= \)
  5. \(a^x*y^0*a^2=\)

Verschillende grondtallen kan ook betekenen dat cijfer en letters door elkaar staan. Zoals jullie weten worden cijfers en letters aan elkaar geschreven wanneer ze vermenigvuldigd zijn met elkaar. Een voorbeeld van zo'n opgave is:

\(2^2a^2*2a^3=\)

Dit kan je vervolgens weer los van elkaar schijven door het vermenigvuldigingsteken er weer tussen te plaatsen:

\(2^2*a^2*2*a^3=\)

Vervolgens gaan we dezelfde grondtallen weer bij elkaar zetten en de machten samennemen:

\(2^2*2*a^2*a^3=2^{2+1}*a^{2+3}=2^3*a^5=\)

Uit eindelijk schrijven we dan weer de cijfers en letters aan elkaar:

\(2^3a^5\)

Opdracht 4

Herleidt de volgende producten van machten.

  1. \(2b^3*b^4=\)
  2. \(3^2x^6*3^4x^2=\)
  3. \(a^5y*a^2=\)
  4. \(4t^{2,5}*2p^3*t^{0,5}= \)
  5. \(2^2a^x*2y^x=\)

Alle bovenstaande regels en voorbeelden werken ook bij negatieve exponenten. Zo is:

\(2^{-2}*2^5=2^{-2+5}=2^3\)

en is:

\(k^{-3}*k^{-12}=k^{-3+-12}=k^{-3-12}=k^{-15}\)

Opdracht 5

Herleidt de volgende producten van machten.

  1. \(4^{-2}*4^4*=\)
  2. \(x^6*x^{-11}=\)
  3. \(2a^{-5}*2^2a^{-2}=\)
  4. \(t^{-2,5}p^{-3}*p^5t^{-4,5}= \)
  5. \(3a^x*3a^{-y}=\)

Soms krijg je te maken met een product van machten waarbij de grontallen verschillende getallen hebben:

\(2a^2*3=\)

In dit geval kan je de grondtallen (2 en 3) dus niet samennemen. Wel kan je de machten herschikken en de getallen met elkaar vermenigvuldigen:

\(2*a^3*3=2*3*a^3=6a^3\)

In sommige gevallen moet je hiervoor wel de macht eerst uitrekenen:

\(2*b^{-2}*3^2=2*3^2*b^{-2}=2*9*b^{-2}=18b^{-2}\)

Opdracht 6

Herleidt de volgende producten van machten.

  1. \(5p^3*3=\)
  2. \(2a*-6a^{-4}\)
  3. \(3^2a^5*4b^{-2}=\)
  4. \(t^{-2,5}*-9p^{-3}*p^5*3t^{-4,5}= \)
  5. \(-2a^2*-2^2a^x=\)

1.3 Delen van machten

Uitlegvideo Wiskundeacademie

In de vorige parragraaf heb je geleerd dat wanneer je machten met gelijke grondtallen vermenigvuldigd, de je exponenten mag optellen. Aangezien delen het tegenovergestelde van vermenigvuldigen is, moeten we de exponenten juist gaan aftrekken:

\(\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2}=a^3\)

Dit is ook te zien wanneer we de machten gaan schrijven als herhaalde vermenigvuldigingen:

\(\frac{a^5}{a^2}=\frac{a*a*a*a*a}{a*a}=\frac{ /*/*a*a*a}{/*/}=a^3\)

In bovenstaande vergelijking zijn bij stap 3 aan de boven en onderkant van de deelstreep 2 a'tjes weggestreept.

Bij een deling van machten met hetzelfde grondtal, blijft het grondtal gelijk en trek je de exponenten van elkaar af. Algemene regel: \(\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)

Opdracht 1

Herleidt de volgende deling van machten.

