Op deze website vind je alle informatie voor het vak wiskunde voor de klas 2 mavo (gemengd)theoretische leerweg)voor leerlingen van 't R@velijn.
Deze onlinemethode is gebaseerd op de stercolletie* van VO content, maar aangepast en verrijkt door de docenten van 't Ravelijn. Voor vragen of opmerkingen kunt u contact opnemen met Dhr. Vriends of Dhr. van der Giessen
* De stercollectie is ontwikkeld op basis van de kerndoelen basisvorming en de door de SLO ontwikkelde inhoud- enleerdoelspecificaties voor het vak wiskunde.
‘t Ravelijn is een middelbare school in Steenbergen voor mavo en voorbereidend MBO
Een nieuw jaar, een nieuwe start en weer heel wat wiskundige onderwerpen om te ontdekken. Want, na één jaar wiskunde heb je pas het topje van de ijsberg ontdekt, er is nog veel meer wiskunde in de wereld om je heen. Zoals je inmiddels wel weet is wiskunde helaas niet altijd meteen zichtbaar. Door de wiskundelessen leer jij langzaam steeds meer wiskunde in de wereld om je heen te ontdekken.
introductie - opgave 1
introductie - opgave 2
bekijk het filmpje
introductie - opgave 3
introductie - opgave 4
In de leertaak komen de antwoorden en uitwerkingen.
Elke ochtend kijk je vast even in de spiegel. Je bent dan met symmetrie bezig zonder dat je het door hebt. Of knipt jou vader of moeder de heg in de tuin ook altijd zo netjes? Ook dan ben je met symmetrie bezig.
In de kunst of in de mode wereld kom je ook heel veel symmetrie tegen, maar ook iemand die de glazen van je bril maakt werkt veel met symmetrie. Symmetrie kom je dus heel veel tegen. Had je dat zelf ook al ontdekt?
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Ik kan uitleggen wat symmetrie is.
Ik kan een symmetrie-as in een figuur tekenen
Ik kan een figuur spiegelen in een lijn.
Ik herken een draaisymmetrische figuur.
Ik kan de kleinste draaihoek van een draaisymmetrische figuur berekenen.
Ik weet dat overstaande hoeken even groot zijn.
Ik kan hoeken berekenen met overstaande hoeken.
Ik kan een puntsymmetrische figuur tekenen.
Ik kan uitleggen wat schuifsymmetrie is.
Ik kan een patroon en een motief herkennen.
Ik kan een patroon doortekenen.
Ik kan de eigenschappen van een gelijkbenige driehoek benoemen.
Ik kan de tophoek en basishoeken van een gelijkbenige driehoek aanwijzen.
Ik kan symmetrieassen tekenen in gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken.
Ik kan de eigenschappen van een gelijkzijdige driehoek benoemen.
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
1.1 Lijnsymmetrie
Inleiding.
De eerste paragraaf van hoofdstuk 1 gaat over (lijn)symmetrie. We behandelen de volgende leerdoelen.
Leerdoelen bij paragraaf 1.
Je kunt lijnsymmetrie herkennen.
Je kunt de symmetrieas aanwijzen.
Je kunt een figuur spiegelen in een lijn.
Kennisbank
Wat is symmetrie?
Een symmetrische figuur bestaat uit twee helften die precies op elkaar passen. Kijk maar naar de vlinder hieronder.
Je kunt ook zeggen dat je de twee helften op elkaar kunt vouwen.
De lijn waarom je vouwt heet de spiegelas of symmetrieas. We noemen dit ook wel spiegelsymmetrie of lijnsymmetrie.
Je krijgt hetzelfde effect als je de ene helft tegen de spiegel houdt; in de spiegel krijg je dan de andere helft te zien.
Soms kun je een figuur op verschillende manieren dubbelvouwen, kijk maar eens naar de afbeelding hieronder.
Symmetrie wil dus zeggen aan beide kanten gelijk.
H1.1 opdracht 1
Teken in iedere figuur de spiegelassen; De lijn waarlangs je de figuur kunt dubbelvouwen.Op je werkblad staat de volgende afbeelding.
Let op! Het kan zo zijn dat de figuur geen spiegelassen heeft.
H1.1 opdracht 2
Op je werkblad staat de volgende afbeelding.
Welke figuren hebben precies twee symmetrieassen? Noteer de nummers van de figuren in je schrift. Teken met rood kleurpotlood beide symmetrieassen in de figuren. .
Welke figuur heeft geen symmetrieassen? .
Welke figuur heeft precies één symmetrieas? Teken met groen kleurpotlood de symmetrieas. .
Welke figuur heeft 5 symmetrieassen? Teken met blauw kleurpotlood de symmetrieassen.
H1.1 opdracht 3
Bekijk de afbeelding hiernaast. Geef daarna van iedere figuur het aantal symmetieassen aan (spiegellijnen)
Maak een schema in je schrift:
Figuur
Aantal symmetrieassen
A
B
C
D
* heeft een figuur geen symetrieassen schrijf dan nul op (0)
H1.1 opdracht 4
Schrijf in je schrift de definitie (betekenis) op van het begrip symmetrie.
Vindt je lijnsymmetrie nog lastig? oefen dan verder door op de knop applet te klikken.
H1.1 opdracht 5
Bekijk de afbeelding hieronder. Je ziet hier verschillende logo's.
Geef van iedere logo het aantal symmetrieassen aan. Noteer de antwoorden in je ruitjesschrift
H1.1 opdracht 6
Hierboven zie je 3 figurren.
Het eerste logo, de ster, hoeveel symmetrieassen kun je daar in tekenen?
Het tweede logo is niet lijnsymmetisch. Schrijf in je ruitjesschrift op waarom dit logo niet lijnsymmetrisch is.
Als 3e logo zie je het logo van de Euopese unie. Teken op het werkblad de symmetrieassen in dat logo.
H1.1 opdracht 7
Veel logo’s zijn lijnsymmetrisch.
Het logo hiernaast is opgebouwd uit rechthoekjes en vierkantjes.
Is het logo lijnsymmetrisch?
Zo ja, teken alle symmetrieassen.
H1.1 opdracht 8
Je ziet de 26 hoofdletters uit het alfabet.
Welke hoofdletters zijn lijnsymmetrisch?
Welke hoofdletters hebben twee of meer symmetrieassen?
Teken op je werkblad de symmetrieassen in de letters.
1.2 Spiegelen
Inleiding.
De tweede paragraaf van hoofdstuk 1 gaat over spiegelen door een lijn. Nu je namelijk weet wat lijnsymmetrie is, kunnen we daar verder mee experimenteren. Behalve dat we een figuur kunnen vouwen op zichzelf kunnen we een figuur namelijk ook spiegelen door een lijn.
Leerdoelen bij paragraaf 1.
Ik kan lijnen loodrecht op elkaar tekenen met behulp van mijn geodriehoek.
Ik kan de middelloodlijn tekenen.
Ik weet dat een middelloodlijn het midden tussen twee punten aangeeft.
Je kunt een figuur spiegelen in een lijn.
Kennisbank
Loodrecht tekenen.
Voordat we figuren gaan spiegelen door een lijn herhalen we eerst onze kennis over het tekenen van loodrechte lijnen.
Bekijk het eerste filmpje (linker) hieronder maar eens.
Loodrecht tekenen met je geodriehoek
Middelloodlijn tekenen
Middelloodlijn.
Behalve een loodrechte lijn tekenen met je geodriehoek leren we ook wat een middelloodlijn is. De naam zegt het eigenlijk al: Middel → het midden en loodlijn → loodrecht.
Een middelloodlijn teken je dus precies in het midden van een lijn, loodrecht erop.
Een middelloodlijn geeft het midden tussen twee punten aan.
Bekijk het tweede filmpje hierboven maar eens (rechter)
H1.2 opdracht 1
Bekijk de afbeelding op je werkblad.
Meet met je geodriehoek de hoeken na. Zet in loodrechte hoeken het loodrecht tekentje.
H1.2 opdracht 2
Bekijk de afbeelding hiernaast. Deze staat ook op je werkblad.
Meet de lengte van lijn P. Zet dit bij lijn P.
Teken de middelloodlijn van lijn P.
Teken door T de lijn g loodrecht op lijn P.
Teken door O de lijn n loodrecht op lijn P.
H1.2 opdracht 3
Op je werkblad staan verschillende punten. Lees de vragen hieronder eerst goed door, teken daarna op je werkblad met (kleur)potlood wat er gevraagd wordt.
Verbind punt A met punt B zodat lijnstuk AB ontstaat.
Meet met je geodriehoek de afstand tussen punt A en punt B (de lengte van lijnstuk AB).
Zet precies in het midden tussen deze twee punten een stip.
Teken nu de middelloodlijn van lijnstuk AB.
Zet een stip op de door jou getekende middelloodlijn.
Meet nu eens de afstand van je stip tot punt A, en daarna tot punt B. Beschrijf wat jou opvalt.
Zet een tweede stip op de door jou getekende middelloodlijn. Meet weer de afstand tot punt A en daarna tot punt B. Wat valt je nu weer op?
Wat kun je nu zeggen over punten die op de middelloodlijn liggen?
H1.2 opdracht 4
Teken een assenstelsel met een x-as van -4 tot 5 en een y-as van -2 tot 4.
Teken de volgende punten in je assenstelsen A(-3 , -1), B(3 , 4), C(-1, 2)
Verbind punt A met punt B zodat lijnstuk AB ontstaat.
Teken door punt C de lijn g loodrecht op lijnstuk AB.
Teken de middelloodlijn van lijnstuk AB.
Controleer: Heb je in alle rechte hoeken loodrechttekentjes gezet?
Heb je in lijnstukken die evenlang zijn even lang tekentjes gezet?
Kennisbank
Spiegelen door een lijn.
Figuren kun je spiegelen in een lijn. Het figuur dat gespiegeld wordt noem je het origineel. Het figuur dat je erbij tekent wordt het spiegelbeeld of het beeld genoemd.
Het spiegelbeeld van het punt A schrijf je als A'.
Punten spiegel je altijd loodrecht door de spiegel as.
Punt A staat even ver van de spiegelas als punt A'. De spiegelas is als het ware de middelloodlijn van je figuur.
Teken de hulplijntjes met potlood, stippel deze.
In het filmpje hieronder wordt goed voorgedaan hoe je een figuur kunt spiegelen door een lijn.
Een figuur spiegelen door een lijn is een vaardigheid. Iets dat je moet kunnen voordoen. Je kunt het helaas niet helemaal uit je hoofd leren, je moet het vooral doen, oefenen, foutjes maken en verbeteren.
Wat wel handig is, schrijf voor jezelf een stappenplan op zodat je stapje voor stapje te werk gaat.
H1.2 opdracht 5
Spiegel de volgende figuren in de rode symmetrieas
:
H2.2 opdracht 6
Op je werkblad zie je de afbeelding zoals die hiernaast staat.
Driehoek ABC wordt gespiegeld door lijnstuk KL.
Het begin van de hulplijntjes is al voor je getekend.
Maak de spiegeling af.
H1.2 opdracht 7
Hiernaast zie je driehoek PQR. De driehoek wordt gespiegeld in lijn m.
Teken op het werkblad het beeld P’Q’R’. Gebruik je potlood en geodriehoek.
H1.2 opdracht 8
Hiernaast zie je vierhoek PQRS. Vierhoek PQRS wordt gespiegeld in de spiegelas. Maak op je werkblad het spiegelbeeld van de vierhoek. Noem het spiegelbeeld P'Q'R'S'.
H1.2 opdracht 9
Spiegel op je werkblad ΔABC door lijnstuk DE.
Teken ook je hulplijntjes. Werk netjes! gebruik je (kleur)potloden.
Noem je spiegelbeeld A'B'C'
H1.2 opdracht 10
Teken zelf een driehoek of vierhoek in je schrift.
Teken er een spiegelas naast.
Spiegel je figuur door de spiegel as.
Zet er ook letter bij.
1.3 Draai- en puntsymmetrie
Leerdoelen:
Ik herken een draaisymmetrische figuur.
Ik kan de kleinste draaihoek van een draaisymmetrische figuur berekenen.
Ik weet dat overstaande hoeken even groot zijn.
Ik kan hoeken berekenen met overstaande hoeken.
Ik kan een puntsymmetrische figuur tekenen.
Kennisbank
Draaisymmetrie
Als je een figuur zo kunt draaien dat deze bij draaiïng meer dan één keer op zichzelf past, dan spreek je over een draaisymmetrische figuur.
De vierhoek hiernaast past bij draaiing vier keer op zichzelf.
De kleinste draaihoek is dan: 360o : 4 = 90o
We spreken altijd over de kleinste draaihoek.
Je kunt de figuur natuurlijk ook na 180o en na 270o op zichzelf draaien.
De figuur die je hiernaast ziet heeft als kleinste draaihoek 120o
Kijk maar.
Bij draaiing past de figuur 3 keer op zichzelf. De kleinste draaihoek is dan: 360o : 3 = 180o
H1.3 opdracht 1
Hieronder zie je een aantal verkeersborden.
Noteer de letters van de verkeersborden die draaisymmetrisch zijn in je schrift.
H1.3 opdracht 2
Hiernaast zie je een aantal draaisymmetrische figuren.
Bereken van iedere figuur de kleinste draaihoek. Schrijf de berekeningen met daarachter het antwoord in je schrift.
H1.3 opdracht 3
Hiernaast zien we vier logo's van vier verschillende auto merken. De logo's zijn draaisymmetrisch. Bereken van ieder logo de kleinste draaihoek. Schrijf de berekeningen netjes in je schrift.
H1.3 opdracht 4
Op het werkblad zie je het begin van twee draaisymmetrische figuren. Onder de figuur staat de kleinste draaihoek vermeld in graden. Teken de figuren af op je werkblad.
H1.3 opdracht 5
Op het werkblad zie je het begin van twee draaisymmetrische figuren. Onder de figuren staat de kleinste draaihoek vermeld in graden. Teken de figuren af op je werkblad.
Kennisbank
Draaisymmetrie en hoeken.
Als twee rechte lijnen elkaar snijden ontstaan overstaande hoeken.
Overstaande hoeken zijn even groot, want wanneer je de figuur draait over 180o, je legt de figuur precies op zijn kop, dan passen de hoekje op elkaar.
Voorbeeld
Leg je de figuur op zijn kop, dan zie je dat \(\angle\)A2 = \(\angle\)A4 = 120°
en dat \(\angle\) A1 = \(\angle\) A3
Gelijke hoeken
Overstaande hoeken zijn dus gelijk.
We bedoelen hiermee dat beide hoeken even veel graden zijn
Berekeningen maken met behulp van gestrekte hoeken en overstaande hoeken.
H1.3 opdracht 6
Bekijk de figuur hiernaast.
Welke paren overstaande hoeken zie jij?
Noteer het zo in je schrift: \(\angle \)R1 = \(\angle\)...
\(\angle \)R2 = \(\angle\)...
H1.3 opdracht 7
Bekijk de figuur hiernaast.
Welke paren overstaande hoeken zie jij?
Noteer het in je schrift.
H1.3 opdracht 8
Bekijk de afbeelding hiernaast. Je ziet hier de hoeken N, P en Q. Alle hoeken zijn onderverdeelt in vier stukken.
Geef antwoord op de vragen hieronder, noteer de antwoorden in je schrift.
Noteer de overstaande hoek van \(\angle\)P2
\(\angle\)N4 is de overstaande hoek van ....
Noteer de paren overstaande hoeken die je ziet bij \(\angle\)Q
H1.3 opdracht 9
Hiernaast zie je hoek G. Hoek G is verdeeld in 5 stukken.
Wat is de overstaande hoek van \(\angle\)G5 ?
Wat is de overstaande hoek van \(\angle\)G12
Heeft \(\angle\) G1 ook een overstaande hoek?
Noteer de overstaande hoek van \(\angle\)G4
H1.3 opdracht 10
Bekijk de figuur hiernaast.
We zien \(\angle\)A. Deze hoek wordt in 5 stukken gedeeld.
Wat voor bijzondere hoek is \(\angle\)A3 ?
\(\angle\)A1 en \(\angle\)A5 samen vormen een gestrekte hoek.
- Welke hoeken vormen samen ook een gestrekte
hoek?
\(\angle\)A2 is 30o. Welke hoek is dan ook 30o groot?
Bereken \(\angle\)A4. Maak gebruik van de gestrekte hoek waar \(\angle\)A4 onderdeel van is
H1.3 opdracht 11
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Je ziet dat \(\angle\)S in 5 stukken is gedeeld.
llWat zouden die blauwe kruisjes in \(\angle\)S1 en \(\angle\)S5 betekenen?
Wat is de overstaande hoek van \(\angle\)S4 ?
Bereken hoeveel graden \(\angle\)S5 groot is. Schrijf je berekening op.
H1.3 opdracht 12
Bekijk de figuur hiernaast.
Wat voor soort hoek vormen \(\angle \)T2 en \(\angle \)T3 samen?
Hoeveel graden is \(\angle \)T3?
Wat is de overstaande hoek van \(\angle \)T4 ?
Hoeveel graden is \(\angle \)T4 ?
Bereken nu ook \(\angle \)T1
H1.3 opdracht 13
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bereken \(\angle\)B1
Bereken \(\angle\)B3
Bereken \(\angle\)B5
Kennisbank
Puntsymmetrie
Als een figuur draaisymmetrisch is over een hoek van 180° dan is de figuur ook puntsymmetrisch. De rechter figuren hierboven zijn dus puntsymmetrisch, want na een draai van 180° is de figuur weer hetzelfde. Voor de linkerfiguren is dat niet zo, die zijn dus niet puntsymmetrisch.
H1.3 opdracht 14
Bekijk de acht afbeeldingen hiernaast.
Noteer de nummers van de figuren die puntsymmetrisch zijn in je schrift.
H1.3 opdracht 15
Teken een assenstelsel met een x-as van -5 t/m 5 en een y-as van -5 t/m 5
Teken de punten A(2 , 0), B(4 , 0), C(2 , 5) en D(0 , 4)
Verbind punt A met B, punt B met C, punt C met D en punt D met A. Zo ontstaat vlieger ABCD.
We willen dat de vlieger een puntsymmetrische figuur maakt, dus als je de figuur op zijn kop legt, je de vorm nog een keer ziet. Probeer dit eens te tekenen.
Verbind de overstaande hoekpunten met elkaar. Als je heel precies werkt, dan gaan alle verbindingslijnen door één punt in het midden van je figuur. We noemen dat het symmetrisch centrum van je figuur
In een assenstelsel staan de punten A(3 , −2), B(5 , 0) en C(1 , 4). Je gaat nu ΔABC spiegelen. Het beeld van ΔABC noem je ΔA'B'C'.
Spiegel ΔABC in de oorsprong O van het assenstelsel.
H1.3 opdracht 22
In een assenstelsel staan de punten A(3 , −2), B(5 , 0) en C(1 , 3). Je gaat nu ΔABC spiegelen in punt P(3 , 1).
Teken ΔABC en de beeldfiguur ΔA′B′C′.
H1.3 opdracht 23
Gegeven zijn de roosterpunten A(−2 , 2), B(4 , 4), C(−3 , 5), A′(2 , 0) en B′(0 , 6). Verder is ΔA′B′C′ het spiegelbeeld van ΔABC bij spiegelen in punt P.
Teken beide driehoeken en punt P.
1.4 Schuifsymmetrie
Inleiding
Leerdoelen:
Kennisbank
Schuifsymmetrie.
Als een figuur bestaat uit een herhaling van steeds dezelfde stukjes, dan is er sprake van schuifsymmetrie.
De figuur heeft dan een patroon dat is opgebouwd uit een aantal herhalingen van een motief.
In de figuur hieronder zie je een voorbeeld van een patroon en een bijbehorend motief:
Met andere woorden:
Het motief is een zo klein mogelijk stukje waarmee je het hele patroon kunt maken. (het stukje dat telkens herhaald wordt)
H1.4 opdracht 1
Vul op je werkblad de hele figuur met het gegeven motief.
H1.4 opdracht 2
Bekijk op het werkblad de figuur die je hiernaast ziet.
Kleur in het patroon op je werkblad één motief. .
Hoe vaak past dit motief in zijn geheel in het patroon?
H1.4 opdracht 3
Kleur in het patroon op je werkblad één motief.
Hoe vaak past dit motief in zijn geheel in het patroon?
H1.4 opdracht 4
Kleur op je werkblad in beide stukken metselwerk één heel motief.
H1.4 opdracht 5
In de figuur zie je een deel van een (schuifsymmetrisch) patroon. De figuur staat ook op je werkblad.
Zet met rood kleurpotlood een rechthoek om het motief van dit patroon.
Maak het patroon groter, zodat het motief er drie keer in voorkomt.
H1.4 opdracht 6
Je ziet hier een plaatje van een kralenketting. De ketting is ook afgedrukt op je werkblad.
Teken het motief van deze ketting.
H1.4 opdracht 7
Bekijk de afbeelding op je werkblad.
Wat is het motief in de ketting die hiernaast is afgebeeld?
Zet met een groen kleurpotlood er een hok omheen
H1.4 opdracht 8
Je ziet hier een deel van een kralenketting.
Kleur de overgebleven witte kralen in met de juiste kleuren op je werkblad. Werk netjes en gebruik kleurpotloden
Kennisbank
F- en Z- hoeken
Bij evenwijdige lijnen kun je soms ook schuifsymmetrie gebruiken.
In de tekening hieronder zijn l en m evenwijdige lijnen en lijn n snijdt deze twee lijnen.
Als je de hoeken bij punt A verschuift langs lijn n, dan passen ze precies op de hoeken bij punt B.
De hoeken passen precies op elkaar. Dat betekend dat deze hoeken dus even groot zijn: / A1 = / B1 en / A2 = / B2 enzovoort.
Je weet al dat, bij snijdende lijnen, de overstaande hoeken gelijk zijn,
dus is / A1 = / A3 en / A2 = / A4 en ook / B1 = / B3 en / B2 = / B4
In de figuur zijn dus maar twee verschillende hoeken.
Je ziet dit ook aan de twee tekentjes in de hoeken, en .
Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan kun je in de figuur altijd F-hoeken en/of Z-hoeken ontdekken.
Bekijk voor de uitleg hiervan:
Evenwijdige lijnen: F- en Z- hoeken.
F- en Z- hoeken herkennen in figuren
H1.4 opdracht 9
Geef in de tekening op je werkblad met 4 verschillende kleuren de F-hoeken aan.
In de tekening is / S1 = 40o. .
Geef met een duidelijke uitleg/berekening aan hoe groot alle andere hoeken in de tekening zijn.
H1.4 opdracht 10
Zet sterretjes in alle hoeken die even groot zijn als de hoek met het sterretje *.
Zet ook in alle andere hoeken die even groot zijn gelijke tekentjes.
Hoeveel verschillende hoeken zijn er in de figuur?
H1.4 opdracht 11
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Wat voor soort symmetrie hoort er bij de afbeelding?
∠B3 is onderdeel van een F-hoek. Welke hoek hoort er bij ∠B3
∠A1 = 120o. Welke hoeken zijn dan ook allemaal 120o?
Noteer de hoeken in je schrift.
1.5 Bijzondere driehoeken
Inleiding.
We hebben al heel wat kennis opgedaan over vlakke figuren. Zo hebben we de eigenschappen van een vierkant of een ruit al eens geleerd. Ook hebben we iets over symmetrie en over rechte hoeken geleerd. Een onderwerp waar we nog niet zo veel mee gewerkt hebben zijn driehoeken. We hebben nog niet gekeken naar kenmerken van verschillende driehoeken. In deze paragraaf leer je daar meer over.
Leerdoelen
Ik kan de eigenschappen van een gelijkbenige driehoek benoemen.
Ik kan de tophoek en basishoeken van een gelijkbenige driehoek aanwijzen.
Ik kan symmetrieassen tekenen in gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken.
Ik kan de eigenschappen van een gelijkzijdige driehoek benoemen.
Ik kan de hoogtelijn in een driehoek tekenen.
Kennisbank
Soorten driehoeken
Er zijn allerlei driehoeken. De grootste groep zijn de onregelmatige driehoeken. Zij hebben geen bijzondere eigenschappen zoals een rechte hoek of gelijke zijden. Deze onregelmatige driehoeken zijn wel onder te verdelen in scherphoekige driehoeken en in stomphoekige driehoeken.
Vandaag behandelen we drie soorten bijzondere driehoeken. De eigenschappen van deze driehoeken moet je uit het hoofdleren en aan de hand van de eigenschappen leer je de driehoeken herkennen.
Rechthoekige driehoek
Een driehoek met een rechte hoek.
Heel eenvoudig dus, heeft je driehoek een rechte hoek (zie tekentje) dan hoort deze tot de rechthoekige driehoeken.
Gelijkbenige driehoek
Een driehoek met twee gelijke zijden. Deze driehoek heeft één symmetrieas.
De hoek waar de symmetrieas doorheen gaat is de tophoek.
De andere twee hoeken, basishoeken. De basishoeken kun je langs de symmetrieas op elkaar vouwen.
De twee basishoeken hebben dezelfde grootte. We zetten er dan dus ook dezelfde tekentjes in.
Gelijkzijdige driehoek
Een driehoek met drie gelijke zijden. Alle zijden van deze driehoek zijn even lang.
Je kunt deze driehoek op drie verschillende manieren dubbelvouwen. Deze driehoek heeft dan ook drie symmetrieassen.
De hoeken van deze driehoek zijn altijd alle drie 60°.
H1.5 opdracht 1
Bekijk de driehoeken op je werkblad. Gebruik je geodriehoek om eventueel de zijden op te meten.
Zet onder de gelijkbenige driehoeken de letter A.
Zet over gelijkzijdige driehoeken de letter B.
Zet onder rechthoekige driehoeken de letter C.
H1.5 opdracht 2
Teken in je schrift een gelijkbenige driehoek. Noem de driehoek ABC.
Zet tekentjes in de benen die even lang zijn.
Teken met een rood kleurpotlood de symmetrieas in je driehoek.
Zet twee X in de basishoeken.
Meet de tophoek van je driehoek op en noteer het aantal graden in je schrift.
H1.5 opdracht 3
Neem de tabel hieronder over in je schrift en vul aan.
Schets in het onderste vak een plaatje van de gevraagde driehoek. Laat hierin duidelijk de eigenschappen zien.
Rechthoekige driehoek
Gelijkbenige driehoek
Gelijkzijdige driehoek
één rechte hoek
één symmetrie as
drie even lange zijden
Tophoek
drie ....
twee .....
alle hoeken ....
....
Schets
Schets
Schets
H1.5 opdracht 4
Teken in je schrift een gelijkzijdige driehoek. Noem de driehoek KLM.
Zet tekentjes in de zijden die even lang zijn.
Teken met een groen kleurpotlood de symmetrieasse in je driehoek.
Zet twee O in hoeken die even groot zijn.
Kennisbank
Samenvatting van de eigenschappen van bijzondere driehoeken.
H1.5 opdracht 5
Bekijk de driehoek op het plaatje. Deze staat ook op je werkblad. Gebruik je geodriehoek om de zijden eventueel op te meten.
Hoe noemen we deze driehoek?
Teken de symmetrieassen in de driehoek.
Noteer in je schrift de eigenschappen die bij deze driehoek horen.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
H1.5 opdracht 6
Teken in een passend assenstelsel de punten: A(1 , 1), B(5 , 1) en C(3 , 4).
Maak van de punten A, B en C driehoek ABC.
Meet de zijden van je driehoek, zijn zijden even lang, zet daar dan tekentjes in.
Hoe noemen we ΔABC?
Zet twee kruisjes in de basishoeken.
Zet met een pijltje bij de tophoek het woordje tophoek.
Teken de hoogtelijn op zijde AB.
H1.5 opdracht 7
Wat voor soort driehoek zie je op het plaatje.
H1.5 opdracht 8
Teken in een passend assenstelsel de punten P( -2, -2), R( 3 , 0)
Punt P en punt Q zijn onderdeel van een gelijkzijdige driehoek. Teken deze gelijkzijdigedriehoek. Noem het ontbrekende punt R.
Is punt R een roosterpunt?
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Teken met roodkleurpotlood de drie symmetrieassen in je figuur
H1.5 opdracht 9
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de symmetrieas(sen) in de driehoek.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
Zet met blauw kleurpotlood een dikke stip in de tophoek.
Kennisbank
Het tekenen van een hoogtelijn.
Naast loodrechte lijnen, evenwijdige lijnen en symmetrieassen kunnen we nog een aantal lijnen in een figuur tekenen of aangeven. Eén daarvan is de hoogtelijn.
De hoogtelijn gebruiken we bijvoorbeeld om de oppervlakte straks te kunnen berekenen.
Een hoogtelijn staat altijd loodrecht op de zijde waar hij bij hoort. En in een driehoek gaat de hoogtelijn door het overstaande hoekpunt.
In de video's hieronder laten zien hoe je een hoogtelijntje in een driehoek tekent.
Hoe teken je een hoogtelijn in een
driehoek met je geodriehoek.
Verschillende hoogtelijnen in dezelfde
driehoek
H1.5 opdracht 10
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de hoogtelijn telkens op de onderste zijde.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
H1.5 opdracht 11
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken in driehoek 1 de hoogtelijn van zijde BC.
Teken in driehoek 2 de hoogtelijn van zijde EF.
Teken in driehoek 3 de hoogtelijn van zijde KL.
Teken in driehoek 4 de hoogtelijn van zijn QR.
H1.5 opdracht 12
Teken een assenstelsel met een x-as van -5 t/m 5 en een y-as van -4 t/m 4.
Teken de punten A( -5 , 2), B(3 , 4) en C(-1 , 3). Verbind A met B, B met C en C met D zodat ΔABC ontstaat.
Teken op zijde AB de hoogtelijn met roodkleurpotlood.
Teken nu de punten D(-1, -4), E(4, 2) en F(0 , 0). Maak er ΔDEF van.
Teken de hoogtelijn op zijde EF.
H1.5 opdracht 13
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de symmetrieas(sen) in de driehoek.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
Zet het woordje tophoek bij de tophoek.
1.6 Gemengde opgaven
Leerdoelen:
H1.6 opdracht 1
Bekijk de afbeelding hieronder.
Neem onderstaand schema over in je schrift en vul het verder in:
bord
lijnsymmetrisch
draaisymmetrisch en draaihoek
puntsymmetrisch
1
Ja
ja: 360o : 4 = 90o
Ja
2
Ja
Nee
Nee
3
...
...
4
...
...
5
...
...
6
...
...
H1.6 opdracht 2
Bekijk de afbeelding. Deze staat ook op je werkblad.
Teken met rood kleurpotlood in ieder logo de symmetrieassen.
H1.6 opdracht 3
Bekijk de afbeelding hieronder.
Welk van de gespiegelde figuren is fout getekend? Noteer de letter in je schrift.
H1.6 opdracht 4
Teken de punten A(6, 6), B(2, 3), C(1, 5) en D(4, 6).
Teken de lijn s door O en A en teken Δ BCD.
Spiegel ΔBCD in lijn s. Wat zijn de coördinaten van de hoekpunten van de gespiegelde driehoek?
H1.6 opdracht 5
Schuifsymmetrie
H1.6 opdracht 6
Teken in je schrift een gelijkzijdige driehoek. Noem de driehoek PQR.
Zet tekentjes in de benen die even lang zijn.
Teken met een rood kleurpotlood de symmetrieas in je driehoek.
H1.6 opdracht 7
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de symmetrieas(sen) in de driehoek.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
H1.6 opdracht 8
Bekijk de figuur hiernaast.
We zien ∠A. Deze hoek wordt in 5 stukken gedeeld.
Wat voor bijzondere hoek is ∠A3 ?
∠A1 en ∠A5 samen vormen een gestrekte hoek.
- Welke hoeken vormen samen ook een gestrekte
hoek?
∠A2 is 30o. Welke hoek is dan ook 30o groot?
Bereken ∠A4. Maak gebruik van de gestrekte hoek waar ∠A4 onderdeel van is
H1.6 opdracht 9
Teken in een passend assenstelsel de punten P( -2, -2), R( 3 , 0)
Punt P en punt Q zijn onderdeel van een gelijkzijdige driehoek. Teken deze gelijkzijdigedriehoek. Noem het ontbrekende punt R.
Is punt R een roosterpunt?
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Teken met roodkleurpotlood de drie symmetrieassen in je figuur
H1.6 opdracht 10
Schuifsymmetrie.
H1.6 opdracht 11
Teken in je schrift een gelijkbenige driehoek. Noem de driehoek ABC.
Zet tekentjes in de benen die even lang zijn.
Teken met een rood kleurpotlood de symmetrieas in je driehoek.
Zet twee X in de basishoeken.
Meet de tophoek van je driehoek op en noteer het aantal graden in je schrift.
H1.6 opdracht 12
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Wat voor soort hoek is ∠B2 ?
Bereken ∠B1
Bereken ∠B3
Bereken ∠B5
D-toets
Herhaling
§1 (Lijn)symmetrie
§1 Spiegelen door een lijn
H1 herhaling opdracht 1
Bekijk de afbeelding hiernaast. Deze staat ook op je werkblad.
Spiegel de figuren steeds in de spiegelas s:
H1 herhaling opdracht 2
De driehoek die je hiernaast getekend ziet staat ook op je werkblad.
Spiegel driehoek ABC in lijn l. Noem de beeldfiguur A’B’C’.