  1. \(\frac{b^4}{b^2}= \)
  2. \(\frac{t^3}{t}=\)
  3. \(\frac{3^9}{3^4}=\)
  4. \(​​\frac{4^3}{4}=\)
  5. \(\frac{a^x}{a^y}=\)

Wanneer we de volgende opgave hebben:

\(\frac{2^3}{2^3}=\)

Dan hoop ik dat je meteen ziet dat het antwoord 1 moet zijn. De teller en noemer zijn namelijk precies hetzelfde. Dit is nog makkelijker te zien wanneer je de machten uitrekend:

\(\frac{2*2*2}{2*2*2}=\frac{8}{8}=1\)

Dat deze opgave gelijk is aan 1, is ook te bewijzen met de machtenregel voor het delen, die je zojuist hebt geleerd:

\(\frac{2^3}{2^3}=2^{3-3}=2^0=1\)

Opdracht 2

Herleidt de volgende deling van machten.

  1. \(\frac{b^4}{b^0}= \)
  2. \(\frac{t^0}{t^2}=\)
  3. \(\frac{3^4}{3^{-9}}=\)
  4. \(​\frac{4p^3}{p^0}=\)
  5. \(\frac{a^x}{a^y}=\)

Net zoals bij vermenigvuldigingen kunnen we bij delen ook machten krijgen met verschillende grondtallen:

\(\frac{a^5d^{-2}}{da^2}=\)

Net zoals bij vermenigvuldigen mogen we ook nu weer de volgorde veranderen. hierbij splitsen we meteen de breuken op:

\(\frac{a^5}{a^2}*\frac{d^{-2}}{d^1}=\)

Vervolgens rekenen we beide breuken afzonderlijk uit:

\(a^{5-2}*d^{-2-1}=a^3*d^{-3}=a^3d^{-3}\)

Opdracht 3

Herleidt de volgende deling van machten.

  1. \(\frac{r^3d^4}{r^2d^2}= \)
  2. \(\frac{a^5b^7}{b^2a^8}=\)
  3. \(\frac{3^4x^2}{3^{-9}x^8}=\)
  4. \(​\frac{4p^{-3}}{2p^{12}}=\)
  5. \(\frac{b^2a^{-11}}{a^y}=\)

Stel we hebben de waarde 0,1 en schrijven dit in de wetenschappelijk notatie:

\(0,1=1*10^{-1}\)

We weten ook dat:

\(0,1=\frac{1}{10}\)

Als we bij de laatste weergave van deze macht ook de exponent erbij schrijven, dan zien we dus dat:

\(10^{-1}=\frac{1}{10^1}\)

De macht is verplaatst naar de onderkant van de breuk, en dat de exponent is veranderd van -1 naar +1.

We zien als we een ander voorbeeld pakken, dat dit wederom het geval is:

\(10^{-2}=0,01=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}\)

Nu is de vraag, zou het ook werken wanneer we begonnen met een positieve exponent:

\(10^2=\frac{1}{10^{-2}}???\)

We weten dat \(a^0=1\), als we stellen a=10 dan krijgen we \(10^0=1\). Dus:

\(\frac{1}{10^{-2}}=\frac{10^0}{10^{-2}}\)

Vervolgens kunnen we met de machtenrekenregel voor delen verder rekenen. En dan zien we dat het klopt!

\(\frac{10^0}{10^{-2}}=10^{0--2}=10^{0+2}=10^2\)

\(\)Als je een macht naar de andere kant van de breukstreep brengt is het enige wat veranderd het teken van de exponent. \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\)

Opdracht 4

Herleidt de volgende deling van machten zodat er geen negatieve exponenten zijn.

  1. \(\frac{c^{2}}{c^6}= \)
  2. \(\frac{a^5b^7}{b^2a^8}=\)
  3. \(\frac{3^4x^2}{3^{-9}x^8}=\)
  4. \(​\frac{4p^{-3}}{2p^{12}}=\)
  5. \(\frac{b^2a^{-11}}{a^y}=\)

 

1.4 Machten van machten

Uitlegvideo Wiskundeacademie

Stel we hebben de macht \(k^2\) en doen die tot de 3e macht:

\((k^2)^3= \)

We hebben dan \(k^2\) die we 3 keer met zichzelf vermenigvuldigen:

\(k^2*k^2*k^2=\)

\(k^2\) kunnen we schrijven als \(k*k\) dan krijgen we:

\(k*k\)    \(*\)    \(k*k\)    \(*\)    \(k*k=k^6\)

We hadden dit antwoord ook gekregen wanneer we direct de exponenten met elkaar hadden vermenigvuldigd:

\((k^2)^3=k^{2*3}=k^6 \)

Wanneer we een macht van een macht nemen, moeten we de exponenten vermenigvuldigen: \((a^p)^q=a^{p*q}\)

Opdracht 1

Herleidt de volgende machten van machten.