H1 herhaling opdracht 3
Spiegel rechthoek ABCD in lijn m. Noem de beeldfiguur A’B’C’D’.
H1 herhaling opdracht 4
Teken in een assenstelsel de punten A(-6, 0), B(-3, -4), C(2, -4) en D(5,0).
Teken vierhoek ABCD
Wat voor soort vierhoek is ABCD?
Teken in vierhoek ABCD met rood de symmetrieas.
Spiegel vierhoek ABCD in de x-as
§2 draaisymmetrie en puntsymmetrie.
§2 Overstaande hoeken
H1 herhaling opdracht 5
Bekijk de verkeersborden hiernaast. Deze staan ook op je werkblad.
Teken met rood kleurpotlood de symmetrieassen in de verkeersborden die lijnsymmetrisch zijn.
Bereken van verkeersbord 6 en 11 de kleinste draaihoek.
Schrijf de berekening op in je schrift.
H1 herhaling opdracht 6
Draaisymmetrie
H1 herhaling opdracht 7
Overstaande hoeken
H1 herhaling opdracht 8
Overstaande hoeken
Bijzondere driehoeken.
H1 herhaling opdracht 9
Teken in een assenstelsel de punten A(-3, -2), B(3, -2) en C(0, 4).
Teken ∆ABC.
Wat voor soort driehoek is ∆ABC?
Geef met tekentjes aan welke onderdelen van de driehoek gelijk zijn.
Spiegel de driehoek in de x-as. Noem de beeldfiguur A’B’C’.
H1 herhaling opdracht 10
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de symmetrieas(sen) in de driehoek.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
H1 herhaling opdracht 11
Teken in je schrift een gelijkzijdige driehoek. Noem de driehoek KLM.
Zet tekentjes in de zijden die even lang zijn.
Teken met een groen kleurpotlood de symmetrieasse in je driehoek.
Zet twee O in hoeken die even groot zijn.
Extra stof
Inleiding.
Misschien heb jij ook wel een leuke sleutelhanger van bijvoorbeeld een blik je aan je sleutelbos. Of heb je laatst een maquette gezien van de wijk waar je in woont. Dit zijn allebei voorbeelden van dingen die verkleint zijn. De huizen op de maquette zijn precies hetzelfde als de huizen in de echte wijk, alleen een stuk kleiner natuurlijk. Je hebt hier te maken met gelijkvormige figuren. In deze paragraaf leer je hoe je gelijkvormige figuren kunt herkennen en hoe we hier een berekening mee kunnen maken.
Succes!
Leerdoelen
Ik kan uitleggen wanneer twee figuren gelijkvormig zijn.
Ik herken gelijkvormigheid in driehoeken.
Ik kan bij twee gelijkvormige figuren een verhoudingstabel invullen.
Kennisbank
Wanneer zijn twee figuren gelijkvormig?
Soms zijn figuren gelijkvormig. We kijken specifiek naar driehoeken in deze paragraaf. De ene driehoek is dan een vergroting of een verkleining van de andere driehoek. Als we de vergrotingsfactor weten, dan kunnen we daarmee vaak de lengte van onbekende zijden berekenen.
Twee figuren zijn gelijk vormig als:
de overeenkomstige hoeken even groot zijn.
De zijden van de figuren in een verhoudingstabel passen.
(ze zijn een vergroting/verkleining van elkaar.)
Voorbeeld
Zijn onderstaande driehoeken gelijkvormig?
We stellen onszelf twee vragen:
1. zijn de hoeken gelijk? \(\angle\)C = \(\angle\)E = 90° → Ja \(\angle\)A = \(\angle\)F→ Ja \(\angle\)B = \(\angle\)D→ Ja
2. zijn alle maten een vergroting/verkleing van elkaar?
40 : 20 = 2
60 : 30 = 2
Als aan beide voorwaarden is voldaan, dus op beide vragen het antwoord ja is, dan kun je zeggen dat de driehoeken gelijkvormig zijn:
Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek DEF. → ΔABC ~ ΔDEF
We kunnen nu een verhoudingstabel invullen:
ΔABC
AB = 30
BC = 28
AC = 20
ΔDEF
DF = 60
DE = ...
EF = 40
H1 Extra stof opdracht 1
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus \(\angle\) A = \(\angle \) ... \(\angle\) B = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔABC ~ Δ ...
H1 Extra stof opdracht 2
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus \(\angle\) K = \(\angle \) ... \(\angle\) L = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔKLM ~ Δ ...
H1 Extra stof opdracht 3
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus \(\angle\) D = \(\angle \) ... \(\angle\) E = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔDEF ~ Δ ...
H1 Extra stof opdracht 4
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus \(\angle\) A = \(\angle \) ... \(\angle\) B = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔABC ~ Δ ...
Kennisbank
Weet je het nog, twee figuren zijn gelijkvormig als:
de overeenkomstige hoeken even groot zijn.
De zijden van de figuren in een verhoudingstabel passen.
(ze zijn een vergroting/verkleining van elkaar.)
Kijk maar naar de driehoeken hieronder.
Aan de tekentjes kun je zien dat de hoeken van de driehoeken even groot zijn.
\(\angle\) K = \(\angle\)R en \(\angle\)M = \(\angle \)P
Ook de zijden van de driehoek zijn een vergroting/verkleining van elkaar.
We kunnen dus een verhoudingstabel gebruiken.
Δ PQR
PQ = ...
QR = 9
PR = 5
Δ MLK
ML = 9
LK = 13,5
MK = 7,5
* normaal zetten we de letters altijd op volgorde van het alfabet. Dit keer niet omdat we de letters van de hoeken die bij elkaar horen onder elkaar zetten.
Je kunt de tabel gebruiken om de ontbrekende zijde te berekenen. In het filmpje hieronder wordt dat nog eens voorgedaan.
H1 Extra stof opdracht 5
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔCAB ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔCAB
CA = 13
CB = 27
AB = 30
Δ .....
... = ...
... = ...
... = ...
H1 Extra stof opdracht 6
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔPQR ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔPQR
PQ = ...
QR = 5
PR = 7
Δ .....
ML = 15
... = ...
... = ...
H1 Extra stof opdracht 7
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔBCA ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔABC
AB = 5
... = ...
... = ...
Δ .....
... = ...
... = ...
KL = 9
H1 Extra stof opdracht 8
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔABC ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔABC
AB = 2
... = ...
... = ...
Δ .....
... = ...
... = ...
... = ...
Kennisbank
Snavelbek en zandloperfiguur.
Wanneer we te maken krijgen met evenwijdige lijnen, dan moeten we extra opletten. Het kan zo maar eens zo zijn dat je een snavelbek of een zandloper figuur krijgt.
Hieronder zien we voorbeelden van een snavelbek figuur en een zandloper figuur.
ook nu kunnen we natuurlijk de gelijkvormigheid weer beschrijven.
Kijk maar eens naar de snavelbekfiguur. Hierin geldt:
ΔADE ~ ΔABC omdat \(\angle\)A = \(\angle\)A en \(\angle\)D = \(\angle\)B (dit is al voldoende) \(\angle\)E = \(\angle\)C
H1 Extra stof opdracht 9
H1 Extra stof opdracht 10
H1 Extra stof opdracht 11
H1 Extra stof opdracht 12
Coöperatieve opdrachten
H2 Vlakke figuren
Inleiding.
Het tweede onderwerp van leerjaar 2 is de wereld van de figuren. We gaan het hebben over vlakke figuren (2d) en over ruimtefiguren (3d). De kennis die je vorig jaar al hebt opgedaan komt meteen mooi van pas. Je weet namelijk al het één en ander over vierhoeken en driehoeken. Ook komen de termen loodrecht en evenwijdig weer terug. Kun jij nog uitleggen wat loodrecht ook al weer was? En hoe teken je twee evenwijdige lijnen? Allemaal kennis en vaardigheden die je snel weer beheerst.
Leerdoelen:
Leer je de eigenschappen van de vlakke figuren opnieuw herkennen.
Leer je wat ruimtefiguren zijn en welke eigenschappen deze hebben.
Leer je ruimtefiguren tekenen.
Leer je de oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren berekenen.
Maak je kennis met \(\pi\).
Leer je wat de uitslag van een ruimtefiguur is.
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H2.1 Voorkennis
Leerdoelen:
Kennisbank.
Weet je het nog. In het eerste leerjaar hebben we geleerd wat grootheden en eenheden zijn. Bij het vak NASK of economie wordt het noteren van de juiste grootheden en eenheden ook een belangrijk onderdeel, daarom herhalen we het nog maar eens.
Een grootheid is iets dat je kunt meten zoals afstand, oppervlakte, gewicht, tijd, snelheid.
Een eenheid is waarin je iets meet. Bij de grootheid afstand hoort bijvoorbeeld de meter, kilometer of millimeter. Bij de grootheid gewicht horen kilogram of gram.
Een aantal voorbeelden van grootheden en hun bijbehorende eenheden zie je hier onder. Neem ze goed door en leer ze uit het hoofd.
Het metriek stelsel voor lengtematen geeft de verhouding tussen de verschillende lengtematen weer. Hoeveel centimeter is een meter? Hoeveel meter is een kilometer? Met behulp van het metriek stelsel kun je deze maten omrekenen.
In het filmpje heb je de verhoudingen tussen de lengte-eenheden, oppervlakte-eenheden en inhouds-eenheden kunnen zien. Maak daar een duidelijke aantekening van in je schrift.
H2.1 Opdracht 6.
Bekijk het filmpje in de bovenstaande kennisbank.
Maak er een aantekening van in je schrift en leer deze uit je hoofd.
*laat je aantekening controleren door je docent.
H2.1 Opdracht 7.
H2.1 Opdracht 8.
H2.1 Opdracht 9.
H2.1 Opdracht 10.
De antwoorden van deze paragraaf kun je terug vinden in de leertaak.
H2.2 Vierhoeken
Inleiding.
Het afgelopen schooljaar heb je al veel onderwerpen van wiskunde behandeld. Je komt dus niet helemaal nieuw binnen. Je bent geen onbeschreven blad, maar beschikt al over wiskundige kennis en vaardigheden.
Wiskunde is een vak dat een combinatie maakt tussen kennis (denk aan begrippen en formules uit je hoofd leren) en vaardigheden (iets kunnen voor doen, het tekenen van evenwijdige lijnen bijvoorbeeld). Dit betekent dus dat je niet alleen moet lezen en leren, maar vooral veel moet doen en oefenen.
In deze paragraaf frissen we je kennis en vaardigheden over vierhoeken en driehoeken op. Voordat we weer aan de slag gaan met deze vlakke figuren herhalen we eerst nog even loodrecht en evenwijdig. Dit zijn namelijk twee kenmerken die je moet weten voordat we met de vlakke figuren verder aan de slag kunnen.
Kennisbank.
Loodrecht en evenwijdig
Wanneer je twee lijnen tekent, dan kunnen deze lijnen elkaar raken. Er onstaat dan een snijpunt.
Snijpunt
De lijnen m en n snijden elkaar in punt A.
Punt A is het snijpunt van m en n.
Loodrecht
Wanneer twee lijnen elkaar raken dan kan dit onder een hoek van 90o gebeuren. We noemen dat loodrecht
Lijn q staat loodrecht op lijn t.
Twee getekende lijnen hoeven elkaar natuurlijk niet te raken. Je kunt ze ook beide in dezelfde richting tekenen.
De lijnen r en s snijden elkaar niet.
Lijn r ligt evenwijdig aan lijn s.
een ander woord voor evenwijdig is parallel.
Kijk je naar Lijn r en lijn s dan zijn deze lijnen overal even ver van elkaar af. Of je dit nu aan het begin, in het midden of aan het einde meet. De afstand tussen de lijnen is overal gelijk. De lijnen gaan niet naar elkaar toe, niet van elkaar af maar gaan dezelfde richting op.
Teken door N de lijn b evenwijdig aan lijn d. Denk je ook aan de tekentjes?
H2.2 Opdracht 4
Teken een assenstelsel met een x-as van -2 tot 5 en een y-as van -3 tot 3.
Teken de volgende punten P(-2 , 3), Q(3 , -1) R(5 , 3), S(-1 , -2) en T(2 , 2).
Teken met groen potlood lijnstuk PQ.
Teken met blauw potlood een lijn a evenwijdig aan de x-as door punt T.
Teken door R de lijn b loodrecht op lijnstuk PQ
Kennisbank.
Vlakke figuren.
In de wiskunde heb je te maken met vlakke figuren. Vlakke figuren zijn figuren die bestaan in een plat vlak. In 2D (twee dimensionaal).
Hieronder zie je een aantal vlakke figuren. Je ziet bijvoorbeeld een driehoek en een cirkel. De overige vlakke figuren zijn bijzondere vierhoeken: een vierkant, een rechthoek, een ruit, een parallellogram, een trapezium en een vlieger.
De tekentjes in de figuren hebben natuurlijk een doel; dezelfde pijltjes in de zijden betekent dat die evenwijdig zijn; evenveel streepjes of v-tjes betekent dat de zijden even lang zijn.
Eigenschappen van figuren.
Bij iedere vlakke figuur horen verschillende eigenschappen.
Eigenschappen zijn regels waar een figuur aan voldoet.
Hieronder kijken we naar het vierkant.
Voorbeeld:
Een vierkant is een vlakke figuur het figuur is 2d, plat.
Het vierkant heeft vier hoekpunten A, B, C, D.
Een vierkant heeft vier zijden: AB, BC, CD en AD.
Alle zijden van het vierkant zijn even lang.
Alle hoek van het vierkant zijn (lood)recht.
De diagonalen van een vierkant staan loodrecht op elkaar.
De diagonalen delen elkaar door midden.
Bekijk de vlakke figuren hiernaast goed en leer de namen en de kenmerken (eigenschappen) ervan uit je hoofd. Zodat je deze gemakkelijk van elkaar kunt onderscheiden. De eigenschappen (kenmerken) van de verschillende figuren kun je downloaden via deze link.
Let op, je hoeft alleen de eigenschappen van het vierkant, parallellogram, rechthoek en ruit uit het hoofd te leren.
Teken met groen kleurpotlood even lang tekentjes in zijden die even lang zijn.
Teken met blauw kleurpotlood evenwijdig tekentjes in zijden die evenwijdig zijn.
Zijn de hoeken van het parallellogram loodrecht?
Teken in de ruit de diagonalen met potlood.
Staan de diagonalen in de ruit loodrecht op elkaar zet er dan met rood kleurpotlood een tekentje in.
Teken met groen kleurpotlood even lang tekentjes in zijden van de ruit die even lang zijn.
Teken met blauw kleurpotlood evenwijdig tekentjes in zijden van de ruit die evenwijdig zijn.
H2.2 Opdracht 7
Hiernaast zie je de vier verschillende vierhoeken. Neem de zinnen hieronder over en vul op de ...... de ontbrekende eigenschappen in.
* Kies uit: loodrecht, even lang, evenwijdig, door midden, even groot
Je kan de dikgedrukte begrippen hierboven meerdere keren gebruiken
In een vierkant
Zijn de vier hoeken .....................
Zijn alle zijden ..........................
Zijn overstaande zijden ...................
In een rechthoek
Zijn alle hoeken ....................
Zijn overstaande zijden .........................
Zijn overstaande zijden ...........................
In een parallellogram
Zijn overstaande zijden ................................... en .............................
Overstaande hoeken zijn .....................................
In een ruit
Zijn alle zijden ...........................
Zijn overstaande zijden ...........................
Staan de diagonalen .............................. op elkaar
Snijden de diagonalen elkaar ...............................
H2.2 Opdracht 8
Bekijk de rechthoek hiernaast, beantwoord dan de vragen. Schrijf de antwoorden op je ruitjespapier op.
Welke zijde is gekleurd?
Welke zijden zijn evenwijdig, noteer 2 paren.
Er is een foutje gemaakt bij deze rechthoek. Schrijf op wat er fout is gegaan.
Welke zijde is even lang als zijde RU, hoe kun je dit in één oogopslag zien?
Welke letter staat er bij het snijpunt van de diagonalen?
Nu je goed naar de eigenschappen van een vierkant en een rechthoek hebt gekeken, beantwoord dan de volgende stelling eens. "Een vierkant is een bijzondere rechthoek, maar een rechthoek is geen vierkant. Hoe kan dat nou? "
H2.2 Opdracht 9
Teken een assenstelsel met een x-as en een y-as van -5 tot 5. Vergeet de woordjes x-as en y-as niet aan het eind van de juiste as erbij te zetten. Teken daarna de punten P(1 , 1), Q(5 , 1) en R(4 , 3) in je schrift.
PQ en QR zijn twee zijden van een parrallellogram. Maak de parallellogram af.
Zijn de overstaande zijden van de parallellogram evenwijdig? Noteer het antwoord in je schrift.
Zijn de overstaande zijden van de parallellogram even lang? Noteer het antwoord in je schrift.
Teken nu de punten A(-1 , -1), B(-4 , -2) en D(-2 , -4) in je schrift.
AB en AD zijn de zijden van de ruit ABCD. Teken AB en AD.
Teken de ruit.
Teken met rood kleurpotlood de diagonalen in de ruit.
Kennisbank.
Omtrek en oppervlakte.
Omtrek je telt alle randen (zijden) van je figuur bij elkaar op. Je loopt er als het ware omheen.
Oppervlakte.
Hoeveel ruimte neemt het vlak ik. Met andere woorden hoeveel verf past er op je figuur.
Wanneer we de oppervlakte van de verschillende figuren gaan berekenen werken we met formules. (rekenregels).
Oppervlakte van vierhoeken.
Voor het berekenen van de oppervlakte van een vierhoek. (een figuur met vier hoekpunten) gebruiken we verschillende formules.
De formule voor het berekenen van een vierkant of een rechthoek, die ken je vast al. Deze hebben we al eerder gebruikt.
Oppervlakte rechthoek = lengte x breedte.
Voor de oppervlakte van een parallellogram gebruiken we een andere formule. Het is immers een ander figuur met andere eigenschappen.
Opp parallellogram = zijde x bijb. hoogte
Zoals je op de plaatjes hiernaast kunt zien, heeft iedere zijde zijn eigen hoogtelijn.
Dit wordt nog beter uitgelegd in het filmpje hieronder:
H2.2 Opdracht 10
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bereken de oppervlakte van de verschillende rechthoeken.
H2.2 Opdracht 11
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bereken de oppervlakte van de verschillende parallellogrammen.
H2.2 Opdracht 12
Teken de punten A(1 , 1), B(4 , 1), C(6 , 4) en D(3 , 4). Verbind de punten met elkaar zodat parallellogram ABCD ontstaat.
Teken de hoogtelijn op zijde AB.
Bereken de oppervlakte van parallellogram ABCD.
H2.2 Opdracht 13
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bereken van de rechthoeken, vierkanten en parallelogrammen telkens de oppervlakte.
Schrijf de berekeningen in je wiskundeschrift.
H2.2 Opdracht 14
Van een parallellogram is de oppervlakte 9,8 cm2. De zijde = 3,5 cm lang. Bereken de lengte van de hoogtelijn. Rond je antwoord af op 1 decimaal (één cijfer achter de komma)
H2.2 Opdracht 15
Bekijk de afbeelding hiernaast.
De zijde van dit parallellogram zijn aangegeven met de letters a en b. De hoogtelijnen met de letters p en r.
Bij zijde a hoort hoogtelijn r. Welke hoogtelijn hoort bij zijde b?
Als we voor a een 5 invullen en voor r een 7 dan wordt de oppervlakte van dit parallellogram:
Oppervlakte parallellogram = zijde x bijb. hoogte = 5 x 7 = 35 cm2
Bereken de oppervlakte van het parallellogram wanneer we voor a een 3 invullen en
voor r een 2. .
Bereken de oppervlakte van het parallellogram wanneer we voor b een 6 invullen en
voor p een 8.
De oppervlakte van een gegeven parallellogram is 60 cm2 we weten dat zijde b 12 cm is,
bereken de bijbehorende hoogtelijn p .
De lengte van zijde a =10, de lengte van zijde b = 8 . Verder weten we dat hoogtelijn p = 5. Bereken nu de lengte van hoogtelijn r .
De lengte van zijde b = 4,5 . Verder weten we dat hoogtelijn p = 6 en hoogtelijn r = 12 Bereken nu de lengte van zijde a
H2.3 Cirkel
Inleiding.
Deze paragraaf gaat helemaal over cirkels. Deze platte figuur hebben we in klas 1 namelijk nog niet behandeld. Gek eigenlijk, want cirkels kom je veel tegen in de wereld om je heen. In deze paragraaf leer je onder andere hoe je met je passer een cirkel tekent. En wat het getal \(\pi\) is
Veel succes.
Leerdoelen:
Aan het eind van deze paragraaf kan ik:
met behulp van mijn passen een cirkel tekenen.
Een omschrijving geven van de begrippen diameter en straal.
Kan ik de formule voor het berekenen van de oppervlakte van een cirkel opschrijven.
Kan ik de oppervlakte en omtrek van gegeven cirkels berekenen.
Uitleg.
Omtrek en oppervlakte.
Zoals in de inleiding al geschreven staat is een cirkel een vlakke figuur.
De cirkel heeft geen zijden of hoekpunten, maar bestaat uit één enkel gebogen vlak. Dit gebogen vlak gaat 360o in de rondte.
De omtrek van een cirkel.
De omtrek van een cirkel bereken je met behulp van een formule:
Omtrek cirkel = diameter x \(\pi\)
Om de omtrek te kunnen bereken van een cirkel moet je dus wel weten wat een diameter (en wat een straal) is. Kijk maar eens naar de afbeelding hiernaast. Dan wordt dat waarschijnlijk snel duidelijk.
Een ander woordt voor diameter is middellijn. De diameter is de lijn die de cirkel in twee gelijke stukken deelt.
De straal teken je altijd vanuit het middelpunt naar de rand van je cirkel. De straal is precies de helft van je diameter.
En \(\pi\) (pi)
Dit is een ontdekking die heel ver terug gaat. De egyptenaren, oude grieken en zelfs in bijbelse teksten komt dit teken (getal) al voor.
\(\pi\) is de uitkomst wanneer je de omtrek van de cirkel deelt door de diameter.
De uitkomst is dan afgerond 3,14 \(\pi\) ≈3,14
H2.3 opdracht 1.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Wat is de lengte van de diameter van deze cirkel?
Bereken de omtrek van de cirkel op het plaatje. Schrijf de berekening in je schrift.
H2.3 opdracht 2.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bereken van beide cirkels de omtrek.
H2.3 opdracht 3.
Om een zwembad komen speciale tegels te liggen. Deze tegels zorgen er voor dat je minder snel uitglijdt. Op het plaatje zie je het zwembad met daarom heen de rand van speciale tegels.
Hoeveel meter aan tegels moeten er gekocht worden? Schrijf je berekening in je schrift.
Uitleg.
oppervlakte van een cirkel.
Natuurlijk heeft een cirkel ook een oppervlakte. Een cirkel neemt tenslotte ruimte in, je kunt hem inkleuren.
Om de oppervlakte van een cirkel te berekenen gebruiken we een formule:
oppervlakte cirkel = straal2 x \(\pi\) spreek uit als: {straal kwadraat keer pi}
De straal is de helft van de diameter. Je tekent een straal vanuit het middelpunt van je cirkel naar de rand.
Samenvatting:
Leer de volgende twee formules uit het hoofd:
Omtrek cirkel = diameter x \(\pi\)
Oppervlakte cirkel = straal2 x \(\pi\)
H2.3 opdracht 4.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Hoe lang is de straal van deze cirkel.
Bereken nu de oppervlakte van de cirkel.
H2.3 opdracht 5.
Bekijk de afbeelding hiernaast. Op het plaatje zie je twee cirkels.
Bereken van beide cirkels de oppervlakte.
H2.3 opdracht 6.
Bereken:
De oppervlakte van een cirkel met een diameter van 10 cm.
De oppervlakte van een cirkel met een straal van 4 cm.
De omtrek van een cirkel met een straal van 3 cm.
De oppervlakte en omtrek van een cirkel met een diameter van 14 cm.
H2.3 opdracht 7.
Een ring is eigenlijk een soort holle cirkel. Er is een grote cirkel waar een kleine cirkel uitgehaald wordt. Hiernaast zie je de schets van een ring. Bereken de oppervlakte van het gele gedeelte.
Uitleg.
Cirkels tekenen.
Een cirkel teken je met behulp van een passer. In het begin is het best lastig om met dit stuk gereedschap een mooie cirkel te tekenen. Het is een vaardigheid die je met veel oefenen al snel onder de knie zult hebben. Dus lukt het je niet in één keer om een mooie cirkel te tekenen, blijf dan oefenen.
Hieronder wordt in een video voorgedaan hoe je met je passer een nette cikel tekent.
H2.3 opdracht 8.
Zet de metale passerpunt in je papier.
Zet de potloodpunt 3 cm verder op, op het papier.
Teken nu een cirkel.
Meet de diameter van je cirkel op
Schrijf de volgende zin over in je schrift: Als de passerbenen 3 cm uit elkaar staan, dan wordt de diameter .... cm lang.
H2.3 opdracht 9.
Zet de metale passerpunt in je papier.
Zet de potloodpunt 4 cm verder op, op het papier.
Teken nu een cirkel.
Meet de diameter van je cirkel op
Schrijf de volgende zin over in je schrift: Als de diameter van de cirkel 8 cm moet worden, dan zet ik de passerbenen ... cm uit elkaar.
H2.3 opdracht 10.
Zet de metale passerpunt in je papier.
Zet de potloodpunt 5 cm verder op, op het papier.
Teken nu een cirkel.
Meet de diameter van je cirkel op
Schrijf de volgende zin over in je schrift: Als de passerbenen 5 cm uit elkaar staan, dan wordt de diameter .... cm lang.
H2.3 opdracht 11.
Teken een cirkel met een straal van 2,5 cm.
Hoeveel centimeter is de diameter nu?
H2.3 opdracht 12.
Teken een vierkant met zijden van vier cm in je schrift.
Zet de metalen punt in het midden van één van de zijde en de potloodpunt op een hoekpunt. Teken nu een halve cirkel. Als je het goed gedaan hebt, krijg je de figuur die je hiernaast ziet in je schrift. .
Maak nu de figuur verder af zodat je figuur lijkt op het plaatje hieronder.
H2.3 opdracht 13.
Hiernaast zie je hoe je met je passer het Genesis patroon kunt tekenen.
Maak het genesispatroon in je schrift.
werk netjes, als je het patroon af hebt mag je het patroon met kleurpotlood kleuren.
H2.4 Driehoeken
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank
Oppervlakte van een driehoek
Voor het berekenen van een vierkant of een rechthoek ken je de formule al die we gebruiken. Deze heb je waarschijnlijk op de basisschool al geleerd; namelijk Lengte x Breedte.
Maar ken je de formule die we gebruiken om de oppervlakte van een driehoek te berekenen ook al? Bekijk de afbeelding hieronder. Daarin zie je welke formule we gebruiken.
Hieronder wordt in het filmpje uitgelegd hoe de formule van de oppervlakte van een driehoek tot stand gekomen is.
Je kunt een driehoek inlijsten, er een rechthoek om heen tekenen. De oppervlakte van de driehoek is dan precies de helft van de oppervlakte van de rechthoek die je er omheen tekent.
In plaats van de woordjes lengte en breedte die we bij een rechthoek gebruiken, gebruiken we de woordjes zijde en hoogte.
De zijde komt overeen met de lengte
De hoogte komt overeen met de breedte.
Bekijk het plaatje hiernaast maar eens.
Leer de formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek uit je hoofd:
Oppervlakte driehoek = zijde x bijb. hoogte : 2
2.4 Opdracht 1
Neem de formule uit de kennisbank over in je schrift. .
In plaats van Oppervlakte driehoek = 0,5 x zijde x hoogte kun je ook Oppervlakte driehoek = zijde x hoogte : 2 noteren. Schrijf deze formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek ook netjes in je schrift. .
Het woordje hoogte komt van de hoogtelijn die je (al dan niet zelf) in de driehoek moet tekenen voordat je de oppervlakte kunt berekenen. Wat valt je op als je naar de hoogtelijnen in de driehoeken van de afbeelding kijkt? (in de uitleg) .
Teken nu zelf een willekeurige driehoek in je schrift en probeer op één zijde van de driehoek een hoogtelijn te tekenen. Doe dit natuurlijk netjes met potlood en je geodriehoek.
2.4 Opdracht 2
Bereken van de vier driehoeken hieronder de oppervlakte.
Noteer telkens netjes de formule en de berekening in je schrift.
2.4 Opdracht 3
Teken de volgende punten in een assenstelsel
A(3,2), B(-2, 2) en C(1,6).
Verbind punt A met B, B met C en C met A zodat ΔABC ontstaat.
Teken met rood kleurpotlood de hoogtelijn in je driehoek. (gebruik je geodriehoek!).
Bereken nu de oppervlakte van de driehoek.
2.4 Opdracht 4
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bereken van iedere driehoek de oppervlakte.
Schrijf netjes de formule die gebruikt in je schrift met daaronder de berekening.
2.4 Opdracht 5
Bekijk de twee driehoeken hiernaast. Om je te helpen hebben we ze op roosterpapier getekend.
Bereken van beide driehoeken de oppervlakte. Schrijf eerst de formule om de oppervlakte van een driehoek.
2.4 Opdracht 6
Kennisbank
Samengestelde figuren.
Zoals de titel al zegt, worden figuren soms samengesteld uit meerdere platte figuren. Kijk maar eens naar de afbeelding hieronder.
Je herkent er twee aan elkaar geplakte vlakke figuren:
Een vierkant en een driehoek.
Om de oppervlakte van de totale figuur te berekenen kunnen we er dus voor kiezen om de figuur in 2 (of meer) stukken te delen. Vervolgens rekenen we van ieder stuk afzondelijk de oppervlakte uit en daarna tellen we de oppervlakte van de losse figuren bij elkaar op.
Stappenplan oppervlakte van een samengestelde figuur berekenen.
stap 1: Bekijk het figuur en verdeel het in kleinere figuren
Stap 2: Nummer de figuren, schrijf van iedere figuur de bijbehorende formule op.
Stap 3: Vul de juiste maten in en reken per stukje de oppervlakte uit.
Stap 4: Tel alle lossen stukken weer bij elkaar.
2.4 Opdracht 7
Bekijk de figuur hiernaast. De maten van deze figuur zijn in centimeter.
Teken de figuur na in je schrift.
Verdeel de figuur nu in stukjes. Kleur de stukjes met kleurpotlood in.
Schrijf de namen van de verschillende figuren op, zet er ook de formule voor oppervlakte onder.
Vul de maten in de formule voor oppervlakte in en reken uit.
Tel vervolgens de oppervlakte van losse figuren bij elkaar op.
2.4 Opdracht 8
Kennisbank
Opdelen of inlijsten?
2.4 Opdracht 9
Bekijk de figuur hiernaast. Bereken de oppervlakte van deze figuur.
Denk zelf na over de stappen die je gaat zetten.
2.4 Opdracht 10
Bereken van de figuren hieronder de oppervlakte. Kies zelf per figuur de handigste aanpak, opdelen of inlijsten.
De antwoorden van deze paragraaf kun je terug vinden in de leertaak.
H2.5 De vergrotingsfactor
Inleiding.
In de wereld om ons heen hebben we veel te maken met vergrotingen of verkleiningen van de werkelijkheid. Denk maar eens aan een foto van bijvoorbeeld de Eifeltoren. Bij een vergrote werkelijkheid kun je denken aan een cel in de M&M (biologie) methode.
Tijdens het rekenen met zo'n vergrote en verkleinde werkelijkheid is het belangrijk dat je het verschil kent tussen het beeld en het origineel en dat je weet wat een schaal en een vergrotingsfactor is.
Leerdoelen:
H2.5 opdracht 1
Bekijk de afbeelding hiernaast. Deze staan ook op je werkblad. Op de afbeelding zie je een beroemd werk van Leonardo Da Vinci. Het rechter plaatje is een vergroting van het linker plaatje.
Meet met je geodriehoek hoeveel millimeter de spanwijdte van het linkerplaatje is. (van je linkerhand tot en met je rechterhand is de spanwijdte)
Meet nu met je geodriehoek hoeveel millimeter de spanwijdte van het rechterplaatje is.
Hoeveel keer zo groot is het rechter plaatje geworden?
H2.5 opdracht 2
Bekijk de afbeelding hiernaast. Deze staan ook op je werkblad. Het onderste plaatje is een verkleining van het bovenste plaatje.
Meet met je geodriehoek hoeveel millimeter de spanwijdte van het bovenste plaatjes is.
Meet nu met je geodriehoek hoeveel millimeter de spanwijdte van het onderste plaatje is
Hoeveel keer zo klein is het onderste plaatje geworden?
Kennisbank
Als we met een vergrotingsfactor werken hebben we twee gegevens nodig:
Het origineel. De figuur waar we mee begonnen zijn
Het beeld, ook wel de kopie genoemd. Dit is de vergroting of verkleining.
Schaal
Bij vergrotingen of verkleiningen staat vaak een schaal weergegeven. Een schaal geeft aan wat de afmetingen van het beeld zijn ten opzichte van het origineel.
Een schaal van 1 : 500 betekent dat de afmetingen van het origineel 500x zo groot zijn als het beeld. Dus stel je ziet een schatkaart met een schaal van 1:500, dan weet je dat iedere afstand die je meet op de schatkaart in het echt 500 keer zo groot is.
.
Een schaal van 20 : 1 betekent dat de afmetingen van het beeld 20x zo groot zijn als het origineel. Dus stel je ziet een tekening van een klein schroefje met een schaal van 20:1, dan weet je dat deze schroef in het echt 20 keer zo klein is als de tekening van de schroef.
De vergrotingsfactor
De vergrotingsfactor geeft net als de schaal aan in welke mate de afmetingen van het beeld verschillen met de afmetingen van het model. Een vergrotingsfactor van 6 betekent dat het beeld 6 keer zo groot is als het model (= het origineel).
In het filmpje hieronder wordt het nog verduidelijkt.
De vergrotingsfactor (k) ronden we meestal af op één decimaal.
Als je de afmeting van het origineel en de vergrotingsfactor weet, kun je de afmetingen van het beeld berekenen. Dit doe je door de afmeting van het origineel te vermenigvuldigen met de vergrotingsfactor. Je krijgt:
Afmeting beeld = Afmeting model ⋅ K (Vergrotingsfactor)
H2.5 opdracht 3.
Hiernaast zie je een afbeelding van twee tekstballonnen. Om je te helpen zijn de tekstballonnen op ruitjespapier afgedrukt. Elk ruitje is 1 cm bij 1 cm.
De linker tekstballon is het origineel, de rechter tekstballon het beeld.
Bereken de vergrotingsfactor (k) die is gebruikt.
H2.5 opdracht 4.
Hiernaast zie je een afbeelding van twee sterren. Om je te helpen zijn de tekstballonnen op ruitjespapier afgedrukt. Elk ruitje is 1 cm bij 1 cm.
De linker ster is het origineel, de rechter ster het beeld.
Bereken de vergrotingsfactor (k) die is gebruikt.
H2.5 opdracht 5.
Bekijk de afbeelding van de twee rechthoeken hiernaast. De rechter rechthoek is een vergroting van de linker rechthoek.
De linker rechthoek is het origineel.
Hoe noemen we de rechter rechthoek nu?
Bereken de vergrotingsfactor (k) die gebruik is.
Bereken de lengte van de ontbrekende zijde. Schrijf je berekening op.
H2.5 opdracht 6.
Op de afbeelding hiernaast zie je twee driehoeken.
Bereken k (de vergrotingsfactor).
Bereken de lengte van zijde KM.
Bereken de lengte van zijde BC.
H2.5 opdracht 7.
Van een rechthoek ABCD zijn de zijden 7 en 11 cm.
Rechthoek KLMN is een vergroting van rechthoek ABCD met vergrotingsfactor 1,5.
Bereken de zijden van rechthoek KLMN.
Rechthoek UVWX is een vergroting van rechthoek PQRS met factor 0,4.
Bereken de zijden van rechthoek UVWX.
Een rechthoek is 24 bij 32 cm. Van een vergroting van deze rechthoek is één van de zijden 56 cm.
Hoe groot kan de vergrotingsfactor geweest zijn? *Let op: er zijn twee antwoorden.
Welke afmetingen kan de vergroting hebben? Geef beide mogelijkheden.
Een rechthoek is 18 bij 27 cm. Van een verkleining van deze rechthoek is één van de zijden 9 cm.
Hoe 'groot' kan de vergrotingsfactor geweest zijn? *Let op: twee antwoorden.
Welke afmetingen kan de vergroting hebben? Geef beide mogelijkheden.
H2.5 opdracht 8.
In Barneveld vind je een reuzenstoel.Dit kunstwerk staat daar op een rotonde.
Normaal is bij een stoel de zitting op 50 cm hoogte is; van de reuzenstoel is dat op hoogte 2 meter.
De afmetingen van het zitvlak van een normale stoel zijn 40 bij 55 cm.
Bereken de afmetingen van het zitvlak van de reuzenstoel.
H2.5 opdracht 9.
Uit de krant:
De grootste levende krab die ooit te zien was in Europa, is in SEA LIFE Scheveningen te zien. Crabzilla, een Japanse reuzenspinkrab, is 4 meter (!) groot.
Het rugschild van een gewone spinkrab is 8 cm lang, van Crabzilla is dat 32 cm.
Crabzilla is een mannetje, weegt 15 kg en is ongeveer 50 jaar oud.
Bereken de 'vergrotingsfactor' van Krabzilla ten opzichte van een gewone krab.
Bereken met de vergrotingsfactor de lengte van een gewone spinkrab in centimeter.
Kennisbank
De vergrotingsfactor en het kopiëer apparaat
Een kopieerapparaat kan ook een vergroting of een verkleining van bijvoorbeeld een foto maken.
Op een kopiëerapparaat kun je niet zomaar de vergrotingsfactor (k) instellen. Het kopiëerapparaat werkt namelijk met procenten. We gaan de vergrotingsfactor dus omrekenen naar een percentage (procentgetal).
In het filmpje hieronder wordt voorgedaan hoe dat werkt.
H2.5 opdracht 10.
fbvd
H2.5 opdracht 11.
fbvd
H2.5 opdracht 12.
fbvd
H2.5 opdracht 13.
fbvd
H2.5 opdracht 14.
fbvd
H2.6 Oppervlakte vergroten
Inleiding.
De vergrotingsfactor kun je gebruiken bij het rekenen met oppervlaktes. Net zoals bij het rekenen met afmetingen geeft de vergrotingsfactor aan hoeveel groter of kleiner het beeld is ten opzichte van het model. Bij het rekenen met oppervlaktes wordt de vergrotingsfactor k,k2 keer zo groot. Je vergroot bij oppervlakte namelijk zowel de lengte als de breedte. Dus de lengte · k en de breedte · k en k · k = k2
Leerdoelen:
H2.6 opdracht 1.
H2.6 opdracht 2.
H2.6 opdracht 3.
sdvf
Kennisbank.
Oppervlakte vergroten.
Je kunt op drie manieren de vergrotingsfactor gebruiken bij het rekenen met oppervlaktes:
1. De vergrotingsfactor berekenen.
Als je zowel de oppervlakte van het model als de oppervlakte van het beeld weet kun je de vergrotingsfactor berekenen. Dit doe je door de oppervlakte van het beeld te delen door de oppervlakte van het model. De vergrotingsfactor is de wortel hiervan. Je krijgt:
vergrotingsfactor = \(\sqrt{oppervlakte \space beeld \over oppervlakte \space origineel} \)
Waarom een wortel? Omdat de wortel het tegenovergestelde van het kwadraat is.
2. De oppervlakte van het beeld berekenen.
Als je de oppervlakte van het model en de vergrotingsfactor weet, kun je de oppervlakte van het beeld berekenen. Dit bereken je door de oppervlakte van het model te vermenigvuldigen met de vergrotingsfactor in het kwadraat. Je krijgt:
Oppervlakte beeld = Oppervlakte model ⋅ Vergrotingsfactor2
H2.6 opdracht 4.
sdvf
H2.6 opdracht 5.
sdvf
H2.6 opdracht 6.
sdvf
H2.6 opdracht 7.
sdvf
H2.6 opdracht 8.
sdvf
H2.6 opdracht 9.
sdvf
H2.6 opdracht 10.
sdvf
H2.7 Gemengde opgaven
D-toets
Een diagnostische toets is een onderzoek naar eventuele gaten in jouw kennis of vaardigheden. Het doel van de diagnostische toets is het vaststellen wat je al kan, en waar je de komende tijd nog wat extra aandacht aan moet besteden.
Wanneer je een diagnostische toets maakt is het dus goed om je fouten bij te houden. Met deze fouten ga je de komende dagen extra aan de slag. Je herhaalt de uitleg, vraagt aan andere of ze je kunnen helpen als je de opgaven niet begrijpt of je vraagt aan je docent nog eens extra uitleg.
Op deze manier kom je voorbereid naar een toets. Je weet wat je kan, dit heb je voor de zekerheid nog één keer herhaald, de d-toets heeft je laten zien welke onderdelen je nog niet goed beheerst en deze heb je dan ook extra geoefend en extra uitleg gevraagd. Je weet nu dat je alles beheerst en je de toets goed kunt maken.
Zet in zijden die even lang zijn de even lang tekentjes. Doe dit met blauw kleurpotlood.
Zet in zijden die evenwijdig zijn evenwijdig tekentjes. Doe dit met groen kleurpotlood.
Teken met rood kleurpotlood de diagonalen in de figuren.
Staan diagonalen loodrecht op elkaar, zet er dan een tekentjes bij.
Herhaling opdracht 3
Teken in je schrift een lijnstuk PQ. Het lijnstuk moet 5 cm lang zijn.
Teken ∠P = 60o en ∠Q = 120o
Maak er nu een parallellogram van.
Zet bij de hoekpunten van je parallellogram de hoofdletters PQRS.
Herhaling opdracht 4
Teken een cirkel met een diameter van 8 cm
Hoe ver moest jij je passerbenen uit elkaar zetten om deze cirkel te kunnen tekenen?
Herhaling opdracht 5
Hiernaast zie je een tent met een hoogte van 2,4 m.
De breedte van de tent is 3 meter en de lengte is 3,8 meter.
Bereken de inhoud van de tent. Rond af op twee decimalen.
Herhaling opdracht 6
Bekijk de balk hiernaast.
Bereken de inhoud van de balk, schrijf je berekening op.
Herhaling opdracht 7
Bereken de inhoud van de piramide.
Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op een heel getal.
Herhaling opdracht 8
Een regenton heeft een diameter van 90 cm en een hoogte van 130 cm.
Bereken de inhoud van de regenton in cm³
Het water in de ton staat 40 cm hoog.
Bereken de inhoud van het water in de regenton (in cm³).
Hoeveel water (in cm³) kan nog in de regenton erbij?
Tijdens een regenbui komt er 4 liter per minuut bij.
Na hoeveel minuten is de regenton vol?
Herhaling opdracht 9
Hierbnaast zie je de voortent van een caravan met een breedte van 2,6 meter en een lengte van 5,2 meter.
De tent heeft de vorm van een prisma.
Maak een schets van het 'grondvlak' van deze tent. Zet de maten erbij.
Het grondvlak kun je verdelen in een rechthoek en een driehoek. Teken deze 'scheidingslijn' in je schets van opdracht a.
Bereken de oppervlakte van het grondvlak.
Bereken de inhoud van de tent.
Herhaling opdracht 10 Hiernaast zien we een samengestelde ruimtefiguur.
Uit welke twee ruimtefiguur is dit figuur samengesteld? Noteer de namen in je schrift.
Welke formules voor inhoud gebruiken we bij deze twee figuren. Noteer beide formules in je schrift.
Bereken de inhoud van de onderkant van deze samengestelde figuur.
Bereken de inhoud van de bovenkant van deze samengestelde figuur.
Bereken de totale inhoud van de samengestelde ruimtefiguur.
Herhaling opdracht 11
Teken in je schrift een balk ABCD EFGH met AB = 5cm, BC = 4 cm en AE = 3 cm.
Zet ook de hoekpunten bij je balk.
Herhaling opdracht 12
Bereken de lengte van BG in de balk
Teken doorsnede BGHA op ware grootte.
Herhaling opdracht 13
Hiernaast zie je een tekening van een balk. HR = EP en RG = 2 cm.
Je weet dat RG = 2cm, hoe lang is HR dan?
Neem de tekening met geodriehoek en potlood over in je schrift.
Verbind punt P met punt R, Punt R met punt D, punt D met punt A en punt A met punt P
Schets doorsnede APRD in je schrift.
Bereken de ontbrekende maten van APRD.
Teken APRD op ware grootte.
Herhaling opdracht 14
Bekijk het bouwwerkje hiernaast.
Teken het bovenaanzicht. Zet in de stapels het aantal blokjes
Teken het zij aanzicht in je schrift. Maak gebruik van de ruitjes van je schrift en teken met potlood en geodriehoek.
Extra moeilijke opdracht
Herhaling opdracht 15
Wanneer je een grote hoeveelheid posters besteld worden deze in apparte kokers naar je toegezonden. Een koker heeft een diameter van 20 cm en is net zo hoog als de doos.
De kokers worden in een grote kartonnendoos gestopt. In de ruimte tussen de kokers wordt opvulmateriaal zoals piepschuimbolletjes gestopt.
De fabrikant van de posters wil graag weten hoeveel liter piepschuimbolletjes hij nog in de ruimte tussen de kokers moet stoppen.
Bereken voor de fabrikant de inhoud van de ruimte tussen de kokers. Rond je antwoord af op 1 decimaal. Denk er aan, je antwoord moet in liters gegeven worden.
Extra stof
Het laatste ruimtefiguur waar we de inhoud van leren berekenen is de bol.
Een bol is een driedimensionale figuur waarvan alle punten even ver van een punt, het middelpunt, liggen. Hieronder staat een bol getekend; de rode lijnen zijn diameters.
Eigenschappen
De Bol is een ruimtefiguur. De bol heeft geen hoeken of ribben. Het heeft alleen één gebogen vlak. De bol is aan alle kanten rond. Voorbeelden van bolvormige dingen zijn, een voetbal en een globe. In het midden heeft de bol een middelpunt. Vanaf het middelpunt lopen oneindig veel diameters en stralen.
Oppervlakte
De oppervlakte van de bol is eenvoudig te berekenen. Voor de oppervlakte heb je alleen de lengte van de straal nodig. Hiervoor gebruiken we de volgende formule:
4 x \(\pi\) x straal² = oppervlakte.
De straal loopt van het middelpunt in een bol naar de buitenkant. Het ²-tekentje staat voor kwadraat.
Inhoud
Een bol heeft net als elk ander ruimtefiguur een inhoud. Net als bij de oppervlakte moet je eerst het middelpunt weten. vervolgens teken je twee diameters. Een van boven naar beneden en een van links naar rechts. De diameters moeten loodrecht op elk staan. Je meet nu de lengte van één diameter en deelt het door twee. Nu heb je de lengte van de straal. Vervolgens doe je deze formule:
\(4\over 3\) x \(\pi\) x straal³ = inhoud.
De \(\pi\) is een Pi, dit is een getal dat nooit op lijkt te houden. Op de plaats van het woordje straal vul je de lengte van de straal in. Het ³-tekentje betekend derde macht.
Coöperatieve opdrachten
H3 Vergelijkingen
Inleiding.
Het derde hoofdstuk gaat over het onderwerp vergelijkingen. Misschien is de titel lineaire formules eigenlijk wel een betere titel. In klas 1 hebben we hier ook al kennis mee gemaakt. We halen onze kennis over lineaire formules dus weer helemaal op. Regelmaat, een vast invulschema en het tekenen van grafieken komt opnieuw aan bod.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
Extra informatie.
Het hoofdstuk vergelijkingen hoort bij het onderwerp algebra. Algebra houdt zich bij wiskunde bezig met verbanden ook wel formules genoemd. In bijna alle beroepen kom je wel formules tegen. Mensen die werken met logistiek (vervoer over de weg, door de lucht of over het water maar ook telefoonverbindingen, wifi netwerken en elektriciteitskabels aanleggen), accountants (boekhouders), de lucht en ruimtevaart, civiele techniek (ontwerpen en bouwen van wegen, bruggen, dammen, dijken) werken dagelijks met verbanden. Eigenlijk werkt bijna iedereen wel eens een keer in de week met een verband. Al is het maar om je loon of de winst van je eigen bedrijf te kunnen berekenen
H3.1 Voorkennis
Inleiding.
Als voorkennis bij het hoofdstuk lineaire formules herhalen we onze kennis over het maken en invullen van een tabel en het tekenen van een grafiek bij de tabel.
Leerdoelen:
Kennisbank.
Het tekenen van een tabel.
Een tabel bestaat uit twee onderdelen: invoer en uitvoer.
Voor invoer wordt er binnen wiskunde vaak de letter X gebruikt, voor de uitvoer de letter Y. Deze letters zie je dan ook vaak in tabellen of formules terug komen.
Hierboven zie je een tabel getekend. De invoer zet je op de bovenste regel van je tabel, De uitvoer komt op de onderste regel. Je ziet dat er voor invoer al 4 getallen zijn ingevuld. Om een uitvoer in te kunnen vullen moeten we eerst wat te berekenen hebben.
Een voorbeeld:
In het machientje hieronder zie je dat wanneer je iets invoert, je dat eerst vermenigvuldigd met 3 en daarna er nog 4 bij op telt.
Vul je voor invoer (x) het getal 2 in dan krijg je:
Vul je voor invoer (x) het getal 7 in dan krijg je
2\( \times 3 + 4 =\)10
7\( \times 3 + 4 =\)25
In plaats van allerlei losse berekeningen opschrijven kun je dit ook netjes in een tabel invullen. Je krijgt dan de volgende tabel.
Het fijne aan werken met een tabel is dus dat je niet al je berekeningen hoeft op te schrijven, het is overzichtelijk en je kunt vaak gebruik maken van je tabel om verder te rekenen.
H3.1 opdracht 1.
Bekijk het machientje hieronder. Schrijf daarna netjes jeberekeningenop.
Voer het getal 5 in, bereken de uitkomst.
Voer het getal 9 in, bereken de uitkomst.
Neem de tabel over in je schrift en vul deze netjes in.
H3.1 opdracht 2.
Bekijk het machientje hieronder. Schrijf daarna netjes je berekeningen op.
Voer het getal 8 in, bereken de uitkomst.
Voer het getal 12 in, bereken de uitkomst.
Neem de tabel over in je schrift en vul deze netjes in.
H3.1 opdracht 3.
Je kunt natuurlijk ook tabellen invullen wanneer je niet werkt met een machientje maar bijvoorbeeld met een formule
Ook bij een verhaaltje kun je natuurlijk een tabel invullen.
Mikail heeft voor zijn verjaardag een schildpad gekregen. Elke maand weegt en meet Mikail zijn schildpad om de groei van het diertje bij te houden.
Toen Mikail de schildpad kreeg woog het diertje 320 gram. Elke maand wordt de schildpad 40 gram zwaarder.
Houdt voor Mikail een tabel bij met daarin de groei van zijn schildpad gedurende het eerste jaar.
Maak handige stapjes zodat je tabel niet te lang wordt.
Denk ook goed na over de woordjes die je voor invoer en uitvoer wilt gebruiken.
Kennisbank
Grafiek tekenen bij een tabel.
Het tekenen van een grafiek bij een tabel is een handeling, iets dat je moet kunnen laten zien. Dit leer je vooral door te oefenen en te doen. Kijk maar eens naar de twee fimpjes onder aan deze uitleg. Hierin worden de stapjes voor het tekenen van een grafiek bij een tabel uitgelegd en voorgedaan.
Teken ook de grafiek met het filmpje mee.
Je kunt dus aan je docent de door jou getekende grafiek laten zien.
Uitleg 1
Uitleg 2
H3.1 opdracht 6.
Hieronder zie je een ingevulde tabel en een leeg assenstelsel.
Neem het assenstelsel over in je schrift.
Denk na over de verdeling van de y-as. Maak handige stapjes en vul bij de y-as deze stapjes in.
Vul ook de stapjes op de x-as in.
Teken de punten uit je tabel in je assenstelsel.
Verbind de punten met een lijn, zo ontstaat er een grafiek.
H3.1 opdracht 7.
Hieronder zie je de grafiek van het aantal woningen dat in rotterdam per jaar is bijgebouwd.
In de grafiek is een scheurlijntje (zaagtand) getekend. Waarom zou de maker dit gedaan hebben?
Lees uit de grafiek af welke informatie er bij de x-as is verwerkt.
Lees in de grafiek af hoeveel woningen er in het jaar 1995 zijn bijgebouwd.
Teken een tabel bij de grafiek.
H3.1 opdracht 8.
Hieronder zie je de tabel die hoort bij de prijs van het huren van een persoonlijke trainer.
Kijk goed naar de gegevens van de y-as. Hoe groot ga je de stapjes op de y-as maken? Kun je ook een scheurlijntje gebruiken?
Teken een assenstelsel in je schrift die pas bij de tabel hierboven. Maak je assen niet langer dan 10 cm.
Teken de punten die volgen uit de tabel in je assenstelsel. Verbind de punten met een lijn zodat er een grafiek ontstaat.
H3.1 opdracht 9.
Hieronder zie je wederom een tabel.
Kijk goed naar de gegevens van de y-as. Hoe groot ga je de stapjes op de y-as maken? Kun je ook een scheurlijntje gebruiken?
Teken een assenstelsel in je schrift die pas bij de tabel hierboven. Maak je assen niet langer dan 10 cm.
Teken de punten die volgen uit de tabel in je assenstelsel. Verbind de punten met een lijn zodat er een grafiek ontstaat.
H3.2 Wat is een lineaire verband
Inleiding.
Een formule is een wiskundige zin met variabelen. Variabele zijn woordjes of letters in je verband (formule).
Bijvoorbeeld: Kosten = 18 + 6 x aantal personenof R = 3k - 4
Kijk je naar het verband tussen het aantal personen en de kosten: Kosten = 18 + 6 x aantal personen
Dan kun je er het volgende over zeggen:
'Ben je met meer personen, dan moet je ook meer betalen'.
'Neemt het aantal personen af of toe, dan nemen de kosten ook af of toe'.
De kosten en het aantal personen hebben een verband met elkaar. Veranderd de ene, dan veranderd de andere mee. Denk maar aan de hoe- hoe zinnen uit klas 1.
Hoe meer personen er komen, hoe groter de kosten worden.
Je gebruikt een formule om het verband tussen variabelen te beschrijven of om een rekenregel kort op te schrijven.
Leerdoelen:
Kennisbank.
Wat is nu een lineair verband?
Als er sprake is van een lineair verband, dan heb je een gelijke toename of afname. Je spreekt van regelmaat, een soort herhaling.
Hoe herken je een lineair verband?
In een grafiek
De grafiek van een lineair verband is een rechte lijn of losse punten die op een rechte lijn liggen.
In een tabel.
In een tabel van een lineair verband is er sprake van gelijke stappen. Van regelmaat, herhaling. Er komt telkens even veel bij of gaat telkens even veel af.
Aan de formule zelf.
Een lineaire verband heeft een vaste opbouw:
y = a x + b
Elke letter in deze vaste opbouw heeft een eigen functie. Dat zie je in het plaatje hieronder.
Het is handig om bovenstaande schema uit het hoofd te leren, je gaat het nog vaak gebruiken.
H3.2 opdracht 1.
In de grafiek hieronder zie je het verband tussen het bezineverbruik en de afgelegde afstand in km.
Hoe zie je aan de grafiek dat het verband tussen het bezine verbruik en de afgelegde afstand een lineair verband is?
Lees uit de grafiek af hoeveel kilometer je kunt rijden met 15 liter benzine. Noteer je antwoord in je schrift.
Vul in: De auto rijdt 1 : ....
Hoeveel kilometer kun je rijden met 7 liter benzine?
H3.2 opdracht 2.
Een kaart wordt aangestoken. In de grafiek zie je het verband tussen de brandtijd en de lengte van de kaars weergegeven.
Is het verband tussen de brandtijd en de lengte van de kaars een lineair verband? Hoe zie je dat aan de grafiek. Noteer je antwoord in je schrift.
Lees uit de grafiek af hoeveel hoe lang de kaars nog is na 4 uur branden
Hoe denk je dat de kaars er uitzag toen deze werd aangestoken. Maak een schets met potlood.
Bij welke vorm van de kaars zal het verband tussen de brandtijd en de lengte van de kaars wel een lineair verband zijn?
H3.2 opdracht 3.
Joachim vult twee grote tonnen met water. Helaas heeft Joachim niet gezien dat deze twee tonnen lek zijn. Daarom stroomt er langzaam water uit de ton. De grafiek geeft het verband tussen de inhoud van de tonnen en de tijd in minuten weer
Hoe kun je aan beide grafieken zien dat we hier te maken hebben met een lineair verband?
Welke ton is het eerste leeg?
Welke ton heeft de grootste inhoud nadat deze gevuld zijn?
Na hoeveel tijd zit er in beide tonnen even veel water?
H3.2 opdracht 4.
Maurice bezorgt iedere week voor het bedrijf van zijn vader folders in de wijk rond. Maurice krijgt van zijn vader 7,5 cent per folder die hij rondbrengt. Bekijk de tabel die hoort bij de verdiensten van Maurice.
Tussen welke variabele is er in de tabel een verband weergegeven?
Neem de tabel over in je schrift. Vul de tabel verder in.
Is het verband lineair? Leg je antwoord uit.
H3.2 opdracht 5.
Met lucifers kun je allerlei figuurtje leggen. Het verband tussen het aantal lucifers en het aantal driehoeken kun je weergeven in een tabel
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Geef met boogjes de regelmaat in je tabel weer.
Maak de zinnen af: Als je een extra driehoek aan de figuur legt, dan komen er ..... lucifers bij.
Is het verband tussen het aantal lucifers en de driehoeken lineair? Hoe zie je dat aan de tabel?
H3.2 opdracht 6.
Als je van een vierkant de zijden weet, dan kun je de oppervlakte uitrekenen. Bekijk de tabel.
Tussen welke variabele is in de tabel een verband weergegeven?
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Is het verband een lineair? Waarom wel of waarom niet?
H3.2 opdracht 7.
Bij Gamespot kun je spelcomputers huren. Gamespot berekent het huur bedrag met de volgende formule: huurprijs = 12,50 + 2,50 x aantal dagen
de huurprijs is in euro.
Je wilt de spelcomputer 6 dagen huren. Bereken de huurprijs voor zes dagen. Noteer je berekening in je schrift.
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Teken de boogjes bij je tabel.
Teken een grafiek bij de tabel.
Is het verband tussen het aantal dagen en de huurprijs lineair?
H3.2 opdracht 8.
Bij een wiskundetoets kon je maximaal 45 punten halen.
De docent berekent jouw cijfer dan met de volgende formule: \(cijfer = {1\over 5} \times aantal \space punten + 1\)
Het cijfer rond je af op 1 decimaal.
Bereken het cijfer dat je haalt wanneer je 28 punten hebt behaald.
Nizar beweert dat wanneer je het dubbele aantal punten hebt behaald je ook een twee keer zo hoog cijfer hebt. Laat met een berekening zien of Nizar gelijk heeft.
Neem de tabel over en vul hem in.
Teken de boogjes bij je tabel.
Is hier sprake van een lineair verband?
H3.2 opdracht 9.
Bij de reeks met stippenfiguren hieronder.
Als je het nummer van de figuur weet kun je met behulp van een formule uitrekenen hoeveel stippen deze figuur groot is.
\(S = n \times n + n\)
Hierin is S het aantal stippen en N het nummer van de figuur
Wat denk je, hoort de formule bij een lineair verband?
Bereken het aantal stippen dat figuur nummer 6 heeft. Schrijf je berekening op.
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Teken de boogjes bij je tabel..
Kijk nu nog eens naar je antwoord bij vraag a. Had jij deze vraag goed?
H3.3 begingetal en stapgrootte
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank.
Het begingetal.
Het begingetal geeft de begin hoeveelheid aan. Dit wordt ook wel het vaste bedrag of het startgetal genoemd.
Je vindt het begingetal door het getal nul in je formule in te vullen.
voorbeeld: \(y = 3 + 2\space x\)
Vul je voor X het getal nul in dan krijg je \(y = 3 + 2 \times 0 = 3\)
Het begingetal in deze formule is 3.
In een lineaire formule is het losse getal (het getal zonder letter) het begingetal.
In het laatste voorbeeld is het begingetal een keer vooraan in de formule gezet.
H3.3 opdracht 1.
Shaquille wil graag een scooter huren.
Verhuurbedrijf Go-Fast rekent hiervoor de volgende prijs:
Verzekeringskosten = €50, prijs per dag = €25. Bekijk ook de tabel
Neem de tabel over en geef daarbij de stapjes aan.
Is hier sprake van een lineair verband?
Noteer de stapgrootte/hellingsgetal.
H3.3 opdracht 2.
Hieronder zie je 2 tabellen. Bij beide tabellen hoort een lineair verband (er is sprake van regelmaat in de tabellen).
Reken bij beide tabellen de stapgrootte uit.
Kennisbank.
De stapgrootte
De stapgrootte geeft aan hoeveel er per eenheid bijkomt of afgaat.
Je kunt dit vooral goed in de tabel of in de grafiek zien
De stapgrootte heeft in de tabel te maken met de stapjes die zich telkens herhalen.
Maak je een stapje van 1 op de bovenste rij, dan komt er in de onderste rij een stapje van 20 bij.
Er is sprake van regelmatige toename
In de tabel hierboven zie je dat wanneer er één uur bij komt de prijs met 20 toeneemt.
de stapgrootte is dus +20 euro per uur.
Maak je in de tabel hierboven een stapje van +1 in de bovenste rij, dan neemt de hoeveelheid in de onderste rij met 4 af. Er is sprake van regelmatige afname.
*Belangrijk is dat je de stapgrootte altijd in stapjes van 1 berekend.
H3.3 opdracht 3.
Hieronder zie je 2 tabellen. Bij beide tabellen hoort een lineair verband (er is sprake van regelmaat in de tabellen).
Reken bij beide tabellen de stapgrootte uit.
H3.3 opdracht 4.
H3.3 opdracht 5.
Kennisbank.
In de grafiek kun je de stapgrootte ook goed zien. Vaak wordt er in plaats van het begrip stapgrootte het begrip hellingsgetal gebruikt. Als je naar de grafieken kijkt dan heb je snel door waarom we de stapgrootte ook wel het hellingsgetal noemen.
Ga je een stapje van één naar rechts (x-as) dan gaat de grafiek twee omhoog( y-as).
Het hellingsgetal is +2 Bij een stijgende lijn hoort een positief hellingsgetal.
Ga je een stapje van één naar rechts (x-as) dan gaat de grafiek twintig omlaag( y-as).
Het hellingsgetal is -20 Bij een dalende lijn hoort een negatief hellingsgetal.
H3.3 opdracht 6.
Dunja heeft een aantal uur achter elkaar de temperatuur 's middags gemeten. De resultaten zie je in de tabel.
Teken de grafiek bij de tabel.
Bereken de stapgrootte/hellingsgetal
Teken met potlood de stapgrootte/hellingsgetal net als in de uitleg in je grafiek.
H3.3 opdracht 7.
De grafiek hieronder geeft het verband tussen de tijd en de temperatuur weer.
Hoort er bij deze grafiek een positief of een negatief hellingsgetal/stapgrootte?
Bereken het hellingsgetal/stapgrootte bij de grafiek.
Lees het begingetal af.
Kennisbank.
Een kaars met een lengte van 30 cm, brandt in 6 uur helemaal op.
Er is sprake van een lineaire verband.
In de tabel zie je dat bij gelijke stappen van tijd, gelijke stappen van lengte horen. Er is sprake van regelmatige afname.
Per uur neemt de lengte met 5 af. In de tabel kun je ook het begingetal aflezen, kijk maar onder nul. Het begingetal = 30 cm.
De grafiek die bij de tabel hoort is een rechte lijn.
Neemt de tijd met één uur toe, dan daalt de lijn met 5 cm. Je kunt in de grafiek ook het begingetal aflezen. Kijk maar bij x=0 de grafiek is daar 30 cm hoog. Het begingetal = 30 (op een hoogte van 30 snijdt de grafiek de y-as)
H3.3 opdracht 8.
Matthijs huurt een quad in de grafiek zie je wat dit gaat kosten per kilometer. De rode grafiek hoort bij verhuurbedrijf Quadcore, de blauwe grafiek bij bedrijf Q-wheels
Van welke grafiek is het hellingsgetal negatief? Hoe zie je dat aan de grafiek?
Lees het begingetal van grafiek C af.
Is het hellingsgetal van grafiek B groter of kleiner dan het hellingsgetal van grafiek A. Laat dit met een berekening zien.
H3.4 Een formule maken
Inleiding.
Leerdoelen:
3.4 opdracht 1.
Een taxibedrijf laat de prijs voor een rit afhangen van het aan kilometers van de rit. In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen de afstand in km en de ritprijs in euro
Hoe kun je aan de grafiek zien dat het verband tussen de afstand en de ritprijs een lineaire verband is?
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Vul in:
Telkens als de afstand met 1km toeneemt, neemt de ritprijs met
1. ... ... euro toe. Het hellingsgetal van de grafiek is 2. ... ...
In welk punt snijdt de grafiek de y-as (verticale as) noteer het coördinaat in je schrift.
Maak de formule bij dit verband.
3.4 opdracht 2.
Kennisbank
Wanneer je het begingetal en de stapgrootte/hellingsgetal in een verhaaltje, tabel of grafiek herkent of kunt vinden. Dan kun je een lineaire formule maken.
Een lineaire formule heeft namelijk een vast voorschrift (een vast invulschema).
Elke lineaire formule ziet er hetzelfde uit.
Dit is handig, want dan kun je lineaire formules makkelijk herkennen en je kunt als je het voorschrift (het invulschema) kent ook zelf een lineaire formule maken bij een verhaaltje, tabel of formule.
Leer het vaste voorschrift van een lineaire formule uit het hoofd.
Zodra je dit schema kent, dan moet het nog leren invullen.
Hieronder volgen drie voorbeelden.
Voorbeeld
Voorbeeld 1. Formule bij een context (verhaaltje)
Herken jij in het verhaaltje een vorm van regelmaat (herhaling), er komt iedere keer hetzelfde bij, dan hoort er een lineaire formule bij die context (verhaaltje).