  1. \((a^4)^2=\)
  2. \((b^{-2})^3=\)
  3. \((5^2)^3=\)
  4. \((3^{-2})^{-9}=\)
  5. \((c^a)^b=\)

We nemen nu een voorbeeld met 2 verschillende grondtallen binnen de haakjes:

\((xy^2)^4=\)

Wanneer we dit weer uitschrijven naar vermenigvuldigingen krijgen we:

\(xy^2*xy^2*xy^2*xy^2=x*y^2*x*y^2*x*y^2*x*y^2=\)

De volgorde passen we weer aan zodat dezelfde grondtallen bij elkaar staan:

\(x*x*x*x*y^2*y^2*y^2*y^2=x*x*x*x*y*y*y*y*y*y*y*y=x^4y^8\)

Als we de rekenregel toepassen zien we dat we op hetzelfde antwoord uitkomen:

\((xy^2)^4=(x^1y^2)^4=x^{1*4}y^{2*4}=x^4y^8\)

Opdracht 2

Herleidt de volgende machten van machten.

  1. \((a^4b^2)^3=\)
  2. \((2^2b^3)^{-2}=\)
  3. \((5a^2)^8=\)
  4. \(2(c^3)^{-11}= \)
  5. \((2c^a)^{-b}=\)

1.5 Optellen en aftrekken van machten

Optellen van machten

1.6 Machten met een negatief grondtal

1.7 Machten en haakjes

1.8 Macht schrijven als wortel

1.9 Afronden van machten

Wanneer je de volgende macht uitrekend:

\(2,06^{3,6}=13,487...\)

Dan zul je het antwoord moeten afronden. Hierbij kijk je naar de minste aantal signicante cijfers. De 3,6 in het bovenstaande voorbeeld heeft 2 significante cijfers. Het antwoord ronden we af op evenveel significante cijfers:

\(2,06^\color{red}{3,6}=\color{red}{13},487...=\color{red}{13}\)

Een macht rond je af op het minste aantal significante cijfers van grondtal of exponent


Aangezien we bij vermenigvuldigen, delen voor het afronden ook naar het minste aantal significante cijfers kijken, kunnen we ook het volgende voorbeeld correct afronden:

\( 2,06^{0,441}*0,\color{red}{61}=0,\color{red}{83}8967...=0,\color{red}{84}\)

Let op!

Constanten laten we bij het afronden buiten beschouwing

Opdracht 1

Reken uit met je rekenmachine en rond af

(machten opdrachten)

 

Opdracht 2

Reken uit met je rekenmachine en rond af

(gemixte opdrachten)

 

Opdracht 3

Bereken de oppervlakte (\(A\)) van een cirkel met een straal(\(r\)) van 0,75 cm.

\(A=\pi*r^2 \)

 

 

1.10 Samenvatting en antwoorden

Samenvatting

 

 

1.1 Macht, grondtal en exponent

Opdracht 1

  1. \(2^5=32 \)                     
  2. \(2^7=128\)
  3. vlakje 3 4 5 10 20 64
    macht 22 23 24   29 219 263
    aantal korrels 4 8 16 512 524.288 9,22*1018
  4. \(2^0\) 'twee tot de 0e macht'
  5. -

Opdracht 2

  1. 1
  2. 1
  3. 0
  4. 1
  5. 14
  6. \(10^3\)
    1000
    \(10^2 \) 100
    \(10^1\) 10
    \(10^0\) 1
    \(10^{-1}\) 0,1
    \(10^{-2} \) 0,01
    \(10^{-3} \) 0,001