Shanna werkt voor een pizzabakker.
De pizzabakker betaalt Shanna iedere week loon.
Per gewerkt uur krijgt Shanna € 2,50. Aan het eind van de week krijgt Shanna uit de fooienpot nog eens € 6,-.
Shanna werkt deze week 8 uur.
Volgende week werkt zij 6 uur en in de vakantieweek werk Shanna wel 21 uur.
In het voorbeeld krijgt Shanna per uur €2,50 (dit herhaalt zich dus elk uur)
en aan het eind van de week €6,- (eenmalig, een vast bedrag)
De formule wordt dan dus:
y = a • x + b Verdiensten = .... • aantal uren + ....
Verdiensten = 2,50 • aantal uren + 6
3.4 opdracht 3.
Jolijn fietst elke dag naar school. Zonder verkeerslichten doet Jolijn 10 minuten over de route naar school. Helaas komt Jolijn heel veel verkeerlichten tegen op haar weg van school naar huis. Per rood verkeerslicht moet zij gemiddeld 45 seconden wachten. Als Jolijn weet hoeveel rode verkeerslichten zij onderweg tegen zal komen dan kan zij berekenen hoe lang ze onderweg is naar school.
Op maandag komt Jolijn 2 rode verkeerslichten tegen. Hoelang duurt de reis nu van huis naar school? Noteer een berekening in je schrift.
Op dinsdag komt ze 5 rode verkeerslichten tegen. Hoe lang duurt de reis van huis naar school nu? Noteer een berekening in je schrift.
Welk getal in het verhaaltje is het vaste getal (het begingetal?)
Wel getal in het verhaaltje is de stapgrootte?
Maak een formule waarmee Jolijn kan uitrekenen hoe lang zij onderweg is van huis naar school.
Op vrijdag heeft Jolijn er 16 minuten en 45 seconden over. Hoeveel rode verkeerslichten is Jolijn nu tegen gekomen?
3.4 opdracht 4.
Maya organiseert een groot feest. Ze heeft voor 1200 euro een grote zaal gehuurd, een Dj gehuurd voor 500 euro en voor 600 euro aan drankjes en hapjes ingekocht. In totaal heeft zij dus 2300 euro uitgegeven.
Daarom vraag Maya entree geld voor het feest. Per bezoeker vraagt Maya €12,50.
Maya wil graag uitrekenen hoeveel bezoekers er minimaal moeten komen om uit de kosten te komen. Ook zou Maya het leuk vinden winst te maken zodat ze vaker feesten kan organiseren
Wat is het bedrag dat Maya uitgeeft voor de organisatie voor het feest?
Welk bedrag rekent Maya voor een kaartje voor het feest?
Noteer het vaste formulevoorschrift van een lineaire formule in je schrift.
Maak voor Maya een formule waarmee zij kan berekenen hoeveel winst/verlies zij maakt.
Maakt Maya winst als er 200 bezoekers naar het feest komen? Noteer de berekening in je schrift.
Hoeveel bezoekers moeten er minimaal naar Maya's feest komen om geen verlies te maken? Noteer de berekening in je schrift.
3.4 opdracht 5.
Lees het krantenartikel hieronder en bekijk de grafiek die in het krantenartikel staat.
Als we voor de lengte als begin het jaar 1900 nemen. Welke waarde voor lengte hoort er voor de gemiddelde Nederlanders dan bij? (noteer het begingetal)
In 1996 was de gemiddelde Nederlander al 1,75. Hoeveel centimeter is de gemiddelde lengte van de Nederlander vanaf 1900 toegenomen? Hoeveel millimeter is dat?
Bereken hoeveel millimeter de gemiddelde lengte van de Nederlanders per jaar is toegenomen.
Maak een formule die bij het krantenartikel past.
Reken de gemiddelde lengte van de Nederlander in het jaar 1950 uit.
Bereken met de formule hoe lang de gemiddelde Nederlander in het jaar 2020 volgens de formule zal zijn.
Voorbeeld 2
Formule bij een tabel.
Bij een tabel werkt het net zo als bij het verhaaltje. Herken je regelmaat (herhaling) in de tabel, dan hoort er een lineaire formule bij.
Bij de verdiensten van Willem hoort onderstaande tabel.
Deze tabel lijkt niet meteen regelmatig. Maar wanneer je de boogjes bij de tabel tekent zie je het misschien al iets duidelijker.
Als nog, het lijkt niet echt regelmatig. Maar wanneer je de stapjes boven allemaal even groot maakt, dan worden de stapjes onder ook allemaal even groot. Kijk maar.
\({3 euro \over 1 uur} = 3\) en \( {9 euro \over 3 uur} = 3\) en \({6 euro \over 2 uur} = 3\) en \({12 euro \over 4 uur} = 3\)
Wanneer je het getal bij het onderste boogje deelt door het getal bij het bovenste boogje krijg je telkens dezelfde uitkomst. Elk stapje (van 1 uur) is 3 euro waard.
De stapgrootte is dus 3 (per uur krijgt hij 3 euro)
Het begingetal kon je al vinden in een tabel. Deze staat onder nul in je tabel.
Je hebt het begingetal afgelezen (onder nul in je tabel) en je stapgrootte/hellingsgetal berekend, dan kun je nu de formule gaan maken.
Stappenplan formule bij een tabel.
Noteer het vaste formulevoorschrift in je schrift. y = stapgrootte • x + begingetal
Vul voor de y en voor de x de woordjes van de y-as en x-as in.
Lees het begingetal af en vul dit op de goede plek in.
Bereken de stapgrootte en vul deze in.
- Teken de boogjes bij de tabel.
- Noteer de verschillen per boogje.
- Maak de deelsom \(onderste \space boogje \space(y-as) \over bovenste \space boogje \space (x-as)\) en noteer het antwoord.
Controlleer je formule door er 2 punten uit je tabel me na te rekenen.
3.4 opdracht 6.
Tijdens een scheikundeproef houden de leerlingen hun metingen bij. Bij elke meting noteren zij het aantal ml dat van de stof overblijf.
In de tabel hieronder zie je de uitkomsten van de metingen.
Wanneer je de grafiek zou gaan tekenen, dan gaat de grafiek door
het punt (0, ...)
Vul in:
Telkens als je een nieuwe meting doet, neemt de inhoud met .... af.
Maak een formule bij de tabel.
Controleer je formule door twee waarden uit de tabel na te rekenen.
Noteer de berekeningen in je schrift.
3.4 opdracht 7.
De scooter van Rhama is stuk. Er moet een onderdeel vervangen worden. Voor het repareren van de scooter moet je naast een nieuw onderdeel ook nog de arbeidskosten betalen.
In de tabel zie je wat de kosten zijn als de reparatie twee kwartieren duurt
en wat de reparatie kost als het 4 kwartieren duurt.
Op het werkblad staat de tabel. Vul de ontrekende waarden in.
Zet boogjes bij de tabel en bereken de verschillen.
Bereken de stapgrootte die bij de tabel hoort, noteer het in je schrift.
Lees het begingetal af en noteer het in je schrift.
Schrijf het vaste formulevoorschrift op in je schrift.
Maak de formule die hoort bij de tabel.
Controleer je formule door 2 waarden uit de tabel na te rekenen. Noteer de berekeningen in je schrift.
3.4 opdracht 8.
Voorbeeld 3
Formule bij een grafiek.
Bekijk eerst het filmpje bij deze uitleg. Daarna kun je de uitleg hieronder gebruiken als samenvatting. (neem de 5 stappen over in je schrift!)
Hoe maak je een formule bij een grafiek.
Schrijf je vaste formule voorschrift op.
y = hellingsgetal • x + begingetal
Noteer op de plek van de y de woordjes van de y-as en op de plek
van de x de woordjes van de x-as.
Lees het begingetal af uit je grafiek en vul dit in.
Bereken het hellingsgetal/stapgrootte:
- zoek 2 roosterpuntjes.
- kijk wat er gebeurt (hoeveel horizontaal / hoeveel verticaal)
- Maak de deelsom \(verticaal \over horizontaal\)
- vul nu je hellingsgetal op de juiste plek in je formule in.
Controleer of je formule klopt door 2 punten uit je grafiek na te rekenen.
3.4 opdracht 9.
In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen het aantal fouten en het cijfer.
De grafiek is een rechte lijn. Bij de grafiek hoort een lineaire formule.
Vul in: De grafiek gaat door de punten (0 , ...) en (... , ...)
Noteer twee roosterpunten die je in de grafiek kunt vinden.
Bereken het hellingsgetal (stapgrootte) van de grafiek.
Hoe kun je aan het hellingsgetal zien dat de grafiek dalend is?
Maak een passende formule bij de grafiek.
3.4 opdracht 10.
Redouan brengt iedere woensdag folders rond. Hoeveel hij verdient, hangt af van het aantal folders dat hij rondbrengt.
Bij het verband tussen het aantal folders en de verdiensten is een grafiek getekend. In de grafiek zie je dat Redouan €7,50 verdient als hij 100 folders rondbrengt.
Noteer het begingetal van de grafiek in je schrift.
Lees in de uitleg de stapjes voor het berekenen van het hellingsgetal nog eens door en noteer de stappen in je schrift.
Bereken het hellingsgetal van deze grafiek.
Maak voor Redouan een formule bij het verband tussen het aantal folders en zijn verdiensten.
3.4 opdracht 11.
H3.5 Oplossen met grafieken
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank.
Bekijk de twee uitlegvideo's hieronder.
3.5 Opdracht 1.
Je besluit voor komend schooljaar zelf ook je schoolspullen online te kopen. Voor een pen betaal je € = 0,30. Behalve de prijs per pen betaal je ook nog €5,- aan verzendkosten.
Bij het bestellen van de pennen hoort de woordformule:
Kosten in € = 5 + 0,30 x aantal pennen.
Maak van de woordformule een formule met letters. Laat ook het keerteken uit je formule weg.
Teken een tabel bij de grafiek. Maak voor het aantal pennen
stapjes van 2. Ga door tot je 10 pennen hebt berekend.
Teken de grafiek bij de tabel.
Je hebt voor je pennen €6,50 te besteden. Lees uit de grafiek af hoeveel pennen je nu kunt kopen. (teken ook de lijnen hiervoor in je grafiek zoals in het filmpje is voorgedaan).
3.5 Opdracht 2.
In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen het aantal gewerkte uren (x-as) en de verdiensten in euro (y-as)
Bij de grafiek hoort de lineaire formule
Verdiensten = 10 + 5 x aantal uren
Je hebt 20 euro verdient. Lees in de grafiek af hoeveel uur je daarvoor hebt gewerkt. Noteer het antwoord in je schrift.
Je hebt 40 euro verdient. Lees in de grafiek af hoeveel uur je daarvoor hebt gewerkt. Noteer het antwoord in je schrift.
Teken een tabel bij de grafiek. Maak op de x-as stapjes van 2, ga door tot je 10 werkuren in je tabel hebt staan.
Je hebt 60 euro verdient. Dit bedrag kun je niet aflezen in de grafiek. Gelukkig kun je met de tabel wel laten zien hoeveel uur je daar voor moet werken. Omcirkel dit antwoord met potlood in je tabel.
Je hebt 100 euro verdient, maak met behulp van de formule een berekening waarmee je kunt uitrekenen hoeveel uur je hebt gewerkt om 100 euro te verdienen.
Wanneer je een snijpunt van een lijn en een grafiek afleest, los je eigenlijk een vergelijking op. Bij vraag 2a heb je verdiensten vergeleken met het aantal gewerkte uren.
3.5 Opdracht 3.
In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen de lengte van een kaars en het aantal branduren
Bij de grafiek hoort de volgend lineaire formule:
L = 22 - 2B
L = Lengte in cm
B = aantal branduren
In de formule zie je 2B staan. Wat betekend dit?
Hoe lang was de kaars toen deze werd aangestoken?
Na hoeveel branduren is de kaars nog 14 cm lang?
Na hoeveel branduren is de kaars op?
Het is lastig aflezen na hoeveel branduren de kaars nog maar 11 cm lang is.
Reken met behulp van de formule uit na hoeveelbrand uren de kaars 11 cm lang is.
Wanneer je een snijpunt van een lijn en een grafiek afleest, los je eigenlijk een vergelijking op. Bij vraag 3c heb je de lengte van de kaars vergeleken met het aantal branduren.
3.5 Opdracht 4.
Bij het verkopen van pennen via internet hoort de volgende formule:
Aantal pennen in voorraad = 150 - 15 x aantal dagen.
Maak van de woordformule een formule met letters. Laat ook het keerteken weg. Noteer je formule in je schrift.
Teken een tabel bij de grafiek. Ga door tot je voorraad op is. *denk na over handige stapjes.
Teken de grafiek bij de tabel.
Lees uit je grafiek af na hoeveel dagen je nog 90 pennen over hebt op voorraad. Teken ook de bijbehorende lijnen zoals in het filmpje is voorgedaan.
Wanneer je een snijpunt van een lijn en een grafiek afleest, los je eigenlijk een vergelijking op. Bij vraag 4 heb je de voorraad vergeleken met het aantal dagen.
3.5 Opdracht 5.
Je kunt ook grafieken met elkaar vergelijken. Hoe je dat doet zie je in dit filmpje
Bekijk eerst het filmpje. Daarna kun je onderstaande vragen beantwoorden.
Erik en Jennifer werken beide bij DOMINO'S pizza. Erik als bezorger en Jennifer achter de toonbank. Ze krijgen beiden anders betaald.
Erik \(\longrightarrow\) V = 2 + 4,5u
Jennifer \(\longrightarrow\) V = 8 + 2,50u
Hierin is V de verdiensten in euro en U het aantal gewerkte uren.
Maak voor Erik en Jennifer passende tabellen.
Teken de grafieken die horen bij de formules/tabellen in één assenstelsel (net als in het filmpje)
Lees het snijpunt van beide grafieken af.
Wat betekend dit snijpunt (wat heb je nu eigenlijk afgelezen?)
Wanneer je een snijpunt van twee grafieken afleest, los je eigenlijk een vergelijking op. Bij vraag 5c heb je verdiensten vergeleken met het aantal gewerkte uren.
3.5 Opdracht 6.
In het assenstelsel hiernaast zijn de grafieken getekend van:
y = 6 + 6x en y= 12 + 4x
Bij het snijpunt hoort de vergelijking:
6 + 6x = 12 + 4x
Volgens Ayoub is de oplossing x = 4.
Vul het getal 4 in beide formules in en noteer je berekening.
Wat valt je op aan de antwoorden?
Noteer de coördinaten van het snijpunt in je schrift. ( ... , ... )
Leg uit wat de coördinaten betekenen.
Laat met een berekening zien (zoals bij opgave a) welke oplossing er bij de vergelijking hoort.
3.5 Opdracht 7.
Twee installatiebedrijven berekenen hun prijzen met de volgende formules:
Bedrijf A: p = 25 + 25 t
Bedrijf B: p = 50 + 20 t
t is de tijd in uren en p is de prijs in euro’s.
Neem de tabel over en vul de tabel verder in:
t
0
2
4
6
8
Bedrijf A p
Bedrijf B p
Teken in één assenstelsel beide grafieken.
Wanneer je twee grafieken (lijnen) elkaar laat snijden, los je een vergelijking op.
Welke lineaire vergelijking hoort bij het snijpunt?
Wat is de oplossing van deze vergelijking?
Wat is de betekenis van de oplossing?
3.5 Opdracht 8.
Bij de grafieken hieronder horen de formules:
I: belkosten = 22,5 + 0,1 × beltijd
II: belkosten = 10 + 0,15 × beltijd
beltijd in minuten, belkosten in euro’s.
Maak van de woordformules formules met letters.
Laat ook het keerteken weg.
Het snijpunt van de twee grafieken vindt je bij:
( ... , ...) Noteer de coördinaten.
Wat is de betekenins van deze coördinaten?
Wanneer je twee grafieken(lijnen) met elkaar laat snijden los je ook een vergelijking op.
Welke vergelijking hoort er bij het snijpunt van de twee grafieken?
.... = .... (vul de twee formules in)
Wat is de oplossing van deze vergelijking.
Laat met een berekening zien dat je gevonden oplossing klopt.
3.5 Opdracht 9.
In het assenstelsel zie je twee grafieken.
Bij de grafieken horen de volgende formules:
I: u = 4 + 2 x g of korter geschreven U = 4 + 2G
II: u = 10 -2 × g of korter geschreven U = 10 - 2G
Vul in:
Het snijpunt van de twee lijnen vind je bij:
( .... ; .... ) vul het coördinaat in.
Wat betekend dit coördinaat?
Wanneer je twee lijnen met elkaar laat snijden los je ook een vergelijking op.
4 + 2G = 10 - 2G
Welk getal moet je nu voor voor G invullen zodat de grafieken elkaar raken?
Controle: Je kunt altijd je antwoord narekenen.
Vul nu in beide formules het getal dat jij afgelezen hebt op de plek van de G in. Als je het goed gedaan hebt heb je in beide formules hetzelfde antwoord gekregen.
I: u = 4 + 2 x ... =
II: u = 10 - 2 x ... =
Schrijf de berekening die bij het controleren van de vergelijking hoort op.
Laat ook duidelijk zien dat je nu twee keer hetzelfde antwoord hebt gekregen.
3.5 Opdracht 10.
Je ziet drie lineaire vergelijkingen en drie oplossingen.
Welke oplossing hoort bij welke vergelijking?
Vergelijkingen:
-6 + 6x = 2 + 4x
0 + 6 x = 2+ 4 x
6 + 6 x = 4 x + 2
Oplossingen:
x = -2
x = 4
x = 1
Noteer het antwoord in je schrift:
A = .... (vul het juiste antwoord in)
B = ...
C = ...
H3.6 Oplossen met inklemmen
H3.7 Gemengde opgaven
In de gemengde opgaven oefen je met het toepassen van de uitleg uit de voorgaande paragrafen.
Kale opgaven en opgaven met een verhaaltje (een context) worden met elkaar afgewisseld.
3.7 Opdracht 1.
Bekijk de grafiek hieronder.
Welke woordjes horen bij de y-as?
Welke woordjes horen bij de x-as?
Lees het begingetal van de grafiek af.
Bereken de stapgrootte (hellingsgetal) van de grafiek.
Maak een formule die bij de grafiek past.
Laat met 2 berekeningen zien dat je gemaakte formule bij
vraag e klopt.
3.7 Opdracht 2.
Bekijk de drie tabellen hieronder.
Bereken de stapgrootte van tabel 1.
Hoort er bij tabel 1 een lineaire formule?
Schrijf de formule die hoort bij tabel 1 op.
Bij welke tabel hoort er nog meer een lineaire formule?
3.7 Opdracht 3.
Bekijk het machientjes schema hiernaast. Schrijf daarna netjes je berekening op.
Voer het getal -2 in, bereken de uitvoer.
Voer het getal 2 in, bereken de uitvoer.
Maak bij bovenstaand machientjes schema een tabel met
invoer van van -3 tot 3. Vul ook de antwoorden die daarbij
horen in.
3.7 Opdracht 4.
Mitchell wil graag wat bijverdienen in de vakanties. Hij geeft zich op om fietskoerier te worden. Als fietskoerier bezorg je allerlei pakketten in de stad met je fiets.
Van de baas krijgt Mitchell elke maand €4 vergoeding voor het onderhoud van zijn fiets.
Per uur verdient Mitchell € 3,20
Mitchell heeft in mei 21 uur gewerkt. Bereken zijn verdiensten.
In de maand juli werkt Mitchell 28 uur. Bereken zijn verdiensten.
Maak een formule die bij de verdiensten van Mitchell past.
In december verdient Mitchell €32,80.
Welke vergelijking hoort er bij deze verdiensten?
Los de vergelijking van vraag d op met de balansmethode.
3.7 Opdracht 5.
3.7 Opdracht 6.
Iedereen die een eigen bedrijf start wil natuurlijk zo snel mogelijk er iets aan verdienen. Je wilt meer geld binnen krijgen dan dat je moet uitgeven, dan maak je namelijk winst.
Bekijk de grafiek hieronder, deze gaat over inkomsten en uitgaven van een bedrijf
Lees het begingetal van de uitgaven af en noteer het in je schrift.
Noteer de coördinaten van het snijpunt van de grafieken.
Leg uit wat dit snijpunt van de grafieken betekend.
3.7 Opdracht 7.
Bekijk de vergelijking en los deze op met de inklemmethode
3x + 10 = 8x + 5
24 + 2x = 6x + 4
1,5x + 32 = 4,5x + 2
D-toets
Herhaling
H3 Herhaling opdracht 1.
Hieronder zie je reeks met een aantal ballen.
Hoeveel ballen komen er telkens bij?
Uit hoeveel ballen bestaat reeksnummer 5?
Neem de tabel over en vul hem in.
Reeksnummer
0
1
2
3
4
5
6
Aantal ballen
3
5
Wat is het begingetal? Schrijf ook op hoe je dit gevonden hebt.
Welke woordformule past er bij de reeks met ballen? A Aantal ballen = 5 + 3 x reeksnummer B Reeksnummer = 3 + 2 x aantal ballen C Aantal ballen = 3 + 2 x reeksnummer D Reeksnummer = 5 x aantal ballen.
Controleer je gekozen formule door het aantal ballen van reeksnummer 4 en
reeksnummer 6 te berekenen. Noteer ook de twee berekeningen.
H3 Herhaling opdracht 2.
Joachim spaart voor een nieuwe gameconsole.
Hij heeft een bijbaantje en verdient daar iedere week €15,- mee. Voor zijn verjaardag heeft hij in totaal al 120 euro gekregen.
Hoeveel euro heeft Joachim in totaal als hij twee weken heeft gewerkt?
En hoeveel euro heeft hij als hij 4 weken werkt?
Neem de tabel over en vul hem in.
Aantal weken
0
1
2
3
4
5
6
Totaal bedrag (€)
120
135
Welke formule past er bij de tabel? A Totaal bedrag = 120 + 15 x aantal weken B Totaal bedrag = 120 + 15 + aantal weken C Aantal weken = 120 + 15 x aantal weken.
Controleer je antwoord door het bedrag voor 4 weken na te rekenen.
Schrijf ook je berekening op.
De gameconsole kost € 255. Hoeveel weken moet Joachim hier voor sparen?
H3 Herhaling opdracht 3.
Hieronder zie je verschillende bouwwerkjes met blokjes.
Hoeveel blokjes komen er per figuur bij?
Bepaal het aantal blokjes van figuurnummer 0.
Neem de tabel over en maak hem af.
Figuurnummer
0
1
2
3
4
5
6
Aantal blokjes
5
8
Welke formule hoort er bij de tabel? A Figuurnummer = 2 + 3 x aantal blokjes B Aantal blokjes = 2 + 3 x figuurnummer
Controleer je formule door het aantal blokjes van figuur nummer 1 en 4 na te rekenen.
Schrijf ook je berekeningen op.
Zoek uit welk figuurnummer er hoort bij een totaal van 32 blokjes.
H3 Herhaling opdracht 4.
Gegeven is de volgende tabel:
Figuurnummer
0
1
2
3
4
5
6
Aantal blokjes
5
11
17
Neem de tabel over en maak vul hem verder in.
Noteer de volgende gegevens bij de tabel:
Het begingetal = …
De stapgrootte = …
Woordjes van de x-as = …
Woordjes van de y-as = …
Maak de lineaire formule die bij de tabel past.
Controleer je antwoord door het aantal blokjes van figuur nummer 2 en figuur nummer 5 na te rekenen.
Noteer ook je berekeningen.
H3 Herhaling opdracht 5.
Zehra fiets graag. Op haar e-bike heeft zij een kilometertellertje.
Op het tellertje kun je aflezen dat zij in totaal al 5203 kilometer heeft gefietst. Elke week fietst Zehra in totaal 50 kilometer van en naar school.
Noteer de volgende gegevens:
Het begingetal = …
De stapgrootte = …
Neem de formule over vul de ontbrekende gegevens in: Totaal aantal kilometer = … + … ·aantal weken
Bereken het aantal kilometer dat Zahra gefietst heeft na 5 weken.
Hoeveel weken moet Zahra van en naar school fietsen om aan een totaal van 5803 kilometer te komen?
H3 Herhaling opdracht 6.
Ammara maakt sieraden. De inkoopkosten van dematerialen zijn afhankelijk van het aantal pareltjes dat zijgebruikt. Voor het zilver betaalt zijn € 25. Elk pareltje dat zij gebruik kost nog eens € 7,50 extra.
Ammara maakt in opdracht een paar oorbellen met in totaal 4 pareltjes. Bereken de kosten voor het maken van dit paar oorbellen.
Noteer de volgende gegevens:
Het begingetal = …
De stapgrootte = …
Neem de tabel over en vul deze in:
Aantal parels
0
1
2
3
4
5
6
Totale kosten (€)
40
47,5
Maak een passende formule voor Ammara.
Controleer je formule door het na te rekenen hoeveel je moet betalen voor een sieraad met 2 parels en voor een sieraad met 3 parels. Noteer ook je berekeningen
H3 Herhaling opdracht 7.
Maak de pijlenschema’s hieronder af. Schrijf ze even netjes over op je papier!
Lengte in cm = 140 + 20 x aantal jaren
aantal jaren → → → lengte in cm
Verdiensten in € = 12 + 2,50 x aantal uren
aantal uren → → → verdiensten in €
Inkomsten = 3 x aantal rondes + 7
aantal rondes → → → inkomsten
Aantal borden = 12 + 4 x aantal tafels
…… → → → ……
H3 Herhaling opdracht 8.
Gegevens is het volgende rekenschema.
aantal liter benzine → → → aantal kilometer
Noteer de volgende gegevens:
De woordjes voor de x-as (invoer)
De woordjes voor de y-as (uitvoer)
De stapgrootte
Het begingetal
Maak de formule bij het rekenschema. Gebruik daarvoor je aangeleerde invulschema:
y (uitvoer) = begingetal + stapgrootte · x (invoer)
Bereken het aantal kilometer wanneer je 10 liter benzine hebt.
Noteer je berekening.
Je hebt in totaal 350 kilometer afgelegd.
Hoeveel liter benzine heb je dan gebruikt?
Noteer je berekening.
H3 Herhaling opdracht 9.
In de reeks figuren hieronder zie je regelmaat. We kunnen hier dus een formule en
een rekenschema bij maken.
Bereken de stapgrootte.
Bereken eerst het begingetal.
Bedenk welke woordjes je voor de invoer (x-as) wilt gebruiken
Bedenk de woordjes voor de uitvoer (y-as).
Maak het bijbehorende rekenschema
…… → → → ……
Schrijf de bijbehorende formule bij de reeks figuren op.
Welk figuurnummer kun je leggen met 37 lucifers?
H3 Herhaling opdracht 10.
Gegeven is de volgende tabel:
aantal km/h te snel
0
10
20
30
40
Boete
0
75
150
225
300
Bereken de stapgrootte. (let op hier zijn er stapjes van 10!! Stapgrootte hoort altijd bij stapjes van 1)
Noteer het begingetal.
Maak een formule bij de tabel.
Contoleer je formule door 2 getallen uit de tabel na te rekenen.
Noteer de gemaakte berekeningen!
Maak een rekenschema bij je tabel/formule
Iemand heeft 25 kilometer te hard gereden. Bereken de hoogte van de boete.
Je krijgt een boete thuis gestuurd van 232,50. Hoeveel kilometer reed je te hard?
H3 Herhaling opdracht 11.
Gegeven is de volgende formule: y = (x - 2 ) · 5
Bereken y voor x = 4 hier staat dus: vul voor x het getal 4 in, wat is dan de uitkomst?
Bereken y voor x = 7
Bereken y voor x = 12
Maak het bijbehorende pijlenschema (denk aan de volgorde van bewerkingen!)
y = 75 voor welke x geldt dit?
H3 Herhaling opdracht 12.
Gegeven is de formule : y = (x + 24 ) : 3
Bereken y voor x = 6 hier staat dus: vul voor x het getal 6 in, wat is dan de uitkomst?
Bereken y voor x = 12
Bereken y voor x = 21
Maak het bijbehorende pijlenschema (denk aan de volgorde van bewerkingen!)
y = 58 voor welke x geldt dit?
Kennisbank.
Wat is een vergelijking?
– Een formule met het antwoord ingevuld
– Twee formules aan elkaar gelijk gesteld (met het = -teken).
Voorbeelden
8 = 3x + 5 (een formule met het antwoord ingevuld)
7x + 4 = 9x – 4 (twee formules aan elkaar gelijk gesteld)
Moeilijker gezegd:
Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking van twee uitdrukkingen, waarin een
of meer onbekende variabelen(letters), met elkaar worden vergeleken, dat wil zeggen
aan elkaar gelijk worden gesteld.
Alleen vergelijkingen met één onbekende variabele kunnen worden opgelost.
Voorbeeld:
Met de volgende formule kun je berekenen hoeveel euro je al op je spaarrekening
hebt staan:
Aantal euro = 200 + 15 x aantal weken
Wil je weten hoelang het nog duurt voordat je 290 euro op je rekening hebt staan dan
kun je de volgende vergelijking opschrijven (opstellen):
290 = 200 + 15 x aantal weken
Deze vergelijking kun je oplossen door er een rekenschema bij te maken. Verderop
in het jaar leer je dit oplossen met de balansmethode
H3 Herhaling opdracht 13.
Shariq spaart voor een nieuw paar schoenen. Hij heeft al 45 euro op zijn rekening
staan. Iedere week krijgt hij 7 euro zakgeld.
Maak een formule voor Shariq
Vul de tabel in voor Shariq
Aantal weken
0
1
2
3
4
Spaarbedrag (€)
45
52
Het paar schoenen kost €136. Welke vergelijking hoort hierbij?
Los de vergelijking op.
Hoeveel weken moest Shariq in totaal sparen?
H3 Herhaling opdracht 14.
Een bedrijf berekent de prijs voor een klus met de formule k = 115 + 5 ·a .
Hierbij is k de kosten in euro's en a het aantal gewerkte uren.
Je krijgt een rekening van 145 euro en wilt weten hoe lang ze gewerkt hebben.
Welke vergelijking kun je opstellen bij bovenstaand verhaaltje?
Maak een rekenschema en het terugrekenschema waarmee je kunt uitrekenen hoe lang het bedrijf heeft gewerkt.
Bereken hoelang het bedrijf gewerkt heeft. Schrijf je berekening op je ruitjespapier.
Welke vergelijking hoort er bij een rekening van €137,50
Bereken het aantal uren dat het bedrijf werkt voor een rekening van €137,50
H3 Herhaling opdracht 15.
Los de volgende vergelijkingen op
28 = 8 · x + 4
192 = 12 + 30 · x
H3 Herhaling opdracht 16.
Los de volgende vergelijkingen op
35 = 15 + 4x (het keer teken tussen 4 en x is weggelaten 4x = 4 · x )
171 = 21 + 50x
H3 Herhaling opdracht 17.
Gegeven is de volgende formule: y = 6x + 4
Bereken x voor y = 64
Bereken x voor y = 34
Bereken y voor x = 6
Extra stof
Inleiding.
Leerdoelen
Kennisbank
Lettervariabele
Som en verschil met letters
Kennisbank
Product en quotiënt met letters
Kennisbank
Machten met letters
Extra stof 2
...
Bestudeer uit de Kennisbank wiskunde het onderdeel:
Hier vind je ook uitleg en nog enkele voorbeelden van oplossen met de balansmethode
Maak daarna de opgaven.
Extra stof 2 Opdracht 1
Bekijk eerst even dit
Hier rechts zie je de balans uit het filmpje.
Links van de steen zie je 2 zakken en 1 losse knikker.
Rechts van de steen zie je 7 losse knikkers.
Wanneer we een vergelijking oplossen willen we de onbekende uitrekenen. We willen dus weten hoeveel 1 zak waard is.
Noteer de vergelijking die bij de balans hoort.
... + 2 zakken = ....
Wanneer we aan beide kanten 1 losse weg halen dan krijg je de volgende vergelijking:
2 zakken = ....
We willen niet weten wat 2 zakken waard is, maar we willen weten wat 1 zak waard is.
daarom delen we beide kanten van de steen door 2. De oplossing is dan:
1 zak = ...
Extra stof 2 Opdracht 2
In plaats van een wipwap (de steen uit het filmpje) kun je ook een ouderwetse weegschaal gebruiken om de balansmethode voor je te zien.
Op de balans hiernaast zie je uitgebeeld:
2 + 4x = 12
Neem de vergelijking over in je schrift.
2 + 4x = 12
Haal aan beide kanten losse blokjes weg
*let op: bewaar het evenwicht. Noteer je stappen.
Als je het goed gedaan hebt, heb je links de x-jes over en recht de losse blokjes
Controleer dit met wat er in je schrift staan. Fout? doe vraag a en b opnieuw.
Bereken wat één x waard is. Noteer de stap in je schrift en schrijf je antwoord op.
Extra stof 2 Opdracht 3
Hiernaast zie je een balans getekend.
Noteer de vergelijking die bij de balans hoort in je schrift.
Los de vergelijking op.
Welke waarde van x heb je gevonden?
Extra stof 2 Opdracht 4
Hierboven zie je de balans getekend die hoort bij de vergelijking
2x + 1 = 9
Hieronder zie je de uitwerking van de vergelijking. Ergens gaat het fout.
2x + 1
=
9
-1x
-1x
1x + 1
=
8
-1
-1
1x
=
7
Bij welke stap zit de fout?
Welke fout wordt er gemaakt?
Neem de vergelijking over en los hem netjes op (verbeter de opgaven!)
Begrijp je nog niet helemaal wat we aan het doen zijn? Bekijk dan dit nog even voordat je verder gaat met vraag vijf.
Extra stof 2 Opdracht 5
Vul in: De balans hiernaast is in evenwicht.
Neem over en vul in.
Aan de linkerkant van de balans liggen:
... losse en ... x-en
Aan de rechterkant van de balans liggen:
... losse en ... x-en
De vergelijking die bij de balans hoort is: 4 + ...x = ... + 3x
Los de vergelijking op.
4 + 5x
=
10 + 3x
...
...
5x
=
6 + 3x
...
...
...
=
6
...
...
x
=
.....
Het op deze manier oplossen van een vergelijking noem je de .........
Lukt het je niet om de balans op te lossen? Bekijk dan even dit
Extra stof 2 Opdracht 6
Teken zelf een balans bij:
8x + 6 = 2x + 24
Los de vergelijking op:
8x + 6
=
2x + 24
...
...
..... + 6
=
24
...
...
.....
=
.....
...
...
x
=
.....
Extra stof 2 Opdracht 7
Los deze vergelijkingen op met de balansmethode.
5x + 6 = 2x + 24
8x + 36 = x + 1
Extra stof 2 Opdracht 8
Een taxibedrijf gebruikt bij het berekenen van de ritprijs de volgende formule:
prijs = 2 + 3 × afstand of korter genoteerd: p = 2 + 3a
De prijs is in euro’s en de afstand in kilometers.
Meneer Harmsen heeft een rit gemaakt met dit taxibedrijf.
Hij moet € 17,- afrekenen.
Meneer Harmsen wil weten hoeveel kilometer de rit was.
Hij moet de vergelijking: 2 + 3a = 17 oplossen.
Los de vergelijking op met een (terug-)rekenschema
Los de vergelijking op met de balansmethode
Welke manier heeft jouw voorkeur?
Extra stof 2 Opdracht 9
Twee kaarsen worden tegelijk aangestoken. De eerste kaars is 20 cm lang per branduur wordt de kaars 2 cm korter. De tweede kaars is 30 cm lang wordt per branduur 4 cm korter.
Neem je t voor brandtijd in uren en L voor de lengte van de kaars, wat zijn dan de twee formules die bij de lengtes van deze kaarsen horen?
Je wilt weten na hoeveel uur branden beide kaarsen even lang zijn.
Met welke vergelijking kun je dit berekenen? Noteer de vergelijking in je schrift
Los die vergelijking op.
Na hoeveel uren branden zijn beide kaarsen even lang?
Hoe lang zijn de kaarsen dan?
Extra stof 2 Opdracht 10
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
4x = 16 + 2x
14a + 9 = 7a + 86
8 - 6y = 3y - 28
Extra stof 2 Opdracht 11
Bekijk deze twee figuren.
Wat kun je schrijven voor de omtrek van het linker figuur?
Wat kun je schrijven voor de omtrek van het rechter figuur?
Welke vergelijking moet je oplossen om uit te zoeken voor welke a de omtrek van beide figuren gelijk is?
Los die vergelijking ook op.
Extra stof 2 Opdracht 12
Voor een toets kun je maximaal 36 punten halen. De docent berekent bij deze toets het cijfer door bij het behaalde aantal punten vier op te tellen en dan de uitkomst daarvan te delen door vier.
Stel het behaalde aantal punten voor door p en het cijfer door c .
Maak het rekenschema dat de docent hierbij gebruikt.
Stel een bijpassende formule op: c = .....
Je wilt weten hoeveel punten je moet halen voor een 7,5.
Stel de vergelijking op die hier bij hoort en bepaal de oplossing.
Extra stof 2 Opdracht 13
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
13 = 1 + 2x
23 + 3a = 38
28 + 4x = 40 + 1x
3 + 3x = x – 5
6x + 11 = –2x + 9
–3x – 11 = 1 + 3x
Coöperatieve opdrachten
H4 Pythagoras
Inleiding.
Er is eigenlijk niemand in Nederland die nog nooit heeft gehoord van de stelling van Pythagoras.
Wanneer je het over wiskunde hebt, hoor je veel mensen dan ook al snel a2 + b2 = c2 roepen.
zonder dat je het door hebt heb je nu de stelling van Pythagoras gehoord. Maar ja zonder enige kennis of vaardigheden weet je natuurlijk nog niet wat dit dan precies betekent en hoe je dan een berekening maakt met die stelling.
In dit hoofdstuk leer je betekenis geven aan a2 + b2 = c2. Al zullen wij het eerder noteren als
rhz2 + rhz2 = sz2 deze afkortingen geven al veel meer betekenis aan de stelling.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
...de bekende wortels en kwadraten uit het hoofd berekenen.
...de gelijkzijdige, de gelijkbenige en rechthoekige driehoek van elkaar onderscheiden.
...de twee rechthoekszijden en de schuine zijde in een rechthoekige driehoek herkennen en benoemen. De stelling van Pythagoras erbij kunnen opschrijven.
...de onbekende lengte van de schuine zijde berekenen met de Stelling van Pythagoras.
...de onbekende lengte van een rechthoekszijde berekenen met de Stelling van Pythagoras.
...de stelling van Pythagoras toepassen in situaties, door hulplijnen te tekenen.
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
Extra informatie
De stelling van Pythagoras
Iedere middelbare scholier moet ‘m leren: de stelling van Pythagoras. Deze stelling laat zien wat het verband is tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, namelijk: A² + B² = C². In woorden: de lengte van de korte rechthoekszijde in het kwadraad plus de lengte van de lange rechthoekszijde in het kwadraat is de lengte van de schuine zijde in het kwadraat.
Wist je dat…..
Over Pythagoras zelf zijn ook een heleboel interessante dingen te vertellen, en dat leert bijna niemand tijdens wiskunde. Daarom hier opgesomd, vijf interessante weetjes over de beste man en zijn wiskunde:
Pythagoras was de eerste echte wiskundige en filosoof met een eigen groep volgelingen. Pythagoras leefde in de zesde eeuw voor Christus was afkomstig van het Griekse eiland Samos. Zijn volgelingen, de Pythagoreeërs, werden mathematikoi genoemd. .
Pythagoras en zijn volgelingen dachten dat getallen de bouwstenen van het heelal waren, dat filosofie kan helpen bij het bereiken van geestelijke zuiverheid en dat bepaalde symbolen een mystieke betekenis hebben. .
Daarnaast hadden de Pythagoreeërs heel strikte leefregels. Ze aten geen bonen, ze raapten niets op wat gevallen was, ze raakten geen witte hanen aan, ze aten geen hele broden, ze maakten geen bloemenslingers, ze keken niet in een spiegel waar een lamp naast staat en ze wandelden niet over hoofdwegen. .
Vegetariërs werden vroeger Pythagoreërs genoemd. Het woord vegetariër werd in 1847 pas een officieel woord, toen in Engeland de Vegetarian Society werd opgericht. .
De stelling van Pythagoras is ook in de praktijk heel handig, bijvoorbeeld in de bouw. Met de stelling kun je namelijk berekeken hoe lang een ladder moet zijn bij een bepaalde hoogte te komen, of hoe veel dakpannen er op een dak gelegd moeten worden.
H4.1 Voorkennis
Inleiding.
Een belangrijk onderdeel bij het kunnen werken met de stelling van pythagoras is het berekenen van kwadraten. Vandaar dat we in de voorkennis jou kennis en vaardigheden over kwadraten weer even opfrissen.
Leerdoelen
Aan het eind van deze paragraaf kan ik:
Uitleggen hoe ik een kwadraat uitreken.
Uitleggen hoe ik wortels berekenen.
De voorrangregels toepassen bij bewerkingen.
H4.1 Opdracht 1.
Wanneer je naar de reeks figuren hierboven kijkt, dan kun je het aantal sterren met de hand tellen. Maar het kan ook sneller. Welke berekening moet je dan maken?
Uit hoeveel sterren bestaat figuur nummer 7?
En uit hoeveel sterren bestaat figuur nummer 10?
Er is een figuur die uit 225 sterren bestaat, welk figuur nummer heeft deze figuur?
Kennisbank.
Kwadraten en wortels
Als je naar opdracht 1 kijkt, dan kun je het aantal sterren vinden door deze te tellen, maar je kunt het ook berekenen met bijvoorbeeld 6 x 6 = 36 of 4 x 4 = 16 sterren.
Voor 6 x 6 kun je ook 62. Dat spreek je uit als zes in het kwadraat.
Het kwadraat van 4 is 42 = 4 x 4 = 16.
Weet jij dat 42 = 16 dan weet je ook \(\sqrt{16}\) = 4 want 4 x 4 = 16
en weet je dat 72 = 49, dan is \(\sqrt{49}\)= 7 want 7 x 7 = 49
\(\sqrt{25}\) spreek je uit als de wortel van 25
en \(\sqrt{196}\) spreek je uit als de wortel van 196
Het kwadraat en de wortel zijn elkaars tegengestelde.
Je rekenmachine heeft daar speciale knoppen voor.
H4.1 Opdracht 2.
Bereken onderstaande kwadraten. Probeer het zoveel mogelijk uit het hoofd te doen.
a.
82
c.
102
e.
142
g.
92
b.
62
d.
42
f.
72
h.
22
H4.1 Opdracht 3.
Bereken onderstaande wortels. Probeer het zoveel mogelijk uit het hoofd te doen.
a.
\(\sqrt{64}\)
c.
\(\sqrt{121}\)
e.
\(\sqrt{225}\)
g.
\(\sqrt{49}\)
b.
\(\sqrt{9}\)
d.
\(\sqrt{81}\)
f.
\(\sqrt{4}\)
h.
\(\sqrt{144}\)
H4.1 Opdracht 4.
Je merkt wel dat het heel handig is om een aantal kwadraten uit het hoofd te leren. Je hoeft dan niet telkens op nieuw de berekening op te schrijven. Het scheelt je veel tijd, tijd die je kunt gebruiken om andere opgaven te maken.
Op je werkblad vindt je een tabel. Vul deze tabel in en leer de kwadraten en bijbehorende wortels uit het hoofd.
H4.1 Opdracht 5.
Bereken telkens de uitkomst van de opgaven hieronder. Je hoeft alleen het antwoord op te schrijven in je ruitjesschrift.
32 = ...
\(\sqrt{36}\)= ...
42 = ...
...2 = 81
\(\sqrt{...}\)= 12
52 = ...
92 = ...
\(\sqrt{196}\) = ...
\(\sqrt{4}\) = ...
...2 = 36
\(\sqrt{-81}\) = ...
\(\sqrt{...}\) = 10
132 =
...2 = 49
152 = ...
152 =
142 =
...2 = 100
\(\sqrt{25}\) =
\(\sqrt{...}\)= 25
Kennisbank.
voorrangregels
Volgorde van bewerkingen
Bereken eerst wat tussen haakjes staat.
Bereken de machten en wortels
Bereken keer en delen
Als laatste optellen en eraf.
Let wel op, we werken natuurlijk wel van links naar rechts.
Onderstreep het deel dat je uitrekent, zet onder dat deel de uitkomst en ga daarna verder met de volgende bewerking.
Voorbeeld:
2 x ( 8 + 2 ) - 32 = Eerst tussen haakjes uitrekenen.
2 x 10 - 32 = kwadraten en wortels berekenen.
2 x 10 - 9 = keer en delen.
20 - 9 = 11 plus en min.
H4.1 Opdracht 6.
Trek een kantlijn van minimaal 2 hokjes.Weet je de afspraken nog?
Schrijf de opgave hieronder over in je schrift, bereken stap voor stap de uitkomst.
-72 : -9 x -4 =
-16 : 8 x -5 + -16=
94 - -45 : 9 x 4 =
3 x -3 - 6 x -5 =
-21 : 7 + 8 x -3 =
H4.1 Opdracht 7
Welke manier is goed?Hieronder zie je de opgave 14 + 16 : 8 x 2 op twee manieren uitgewerkt.
Manier 1
Manier 2
14 + 16 : 8 x 2 =
14 + 16 : 16 =
14 + 1 = 15
14 + 16 : 8 x 2 =
14 + 2 x 2 =
14 + 4 = 18
H4.1 Opdracht 8.
( 5 + 8 ) x 4 =
6 x 3 + √25 =
26 − 12 : 6 =
14 + 24 : 8 x 2 =
H4.1 Opdracht 9.
Welke manier is goed?Hieronder zie je de opgave (-6 + 10) x 5 : \(\sqrt{4}\) = op twee manieren uitgewerkt.
Manier 1
Manier 2
(-6 + 10) x 5 : \(\sqrt{4}\) =
4 x 5 : \( \underline {\sqrt{4}}\) =
4 x 5 : 2 =
20 : 2 = 10
(-6 + 10) x 5 : \(\sqrt{4}\) =
4 x 5 : \(\sqrt{4}\) =
20 : \( \underline {\sqrt{4}}\) =
20 : 2 = 10
H4.1 Opdracht 10.
(8 + 3)² - 54 : 9 - \(\sqrt{16} \) =
46 - 4² + 42 : \(\sqrt{36}\) =
(-4)² - 32 : 8 + 2 + (8 - 3)² =
56 - 10² + \(\sqrt{36}\) x 5 - 4² =
H4.1 Opdracht 11.
Hieronder zie je de opgave 3 x 8 - 42 : 2 op twee manieren uitgewerkt.
Welke manier is goed?
Manier 1
Manier 2
3 x 8 - 42 : 2 =
3 x 8 - 16 : 2 =
3 x 8 - 8 =
24 - 8 = 16
3 x 8 - 42 : 2 =
3 x 8 - 16 : 2 =
24 - 16 : 2 =
24 - 8 = 16
H4.1 Opdracht 12.
-5 x \(\sqrt{81}\) + - 12 : -2 - -8 =
-3 x (5 + 4) - -14 : -2 - -6 =
36 : \(\sqrt{9}\) x (-2 + -3) - 6 =
(-37 - -10) : -3 - - 48 : -8 =
- 3 x (3 - 4) + \(\sqrt{144}\) : -3 =
H4.2 Driehoeken
Inleiding.
De stelling van pythagoras passen we toe in een driehoek, niet zomaar in elke driehoek, maar in een bijzondere driehoek. Deze paragraaf gaat dan ook over verschillende soorten driehoeken.
Leerdoelen:
Ik kan een rechthoekige- gelijkbenige- of gelijkzijdige driehoek herkennen.
Ik kan de eigenschappen van een rechthoekige- gelijkbenige- of gelijkzijdige driehoek benoemen.
Ik kan een rechthoekige- gelijkbenige- of gelijkzijdige driehoek tekenen.
Kennisbank
Soorten driehoeken
Elke figuur met driehoekpunten hoort tot de driehoeken. Driehoeken kunnen dus in allerlei soorten en maten voorkomen. Toch kunnen we een aantal driehoeken indelen in catergorieën
Gelijkbenige driehoek
Gelijkzijdige driehoek
Rechthoekige driehoek
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met:
twee gelijke zijden
PR en QR
twee gelijke hoeken \(\angle\)P en \(\angle\)Q
de basishoeken
één symmetrieas
de symmetrieas gaat door detophoek\(\angle\)R
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met:drie gelijke zijden
drie gelijke hoeken
drie symmetrieassen
De drie hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn 180o : 3 = 60o
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één van de hoeken 90o is.
Je herkent de rechthoek aan het loodrechttekentje
( of )
Een symmetrieas is de lijn waarlangs je de figuur kunt dubbelvouwen. We noemen dit ook wel lijnsymmetrie of vouwsymmetrie.
H2.1 opdracht 1.
Bekijk de driehoeken op je werkblad.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet een rechte hoek teken in de rechte hoek.
Zet een • of een ο in hoeken die even groot zijn.
Teken met rood kleurpotlood de symmetrieas(sen) in de driehoeken.
Zet de juiste naam onder de driehoek.
H2.1 opdracht 2.
Bekijk de driehoek op je werkblad. Dit is een gelijkbenige driehoek.
Zet het woordje tophoek bij de juiste hoek.
Teken de symmetrieas in de driehoek.
Welke twee hoeken zijn even groot?
Hoe noemen we de hoeken die even groot zijn bij een gelijkbenige driehoek?
H2.1 opdracht 3.
Bekijk de driehoek op je werkblad. Dit is een gelijkzijdige driehoek.
Zet even lang tekentjes in zijden die even lang zijn.
Teken de symmetrieassen in de driehoek.
Zet even groot tekentjes in hoeken die even groot zijn.
Schrijf onder de driehoek de eigenschappen uit de uitleg over die bij deze driehoek horen.
H2.1 opdracht 4.
Bekijk de figuur. ΔPQR is een gelijkbenige driehoek.
Welke hoek is de tophoek?
Welke benen zijn even lang?
Welke hoeken zijn even groot?
H2.1 opdracht 5.
Teken in een passend assenstelsel de punten A(1 , 1), B(1 , 7) en C(4 , 5).
Verbind punt A met punt B, punt B met punt C en punt A met punt C zodat ΔABC ontstaat.
Meet de zijden van je driehoek met je geodriehoek.
Wat voor soort driehoek is ΔABC?
Zet even lang tekentjes in benen die even lang zijn.
Zet het woordje tophoek bij de juiste hoek.
Zet even groot tekentjes in hoeken die even groot zijn.
Kennisbank.
Zijden benoemen
Wanneer we beter naar een rechthoekige driehoek kijken dan kunnen we de verschillende zijden van de driehoek een naam geven.
De twee zijden die vast zitten aan de rechte hoek, noemen we de rechthoekszijden.(rhz)
De zijde tegenover de rechtehoek, noemen we de schuine zijde (hypotenusa). (sz)
Waarom je de zijden moet kunnen benoemen? Dit heeft te maken met het hoofdonderwerp van dit hoofdstuk: de stelling van Pythagoras en het onderwerp goniometrie dat we in klas 3 behandelen.
H2.1 opdracht 6.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Zijde PQ is een ...............zijde.
Zijde QR is een ........... zijde.
...... is de rechte hoek
De letter .... komt niet voor in de schuine zijde.
H2.1 opdracht 8.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
De twee rechthoekzijden zijn ......... en .......... .
\(\angle\)S is de ...........
QR is de ........ zijde.
H2.1 opdracht 9.
Bekijk de driehoek hiernaast. Beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Zijde BC is een ...............zijde.
Zijde AC is de .................zijde.
...... is de rechte hoek
Zijde AB is een ........... zijde.
De letter .... komt niet voor in de schuine zijde.
H2.1 opdracht 10.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
De twee rechthoekzijden zijn ......... en .......... .
\(\angle\)S is de ...........
QR is de ........ zijde.
H2.1 opdracht 11.
Bekijk de driehoek hiernaast, de driehoek is een samengestelde driehoek.
Welke drie rechthoekige driehoeken herken je?
Bekijk ΔKRM. Welke zijde is nu de schuine zijde?
Bekijk ΔKLM. Welke twee zijden zijn nu de rechthoekszijden?
Bekijk ΔRLM. Welke hoek is de rechte hoek?
Neem je werkblad voor je en vul het schema in.
Kennisbank.
Soorten driehoeken tekenen.
Tot slot, hoe teken je nu eigenlijk een gelijkbenige- of een gelijkzijdige driehoek.
Voor het tekenen van een driehoek waarvan je de lengte van 2 benen of van alle zijden al weet, gebruik je de passer.
Hoe je precies met je geodriehoek, potlood en passer te werk gaat wordt in het filmpje hieronder voor gedaan.
H2.1 opdracht 12.
Teken met behulp van je potlood, geodriehoek en passer een gelijkzijdige driehoek met zijden van 5 cm. Noem de driehoek PQR
Teken met rood kleurpotlood de drie symmetrieassen in je driehoek.
H2.1 opdracht 13.
Teken met behulp van je potlood, geodriehoek en passer een gelijkbenige driehoek met benen van 4 cm. Noem de driehoek ABC
Teken met rood kleurpotlood de symmetrieas in je driehoek.
Zet tekentjes in de basishoeken.
Zet met een pijltje de tophoek erbij.
H2.1 opdracht 14.
Op je werkblad is het begin van een gelijkbenige driehoek ABC getekend en het begin van een gelijkzijdige driehoek PQR getekend. Maak deze driehoeken af. Laat de lijntjes van je passer staan. Dus niet weggummen.
H2.1 opdracht 15
Teken met behulp van je potlood, geodriehoek en passer:
Een gelijkbenige driehoek ΔKLM met benen van 6 cm.
Een gelijkzijdige driehoek ΔABC met zijden van 4 cm.
Een gelijkbenige driehoek ΔPQR met benen van 4,5 cm.
Een gelijkzijdige driehoek ΔXYZ met zijden van 3,5 cm.
H4.3 De stelling van Pythagoras
Inleiding.
Je hebt er vast al eens over gehoord: De stelling van Pythagorasvraag er maar eens naar bij bijvoorbeeld je ouders. Al snel zullen ze opnoemen a2 + b2 = c2.Maar wat betekend dat nou eigenlijk? In deze paragraaf leer je hier betekenins aan geven.
Leerdoelen:
Aan het eind van deze paragraaf kan ik met behulp van de stelling van Pythagoras de schuine zijde van een rechthoekige driehoek berekenen.
Aan het eind van deze paragraaf kan ik met behulp van de omgekeerde stelling van Pyhtagoras een rechthoekzijde van een rechthoekige driehoek berekenen.
4.3 Opdracht 1.
Teken in je ruitjesschrift de volgende coördinaten: A(2,1), B(6,3) en C(-1,5).
Verbind de punten met elkaar zodat ΔABC ontstaat.
Ga na of ΔABC een'bijzondere' driehoek is.
4.3 Opdracht 2.
Van ∆STU is ST = 5 cm, TU = 2 cm en \(\angle\)T = 90o
Schets driehoek STU in je ruitjesschrift.
Schrijf de rechthoekszijden op.
Welke zijde is de schuine zijde?
Kennisbank.
De stelling van Pythagoras.
Een rechthoekige driehoek heeft 3 zijdes: 2 rechthoekszijden en een schuine zijde. De schuine zijde wordt ook wel eens de langste zijde, of de hypotenusa genoemd.
Wanneer je de 2 rechthoekszijden weet kun je de lengte van de schuine zijde berekenen met de stelling van Pythagoras.
Het handigste is om een tabel te maken om de stelling van Pythagoras uit te rekenen.
Voorbeeld:
gegeven is rechthoekige driehoek ABC met rechthoekszijde AB, 4 cm, en rechthoekszijde AC,
3 cm, en de schuine zijde BC.
Uitwerking.
4.3 Opdracht 3.
Bekijk driehoek ABC met AB = 4cm, AC = 3 cm en
BC = 5 cm.
Bereken het kwadraat van zijde AB.
Bereken het kwadraat van zijde AC.
Tel de kwadraten van de twee rechthoekzijde bij elkaar op.
Is de som (+) van de kwadraten van de rechthoekzijde even groot als het kwadraat van de schuine zijde (zijde BC)
4.3 Opdracht 4.
Bekijk driehoek GHI.
Bereken het kwadraat van zijde GH.
Bereken het kwadraat van zijde HI.
Tel de kwadraten van de twee rechthoekzijde bij elkaar op.
Bereken het kwadraat van zijde GH (de schuine zijde)
Wat valt je nu op?
Is driehoek GHI een rechthoekige driehoek?
4.3 Opdracht 5.
Bekijk drihoek DEF met DE = 8cm, EF = 6 cm.
Welke twee zijden zijn de rechthoekzijden?
Welke zijde is de schuine zijde?
Neem het schema over en vul de ontbrekende waarden in.
Bereken de lengte van de schuine zijde.
4.3 Opdracht 6.
Hiernaast zie je driehoek ABC met AC =18 en BC = 24. Verder is \(\angle\)C de rechte hoek.
Hoe kun je zien dat hoek C de rechte hoek is?
Welke twee zijden zijn de rechthoekzijden?
Welke zijde is de schuine zijde?
Neem het schema over en vul op de puntjes de juiste waarden in.
Bereken de lengte van zijde AB (de schuine zijde). Rond je antwoord af op 1 decimaal.
4.3 Opdracht 7.
Bekijk de drie driehoeken op het plaatje.
Bereken van iedere driehoek de zijde met het vraagteken.
Maak bij iedere driehoek een eigen schema. Rond telkens je antwoord af op 1 decimaal.
4.3 Opdracht 8.
Van een rechthoekige driehoek PQR is \(\angle\)Q = 90°, PQ = 16 en PR = 30.
Schets in je ruitjesschrift deze driehoek.
Bereken de lengte van zijde QR, rond je antwoord af op 2 decimalen
4.3 Opdracht 9.
Bekijk rechthoek ABCD met daarin diagonaal BD
We willen graag de lengte weten van diagonaal BD.
Bereken met behulp van de stelling van Pythagoras de lengte van BD, rond je antwoord af op 1 decimaal.
Kennisbank.
De omgekeerde stelling.
Wanneer je de schuine zijde al weet en één van de rechthoekzijde, dan kun je de andere rechthoekzijde uitrekenen met de stelling van pythagoras.
We draaien dan de stelling om.
Voorbeeld:
Zoals je ziet hebben we hier een rechthoekige driehoek met een schuine zijde van 13 en een rechthoekszijde van 12.
We gaan zijde PR berekenen
(een rechthoekzijde)
Uitwerking:
We zetten de schuine zijde nu als eerste neer! Daar halen we de rechthoekzijde die bekend is vanaf. We gebruiken dus - in plaats van +
Bekijk het filmpje met extra uitleg en voorbeelden hieronder ook maar eens.
4.3 Opdracht 10.
Bekijk driehoek DEF met DE = 4cm, EF = 3 cm en
DF = 5 cm.
Welke zijde is de schuine zijde (lange zijde)?
Bereken het kwadraat van de schuine zijde.
Reken de kwadraten van de twee rechthoekzijden (korte zijden) uit. Noteer de berekening in je wiskundeschrift.
Maak nu de volgende berekeningen:
• 52 - 42 = ... reken daarna de wortel van het antwoord uit \(\sqrt{...}\)=
• 52 - 32 = ... reken daarna de wortel van het antwoord uit \(\sqrt{...}\)=
• 32 + 42 = ... reken daarna de wortel van het antwoord uit \(\sqrt{...}\)=
Wat valt je op aan je berekeningen bij vraag d?
4.3 Opdracht 11.
Bekijk driehoek RST met RS = 15cm, ST = 9cm en
RT = 12cm.
Welke zijde is de schuine zijde (lange zijde)?
Bereken het kwadraat van de schuine zijde.
Reken de kwadraten van de twee rechthoekzijden (korte zijden) uit. Noteer de berekening in je wiskundeschrift.
Maak nu de volgende berekeningen:
• 152 - 92 = ... reken daarna de wortel van het antwoord uit \(\sqrt{...}\)=
• 152 - 122 = ... reken daarna de wortel van het antwoord uit \(\sqrt{...}\)=
Is driehoek RST een rechthoekige driehoek?
4.3 Opdracht 12.
Bekijk driehoek ABC met AB = 37 cm, BC = ? cm en
AC = 12 cm.
Bereken zijde BC van deze driehoek.
Gebruik het schema om je berekening netjes uit te werken.
4.3 Opdracht 13.
Bekijk driehoek DEF met DE = ? cm, EF = 9 cm en
DF = 12 cm.
Bereken zijde DE van deze driehoek.
Gebruik het schema om je berekening netjes uit te werken.
4.3 Opdracht 14.
Bekijk driehoek PQR.
Bereken zijde QR.
Schrijf je berekening weer netjes in je schrift.
4.3 Opdracht 15.
Bekijk ΔABC met AB =15 en AC = 8 cm.
Bereken zijde BC.
Punt M is precies het midden van zijde BC.
Hoe lang is MC nu?
Bereken nu zijde SC in ΔSMC.
4.3 Opdracht 16.
Een uitdagende opdracht.
Hiernaast zie je drie rechthoekige driehoeken tegen elkaar geplakt. We willen uiteindelijke de lengte van zijde TR in ΔSTR berekenen. Voer de stappen hieronder uit om zijde TR te kunnen berekenen.
Bereken eerst zijde QS in ΔPQS (zandkleurige driehoek). Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op 1 decimaal.
Bereken nu zijde SR in ΔSQR (blauwe driehoek). Rond je antwoord weer af op 1 decimaal.
Nu kun je met je verkregen informatie de lengte van zijde TR bereken.
Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op 1 decimaal.
4.3 Opdracht 17.
Bekijk de drie driehoeken hiernaast.
Bereken bij iedere driehoek de ontbrekende lengte van de aangegeven zijde.
Schrijf voor iedere driehoek netjes je berekening op in je ruitjesschrift. Rond indien nodig je antwoord af op 1 decimaal.
4.3 Opdracht 18.
Bekijk de drie driehoeken hiernaast.
Bereken in de roze driehoek de lengte van zijde XY. Rond je antwoord af op 2 decimalen.
Bereken in de groen driehoek de lengte van zijde EF, rond je antwoord af op 2 decimalen
Bekijk de licht orange driehoek ΔPQR. In deze driehoek is hoogtelijntje SR getekend.
Bereken de lengte van zijde SR in ΔPSR.
Bereken nu de lengte van zijde QR in ΔSQR.
Bewijs
Nu je weet wat de stelling van Pythagoras is laat ik je het bewijs zien,
want we nemen het niet alleen maar aan. Bij wiskunde wil je (door middel van) met de berekening altijd laten zien dat jouw gevonden antwoord klopt. Hieronder dus een filmpje met het bewijs van de stelling.
In de animatie hieronder zie je dat de oppervlakte van de twee kleine vierkanten (de vierkanten die vast zitten aan de rechte hoek) even groot zijn als de oppervlakte van het grote vierkant (die vast zit aan de schuine zijde)
Versleep de groene en blauwe knop maar eens.
4.3 Opdracht 19.
Bereken met behulp van de stelling van pythagoras of je een rechthoekige driehoek kunt maken met:
een rechthoekzijde van 7 cm,
een rechthoekzijde van 11 cm,
een schuine zijde van 13 cm.
4.3 Opdracht 20.
Bereken met behulp van de stelling van pythagoras of je een rechthoekige driehoek kunt maken met:
een rechthoekzijde van 6 cm,
een rechthoekzijde van 8 cm,
een schuine zijde van 10 cm.
4.3 Opdracht 21.
Bereken met behulp van de stelling van pythagoras of je een rechthoekige driehoek kunt maken met:
een rechthoekzijde van 9 cm,
een rechthoekzijde van 14 cm,
een schuine zijde van 16,6 cm.
H4.4 De stelling toegepast.
H4.4 opdracht 1.
Fruitbomen worden vaak tegen ijzerdraad gespannen zodat de takken mooi breed uit kunnen groeien. Je kunt het fruit dan makkelijker plukken en bij zware storm staan de bomen zo een stuk steviger.
Om de draden stevig vast te maken wordt er een tuidraad (AC) gespannen.
Bereken de lengte van de tuidraad(AC), rond je antwoord af op 1 decimaal.
H4.4 opdracht 2.
Tijdens koningsdag worden molens vaak versierd met vlaggetjes. Deze worden rondom de wieken van de molen gespannen, zoals op het plaatje.
Bereken de lengte van de lijn AC, rond je antwoord af op hele centimeter (2 decimalen)
Bereken hoeveel meter vlaggetjeslijn heeft de molenaar nodig om de hele molen rondom van vlaggetjes te voorzien.
H4.4 opdracht 3.
Op het plaatje zie je een bouwladder. Deze ladder kan op twee verschillende manieren worden opgesteld.
Manier 1 zoals in plaatje 1 en manier 2 zoals in plaatje 2.
Bereken de hoogte van de ladder wanneer je deze neerzet zoals op plaatje 1.
Bereken de hoogte van de ladder wanneer je deze neerzet zoals op plaatje 2.
H4.4 opdracht 4.
Saskia rijdt graag motor. Vooral in de bergen waar ze steile hellingen kan afdalen met haar motor heeft ze hier veel plezier aan. Saskia rijdt een 225 meter lange helling af. Het hoogteverschil dat zij dan overbrugt is 30 meter. Hoeveel meter legt Saskia dan horizontaal af?
Bereken de horizontale afstand (AB) die Saskia aflegt. Rond je antwoord af op hele meters.
H4.4 opdracht 5.
Een glazenwasser moet een raam op de tweede verdieping wassen.
De ladder moet daarvoor op 8 m boven de begane grond tegen de muur komen.
De voet van de ladder moet op 2 m van het huis af staan.
Maak een schets van de situatie.
Bereken hoe lang zijn ladder moet zijn.
H4.4 opdracht 6.
Een bootje is afgemeerd aan een stijger. Het bootje wordt vast gemaakt aan een lier op 1,5 meter boven de stijger.
Men is vergeten de lier vast te zetten waardoor het bootje nu 7 meter van de stijger is afgedreven.
Bereken hoeveel meter touw heeft het bootje uitgerold.
H4.4 opdracht 7.
Bij golf is het de bedoeling om in zo weinig mogelijk slagen een balletje in een putje te krijgen.
Op het veld hiernaast is het een golver gelukt om het balletje in twee slagen in het holletje te krijgen.