 

  1. \(5^3\)
    125
    \(5^2 \) 25
    \(5^1\) 5
    \(5^0\) 1
    \(5^{-1}\) 0,2
    \(5^{-2} \) 0,04
    \(5^{-3} \) 0,008
  2. \(a^0=1\)

1.2 Vermenigvuldigen van machten

Opdracht 1

  1. \(4^5 \)
  2. \(7^6\)
  3. \(a^7\)
  4. \(t^2\)
  5. \(a^{x+y}\)

Opdracht 2

  1. \(4^3\)
  2. \(7^{13}\)
  3. \(a^6\)
  4. \(t\)
  5. \(a^{1+x}\)

Opdracht 3

  1. \(a^5n^7 \)
  2. \(x^9y^4\)
  3. \(a^5b^2\)
  4. \(p^3t^3\)
  5. \(a^{x+2}\)

Opdracht 4

 

Opdracht 1.1

Opdracht 1.1

Opdracht 1.1

Opdracht 1.1

Opdracht 1.1

 

Wortels

Benodigde voorkennis:

- Je moet kunnen letterrekenen

- Je moet de rekenvolgorde uit je hoofd kennen

- Je moet basisvaardig zijn in hoofdrekenen

- Je moet basisvaardig zijn in het afronden

 

Leerdoelen

Aan het einde van dit hoofdstuk kan je:

- zonder rekenmachine eenvoudige wortels vereenvoudigen

- met je rekenmachine wortels uitrekenen

- antwoorden van wortels correct afronden

1. Vermenigvuldigen en delen van wortels

1. Vermenigvuldigen en delen van wortels

  • Rekenregel voor het vermenigvuldigen van wortels:\(\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
  • Rekenregel voor het delen van wortels: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

2. Afronden van wortels

  • Wortels rond je af op het minste aantal significante cijfers (net zoals bij machten, vermenigvuldigen en delen)
  • constanten laten we buiten beschouwing bij het bepalen van het minst aantal significante cijfers.

Uitlegvideo Wiskundeacademie

Hoe vermenigvuldig je twee wortels met elkaar? Dit gaan we onderzoeken:

\(2*2=4 \)

We weten ook dat \(\sqrt{4} \) gelijk is aan \(2 \). Ook weet je vast dat \(\sqrt{16}\) gelijk is aan \(4\). We kunnen dan de volgende vergelijking opstellen door de wortels in het 1e voorbeeld in te vullen:

\(\sqrt{4}*\sqrt{4}=\sqrt{16}\)

Aangezien \( 16\) gelijk is aan \( 4*4\) kunnen we ook dit vervangen:

\(\sqrt{4}*\sqrt{4}=\sqrt{4*4}\)

Vermenigvuldigen van wortels doe je dus door de getallen/letters onder de wortel met elkaar te vermenigvuldigen en hierover de wortel te nemen: \(\color{blue}{\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{ab}}\)

Stel we hebben de volgend opgave:

\(\sqrt{4}*\sqrt{9}=\)

Met de rekenregel die we net hebben geleerd krijgen we dan:

\(\sqrt{4}*\sqrt{9}=\sqrt{4*9}=\sqrt{36}=6\)

Wanneer we de afzonderlijke wortels hadden uitgerekend kwamen we ook op het goede antwoord:

\(\sqrt{4}*\sqrt{9}=2*3=6\)

Wederom zien we dat de rekenregel voor het vermenigvuldigen klopt.

Wanneer je een opgave hebt waar geen rond getal uit komt:

\(\sqrt{5a}*\sqrt{4}=\)

Laten we de wortel gewoon staan:

\(\sqrt{5a*4}=\sqrt{20a}\)

Opdracht 1.1

Pas de rekenregel voor het vermenigvuldigen toe op de ondestaande opgaven. Schrijf eerst als één wortel en reken daarna waar mogelijk de wortel uit.

  1. \(\sqrt{2}*\sqrt{2}=\)
  2. \(\sqrt{5}*\sqrt{20}=\)
  3. \(\sqrt{5}*\sqrt{25}*\sqrt{80}=\)
  4. \(\sqrt{b}*\sqrt{d}=\)
  5. \(\sqrt{8a}*\sqrt{2b}=\)

Wanneer we wortels gaan delen mogen we net zoals bij het vermenigvuldigen de deling binnen 1 wortel schrijven:

\(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{8}{4}}=\sqrt{2}\)

De rekenregel die daarbij hoort is: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

Opdracht 1.2

Pas de rekenregel voor het delen toe op de ondestaande opgaven:

  1. \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\)
  2. \(\frac{\sqrt{2p}}{\sqrt{p}}=\)
  3. \(\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{25}}=\)
  4. \(\sqrt{b}/\sqrt{d}=\)
  5. \(\frac{\sqrt{8a}}{\sqrt{2b}}=\)

Opdracht 1.3

Pas de rekenregel voor het herleiden van wortels toe op onderstaande opgaven:

  1. \(\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}*\sqrt{7}=\)
  2. \(\frac{\sqrt{2p}*\sqrt{4}}{\sqrt{p}}=\)
  3. \(\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{3b}*\sqrt{4c}}=\)
  4. \(\sqrt{x}/\sqrt{x}*\sqrt{a}=\)
  5. \(\frac{\sqrt{8a}*\sqrt{4b}}{\sqrt{2a}}=\)

Samenvatting

  • Rekenregel voor het vermenigvuldigen van wortels:\(\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
  • Rekenregel voor het delen van wortels: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)
  • Beide regels kunnen door elkaar gebruikt worden

2. Afronden van wortels

Wanneer je de volgende opgave met je rekenmachine uitrekend:

\(\sqrt[3,6]{2,06}=1,22232...\)

Dan zul je het antwoord moeten afronden. Hierbij kijk je naar de minste aantal signicante cijfers. De 3,6 in bovenstaande opgave heeft 2 significante cijfers. Het antwoord ronden we af op evenveel significante cijfers:

\(\sqrt[{\color{red}{3,6}}]{2,06}={\color{red}{1,2}} \)

Wortels rond je af op het minste aantal significante cijfers (net zoals bij machten, vermenigvuldigen en delen).

Aangezien we zowel bij wortels en o.a. delen naar de significante cijfers kijken, kunnen we de volgende opave juist afronden:

\(\frac{\sqrt[3,603]{2,662}}{\color{red}{3,12}}=0,\color{red}{418}827=0,\color{red}{419}\)

Aangezien het cijfer na de significante cijfers een 5 of hoger is (namelijk een 8), hebben we naar boven afgerond.

Let op!

We laten (ook) bij het afronden van wortels constanten buiten beschouwing bij het bepalen van het minst aantal significante cijfers.

opdracht 1

Reken uit met je rekenmachine en rond af:

  1. \(\sqrt[3,16]{2,6}=\)
  2. \(\sqrt[0,12]{16,3}=\)
  3. \(\sqrt[5,14]{34}=\)
  4. \(18,15*\sqrt[2,66]{9,87}=\)
  5. \(\sqrt[7,026]{\frac{2,62}{8,900}}=\)​

3. Antwoorden opdrachten

Opdracht 1.1

  1. \(\sqrt{2*2}=\sqrt{4}=2\)
  2. \(\sqrt{5*20}=\sqrt{100}=10\)
  3. \(\sqrt{10000}=100\)
  4. \(\sqrt{bd}\)
  5. \(\sqrt{16ab}=\sqrt{16}*\sqrt{ab}=4\sqrt{ab}\)

 

Opdracht 1.2

  1. \(\sqrt{12/3}=\sqrt{4}=2\)
  2. \(\sqrt{\frac{2p}{p}}=\sqrt{2}\)
  3. \(\sqrt{8}=(\sqrt{4*2}=\sqrt{4}*\sqrt{2}=2*\sqrt{2}=2\sqrt{2})\)
  4. \(\sqrt{b/d}\)
  5. \(\sqrt{\frac{4a}{b}}\)