Jij bent aan de beurt om te slaan, als je de bal over het water durft te slaan kun je het misschien wel in één keer voor elkaar te krijgen.
Bereken hoever je het balletje zou moeten slaan. Rond je antwoord af op hele meters.
H4.4 opdracht 8.
In veel sprookjes worden jonkvrouwen uit kastelen gered nadat zij door kwaadaardige tovenaars zijn gekidnapt. Hier zien we ook zo'n voorbeeld.
En knappe ridder wil een ontvoerde jonkvrouw uit de toren redden. Hij heeft op het land een ladder van 20 meter lang gemaakt. De toren is 18 meter hoog. De boze tovenaar heeft de slotgracht om de toren 7 meter breed gemaakt.
Bereken of de ridder in staat is met deze ladder de jonkvrouwe te redden.
H4.4 opdracht 9.
Om energie te besparen worden er zonnepanelen geplaatst op het gemeentehuis. Hiernaast zie je een plaatje van de afmetingen. Van A naar B moet er een metalenbalk komen om de zonnepanelen stevig op vast te schroeven.
Bereken hoe lang deze metalenbalk moet zijn.
H4.4 opdracht 10.
Tijdens het opstijgen van een vliegtuig kan je nog wel eens last krijgen van je oren. Om geluidsoverlast op de grond tegen te gaan mag het vliegtuig pas stoppen met stijgen op 5500 meter hoogte. Het vliegtuig op de afbeelding stijgt op met een gemiddelde snelheid van 25 m/s.
Bereken hoe lang het duurt voordat het vliegtuig recht mag gaan vliegen.
H4.5 Gemengde opgaven
Diagnostische toets
Herhaling
Extra stof
Coöperatieve opdrachten
H5 Kwadratische verbanden
Inleiding.
Dit hoofdstuk is het tweede hoofdstuk over verbanden dit jaar. We kijken dit keer naar kwadratische verbanden want behalven kwadraten uitrekenen kun je ook formules maken met daarin een kwadraat. Waneer je werk met een kwadratische formule (verband) dan krijg je iets anders dan regelmaat in je tabel en de grafiek ziet er al helemaal anders uit.
Werken met verbanden hoort bij het onderwerp algebra. Binnen algebra houden we ons bezig met getallen en formules (verbanden). Een architect of bouwkundige krijgt veel te maken met kwadratische verbanden. Maar ook wanneer je met radiogolven werkt, bijvoorbeeld bij communicatie tussen twee telefoons of een wifinetwerk krijg je te maken met kwadratische verbanden. Zo zie je maar, wiskunde is een heel veelzijdig vak en komt in heel veel beroepen in de wereld om je heen voor.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H5.1 Voorkennis
Inleiding.
Leerdoelen
H5.1 opdracht 1
Wanneer er gewerkt wordt met een deelstreep, dan reken je eerst het gedeelte boven de deelstreep uit, daarna het gedeelte onder de deelstreep. Je maakt dan de deling die overblijft.
Schrijf over en reken uit. Schrijf de tussenstappen ook op.
\({70 : (6 - 11) \over 24 - 17} + 12 = \)
\({\sqrt100 + 15 * 2 \over 4 * 5} +20 =\)
\({48 : 2^3 * 15 \over 3^2 + 11} + 20 =\)
Kennisbank
Lineaire formules.
Aan het begin van dit leerjaar heb je kennis gemaakt met lineaire formules. Dit zijn formules waar regelmaat in voorkomt. Met regelmaat bedoelen we gelijke toe- of afname. Een soort herhaling.
In een tabel kun je dat goed laten zien.
Hieronder zie je het internetgebruik van Kevin.
We zien hier een voorbeeld van gelijkmatige afname. Maak je boven in je tabel (op de x-as) stapjes van 1, dan gaan er onder in je tabel telkens 5 vanaf.
Contexten (verhaaltjes)
Is er in het verhaaltje (context) of in de tabel sprake van herhaling (regelmaat) dan kunnen we er een lineaire formule bij maken. Een lineaire formule heeft altijd een vast schema.
Dit schema zie er als volgt uit:
Uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer.
Een lineaire formule bestaat dus uit twee verschillende stukken:
het begingetal
(dit vindt je altijd voor x = 0 ook wel het vaste bedrag genoemd.)
de stapgrootte
(wat er per stapje van 1 gebeurt ook wel het hellingsgetal genoemd.)
H5.1 opdracht 2
Leg in eigen woorden uit wat variabele zijn.
Uit welke twee onderdelen bestaat een lineaire formule.
Schrijf de vaste opbouw die we gebruiken bij een lineaire formule op (het formule voorschrift).
H5.1 opdracht 3
H5.1 opdracht 4
Bekijk de lineaire formules hieronder. Schrijf van iedere formule de stapgrootte en het begingetal op. Je mag de tabel op het werkblad gebruiken
y = 2 + 3x L = -2a + 6 R = 3b - 7 N = 2 + 4t p = 12 - 4k
Formule
begingetal
Stapgrootte
y = 2 + 3x
2
+3x
L = -2a + 6
R = 3b - 7
N = 2 + 4t
p = 12 - 4k
H5.1 opdracht 5
Kennisbank
Een formule maken bij de tabel.
Met behulp van dit schema kun je bij een tabel met regelmaat een lineaire formule maken.
Voorbeeld 1.
Jasmina maakt in haar vrije tijd graag foto's. Deze laat zij online afdrukken. Als je online iets bestelt zitten daar natuurlijk bezorgkosten aan vast. Ook betaal je per foto een klein bedrag. De tabel hieronder gaat daar over.
Wanneer we een formule maken bij een regelmatige tabel vullen we de onderdelen van ons vaste schema in: uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer
We zoeken in de tabel de verschillende onderdelen op
Uitvoer - dit zijn de woordjes (variabele) onder in je tabel -> Prijs
Invoer - dit zijn de woordjes (variabele) boven in je tabel -> Aantal
Begingetal - Lees je af onder de nul in je tabel ->2,50
Stapgrootte - Bereken je met de boogjes -> 0,20
De verschillende onderdelen zet je op de goede plaats in het schema
uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer
prijs = 2,50 + 0,20 x aantal foto's
Met de formule kun je nu bijvoorbeeld ook uitrekenen wat het kost als je 20 foto's besteld. Je vult dan het aantal van 20 in op de plek van de foto's. Daarbij hoort de volgende berekening.
prijs = 2,50 + 0,20 x aantal foto's
prijs = 2,50 + 0,20 x 20 = 6,50
H5.1 opdracht 6
Bekijk de tabel hieronder.
Lees het getal onder de nul in je tabel af, noteer het in je schrift. Dit noemen we het begingetal.
Op je werkblad staat deze tabel ook afgebeeld. Zet hier de boogjes bij.
Bereken de stapgrootte door \(stapgrootte = {verschil\space onderste \space boogjes \over verschil \space bovenste \space boogjes}\)
Noteer de berekening en de stapgrootte in je schrift.
H5.1 opdracht 7
De tabel hierboven lijkt niet regelmatig, hij is het echter wel.
Op je werkblad staat de tabel ook afgebeeld.
Zet de boogjes bij je tabel.
Bereken per boogje het verschil.
Maak nu de volgende deelsom: \(stapgrootte = {verschil\space onderste \space boogjes \over verschil \space bovenste \space boogjes}\) doe dit bij ieder paar boogjes. .
Wat valt je op als je per set boogjes de stapgrootte berekend?
lees ook het begingetal van de tabel af en noteer dit.
..9.
Stapgrootte en begingetal bij tabellen.
Bekijk de drie tabellen hieronder. Bij twee tabellen hoort een lineaire formule. Noteer van deze tabellen de stapgrootte en het begingetal.
Op je werkblad staan deze tabellen ook afgebeeld. Zet hier de boogjes bij. .
Bereken de stapgrootte door \(stapgrootte = {verschil\space onderste \space boogjes \over verschil \space bovenste \space boogjes}\) .
Noteer de berekening en de stapgrootte in je schrift.
H5.1 opdracht 8
H5.1 opdracht 9
Kennisbank
Herhaling
Wanneer je voor een groot feest een zaal huurt kost dat natuurlijk geld. Ook de consumpties per persoon (wat je eet en drinkt) kost natuurlijk geld. De tabel hieronder gaat daar over.
We zoeken in de tabel de verschillende onderdelen op
Uitvoer - dit zijn de woordjes (variabele) onder in je tabel -> Prijs
Invoer - dit zijn de woordjes (variabele) boven in je tabel -> Aantal
Begingetal - Lees je af onder de nul in je tabel ->500
Stapgrootte - Bereken je met de boogjes -> 5
Vul nu het vaste schema in om de formule bij de tabel te maken
uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer
prijs = 500 + 5 x aantal feestgangers
Met de formule kun je berekenen wat het kost als er bijvoorbeeld 40 personen naar je feest komen.
prijs = 500 + 5 x aantal feestgangers
prijs = 500 + 5 x 40 = 700
H5.1 opdracht 10
Bekijk de tabel hieronder.
Noteer de variabele die we gebruiken voor de x-as (horinzontaal)
Noteer de variabele die we gebruiken voor de y-as (verticaal)
Noteer het begingetal
Bereken de stapgrootte
Maak nu de formule bij de tabel
H5.1 opdracht 11
Noteer de variabele die we gebruiken voor de y-as (verticaal)
Bereken het begingetal
Bereken de stapgrootte
Maak nu de formule bij de tabel
H5.1 opdracht 12
Bekijk de tabel hierboven.
Noteer het begingetal.
Bereken de stapgrootte.
Schrijf de formule op die bij de tabel hoort.
H5.1 opdracht 13
Bekijk de tabel hierboven. Deze tabel lijkt in eerste instantie niet regelmatig.
Teken ook de boogjes bij de tabel op het werkblad.
Bereken nu de stapgrootte.
Wat valt je op?
Maak de formule die bij de tabel past.
Nog een voorbeeld.
Rosalie fietst elke dag van huis naar school en weer terug. Dat is elke dag 16 km in totaal.
Op haar fietscomputertje kan zij het totaal aantal kilometers bijhouden. Dat aantal zie je rechts onder in het display. Rosalie heeft in totaal al 320 km gefietst op haar fiets.
Ook hier kunnen we natuurlijk een tabel bij invullen.
We zien hier dat wanneer we boven in de tabel (x-as) stapjes van 1 maken er onder in de tabel telkens 16 bijkomen.
H5.2 Werken met verbanden
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
Werken met formules.
Een berekening maken met een gegeven formule.
Wanneer je bij een opgaven het woordje bereken ziet staan noteer je altijd een berekening in je schrift. Vergeet je de berekening op te schrijven, dan kun je er helaas ook geen punten mee verdienen.
Wanneer we een berekening maken met een gegeven formule is het de bedoeling dat we één van de twee variabel (letters of woordjes in een formule) vervangen door het gegeven getal.
VOORBEELD
Met de formule Verdiensten = 2 + 3 x aantal gewerkte uren. kun je uitrekenen wat je deze maand verdiend hebt. De dikgedrukte woorden noemen we de variabele.
Ian werkt deze maand 12 uur, bereken zijn verdiensten
Aanpak.
We vullen op de plek van het aantal gewerkte uren het getal 12 in.
Verdiensten = 2 + 3 x aantal gewerkte uren.
Verdiensten = 2 + 3 x 12.
Bereken dit uit het hoofd of op de rekenmachine. Je antwoord is dan 38 euro.
H5.2 opdracht 1
Giovanni werkt bij een bekende pizzaketen.
Hoeveel geld hij verdient, kan hij berekenen met de volgende woordformule.
inkomsten in € = 4,50 + 3,2 x tijd in uren
Maak van de woordformule een formule met letters.
Heb je bij het verkorten van de formule ook het keerteken weggelaten? Heb je dat niet gedaan, schrijf de formule dan nog eens op zonder keerteken. *Tussen een cijfer en een letter laten we bij wiskunde het keerteken (x) weg!
Op maandagavond werkt Giovanni 4 uur. Bereken wat hij die avond verdiend heeft. Schrijf je berekening op in je schrift. .
Aan het eind van de maand heeft Giovanni in totaal 25 uur gewerkt. Bereken zijn verdiensten voor die maand. Schrijf je berekening op in je schrift.
H5.2 opdracht 2
Michaëla werkt ook bij de pizzaketen waar Giovanni werkt. Zij werkt niet als bezorger, maar in de bediening in het restaurant. Zij kan haar verdiensten berekenen met de volgende formule:
v= 2,50 + 4t
hierin is v de verdiensten in euro en t de tijd in uren dat Michaëla werkt.
Michaëla werkt op woensdagmiddag 3,5 uur. Bereken haar verdiensten, noteer de berekening in je schrift. .
Michaëla werkt in de 2e week van februari 9 uur en een kwartier, bereken haar verdiensten. .
Aan het eind van de maand heeft Michaëla 17,5 uur gewerkt. Bereken haar verdiensten die maand.
H5.2 opdracht 3
Emre stapt in een uber-taxi naar huis. Het instaptarief is €2,50. Elke kilometer die hij rijdt kost dit €0,50. Bij deze rit hoort de formule Kosten = 2,50 + 0,50 x aantal gereden kilometer.
Maak van de woord formule een formule met letters. Gebruik voor de kosten de K en voor de gereden kilometers de letter A. Laat ook het keerteken weg.
Bereken de kosten voor een rit van 12 kilometer
Bereken de kosten voor een rit van 8 kilometer.
Emre moet aan het eind van de rit €12,- betalen. Bereken zijn aantal gereden kilometers.
H5.2 opdracht 4
Wanneer je een taxi rit maakt kun je behalve voor de diensten van Uber ook kiezen voor andere taximaatschappijen. Bij taxitender betaal je geen instaptarief, je betaald alleen €0,75 per gereden kilometer. Hierbij hoort de formule:
K=0,75A Hierin is K de kosten in euro en A het aantal gereden kilometer.
Bereken de kosten voor een taxirit van 21 kilometer.
Bereken de kosten voor een rit van 12 kilometer.
Je hebt aan het eind van je taxirit 12 euro afgerekend. Bereken het aantal kilometer dat je hebt gereden.
Kennisbank
Van formule naar grafiek
Bij een gegeven formule moet je ook vaak een grafiek tekenen. Dit gaat altijd in een bepaalde volgorde.
Noteer de formule in je schrift.
Maak een tabel.
Teken bij de tabel de grafiek.
Voorbeeld:
Gegeven is de formule y = 7 + 3X
Neem de formule over in je schrift. Zet een x-teken tussen het cijfer en de letter.
Maak een tabel.
Maak bij je formule een tabel. Denk na over handige stapjes op de x-as (boven in je tabel)
Een tabel bij een lineaire formule hoeft maar uit 3 punten te bestaan.
Vul de tabel in.
Teken nu het assenstelsel dat bij de tabel past in je schrift.
Teken nu de punten uit je tabel in een assenstelsel. Kijk goed naar de getallen in je tabel. Bepaal altijd eerst hoe lang je assen moeten worden.
Aan het eind kijk je nog even of je wel de juiste woordjes of letters bij de grafiek hebt getekend.
H5.2 opdracht 5
Gegeven is de formule: y = 3 + 2x
Neem de formule over in je schrift.
.
Neem de tabel hieronder over in je schrift en bereken de ontbrekende getallen. . . .
Teken de grafiek die bij de formule past in je schrift. Vergeet de assen niet te benoemen.
H5.2 opdracht 6
Gegeven is de formule: y = -0,5x + 4
Neem de formule over in je schrift.
.
Neem de tabel hieronder over in je schrift en bereken de ontbrekende getallen. . . .
Teken de grafiek die bij de formule past in je schrift. Vergeet de assen niet te benoemen.
H5.2 opdracht 7
Bij het branden van een cilindervormige kaars kun je ook een formule maken.
De formule die bij de kaars op het plaatje hiernaast past is:
Hoogte in cm = 21 - 3 x aantal branduren
Bereken de hoogte van de kaars na 4 branduren.
Bereken de hoogte van de kaars na 6 en half branduur. .
Op je werkblad staat een tabel. Vul deze verder in.
Teken op het werkblad de grafiek die bij de formule en tabel past. .
Na een aantal uren is de kaars nog 4,5 cm. Bereken na hoeveel uur dat is. Schrijf je berekeningen op.
H5.2 opdracht 8
Tijdens een sportdag wordt er door het warme weer limonade uitgedeeld aan de deelnemers. Jammer genoeg heeft iemand het kraantje onder aan het vat niet goed dicht gedaan, daardoor loopt het vat langzaam leeg. Hierbij hoort de formule
I = 5 - 0,2A Hierin is I het aantal liter in het vat en A het aantal minuten.
Bereken de inhoud van het vat na 5 minunten.
Bereken de inhoud van het vat na 18 minunten. .
Op je werkblad staat een tabel. Vul deze verder in.
Teken op het werkblad de grafiek die bij de formule en tabel past. .
Na een aantal minunten is er nog 0,6 liter in het vat over. Bereken na hoeveel minunten dit is.
H5.2 opdracht 9
Met lucifers kun je allerlei patronen leggen, bekijk de figuren hiernaast maar eens.
Voor één driehoek heb je 3 lucifers nodig.
Om twee driehoeken te leggen heb je 5 lucifers nodig.
Om drie driehoeken te leggen heb je 7 lucifers nodig.
Hierbij hoort de formule:
A = 2D + 1 Hierin is A het aantal lucifers en D het aantal driehoeken
Bereken het aantal lucifers van driehoek nummer 7
Bereken A voor D = 5 .
Teken een tabel met minimaal 3 stappen bij de formule.
Teken de grafiek die bij de tabel past. .
Je hebt in totaal 23 lucifers, hoeveel driehoeken kun je nu leggen? Schrijf je berekening op.
H5.2 opdracht 10
Behalve dat je driehoeken met lucifers kunt leggen kun je natuurlijk ook andere patronen maken bijvoorbeeld vierkanten.
Voor figuurnummer nul (één vierkant) heb je 4 lucifers nodig
Voor figuurnummer één heb je er 7 nodig.
Voor figuurnummer twee heb je 10 lucifers nodig.
Hierbij hoort de formule:
A = 4 + 3f Hierin is A het aantal lucifers en f het figuurnummer.
Bereken het aantal lucifers van figuurnummer 5
Bereken A voor D = 8 .
Teken een tabel met minimaal 3 stappen bij de formule.
Teken de grafiek die bij de tabel past. .
Je hebt in totaal 40 lucifers, hoeveel driehoeken kun je nu leggen? Schrijf je berekening op.
H5.3 Kwadratische verbanden
Inleiding
Binnen het VMBO leer je werken met verschillende soorten verbanden. Er zijn namelijk niet alleen situaties die passen bij een lineair verband, er zijn allerlei soorten situaties. Er zijn dus ook allerlei soorten verbanden die we de komende tijd en jaren met elkaar gaan behandelen.
Hieronder zie je welke verbanden we de komende tijd gaan leren herkennen.
Lineaire verband.
Kwadratisch verband.
Exponentiël verband.
Machtsverband.
Wortelverband.
Omgekeerd evenredig verband.
Periodiek verband.
In deze paragraaf leer je hoe je werkt met kwadratische verbanden.
Leerdoelen.
Kennisbank.
In de vorige paragraaf hebben we herhaald hoe je berekeningen maakt met een formule.
Ook heb je geoefend met het tekenen van een grafiek bij een gegeven formule. Dit ging in drie stappen
Neem de formule over in je schrift.
Maak een passende tabel bij de formule.
Teken de grafiek die bij het assenstelsel past.
KWADRATISCHE FORMULE
Hieronder zie je drie bouwwerken van kubussen.
Als je naar de bouwwerken kijkt en naar de tabel die er onderstaat, dan herken je misschien wel een bepaalde regelmaat. Bij deze vorm van regelmaat kun je een kwadratische formule maken
Het aantal kubussen per bouwwerk kun je berekenen met de volgende formule:
aantal kubussen = nummer2 + 1
Deze formule kun je korter schrijven:
a = n2 + 1
In de formule zie je een kwadraat. Daarom heet zo'n formule een kwadratische formule.
Vul je in de formule voor nummer 7 in, dan krijg je:
a = n2 + 1
a = 72 + 1
a = 49 + 1 = 50, dus bouwwerk nummer 7 bestaat uit 50 kubussen.
Voorbeeld:
Gebruik de formule: aantal kubussen = 3n2 + 2
Hoeveel kubussen heb je nodig voor bouwwerk 6?
Uitwerking:
N = 6 dus 3N2 + 2
3 x 62 + 2
3 x 36 + 2
108 + 2 = 110
H5.3 opdracht 1
Gegeven is de formule: uitkomst = 2 x invoer2 + 3
Bereken de uitkomst bij een invoer van 4 .
De invoer is 8, bereken de uitkomst .
Sarah beweert dat wanneer je de invoer 2 keer zo groot maakt, de uitvoer ook twee keer zo groot wordt, laat met berekeningen zien of Sarah gelijk heeft.
H5.3 opdracht 2
Gegeven is de formule: Kosten = 0,05 x invoer2 - 0,25 x invoer + 70.
Voor de invoer kun je weer allerlei getallen invullen, let op, je vult het getal nu twee keer in de formule in. Het woordje invoer staat ook twee keer in de formule.
Bereken de kosten bij een invoer van 10.
Bereken de kosten bij een invoer van 25.
Waarom zou je geen negatief getal mogen invoeren in deze formule. Leg je antwoord aan de hand van een berekening uit.
Kennisbank
Instructievideo formules met kwadraten
\
In de instructievideo heb je hetvolgende gezien:
Kwadratische formules zijn formules met daarin een kwadraat.
Vul je een negatief getal in de formule in, zet het dan tussenhaakjes!
Bereken y voor x = 6 betekent vul het getal 6 op de plek van de x in en bereken je uitkomst.
32 en (-3)2 geven hetzelfde antwoord 32 = 3 x 3 = 9 en (-3)2 = (-3) x (-3) = 9
H5.3 opdracht 3
Gegeven is de formule y = 3x2 - 0,5x + 5
bereken y voor x = 3
Bereken y voor x = -5 * Let op, vul je een negatief getal in een formule in, zet dat dan tussen haakjes!
Bereken y voor x = 7
Bereken y voor x = -9
Bereken y voor x = 0,5
Bereken y voor x = -1,2
H5.3 opdracht 4
Wanneer je een kubus maakt van roosterpapier kun je elk roosterpunt aan de buitenkant kleuren. Bekijk de kubussen hieronder maar eens.
Op kubus 1 kun je 8 roosterpunten kleuren.
Op kubus 2 kun je al 26 roosterpunten kleuren.
Op kubus 3 zijn dat er al 56.
Er is een formule ontwikkeld waarmee je het aantal roosterpunten dat je kunt kleuren kunt berekenen:
A = 6n2 + 2 Hierin is A het aantal roosterpunten en N het nummer van de kubus
Laat met een berekening zien dat het aantal roosterpunten bij kubus 3 ook met de formule klopt. .
Bereken het aantal roosterpunten dat je kunt kleuren voor kubus nummer 5. .
Bereken het aantal roosterpunten bij kubus nummer 8. .
Hoeveel meer roosterpunten kun je op kubus 9 meer kleuren dan op kubus 7? Schrijf je berekeningen op.
Kennisbank
PARABOOL
Teken je de grafiek bij een kwadratische formule, dan krijgt de grafiek de vorm van een parabool.
De grafiek wordt een parabool vanwege het kwadraat.
Hiernaast zie je verschillende parabolen.
Een parabool is altijd symmetrisch. (symmetrisch wil zeggen aan beide kanten gelijk)
Als je zelf een grafiek gaat tekenen bij een kwadratische formule dan maak je eerst een tabel met een oneven aantal punten (7 of meer). Daarna teken je de punten uit de tabel in een assenstelsel. Teken door de punten een vloeiende kromme. Je tekent dit uit de losse pols, dus niet met behulp van je geodriehoek.
Grafiek tekenen bij een kwadratische formule
Neem de formule over in je schrift.
Maak een tabel met 7 punten.
Teken de grafiek die bij de tabel past.
Voorbeeld:
hoogte = 3a - 0,5a2
hoogte en a in meters
Teken een tabel met 7 punten (of meer)
a
0
1
2
3
4
5
6
hoogte
0
2,5
4
4,5
5
2,5
0
Teken nu de coordinaten uit je tabel in het assenstelsel en verbind deze met een vloeiende lijn. Er ontstaat een parabool.
Het hoogste punt van deze parabool ligt bij x = 3. Dit noemen we de top. Het coördinaat is: top(3 ; 4,5)
Links en rechts van deze top is de parabool gelijk, symmetrisch
H5.3 opdracht 5
Gegeven is de formule: uitkomst = getal² + 3
De tabel die je hieronder ziet staat ook op je werkblad
getal
−3
−2
−1
0
1
2
3
uitkomst
12
7
Vul de tabel verder in.
Teken de grafiek die bij de tabel past.
H5.3 opdracht 6
Gegeven is de formule: y = −2 x x² + 4
De tabel die je hieronder ziet staat ook op je werkblad, vul deze verder in.
getal
−3
−2
−1
0
1
2
3
uitkomst
−4
Teken de grafiek die bij de formule past.
H5.3 opdracht 7
Bij de bouwwerken hieronder hoort de formule:aantal kubussen = 3 + n2
Bereken het aantal kubussen voor n = 4 .
Bereken het aantal kubussen voor n = 6 .
Bereken het aantal kubussen voor n = 15 .
Één van de bouwwerken bestaat uit 103 kubussen. Welk nummer heeft dit bouwwerk?
Schrijf je berekening op. .
De tabel die je hieronder ziet staat ook op je werkblad, vul deze verder in.
aantal kubussen = 3 + n2
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
aantal kubussen
H5.3 opdracht 8
Bij een andere serie bouwwerken hoort de formule:aantal kubussen = 8 + 2n2
Bereken het aantal kubussen voor n = 4 .
Neem de tabel over en vul in.
aantal kubussen = 8 + 2n2
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
aantal kubussen
Een van de bouwwerken bestaat uit 458 kubussen. Welk nummer heeft dat bouwwerk?
H5.3 opdracht 9
Gegeven is de formule: y= -2x2 + 10.
Neem de formule over op je werkblad.
vul de tabel in die bij de formule past (bereken de 7 punten).
Teken de grafiek bij de formule op het werkblad.
Noteer de coördinaten van de top.
Teken met een kleurpotlood de symmetrie-as in je parabool.
Hoe noemen we deze parabool? Een berg- of een dalparabool?
H5.3 opdracht 10
Gegeven is de formule: y= 0,25x2 - 2.
Neem de formule over op je werkblad.
vul de tabel in die bij de formule past (bereken de 7 punten).
Teken de grafiek bij de formule op het werkblad.
Noteer de coördinaten van de top.
Teken met een kleurpotlood de symmetrie-as in je parabool.
Hoe noemen we deze parabool? Een berg- of een dalparabool?
H5.3 opdracht 11
Bekijk de tabel hieronder.
Hoort er bij deze tabel een berg- of een dalparabool?
Noteer waaraan jij kunt zien of er een bergparabool of een dalparabool bij de tabel hoort
H5.3 opdracht 12
Bekijk de parabolen hiernaast.
Neem de letters over in je schrift en zet daarachter welk type parabool je ziet. Noteer ook de coördinaten van de top van de parabool.
Letter
Soort parabool
Coördinaten van de top
A
B
C
D
H5.3 opdracht 13
Bekijk de tabellen hieronder. Bij twee van deze tabellen hoort een kwadratische formule.
Hoe kun je aan de tabel zien dat er een kwadratische formule bij hoort?
Noteer de nummers van de tabellen waar een kwadratische formule bij hoort.
Noteer achter de nummers die je opgeschreven hebt bij vraag b of er sprake is van een dalparabool of van een bergparabool
H5.3 opdracht 14
Bekijk de parabolen hiernaast.
Neem de letters over in je schrift en zet daarachter welk type parabool je ziet. Noteer ook de coördinaten van de top van de parabool.
Letter
Soort parabool
Coördinaten van de top
A
B
C
D
E
H5.4 Kwadratische verbanden toepassen
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
In de vorige paragraaf heb je geleerd om bij een kwadratische verband een grafiek te tekenen. Het tekenen van een grafiek gaat altijd in drie stappen:
Neem de formule over in je schrift
Maak een passende tabel (bij een kwadratisch verband bereken je 7 punten)
Teken de grafiek bij de tabel.
Ook heb je geleerd hoe je de berekeningen bij een kwadratische formule maakt en opschrijft.
voorbeeld:
gegeven is de formule y= -0,5 x2 + 3
bereken y voor x = 3 en voor x = -3
Uitwerking:
vul op de plek van de variabele x het getal 3 in.
y = -0,5x2 + 3
x= 3 dus y = -0,5 x 32 + 3 x = -3 dus y = -0,5 x (-3)2 + 3
y = -0,5 x 9 + 3 y = -0,5 x 9 + 3
y = -4,5 + 3 = -1,5 y = -4,5 + 3 = - 1,5
In je berekening zie je dat x = 3 en x = -3 hetzelfde antwoord geven. Dit komt doordat een kwadratische formule symmetrisch is door zijn top.
In de afbeelding hierboven zie je ook wanneer een parabool een dalparabool of een bergparabool wordt.
Is het getal voor het x2 positief dan krijg je een dalparabool. Is het getal voor x2 negatief, dan krijg je een bergparabool.
voorbeeld:
gegeven zijn de formules
y = 3x2 - 12 het getal voor x2 is positief dus een dalparabool
y = 7 + 0,25x2 het getal voor x2 is positief dus een dalparabool
y = 3x - x2 + 2 het getal voor x2 is negatief dus een bergparabool
y = 6,4 - 0,2x2 het getal voor x2 is negatief dus een bergparabool
H5.4 opdracht 1
Klik op het plaatje voor een video uitleg.
Op het werkblad zie je een lege tabel en daaronder ruitjes om een grafiek te kunnen afgedrukt.
Gegeven is de formule y = x2 - 9
Neem voor x de getallen van -3 tot en met 3 en vul dit in de bovenste rij in.
Bereken de punten en vul dit in je tabel in.
Teken de grafiek bij deze formule.
Noteer de coördinaten van de top en teken met een kleurpotlood de symmetrie-as in je figuur.
H5.4 opdracht 2
Gegeven is de formule voor het berekenen van de hoogte van een voetbal. hoogte in m = 2a - 0,1a2
Kenneth is keeper van een voetbalelftal. Kenneth oefent veel op het nemen van een doeltrap zodat hij de bal met een vere trap naar de spits van het elftal kan schieten. Bij de baan die de bal aflegt wanneer je deze wegtrapt hoort een kwadratische formule.
hierin is de hoogte in meters en a = afstand in meters.
Vul je voor a=2 in, dan krijg je hoogte = 3,6 meter. Controleer dat met je rekenmachine en schrijf je berekening op.
Hoe hoog is de bal na 1 meter? Schrijf de berekening in je schrift.
Hoe hoog is de bal na 8 meter? Schrijf de berekening in je schrift.
Neem de tabel over en vul hem in.
a
0
2
4
6
8
10
12
14
16
hoogte in m
3,6
Teken een assenstelsel.
Maak de horizontale as 8 cm lang en neem stapjes van 2 (1 cm = 2 afstand).
Maak de verticale as 10 cm lang en neem stapjes van 1m (1 cm = hoogte 1 m) .
Teken de punten van de tabel in het assenstelsel.
Teken een vloeiende kromme door de punten.
Wat is het hoogste punt van de grafiek? Noteer de coördinaten van de top in je schrift.
H5.4 opdracht 3
Wist jij dat er bij een boogbrug ook een kwadratische formule hoort? In het plaatje zie je dat dit type brug de vorm heeft van een parabool. De formule voor de boog van deze brug is
hoogte = 1,5a - 0,25a2
hoogte in meters.
De tabel hieronder staat ook op je werkblad. Vul de ontbrekende antwoorden in.
a
0
1
2
3
4
5
6
hoogte in m
Teken in het assenstelsel op je werkblad de punten uit de tabel.
Teken een vloeiende kromme door de punten in je assenstelsel.
Hoeveel meter is de grootste afstand tussen het water en de boog?
Hoe breed is de boog van de brug?
H5.4 opdracht 4
Aan het eind van de wereldhavendagen wordt er in rotterdam een grote vuurwerkshow gehouden. Bij het afschieten van een vuurpijl hoort ook een kwadratische formule. De baan van de vuurpijl heeft namelijk de vorm van een parabool.
Hierbij hoort de formule:
hoogte in m = 20a - a2
a: afstand
Neem de tabel over en vul hem in
hoogte in m = 20a - a2
a
. 0
. 4
. 8
. 10
. 12
. 16
. 20
hoogte in meter
Teken een assenstelsel.
Maak de horizontale as 5 cm lang en de verticale as 10 cm lang.
Op de horizontale maak je stapjes van 4.
Op de verticale as maak je stapjes van 10. .
Teken de parabool die bij de vuurpijl hoort.
H5.4 opdracht 5
We zien hier de grafiek van de formule: y = 0,25x2 + 2.
Hoe kun je aan de formule de vorm van de grafiek aflezen?
Welk getal moet je op de plek van x invullen om de top van deze parabool uit te rekenen?
Welke waarde voor x moet je invullen om de coördinaten van punt B te berekenen?
Bereken de coördinaten van punt C.
H5.4 opdracht 6
We zien hier de grafiek getekend van de formule
y = -0,5x2 + 10
Welk getal moet je op de plek van x in de formule invullen om de coördinaten van de top te berekenen?
Welke x waarden hoort er bij een hoogte van 8? Noteer deze waarden in je schrift
Bereken de coördinaten van punt D. Schrijf de berekeningen in je schrift.
H5.4 opdracht 7
Je ziet een plaatje van de Müngstener Brücke over het riviertje de Wupper in Duitsland. De boog van deze brug heeft de vorm van een parabool. Het midden van de brug bevindt zich 100 meter boven de grond.
Bij de boog van de brug hoort de formule H= -0,0625x2 + 100
Hierin is H de hoogte van de boog boven de grond en x de afstand vanuit het midden van de brug.
Bereken de hoogte van de boog boven de grond bij een afstand van x = 10.
Bereken H voor x = -20.
Laat met een berekening zien dat de burg in totaal 80 meter breed is. Noteer de berekeningen die je gebruikt in je schrift.
H5.4 opdracht 8
Je ziet hier een plaatje van een tunneltje. In dit tunneltje is een x-as en een y-as getekend. De hoogte (y) van het tunneltje wordt gegeven door de formule:
y = - 0,75 x2 + 3 de breedte (x) wordt gemeten vanuit het midden van het tunneltje
Bereken de hoogte van het tunneltje één meter naar rechts van het midden.
Bereken de hoogte van het tunnetje één meter naar links van het midden.
Bereken het hoogste punt van het tunneltje (de top)
Bereken de breedte van dit tunneltje. Schrijf je berekeningen op.
H5.4 opdracht 9
Een basketballer gooit de bal precies in de basket. De baan van het middelpunt van de bal is (bij benadering) een deel van een parabool.
Je ziet in de figuur dit deel van de parabool in een assenstelsel. Zowel `x` als `h` worden in meter uitgedrukt. Bij de parabool hoort de formule:
H = -0,2(x-3)2 + 4
Op het moment dat de speler de bal loslaat, is `x = 0` . Je kunt in de figuur de hoogte die daarbij hoort schatten. Bereken met behulp van de formule de precieze hoogte waarop de bal wordt losgelaten. Het gaat daarbij om het middelpunt van de bal. .
Bereken de coördinaten van het hoogste punt van de parabool. Als je goed naar de afbeelding kijkt zie je dat het hoogste punt van de baan van de bal zich bij x=3 bevindt.
H5.4 opdracht 10
Een tennisser is aan het trainen. Op de baseline (achterste lijn van het veld) tegenover hem schiet een tenniskanon met grote snelheid een bal op hem af, precies over de lengte van het veld. Het tennisveld is 24 m lang en het net is 1 m hoog. Door in de applet de groene punt te bewegen zie je de baan van de bal ontstaan.
Bij de baan van de bal hoort de formule:
H = -0,01(x-10)2 + 1,5
Hierin is x de horizontale afstand vanaf het tenniskanon en H de hoogte van de bal
Voor de plek waar het kanon staat vullen we het getal 0 in. Bereken de hoogte waarop de bal uit het kanon komt. .
Het midden van het veld bevindt zich op 10 meter van het kanon. We vullen dus het getal 10 in de formule in. Bereken de hoogte van het bal wanneer deze over het midden van het veld vliegt. .
Op 12 meter van het kanon staat het tennisnet, dit net is 1 meter hoog. Bereken hoeveel hele centimeter de bal over het net gaat. Schrijf natuurlijk je berekening op. .
Bereken hoe hoog de bal is aan het eind van het veld. .
Stuitert de bal voor of achter de achterlijn van het veld?
H5.4 opdracht 11
Bekijk de vier formules hieronder. Schrijf bij iedere formule op of de grafiek een bergparabool of een dal parabool wordt. Noteer het romeinse cijfer met daarachter dalparabool of bergparabool in je schrift.
y = 3x2 - 7
y = -x2 - x + 6
y = x - 7 + 2x2
y = 13 - 2x2 + 5
H5.4 opdracht 12
Bekijk de vier formules hieronder. Schrijf bij iedere formule op of de grafiek een bergparabool of een dal parabool wordt. Noteer het romeinse cijfer met daarachter dalparabool of bergparabool in je schrift.
y = -x + 2x2 - 7
y = - 0,5x2 + 7
y = -2x+ 2x2 + 2
y = -6 -1,2x2 + x
H5,5 Vergelijkingen oplossen
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
Vergelijkingen oplossen
Een vergelijking is een formule waarbij het antwoord al is ingevuld.
Voorbeeld:
31 = 11 + 2x
3a + 6 = -2a +26
\( \sqrt{2a + 6} \) = 10
-3x2 + 100 = 25
In de voorbeelden hierboven is er telkens één onbekende variabele. Het is de bedoeling dat wij achterhalen hoeveel die variabele waard is. Dus: 'welk getal moet je invullen op de plek van de letter zodat de opgave klopt'?
Dit kan op 2 verschillende manieren; met de balansmethode of met de inklemmethode.
We leggen eerst de balansmethode aan je uit.
1. De balansmethode.
De balansmethode gebruik je wanneer je met lineaire formules werkt.
Een lineaire formule bestaat uit een begingetal en een stapgrootte.
In hoofdstuk 2 heb je geleerd hoe je een vergelijking met lineaire formules oplost.
H5.5 opdracht 1
Hiernaast is de balansmethode afgebeeld als weegschaal.
Op de balans hiernaast zie je uitgebeeld:
2 + 4x = 12
Neem de vergelijking over in je schrift.
2 + 4x = 12
Haal aan beide kanten losse blokjes weg
*let op: bewaar het evenwicht. Noteer je stappen.
Als je het goed gedaan hebt, heb je links de x-jes over en recht de losse blokjes
Controleer dit met wat er in je schrift staan. Fout? doe vraag a en b opnieuw.
Bereken wat één x waard is. Noteer de stap in je schrift en schrijf je antwoord op.
H5.5 opdracht 2
Hiernaast zie je een balans getekend.
Noteer de vergelijking die bij de balans hoort in je schrift.
Los de vergelijking op.
Welke waarde van x heb je gevonden?
H5.5 opdracht 3
Hieronder zie je de uitwerking van de vergelijking 2x + 1 = 9. Ergens gaat het fout.
2x + 1
=
9
-1x
-1x
1x + 1
=
8
-1
-1
1x
=
7
Bij welke stap zit de fout?
Welke fout wordt er gemaakt?
Neem de vergelijking over en los hem netjes op (verbeter de opgaven!)
Begrijp je nog niet helemaal wat we aan het doen zijn? Bekijk dan dit filmpje nog even voordat je verder gaat met vraag vier.
H5.5 opdracht 4
Vul in: De balans hiernaast is in evenwicht.
Neem over en vul in.
Aan de linkerkant van de balans liggen: ... losse en ... x-en
Aan de rechterkant van de balans liggen: ... losse en ... x-en
De vergelijking die bij de balans hoort is: 4+ ...x = ... + 3x
Los de vergelijking op.
4 + 5x
=
10 + 3x
...
...
5x
=
6 + 3x
...
...
...
=
6
...
...
x
=
.....
Het op deze manier oplossen van een vergelijking noem je de .........
H5.5 opdracht 5
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
4x = 16 + 2x
14a + 9 = 7a + 86
8 - 6y = 3y - 28
Kennisbank
Inklemmen
Is de formule waarmee je werkt niet-lineair, dan kun je een vergelijking oplossen met de inklem-methode. De inklem-methode is als het ware gokken. Je vult net zo lang getallen in tot je het goede antwoord hebt gevonden. Bij inklemmen houdt je in een schema bij wat je allemaal geprobeerd hebt.
In het filmpje wordt voorgedaan hoe je met het inklemschema werkt
Voorbeeld.
Uitwerking:
In een inklem-schema noteer je minimaal 3 antwoorden!
- één er boven,
- één er onder.
- het goede antwoord.
Meer mag altijd, minder niet, dan krijg je voor je uitwerking minder punten!
H5.5 opdracht 6
In opgave 1 t/m 5 heb je jouw kennis over de balansmethode weer even herhaalt. Je werkte in al die opgaven met lineaire formule. Is de formule niet-lineair, dan kun je de balansmethode niet gebruiken, je gebruikt dan de inklemmethode.
Bekijk de formules hieronder, vul deze formule in de goede kolom op je werkblad in.
• y = 3x + 2 • A = n2 + 1 • y = x4 - x - 4
• H = 0,5 x \( \sqrt{3t} \) • B = -2u2 - 3u + 2 • y = 6 - \( \sqrt{0,5\space x} \)
• p = - 6 + 2r • k = -0,2 x3,5 + 4 • y = x7 - 1000
• y = -0,5x2 + x - 6 • y = 0,5 x \( \sqrt{2 + x} \) • y = x + 6
Lineaire formule
Kwadratische formule
Wortelformule
Machtsformule
H5.5 opdracht 7
Klik op het youtube-icoon om een video-uitleg over de inklemmethode te bekijken. Los daarna de opgave hieronder op met de inklemmethode.
Los op:
3,5a + 10 = 41,5
- 6 + 1,2x = 10,8
2c + 7 = 16
H5.5 opdracht 8
Los de volgende vergelijkingen op met inklemmen. Schrijf het inklemschema dat je gebruikt telkens netjes in je schrift.
Los op:
2 x 4r- 500 = 12
0,25x2 + 6= 26,25
\( 0,5 \times \sqrt{28 \space + \space a}\)= 3
H5.5 opdracht 9
Hiernaast zie je een kaars. Een formule die ongeveer het verband tussen de hoogte van deze kaars en de brandtijd aangeeft, is:
hoogte = 32 – 4 x \(\sqrt{brandtijd} \)
Hierin is hoogte in cm en brandtijd in uren.
Hoe heet het wiskundige model van deze kaars?
Na een aantal uur branden is de kaars nog maar 12 cm lang. Bereken bij hopeveel branduren dat is.
H5.5 opdracht 10
Hiernaast zie je een foto van de Red-Bull Cliffdive competitie. Hierbij hoort een verband tussen de hoogte van het plateau en de tijdsduur van de sprong in seconden. Voor dit verband geldt de volgende formule
tijdsduur = 0,46 x \( \sqrt{hoogte}\)
Hierin is de tijdsduur van de sprong in seconden en de hoogte waar vanaf gesprongen wordt in meters.
Joshua springt van een hoogte van 9 meter. Bereken de tijdsduur van zijn sprong, rond je antwoord af op 1 decimaal.
Om een sprong te maken die minstens 1,5 seconden duurt, moet van een bepaalde hoogte in het water gesprongen worden.
Bereken in hele meters hoe hoog het plateau dan minstens moet zijn. Schrijf je berekening op.
H5.5 opdracht 11
Sarah is bloemiste, zij heeft een eigen bloemenzaak.
Om de opbrengst van de winkel te berekenen gebruikt ze de vergelijking:
O = -5p2 + 250p Hierin is O de opbrengst in euro en P de prijs van de bossen bloemen.
Bereken de verdienste van Sarah wanneer zij €10,- per bos bloemen vraagt. .
Bereken O voor p = €12,50
Afgelopen week heeft Sarah €2405,- euro verdiend.
Bereken de prijs die Sarah voor de bossen bloemen vroeg.
H5.5 opdracht 12
Uit de krant:
Nederland moet het wereldrecord krattenstapelen afstaan aan Duitsland. In de Noord-Duitse plaats Satow bij Rostock bouwden vrijwilligers vandaag de grootste piramide van kratten voor bier- en andere drankflesjes.
Ze stapelden 105.995 lege kratten tot een hoogte van 13 meter. Dat gebeurde met hulp van een bouwkraan, vertelde medewerkster Vera Jahnke. Een vertegenwoordiger van Guiness Records kwam de vrijwilligers een oorkonde overhandigen.
Als een piramide geheel uit kratten bestaat, kan men het totaal aantal kratten t uitrekenen door het aantal lagen n te tellen en de volgende formule te gebruiken:
t = (2n3 + 3n2 + n) : 6
Laat met een berekening zien dat voor een piramide met 60 lagen 73 810 kratten nodig zijn.
Bereken hoeveel lagen (n) de piramide van het nieuwe record heeft. Schrijf je berekening op
H5.5 opdracht 13
Los onderstaande vergelijkingen op.
10 = 2 x \(\sqrt{\space x}\) .
3x - 4 = 32 .
4098 = 2 + 8r
H5.5 opdracht 14
Los onderstaande vergelijkingen op.
128 - 0,5 x 2a = 112 .
64 = 4 + 12x .
6 = 2x2 - 3x+ 4
H5.6 Gemengde opgaven
Je bent bij de gemengde opgaven aangekomen. Dat betekent dat je alle onderdelen van het hoofdstuk hebt afgerond. Gebruik de gemengde opgaven als check ✓✗
Bekijk de uitleg van paragrafen die je moeilijk vond of waar je veel fouten in gemaakt hebt nog een keer, maak daarna per uitleg nog eens 2 of 3 opgaven opnieuw zodat je goed voorbereid naar de toets komt.
Veel succes.
..1.
§1 voorkennis.
Volgorde van bewerkingen (voorrangregels)
Neem de opgave hieronder netjes over in je schrift en reken deze uit. Pas de voorrangregels toe.
a.
4 + 2 x 3
d.
4 x (2 + 3) x - 2
b.
4 x 2 - 3 x 4
e.
\(\sqrt{81}\) + 1 x 7 - 21
c.
(2 + 3) x - 6
f.
22 + 6 x (8 : 2)
Nog meer oefenen met de volgorde van bewerkingen? Maak dan de opgaven hieronder. Met het schuifbalkje kun je zien of je het goed hebt gedaan. Klik je op de pijltjes in de rechter bovenhoek dan krijg je nieuwe opgaven.
b. \({{6^2 +\space 4} \over 5^2 \space - \space 5}\)
..3.
§1 voorkennis.
Formule bij tabel.
Zodra je te maken hebt met een regelmatige tabel (er komt telkens hetzelfde bij of er gaat telkens hetzelfde af) dan kun je hier een formule bij maken.
Vul het schema op je werkblad in. *let op, er is een tabel die niet lineair is!
- Noteer de variabele
- Noteer het begingetal.
- Bereken de stapgrootte.
- Schrijf de formule op die bij de tabel hoort
..4.
§2 Werken met verbanden.
Gideon werkt als fietskoerier
Hoeveel geld hij verdient, kan hij berekenen met de volgende woordformule.
inkomsten in € = 5,25 + 2,75 x tijd in uren
Maak van de woordformule een formule met letters.
Heb je bij het verkorten van de formule ook het keerteken weggelaten? Heb je dat niet gedaan, schrijf de formule dan nog eens op zonder keerteken. *Tussen een cijfer en een letter laten we bij wiskunde het keerteken (x) weg!
Op maandagavond werkt Gideon 4 uur. Bereken wat hij die avond verdiend heeft. Schrijf je berekening op in je schrift. .
Aan het eind van de maand heeft Gideon in totaal 25 uur gewerkt. Bereken zijn verdiensten voor die maand. Schrijf je berekening op in je schrift.
..5.
§2 Werken met verbanden.
Gegeven is de formule: y = 3x - 2
Neem de formule over in je schrift. .
Neem de tabel hieronder over in je schrift en bereken de ontbrekende getallen. .
. .
Teken de grafiek die bij de formule past in je schrift. Vergeet de assen niet te benoemen.
..6.
§2 Werken met verbanden.
Jasmina en Mitchell gaan een wandeltocht maken in de bergen. Voor de steilste stukken in de tocht maken ze gebruik van cabineliften.
De cabine doet er 10 minuten over om boven te komen. Voor de tocht met deze cabine is de volgende formule opgesteld
H = 1194 + 74 x t
Hierin is h de hoogte waarop de cabine zich bevindt in meters en t de tijd in minuten na het vertrek van de cabine vanuit A.
Bereken op hoeveel meter hoogte de cabine zich na 6 minuten bevindt. Schrijf je berekening op. .
Bereken H voor t = 8 .
Teken in je schrift een tabel bij de formule. Maak op de x-as stappen van 2 ga door tot je bij 10 minunten bent. .
Teken de grafiek bij de tabel van vraag c
..7.
§3/§4 Kwadratische verbanden.
Gegeven is de formule y = 0,5x2 + 2x - 1
bereken y voor x = 3
Bereken y voor x = -5 * Let op, vul je een negatief getal in een formule in, zet dat dan tussen haakjes!
Bereken y voor x = 7
Bereken y voor x = -9
Bereken y voor x = 0,5
Bereken y voor x = -1,2
..8.
§3/§4 Kwadratische verbanden.
Gegeven is de formule: y = -0,5x² + 2
De tabel die je hieronder ziet staat ook op je werkblad, vul deze verder in.
X
−3
−2
−1
0
1
2
3
Y
−4
Teken de grafiek die bij de formule past.
..9.
§3/§4 Kwadratische verbanden.
De organisatie van een jaarlijks festival gaat er vanuit dat het aantal verkochte kaartjes verband houdt met de prijs van een kaartje. Als een kaartje te duur is, kopen minder mensen een kaartje. Als de prijs te laag is, denken sommige mensen dat het geen goed festival zal zijn en kopen ook minder mensen een kaartje. Het aantal verkochte kaartjes wordt berekend met de formule:
aantal = –20p2 + 800p – 4000
Hierin is aantal het aantal verkochte kaartjes en p de prijs van een kaartje in euro.
Laat met een berekening zien dat er volgens de formule 3500 kaartjes worden verkocht als de prijs van een kaartje 25 euro is.
Bereken het aantal verkochte kaartjes bij een prijs van 30 euro.
Maak een passende tabel bij de formule. Maak op de x-as stapjes van 5 euro.
Teken de grafiek die bij de tabel en de formule past. .
Teken met potlood de symmetrie-as in je parabool. .
Noteer de coördinaten van de top van de parabool.
..10.
§3/§4 Kwadratische verbanden.
Hiernaast zie je een tekening van een stuk sierbestrating. De stenen die hiervoor gebruikt worden heten klinkers. De klinkers worden in drietallen naast elkaar gelegd. Zo ontstaat telkens een vierkant.
De vierkanten worden gelegd volgens een bepaald patroon. Hieronder zie je de eerste vier figuren uit een reeks. Het rangnummer van elke figuur is aangegeven met de letter n. De figuur met rangnummer 2 bestaat dus uit 4 vierkanten.
Er bestaat een verband tussen het aantal klinkers van een figuur en zijn rangnummer n. De formule voor dit verband is: aantal klinkers = 3 × n2
Bereken het aantal klinkers van rangnummer 7
Bereken het aantal klinkers van rangnummer 12
Kim heeft 1875 klinkers gekocht. Welk figuurnummer kan er bij haar in de tuin gelegd worden? Schrijf je berekening op.
..11.
§5 Vergelijkingen oplossen.
Hiernaast zien we de balans die hoort bij de vergelijking
4a + 11 = 6a + 3
Noteer het stappenplan dat je gebruikt bij de balansmethode.
Waarom moet je bij deze vergelijking de balansmethode toepassen?
Los de vergelijking op.
..12.
§5 Vergelijkingen oplossen.
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
Welk getal moet je op de plek van x in de formule invullen om de coördinaten van de top te berekenen?
Bereken de coördinaten van punt B. Schrijf de berekeningen in je schrift.
Welke x waarden hoort er bij een hoogte van 3,5?
Noteer de berekening die je gebruikt in je schrift.
Bij de rode grafiek hoort de formule
y = 0,5x2 - 3x -2
Bereken de coördinaten van punt C
Welke waarde voor x hoort er bij y = 6?
Bereken het snijpunt van beide grafieken. Schrijf je berekening op.
..14.
§5 Vergelijkingen oplossen.
Het bedrijf ‘Store for you’ verhuurt opslagruimtes tot een vloeroppervlakte van 30 m2 . De kosten voor het huren van opslagruimte hangen af van het aantal m2 dat je huurt. De kosten worden berekend met de volgende formule:
K = –0,1a2 + 8,5a + 25
Hierin zijn K de kosten in euro’s per maand en a de vloeroppervlakte in m2 .
Emre heeft een opslagruimte nodig. Hij wil graag weten wat een opslagruimte van 10m2 kost om te huren.
Bereken voor Emre wat de maandelijkse kosten zijn voor het huren van zo'n opslagruimte. .
Emre wil maximaal €140,60 per maand uitgeven aan opslag ruimte. Bereken de maximale grote van de opslagruimte die Emre kan huren.
..15.
§5 Vergelijkingen oplossen.
Los onderstaande vergelijkingen op.
12 + 2 x 2a = 140 .
50 = -6 + 8x .
0,5x2 - 3x+ 4 = -0,5
Diagnostische toets
Test: Diagnostische toets
0%
Je kunt deze d-toets gebruiken om na te gaan of je alle onderdelen van het hoofdstuk voldoende beheerst.
Zijn er paragrafen die je moeilijk vond, of wijst deze d-toets uit dat je delen nog niet beheerst, oefen de betreffende paragrafen dan nog eens.
Lees de uitleg van de paragraaf waar je veel foutjes in maakt, maak per stukje uitleg telkens 2 a 3 opgaven. Net als met sporten zul je moeten trainen, oefenen, zweten, fouten maken en het nog eens op nieuw moeten proberen. Wie weet waar hij/zij moeite mee heeft en dit veel oefent komt goed voorbereid naar de toets.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Maak een passende tabel bij de formule (Weet je het nog minimaal 7 stappen)
Maak op de x-as stapjes van 1 en begin bij -3.
Teken de grafiek bij de tabel.
..5.
Kwadratische formule, berekeningen
In het plaatje hierboven zie je hoe een kanon wordt afgeschoten. De baan van de kogel schrijgt een parabolische baan. Naast het plaatje zie je een assenstelsel met daarin de baan van het schot nog eens afgebeeld. Bij dit kanonsschot hoort de formule y=-0,28x2 + 2,8x
Hierin is y de hoogte in meters en x de afstand gemeten in meters vanaf het kanon.
Bereken de hoogte van de kanonskogel op een afstand van 4 meter van het kanon
Bereken y voor x = 8
Hoeveel meter van het kanon komt de kanonskogel op de grond terecht. Laat zien dat je antwoord klopt met een berekening.
Noteer de coördinaten van de top.
..6.
Werken met een kwadratische formule
Wanneer je het kanon uit vraag 5 draait komt de kanonskogel verder, of minder ver van het kanon op de grond terecht. Het kanon wordt een stukje gedraait, hierbij hoort de formule:
y = -0,35x2 + 3,5xHierin is y de hoogte in meters en x de afstand gemeten in meters vanaf het kanon.
Bereken de hoogte van de kanonskogel op een afstand van 4 meter.
Bereken de hoogte van de kanonskogel op een afstand van 6 meter.
Bereken y voor x = 3
Bereken y voor x = 7.
Probeer nu eens de coördinaten van de top te berekenen. .
Teken een tabel met 7 punten begin bij 0. En vul met behulp van de formule de ontbrekende waarde in.
Teken de grafiek bij de tabel.
..7.
Parabool benoemen.
Hoe kun je aan een kwadratische formule zien of hier een dalparabool uit volgt? . .
Bekijk de afbeelding met parabolen. Noteer daarna van iedere parabool de coördinaten van de top en of deze parabool een berg- of dalparabool is.
Maak er een schema van
Grafiek
Soort parabool
Coördinaten van de top
A
B
C
D
.
Bekijk de formules hieronder. Noteer bij iedere formule welk type parabool er uit volgt.
Bekijk het filmpje over de balansmethode nog eens als je niet meer precies weet hoe je dit moet doen. Los daarna onderstaande vergelijkingen op.
12 = 2x + 4
28 = 8 + 5x
2A - 6 = 22 .
3x + 2 = 5x - 8
8a + 6 = 5a + 12
..9.
Lineaire vergelijking oplossen
Het maken van een pizza kost natuurlijk geld. Het maken van de bodem kost €0,75. Per ingredient komt daar nog eens €1,25 bij. Hierbij hoort de formule:
K = 0,75 +1,25GHierin is K de kosten in euro en G het aantal ingrediënten.
Je moet €7 euro betalen voor je pizza. Bereken het aantal ingrediënten dat er op jouw pizza gebruikt is. Schrijf je berekening op.
Je kunt er ook voor kiezen om je pizza ergens anders te halen. Hier bereken je de kosten voor een pizza met de formule
K = 0,50 + 1,30G
Je wilt berekenen bij welk aantal ingrediënten de pizzabakkers even duur zijn.
Welke vergelijking hoort hier bij? Noteer de vergelijking in je schrift.
Reken je opgeschreven vergelijking uit.
..10.
Kwadratische vergelijking oplossen
Los op met inklemmen: (als je niet meer weet hoe dit moet, kijk dan naar het filmpje in de uitleg)
Hiernaast zie je in het oranje de grafiek van -x2 + 6
Op deze grafiek is punt A getekend, punt A ligt op een hoogte van -2.
Hierbij hoort de vergelijking -x2 + 6 = -2
Los deze vergelijking op.
Op de groene grafiek ligt punt B.
Hierbij hoort de vergelijking x2 - 1 = 10
Los deze vergelijking op.
Los onderstaande vergelijkingen op, kies zelf de bijbehorende strategie.
3a + 4 = 40
2x2 - 10 = 22
5x - 10 = 3x + 22
-0,5x2 + 2 = -30
Extra stof 1
Kennisbank.
Werken met kwadratische formules
In dit hoofdstuk heb je het volgende geleerd over kwadratische formules.
Je hebt ontdekt dat de tabel bij een kwadratische formule een evenwijdig figuur oplevert, de parabool. Dit kon een bergparabool zijn zoals hierboven is afgebeeld of een dalparabool.
Extra stof opdracht 1
Maak bij onderstaande formules tabellen en vul deze in.
Y= -0,5X2 + 1
G = A2 – 4
Extra stof opdracht 2
Gegeven is de formule y = x2 +4
Vul in de formule op de plaats van X het getal -2 in. Bereken de uitkomst.
Vul in de formule op de plaats van X het getal 2 in. Bereken de uitkomst
Leg uit hoe het komt dat je bij x = – 2 en bij x = 2 dezelfde antwoorden krijgt. Illustreer dit met een voorbeeld. (Maak een tabel en teken de grafiek of laat dit met berekeningen zien)
Extra stof opdracht 3
Teken in één assenstelsel de grafieken van y = 1x2 – 4x + 0 en y = –2x2 + 5 x + 3
* tip(maak eerst 2 tabellen gebruik hier in de getallen –2 tot en met 4)
Kennisbank.
Vaste opbouw van een kwadratische formule.
we gaan de theorie over kwadratische formules een stuk uitbreiden. Je kunt namelijk aan de opbouw van de formule een aantal zaken afleiden.
Een kwadratische formule is altijd opgebouwd volgens het volgende principe.
y = ax2+ bx+ c.
Op de plek van de letters a, b en c kun je elk denkbaar getal invullen dus ook een breuk of een negatief getal.
Kijk maar:
y = ax2+ bx+ c
y = ax2+ bx+ c
y = 3x2- 2x+ 8.
y = -2x2+ 0,5x+ 2
In dit voorbeeld is:
In dit voorbeeld is:
voor a het getal 3 ingevuld 3x2
voor a het getal 3 ingevuld -2x2
voor b is het getal - 2 ingevuld - 2x
voor b is het getal - 2 ingevuld + 0,5x
voor c is het getal 8 ingevuld + 8
voor c is het getal 8 ingevuld + 2
Pas wel op, als je het getal 0 (nul) invult, dan valt het stukje weg! Het heeft dan namelijk geen waarde meer. kijk maar:
y = ax2+ bx+ c.
y = ax2+ bx+ c.
y = -2,5x2+ 2
y = 0,5x2+ 7x
In dit voorbeeld is:
In dit voorbeeld is:
voor a het getal 3 ingevuld -2,5x2
voor a het getal 3 ingevuld 0,5x2
voor b is het getal 0 ingevuld (is er niet)
voor b is het getal - 2 ingevuld + 07x
voor c is het getal 8 ingevuld + 2
voor c is het getal 8 ingevuld (is er niet)
Extra stof opdracht 4
y = ax2 + bx + c
Schrijf steeds de bijbehorende kwadratische formule op. Vul in het bovenstaande functievoorschrift (formule) steeds op de juiste plaats de getallen in.
a = 2b = -3 en c = 2
a = –4b = 6 en c = –8
a = 3b = 0 en c = 4
a = –0,5b = 1,5 en c = 0
Extra stof opdracht 5
Waarom mag je voor het stukje ax2 nooit het getal nul invullen?
Kennisbank
Hoe bereken je de top van een parabool.
Bekijk onderstaande video
In deze video maak je kennis met de formule
Xtop = \(-b \over 2a\) voor Ytop voer je jouw gevonden xtop in de formule in.
Vindt je het nog wat onduidelijk? Hieronder staat nog een video waarin je ziet hoe je de coördinaten van de top van een parabool kunt berekenen
Extra stof opdracht 6
Gegeven is de formule x2 + 4
Neem de tabel hieronder over en vul deze verder in
x
-3
-2
-2
0
1
2
3
y
8
13
Teken de grafiek die bij de tabel hoort.
Teken in de grafiek de symmetrie as
Reken de coördinaten top van de parabool na met de formule Xtop= \({-b \over 2a}\) en Ytop.
Extra stof opdracht 7
Gegeven is de formule -x2 + 4x
Neem de tabel hieronder over en vul deze verder in
x
0
1
2
3
4
5
y
0
4
Teken de grafiek die bij de tabel hoort.
Teken in de grafiek de symmetrie as
Reken de coördinaten top van de parabool na met de formule Xtop= \({-b \over 2a}\) en Ytop
Extra stof opdracht 8
Bereken de coördinaten van de top van de volgende parabolen
y = -2x2 + 28x + 8
.
y = 5x2 + 60x - 125
.
y = x2 - 12x + 4
.
y = 0,5x2 - 4x + 1
Extra stof opdracht 9
De brug over de Rijn bij Emmerich is met een lengte van 1228 meter de langste hangbrug van Duitsland. De afstand tussen de twee pylonen is 500 meter.
De kabel tussen de twee pylonen vormt bij benadering een dalparabool. De hoogte van de kabel van de brug boven het water kun je berekenen met de formule
hoogte kabel = 0,0005a2 – 0,2a + 70 Hierin is a de afstand gemeten vanaf de eerste pylon
Het wegdek is 62 meter boven boven het water.
Bereken de kleinste afstand tussen de kabel en het wegdek in hele meters volgens de formules. Schrijf je berekening op.
Coöperatieve opdrachten
H6 Procenten en verhoudingen
Inleiding.
In het zesde hoofdstuk van dit jaar gaan we aan de slag met procenten en verhoudingen.
Dit hoofdstuk heeft veel raakvlakken met het vak economie. Bij economie werk je ook veel met procenten. Naast procenten kijken we in dit hoofdstuk ook naar verhoudingen, waarom zal je denken nou omdat je procenten en verhoudingen op dezelfde manier kunt aanpakken; namelijk met een verhoudingstabel. We gaan dus veel met verhoudingstabellen werken.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H6.1 Voorkennis
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
Procenten.
Procenten, breuken en komma getallen.
Kennisbank
Percentage gegeven.
Kennisbank
Percentage gevraagd.
H6.2 Nieuwe prijs
H6.3 BTW
H6.4 Verhoudingen
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank
Mengen en rijgen
Kennisbank
Snelheid
H6.5 Gemengde opgaven
Diagnostische toets
Herhaling
Extra stof
Coöperatieve opdrachten
H7 Statistiek
Inleiding.
Statistiek, het stukje wiskunde dat het dichts bij de 'gewone' wereld staat. Open je een krant of kijk je wel eens het journaal, dan zie je vaak mooie diagrammen voorbij komen. Het begrijpbaar maken van gegevens en dit vormgeven in een diagram dat is statistiek. Je verzamelt gegevens en probeert dit zo overzichtelijk mogelijk te presenteren. In hoofdstuk 6 van dit jaar leer je dus gegevens interpreteren en hier een diagram (plaatje) bij maken.
Het onderwerp statistiek is een opzichzelf staand onderwerp. Met de opkomst van de computer en de smartfone wordt statistiek alsmaar belangrijker in onze maatschappij. Het is best lastig om van alle gegevens die we inmiddels verzamelen overzichtelijke plaatjes (diagrammen) te maken.
Journalisten, mensen in de geneeskunde, reclamemakers, accountants, makelaars, forensisch wetenschappers, een psycholoog en marktonderzoekers zijn een greep uit de banen waarbij je veel met statistiek werkt. Maar waarschijnlijk kan jij deze lijst nog wel verder aanvullen. Vraag bijvoorbeeld maar eens aan je ouders, ooms, tantes pof buren wat voor werk zij doen. Wedden dat er minimaal ééntje veel met statistiek werkt.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H7.1 Voorkennis
Diagrammen.
Staafdiagram en histogram
Gegevens kun je op verschillende manieren weergeven.
Voorbeelden zijn een tabel, een beelddiagram en een staafdiagram.
Een klas van 30 leerlingen heeft een toets wiskunde gemaakt.
Met de resultaten is een tabel, een beelddiagram en een staafdiagram gemaakt
Voorbeeld 2:
Aan 30 jongeren tussen de 12 en 14 jaar is gevraagd hoe zij aan geld komen.