 

Opdracht 1.3

  1. \(\sqrt{2}*\sqrt{7}=\sqrt{14}\)
  2. \(\frac{\sqrt{2p*4}}{\sqrt{p}}=\frac{\sqrt{8p}}{\sqrt{p}}=\sqrt{8}\)
  3. \(\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{12bc}}=\sqrt{\frac{2a}{12bc}}=\sqrt{\frac{a}{6bc}}\)
  4. \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}*\sqrt{a}=\sqrt{a}\)
  5. \(\sqrt{16b}\)

opdracht 2.1

  1. \(1,35...=1,4\)
  2. \(1,26...*10^{10}=1,3*10^{10}\)
  3. \(1,98...=2,0\)
  4. \(42,92...=42,9\)
  5. \(0,8402...=0,840 \)

4. Samenvatting

1. Vermenigvuldigen en delen van wortels

  • Rekenregel voor het vermenigvuldigen van wortels:\(\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
  • Rekenregel voor het delen van wortels: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

2. Afronden van wortels

  • Wortels rond je af op het minste aantal significante cijfers (net zoals bij machten, vermenigvuldigen en delen)
  • constanten laten we buiten beschouwing bij het bepalen van het minst aantal significante cijfers.

Machten les 1

lesdoelen

 

Instructie

Vermenigvuldigen van machten

Delen van machten

Aantekeningen

Opdrachten

Machten les 2

lesdoelen

Aan het einde van de les:

  • kan je eenvoudige machten vereenvoudigen door middel van
    • vermenigvuldigen
    • delen
    • optellen
    • aftrekken
  • kan je machten van machten berekenen
  • kan je bovenstaande combineren

Instructie

Letterrekenen (werkt hetzelfde voor machten)

Optellen van machten

Aantekeningen

Opdrachten

Machten les 3

lesdoelen

Aan het einde van de les:

  • kan je machten afronden
  • beheers je alle vormen van vereenvoudigen van machten

Instructie(Video)

Afronden van machten Video

Aantekeningen

Opdrachten

Wortels/Oneigenlijke machten

H2 Wortels

 

H3 Oneigenlijke machten

Antwoordenboeken

les 2

lesdoelen

Aan het einde van de les:

  1. Is je voorkennis m.b.t. isoleren opgehaald (P2.1)
  2. Kan je eenvoudige opgaven oplossen waarbij de onbekende in de noemer staat

Instructie

Opdrachten

les 3

lesdoelen

aan het einde van de les:

  1. kan je vergelijkingen oplossen waarbij de onbekende in de noemer staat
  2. kan je dit ook doormiddel van het omklappen van de breuken

Instructie

Afronden van machten Video

Opdrachten

les 4

lesdoelen

aan het einde van de les:

  1. kan je de onbekende isoleren uit gecombineerde vergelijkingen

Opdrachten

les 5 (snijpunten van 2 lineaire functies)

lesdoelen

aan het einde van de les:

  1. heb je de kennis m.b.t. het berekenen van snijpunten tussen lineaire functies opgehaald
  2. begrijp je methode 1 (gelijkstellen) en kan je deze toepassen
  3. begrijp je methode 3 (stelsel van vergelijkingen oplossen en kan je deze toepassen bij simpele functies.

Instructie

Snijpunten berekenen d.m.v. gelijkstellen

Snijpunten berekenen d.m.v. het oplossen van een stelsel van vergelijkingen

Opdrachten

les 6

lesdoelen

aan het einde van de les:

  1. Kan je een stelsel van vergelijkingen oplossen

Opdrachten

les 7

lesdoelen

aan het einde van de les:

  1. begrijp je de methodes van het snijpunten berekenen tussen lineaire functies en kun je deze toepassen

Instructie

Zie instructie les 5

Opdrachten

Oefentoets

Rekenexamen 2F 20 januari

https://oefenen.facet.onl/facet/pages/oefen/mbo/?menu=3_1
Oefenen rekenexamens