De antwoorden zijn verwerkt in een tabel.
Tel het totaal aantal antwoorden in de tabel. Het aantal antwoorden is groter dan 30. Kan dat? Ja dat kan. Dat betekent dat een aantal jongeren op meer dan één manier aan geld komt.
Bij de tabel is een beelddiagram gemaakt.
Achter zakgeld staan 10 poppetjes getekend. Ieder poppetje stelt 2 jongeren voor.
Op airport Eindhoven komen elke dag mensen aan, uit verschillende landen.
a. Op welke dagen komen de meeste mensen aan op airport Eindhoven?
……………………………………………………………………………………
b. Vul onderstaande tabel in
22. In het beelddiagram zie je voor een aantal landen het gemiddelde jaarinkomen per inwoner in euro’s.
a. Hoeveel is het gemiddeld jaarinkomen per inwoner in Nederland? ………………………
b. Hoeveel is het gemiddeld jaarinkomen per inwoner in Indonesië? ………………………
c. Het gemiddeld jaarinkomen per inwoner in China is € 7000,-.
Geef dit inkomen aan in het beelddiagram hierboven.
23. Een klas heeft een toets geschiedenis gemaakt. In de tabel zie je de resultaten:
cijfer
4
5
6
7
8
9
aantal keer
2
3
5
7
5
3
a. Maak het beelddiagram en staafdiagram hieronder verder af.
b. Hoeveel leerlingen zitten er in de klas? ………………………………….
c. Hoeveel leerlingen hebben er een onvoldoende? ……………………..
24. Aan een groep jongeren is gevraagd hoe zij aan hun geld komen.
De antwoorden staan in de tabel.
a. Kun je in de tabel hieronder zien aan hoeveel jongeren de vraag is gesteld?
Leg je antwoord uit.
………………………………………………………………………………………………………
b. Naast de tabel zie je een begin van een beelddiagram. Maak het beelddiagram af.
25. In een klas zitten 32 leerlingen.
Er komen 6 leerlingen lopend naar school, 20 leerlingen met de fiets, 4 leerlingen met de bus en 2 leerlingen met de brommer.
Maak voor deze gegevens een beelddiagram én staafdiagram (hieronder). Maak ook de indeling op de assen.
26. Tijdens de sportdag kan gekozen worden uit een aantal sporten.
In de tabel hieronder staat hoeveel iedere sport gekozen is door leerlingen.
Teken hieronder het staafdiagram.
Turftabellen
H7.2 Grafen
H7.3 Centrum maten
H7.4 Cirkeldiagram
H7.5 Steel-bladdiagram
H7.6 Gemengde opgaven
Diagnostische toets
Herhaling
Extra stof
Coöperatieve opdrachten
H8 Ruimtefiguren
Inleiding.
Vergroten en verkleinen hoort bij het onderwerp verhoudingen. Net als met het berekenen van snelheid of procenten werken we dus weer veel met tabellen en enkele formules.
Binnen de designwereld speelt vergroten & verkleinen natuurlijk een grote rol. Alle beroepen waarbij je ontwerpt, van het ontwerpen van een nieuw coulbertjasje tot het ontwerpen van een game krijgen te maken met het vergroten of verkleinen van iets.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H8.1 Voorkennis
H8.2 Balk, kubus, cilinder en prisma
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank.
Eigenschappen van een balk, kubus, cilinder en prisma.
In de afbeelding hierboven zien we een kubus en een balk. Beide ruimtefiguren hebben 8 hoekpunten. Bij de hoekpunten staan HOOFDLETTERS. Behalve dat beide ruimtefiguren 8 hoekpunten hebben, hebben zij nog meer overeenkomende eigenschappen.
De lijntjes of stokjes waaruit je ruimtefiguur bestaat noemen we de ribben. Een balk en een kubus hebben 12 ribben. Bij een kubus zijn alle ribben even lang.
Bij een balk zijn de overstaande ribben even lang.
De vlakken noemen we zijvlakken of grensvlakken. Ook de bovenkant en de onderkant noemen we zijvlakken. Een balk en een kubus hebben beide 6 zijvlakken.
Bij een kubus zijn alle zijvlakken vierkant. Bij een balk zijn de zijvlakken rechthoeken en/of vierkanten.
Door de eigenschappen van een figuur te benoemen kun je ze in categorieën indelen.
Hieronder zie je een overzicht van de eigenschappen van de volgende vier ruimtefiguren:
H2.3 opgave 1
Bekijk de afbeelding op je werkblad.
Zet bij de hoekpunten de hoofdletters PQRS TUVW
Kleur zijvlak PSWT met groen kleurpotlood in.
Kleur ribbe QR met rood kleurpotlood.
Maak hoekpunt V blauw met kleurpotlood.
Noteer alle ribben die even lang zijn als PQ in je schrift. Doe het zo:
PQ = .. = .. = ..
Welk zijvlak ligt tegenover vlak SRVW? Noteer de naam van het vlak in je schrift.
H2.3 opgave 2
Bekijk de afbeelding op je werkblad.
Zet bij de hoekpunten de hoofdletters ABCD EFGH
Kleur zijvlak EFGH met groen kleurpotlood in.
Kleur ribbe BF met rood kleurpotlood.
Maak hoekpunt H blauw met kleurpotlood.
Noteer alle ribben die even lang zijn als BF in je schrift. Doe het zo:
BF = .. = .. = ..
Welk zijvlak ligt tegenover vlak ABCD? Noteer de naam van het vlak in je schrift.
H2.3 opgave 3
Welke overeenkomende eigenschappen hebben een kubus en een balk. Noteer er 2 in je schrift.
Welke verschillende eigenschappen hebben een kubus en een balk. Noteer er één in je schrift.
H2.3 opgave 4
Noteer de eigenschappen van een prisma in je schrift.
Zoek op internet een plaatje van een wiskundig prisma en plak dat bij de eigenschappen. Je mag het ook zelf natekenen.
Kleur het grondvlak van je prisma met kleur rood potlood in.
H2.3 opgave 5
Bekijk de prisma's op je werkblad.
Kleur van de prisma's de grondvlakken met kleurpotlood groen.
Kleur van de prisma's de opstaande ribben met rood kleurpotlood.
Kennisbank
Inhoud van een balk, kubus, cilinder en prisma.
Voor deze ruimtelijke figuren geldt:
Inhoud = oppervlakte grondvlak × hoogte
Kijk maar naar de afbeelding hieronder.
Instructievideo inhoud balk,kubus en prisma:
H2.3 opgave 6
Bekijk het prisma hiernaast.
Het grondvlak van dit prisma heeft een oppervlakte van 25 cm². De hoogte is 5 cm.
Bereken de inhoud van dit prisma.
H2.3 opgave 7
De voorkant van deze 'tent' is een gelijkbenige driehoek.
De onderste zijde is 1,4 m, de hoogte is 2 m.
De diepte van de tent is 2,5 m.
Bereken de oppervlakte van het grondvlak van dit prisma (hier dus de voorkant van de tent)
Bereken de inhoud van de tent.
H2.3 opgave 8
Bekijk het plaatje hiernaast.
Het grondvlak van een cilinder heeft een oppervlakte van 16 cm². De hoogte is 5 cm.
Bereken de inhoud van de cilinder.
H2.3 opgave 9
Het grondvlak van een cilinder heeft een straal van van 5 cm.
De hoogte van de cilinder is 12 cm.
Bereken de oppervlakte van het grondvlak (dus de oppervlakte van een cirkel), rond af op één decimaal.
Bereken de inhoud van de cilinder.
H2.3 opgave 10
Bereken de inhoud van deze balk.
H2.3 opgave 11
Dit aquarium heeft de volgende afmetingen: 35 x 120 x 60 cm (lxbxh)
Bereken hoeveel liter water er in dit aqarium past?
Weet je nog? Bereken je liter, dan moeten alle maten in dm staan.
H2.3 opgave 12
De jacuzzi is 1,2 meter hoog en heeft een diameter van 1,6 m.
Bereken hoeveel liter water er in de jacuzzi past?
Het water staat 0,5 m hoog. Bereken hoeveel liter water er nog bij kan?
H2.3 opgave 13
Een houten balk heeft de volgende afmetingen:
2800 x 120 x 40 (maten in mm) De prijs van dit hout is €400 per m3.
Bereken de inhoud van de balk in m3.
Bereken de prijs van de houten balk.
H8.3 Piramide en kegel
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank
Een piramide en een kegel.
Hieronder zie je de eigenschappen van een piramide en een kegel.
Deze twee ruimtefiguren hebben één gemeenschappelijke eigenschap namelijk;
Ze hebben beide een top. De opstaande ribben komen samen in één punt.
Inhoud van een piramide en een kegel berekenen
Om de inhoud van een piramide of een kegel te berekenen gebruiken we de volgende formule:
Inhoud piramide of kegel = oppervlakte grondvlak x hoogte : 3
Net als bij de overige ruimtefiguren bereken je eerst zelf de oppervlakte van het grondvlak. Daarna kun je pas de inhoud berekenen
Makkelijk om te onthouden; heeft je ruimtefiguur een top? Dan weet je dat je de inhoud moet delen door drie
Oppervlakte grondvlak x hoogte : 3 = inhoud van ruimtefiguur met top
H2.4 Opdracht 1
Het grondvlak van de piramide hieronder is een vierkant met zijde van 4 cm. De hoogte van de piramide is 3,5 cm.
Bereken eerst de oppervlakte van het grondvlak. Rond je antwoord af op 1 decimaal
Bereken vervolgens de inhoud van de piramide. Rond je antwoord af op 1 decimaal
H2.4 Opdracht 2
Hetgrondvlak van de kegel hieronder is een cirkel met een straal van 3 cm.
Het grondvlak heeft dus een oppervlakte van 32 x \(\pi\) = 28,274 ≈ 28,3 cm2
De hoogte van de kegel is 12 cm.
Bereken de inhoud van de kegel.
H2.4 Opdracht 3
De piramide hieronder heeft een grondvlak met een oppervlakte van 25 cm². De hoogte is 6,3 cm.
Bereken de inhoud van de piramide.
H2.4 Opdracht 4
Hiernaast zie je een piramide en een kegel. Laat door middel van
berekeningen zien welke figuur de grootste inhoud heeft.
H2.4 Opdracht 5
Sanne is jarig en wil in haar klas een kleine tractatie uitdelen. Ze besluit feesthoedjes te vullen met popcorn.
Ze moet dan natuurlijk wel de inhoud van een feesthoedje weten zodat ze genoeg popcorn kan maken.
Bereken voor Sanne de inhoud van één feesthoedje.
H2.4 Opdracht 6
Niet iedere piramide heeft een rechthoek of een vierkant als grondvlak. Kijk maar eens naar de dobbelsteen hiernaast. Je ziet daar een piramide met een gelijkzijdige driehoek als grondvlak.
a. Bereken de oppervlakte van het grondvlak. Rond je
antwoord af op 1 decimaal.
b. De dobbelsteen is 3,6 cm hoog. Bereken de inhoud
van de dobbelsteen
H2.4 Opdracht 7
Bekijk de cornetto chocolade hiernaast.
In een doos zitten 12 van deze ijsjes.
Bereken de inhoud van deze ijs, rond af op hele cm3.
Bereken of er meer of minder ijs dan 0,5 liter in de doos zit?
H2.4 Opdracht 8
Jasmina wil voor haar lippenbalsem een ander potje dan een standaard potje gaan gebruiken. Ze besluit om een kegelvormig potje te gaan ontwerken. Ze haalt het bovenste puntje van het kegeltje af zodat er een dekseltje van gemaakt kan worden.
Voordat ze het potje uiteindelijk kan gaan gebruiken moet ze wel eerst de inhoud weten.
Bereken voor Jasmina de inhoud van het potje zonder dekseltje.
H2.4 Opdracht 9
Het theezakje hieronder bestaat uit allemaal gelijkzijdige driehoeken met zijden van 3 cm. De hoogte van het zakje is ook 3cm.
Bereken de inhoud van dit piramide vormig theezakje.
H8.4 Samengestelde figuren
Inleiding.
We hebben inmiddels de namen van de verschillende ruimtefiguren geleerd. We hebben onze kennis over de zijvlakken, hoekpunten en ribben van de ruimtefiguren herhaald en we kunnen de inhoud van een aantal ruimtefiguren berekenen. Maar in de wereld om je heen zie je ook vaak lichamen (ruimtefiguren) die samengesteld zijn uit 2 of meer losse figuren. Er zijn er als het ware 2 of 3 aan elkaar geplakt. Hoe je de inhoud van die figuren moet berekenen leer je in deze paragraaf.
Leerdoelen:
Aan het eind van deze paragraaf kan ik:
De inhoud van een samengestelde ruimtefiguur berekenen d.m.v opvullen.
De inhoud van een samengestelde ruimtefiguur berekenen dm.v. splitsen.
Uitleg.
De inhoud van een samengestelde figuur berekenen
De wereld om ons heen bestaat niet enkel uit losse ruimtefiguren (lichamen). Heel veel objecten zijn opgebouwd uit twee of meer ruimtefiguren samen. Kijk maar naar het huis hiernaast. Dit huis bestaat uit twee balken en een prisma als dak.
Hoe je de inhoud van een samengestelde figuur het gemakkelijkst kunt berekenen zie je in de video hier onder.
In deze video komen twee manieren aan bod.
Opvullen, je stopt er een stukje extra bij en haalt dat er later vanaf.
Splitsen, je deelt de figuur in 2 of meer losse figuren en rekent die afzondelijk uit, daarna tel je de stukken bij elkaar op
2.5 opdracht 1
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Gebruik het roosterpapier om de maten van de figuur te tellen.
Bereken de inhoud van de totale figuur.
2.5 opdracht 2
Hiernaast zie je twee samengestelde ruimtefiguren.
Bereken van iedere samengestelde ruimtefiguur de inhoud.
Schrijf natuurlijk je berekeningen op, rond je antwoord telkens af op 1 decimaal. (Eén cijfer achter de komma).
2.5 opdracht 3
Hiernaast zien we de contouren van een huisje.
Bereken de inhoud van het totale huisje.
Rond je antwoord af op één decimaal.
Uitleg.
In het filmpje hieronder wordt nog eens voorgedaan hoe je de inhoud van een samengestelde ruimtefiguur berekend.
2.5 opdracht 4
Hiernaast zien we een afgeknotte kegel. Voor het gemak is ernaast gezet welk stukje er afgesneden is.
Bereken de inhoud van de afgeknotte kegel. Rond je eindantwoord af op één decimaal. En schrijf natuurlijk de berekening weer in je schrift.
2.5 opdracht 5
Bereken de inhoud van het huis hiernaast.
Je mag de ruimte van de ramen en deuren vergeten.
Rond je antwoord af op één decimaal en laat duidelijk zien welke berekeningen je gemaakt hebt.
2.5 opdracht 6
Hiernaast zien we een kaarsenhouder. Deze balkvormige houder heeft in het midden een cilindervormig gat waar de kaars precies in past.
Bereken de totale inhoud van de kaarsenhouder. Rond indien nodig je antwoord af op één decimaal.
2.5 opdracht 7
Hiernaast zie je hou handdoekrollen worden vervoert. Op het plaatje kun je zien dat er zes rollen in één doos passen, twee naast elkaar en drie achter elkaar.
Wanneer je zes rollen in een doos stopt blijft er natuurlijk nog wat ruimte tussen de rollen over.
Bereken hoeveel liter ruimte er nog over is in de doos. Rond je antwoord af op twee decimalen.
H8.5 Uitslagen
H8.6 Aanzichten tekenen
H8.7 Gemengde opgaven
H2.7 opdracht 1
Bereken, schrijf de antwoorden in je schrift.
a 67 m3 = ........................... dm3c 480 ml = ........................... l
b 2650 dal = ………………….. dl d 963412 cc = …………………. hl
c 9,25 dm3 = ........................... l d 502 cl = ........................dm3
H2.7 opdracht 2
Hierboven zie je 5 figuren.
Bereken van alle 5 de figuren de inhoud.
H2.7 opdracht 3
Op een pak gezeefde tomaten staat: Inhoud 500 ml.
De maten van het pak zijn: L : B : H
9,5 cm bij 6 cm bij 8,9 cm.
Ga met een berekening na of de inhoud van dit pak gezeefde tomaten klopt. Schrijf je berekening in je schrift.
H2.7 opdracht 4
Sanne schetst het bouwwerk dat je hiernaast ziet.
Hoeveel kubusjes heb je nodig om dit bouwwerk te kunnen bouwen?
Teken het vooraanzicht van dit bouwwerk in je schrift. Gebruik de ruitjes van het papier en teken met potlood en geodriehoek.
Teken het linkerzijaanzicht van dit bouwwerk in je schrift. Werk weer netjes met geo en potlood.
H2.7 opdracht 5
Teken volgens de afspraken de volgende figuur:
Een balk KLMN PQRS met: KL = 6cm, NS = 4 cm en QR= 6 cm.
H2.7 opdracht 6
In de figuur hiernaast zie je het bovenaanzicht van een blokkenbouwwerk. De getallen geven de hoeveelheid blokjes aan die gestapeld zijn.
Teken het vooraanzicht van het bouwwerk in je schrift. Maak gebruik van de ruitjes van je papier. Teken netjes met potlood en geodriehoek.
Teken ook het rechtzijaanzicht. Ook weer met potlood en geodriehoek.
H2.7 opdracht 7
Hiernaast zie je eens schets van een kubus met daarin 2 gekleurde vlakken.
Maak een schets van het paarse vlak.
Bereken de ontbrekende maten van het paarse vlak.
Teken het paarse vlak op ware grootte.
Teken het groene vlak ook op ware grootte in je schrift.
H2.7 opdracht 8
Bereken de oppervlakte van het zwembad hiernaast.
H2.7 opdracht 9
De figuur hiernaast is samengesteld uit twee ruimtefiguren.
Schrijf de namen van de ruimtefiguren op die je op het plaatje ziet.
Bereken de inhoud van de totale ruimtefiguur.
Rond je antwoord af op 1 decimaal.
Hiernaast zien we een draadmodel van een huisje. De architect wil graag weten wat de inhoud van dit modelhuis is.
bereken de inhoud van het modelhuis. Rond je antwoord af op hele cm3.
Diagnostische toets
Herhaling
Extra stof
Coöperatieve opdrachten
H9 Overige verbanden
Inleiding.
Naast lineaire en kwadratische verbanden zijn er in de wereld om ons heen nog veel meer verbanden te ontdekken. In dit leer je daar meer over.
Net als hoofdstuk 3 en hoofdstuk 5 hoort dit onderwerp natuurlijk bij algebra. Algebra houdt zich bezig met getallen en formules. Binnen alle beroepen krijg je hier vroeg of laat mee te maken.
Veel opleidingen vinden het belangrijk dat je iets van dit onderwerp af weet. Niet omdat je dan toevallig allerlei verschillende formules hebt geleerd, maar omdat je bepaalde vaardigheden hebt getraind. Denk maar aan het herkennen van een bepaald verband. Daarna volgens bepaalde stappen een berekening gemaakt, een tabel getekend en een grafiek gemaakt. Dit noemen we het analytisch vermogen van je hersenen. Wiskunde helpt je deze vaardigheden ontwikkelen. Daarom vinden veel opleidngen dit zo'n belangrijk vak.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H9.1 Voorkennis
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank
Werken met verbanden.
Formule, tabel, grafiek
Kennisbank
Vergelijkingen oplossen.
Inklemmen (wanneer de formule niet lineaire is!)
Kennisbank
Kwadraten en wortels
H9.2 Machtsverbanden
H9.3 Wortelverbanden
H9.4 Periodieke verbanden
H9.5 Gemengde opgaven
Diagnostische toets
Herhaling
Extra stof
Coöperatieve opdrachten
Thema-opdracht
Bijlessen?
Veel leerlingen vinden wiskunde een lastig vak. Dit komt voornamelijk doordat het een zogenaamd stapelvak is. Je kunt het vergelijken met het bouwen van een huis.
Bij het bouwen van een huis begint de aannemer ook niet bij het leggen van de dakpannen. Hij/zij begint met het bouwrijp maken van de grond en het hijen van hijpalen. Stapje voor stapje bouw je zo een huis.
Bij wiskunde gaat dat net zo. Je begint in leerjaar één met het leren over assenstelsels en het tekenen van grafieken. Elk hoofdstuk breidt je jouw kennis over wiskunde uit. Je kunt helaas geen stappen overslaan.
Net als met het bouwen van een huis kost het aanleren van wiskunde tijd, inspanning en energie. Er zijn helaas geen short-cuts die er voor zorgen dat je stappen kunt overslaan.
Wat heel erg helpt bij het doen (oefenen) van wiskunde is extra uitleg of de mogelijkheid om de uitleg nog eens opnieuw af te spelen. Daar kan internet en met name youtube je mooi bij helpen.
Klik maar eens op het knopje youtube hieronder.
Ook de Khan-academy is een mooi hulpmiddel om je wiskunde-skills verder uit te breiden. Op deze website vindt je zowel uitleg als extra oefeningen die je stapje voor stapje kunnen helpen de wiskunde nog beter eigen te maken.
Tot slot is er nog de website van de wageningsmethode of de website van math4all. Deze websites bieden naast extra uitleg ook extra oefeningen om je vaardigheden te herhalen en uit te breiden. Zo zou je zelfs op een hoger niveau aan de slag kunnen.
Veel succes!
Youtube
In de lessen maken we al veel gebruik van uitlegfilmpjes die we op youtube kunnen vinden. Deze filmpjes helpen je de wiskunde beter begrijpen.
Het grote voordeel is dat er altijd een wiskundeleraar beschikbaar is. En deze wiskundeleraar heeft een pauze knop, kun je terug spoelen en kun je zo vaak afspelen als je wilt. Super handig toch?
Het nadeel is dat je in de youtube kanalen wel even moet zoeken naar het onderwerp waar je mee bezig bent
Hieronder vind je een aantal links naar handige websites en kanalen.
Khan Academy
Als je niet bang bent voor wat extra inspanning, dan zijn er heel veel moeglijkheden om op een andere manier met je wiskunde bezig te zijn.
Zo is er de site van waar je bijna alles terug kunt vinden over de wiskunde onderwerpen die we hier op school behandelen.
Wel is dan alles in het (Amerikaans) Engels, maar dat geeft je dan weer de kans voor twee vakken tegelijk slimmer te worden!
Als je daar gebruik van wilt maken moet je even met je docent overleggen hoe je een account aan moet maken; we heben daar op school al een paar dingen voor geregeld zodat je dan ook direct aan de slag kunt.
Websites met uitleg en oefeningen
De eerste website die we onder je aandacht willen brengen is de website van de Wagenings Methode.
Met de Wagenings Methode kun jij jou vaardigheden op een hoger niveau krijgen. Deze website biedt de wiskunde op een havo/vwo niveau aan
De tweede website waar we naar kijken is de website van Math4all. Deze site biedt ook vooral stof op havo/vwo niveau aan.
De rekenmachine
Andere leerjaren
Hier vind je de links naar de boeken van onze andere leerjaren:
Het arrangement 2VMBO-tl is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
D. Giessen
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2021-02-01 12:13:43
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Diagnostische toets
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
‘t Ravelijn is een middelbare school in Steenbergen voor mavo en voorbereidend MBO
Welkom in leerjaar 2.
Elke ochtend kijk je vast even in de spiegel. Je bent dan met symmetrie bezig zonder dat je het door hebt. Of knipt jou vader of moeder de heg in de tuin ook altijd zo netjes? Ook dan ben je met symmetrie bezig.
Ik kan uitleggen wat symmetrie is.
Maak een schema in je schrift:
Veel logo’s zijn lijnsymmetrisch.
Bekijk de afbeelding hiernaast. Deze staat ook op je werkblad.
Figuren kun je spiegelen in een lijn. Het figuur dat gespiegeld wordt noem je het origineel. Het figuur dat je erbij tekent wordt het spiegelbeeld of het beeld genoemd.
Hiernaast zie je driehoek PQR. De driehoek wordt gespiegeld in lijn m.
De vierhoek hiernaast past bij draaiing vier keer op zichzelf.
Kijk maar.
Hiernaast zie je een aantal draaisymmetrische figuren.
Hiernaast zien we vier logo's van vier verschillende auto merken. De logo's zijn draaisymmetrisch. Bereken van ieder logo de kleinste draaihoek. Schrijf de berekeningen netjes in je schrift.
Overstaande hoeken zijn dus gelijk.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast. Je ziet hier de hoeken N, P en Q. Alle hoeken zijn onderverdeelt in vier stukken.
Hiernaast zie je hoek G. Hoek G is verdeeld in 5 stukken.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bekijk de acht afbeeldingen hiernaast.
Bekijk op het werkblad de figuur die je hiernaast ziet.
Kleur in het patroon op je werkblad één motief.
Je ziet hier een plaatje van een kralenketting. De ketting is ook afgedrukt op je werkblad.
Bekijk de afbeelding op je werkblad.
Je ziet hier een deel van een kralenketting.
en 
.
Geef in de tekening op je werkblad met 4 verschillende kleuren de F-hoeken aan.
Zet sterretjes in alle hoeken die even groot zijn als de hoek met het sterretje *.
We hebben al heel wat kennis opgedaan over vlakke figuren. Zo hebben we de eigenschappen van een vierkant of een ruit al eens geleerd. Ook hebben we iets over symmetrie en over rechte hoeken geleerd. Een onderwerp waar we nog niet zo veel mee gewerkt hebben zijn driehoeken. We hebben nog niet gekeken naar kenmerken van verschillende driehoeken. In deze paragraaf leer je daar meer over.
Een driehoek met een rechte hoek.
Een driehoek met twee gelijke zijden. Deze driehoek heeft één symmetrieas.
Een driehoek met drie gelijke zijden. Alle zijden van deze driehoek zijn even lang.
Bekijk de driehoek op het plaatje. Deze staat ook op je werkblad. Gebruik je geodriehoek om de zijden eventueel op te meten.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast. Deze staat ook op je werkblad.
De driehoek die je hiernaast getekend ziet staat ook op je werkblad.
Bekijk de verkeersborden hiernaast. Deze staan ook op je werkblad.
Misschien heb jij ook wel een leuke sleutelhanger van bijvoorbeeld een blik je aan je sleutelbos. Of heb je laatst een maquette gezien van de wijk waar je in woont. Dit zijn allebei voorbeelden van dingen die verkleint zijn. De huizen op de maquette zijn precies hetzelfde als de huizen in de echte wijk, alleen een stuk kleiner natuurlijk. Je hebt hier te maken met gelijkvormige figuren. In deze paragraaf leer je hoe je gelijkvormige figuren kunt herkennen en hoe we hier een berekening mee kunnen maken.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Het tweede onderwerp van leerjaar 2 is de wereld van de figuren. We gaan het hebben over vlakke figuren (2d) en over ruimtefiguren (3d). De kennis die je vorig jaar al hebt opgedaan komt meteen mooi van pas. Je weet namelijk al het één en ander over vierhoeken en driehoeken. Ook komen de termen loodrecht en evenwijdig weer terug. Kun jij nog uitleggen wat loodrecht ook al weer was? En hoe teken je twee evenwijdige lijnen? Allemaal kennis en vaardigheden die je snel weer beheerst.
Het afgelopen schooljaar heb je al veel onderwerpen van wiskunde behandeld. Je komt dus niet helemaal nieuw binnen. Je bent geen onbeschreven blad, maar beschikt al over wiskundige kennis en vaardigheden.
De lijnen m en n snijden elkaar in punt A.
De lijnen r en s snijden elkaar niet.
Een vierkant is een vlakke figuur het figuur is 2d, plat.
Bekijk de vlakke figuren hiernaast goed en leer de namen en de kenmerken (eigenschappen) ervan uit je hoofd. Zodat je deze gemakkelijk van elkaar kunt onderscheiden. De eigenschappen (kenmerken) van de verschillende figuren kun je downloaden via deze 
In een vierkant
In een rechthoek
In een parallellogram
In een ruit
Bekijk de rechthoek hiernaast, beantwoord dan de vragen. Schrijf de antwoorden op je ruitjespapier op.
De formule voor het berekenen van een vierkant of een rechthoek, die ken je vast al. Deze hebben we al eerder gebruikt.
Voor de oppervlakte van een parallellogram gebruiken we een andere formule. Het is immers een ander figuur met andere eigenschappen.
H2.2 Opdracht 15
Om de omtrek te kunnen bereken van een cirkel moet je dus wel weten wat een diameter (en wat een straal) is. Kijk maar eens naar de afbeelding hiernaast. Dan wordt dat waarschijnlijk snel duidelijk.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast. Op het plaatje zie je twee cirkels.
Een ring is eigenlijk een soort holle cirkel. Er is een grote cirkel waar een kleine cirkel uitgehaald wordt. Hiernaast zie je de schets van een ring. Bereken de oppervlakte van het gele gedeelte.
et de metalen punt in het midden van één van de zijde en de potloodpunt op een hoekpunt. Teken nu een halve cirkel. Als je het goed gedaan hebt, krijg je de figuur die je hiernaast ziet in je schrift.
Hiernaast zie je hoe je met je passer het Genesis patroon kunt tekenen.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast. Om je te helpen hebben we ze op roosterpapier getekend.
Bekijk de figuur hiernaast. Bereken de oppervlakte van deze figuur.
Bekijk de afbeelding hiernaast. Deze staan ook op je werkblad. Op de afbeelding zie je een beroemd werk van Leonardo Da Vinci. Het rechter plaatje is een vergroting van het linker plaatje.
Bekijk de afbeelding hiernaast. Deze staan ook op je werkblad. Het onderste plaatje is een verkleining van het bovenste plaatje.
Hiernaast zie je een afbeelding van twee tekstballonnen. Om je te helpen zijn de tekstballonnen op ruitjespapier afgedrukt. Elk ruitje is 1 cm bij 1 cm.
Hiernaast zie je een afbeelding van twee sterren. Om je te helpen zijn de tekstballonnen op ruitjespapier afgedrukt. Elk ruitje is 1 cm bij 1 cm.
Bekijk de afbeelding van de twee rechthoeken hiernaast. De rechter rechthoek is een vergroting van de linker rechthoek.
Op de afbeelding hiernaast zie je twee driehoeken.
In Barneveld vind je een reuzenstoel.Dit kunstwerk staat daar op een rotonde.
De grootste levende krab die ooit te zien was in Europa, is in SEA LIFE Scheveningen te zien. Crabzilla, een Japanse reuzenspinkrab, is 4 meter (!) groot.
Een diagnostische toets is een onderzoek naar eventuele gaten in jouw kennis of vaardigheden. Het doel van de diagnostische toets is het vaststellen wat je al kan, en waar je de komende tijd nog wat extra aandacht aan moet besteden.
Hiernaast zie je een tent met een hoogte van 2,4 m.
Bereken de inhoud van de piramide.
Hierbnaast zie je de voortent van een caravan met een breedte van 2,6 meter en een lengte van 5,2 meter.
Hiernaast zien we een samengestelde ruimtefiguur.
Hiernaast zie je een tekening van een balk. HR = EP en RG = 2 cm.
Bekijk het bouwwerkje hiernaast.
Wanneer je een grote hoeveelheid posters besteld worden deze in apparte kokers naar je toegezonden. Een koker heeft een diameter van 20 cm en is net zo hoog als de doos.
Het hoofdstuk vergelijkingen hoort bij het onderwerp algebra. Algebra houdt zich bij wiskunde bezig met verbanden ook wel formules genoemd. In bijna alle beroepen kom je wel formules tegen. Mensen die werken met logistiek (vervoer over de weg, door de lucht of over het water maar ook telefoonverbindingen, wifi netwerken en elektriciteitskabels aanleggen), accountants (boekhouders), de lucht en ruimtevaart, civiele techniek (ontwerpen en bouwen van wegen, bruggen, dammen, dijken) werken dagelijks met verbanden. Eigenlijk werkt bijna iedereen wel eens een keer in de week met een verband. Al is het maar om je loon of de winst van je eigen bedrijf te kunnen berekenen
Een tabel bestaat uit twee onderdelen: invoer en uitvoer. 
Een taxibedrijf laat de prijs voor een rit afhangen van het aan kilometers van de rit. In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen de afstand in km en de ritprijs in euro
Shanna werkt voor een pizzabakker.
Bekijk het machientjes schema hiernaast. Schrijf daarna netjes je berekening op.
→ 
→ 
→ aantal kilometer
Hier rechts zie je de balans uit het filmpje.
Hiernaast zie je een balans getekend.
Iedere middelbare scholier moet ‘m leren: de stelling van Pythagoras. Deze stelling laat zien wat het verband is tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, namelijk: A² + B² = C². In woorden: de lengte van de korte rechthoekszijde in het kwadraad plus de lengte van de lange rechthoekszijde in het kwadraat is de lengte van de schuine zijde in het kwadraat.
De stelling van pythagoras passen we toe in een driehoek, niet zomaar in elke driehoek, maar in een bijzondere driehoek. Deze paragraaf gaat dan ook over verschillende soorten driehoeken.
of 
)
Bekijk de figuur. ΔPQR is een gelijkbenige driehoek.
Waarom je de zijden moet kunnen benoemen? Dit heeft te maken met het hoofdonderwerp van dit hoofdstuk: de stelling van Pythagoras en het onderwerp goniometrie dat we in klas 3 behandelen.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Bekijk de driehoek hiernaast. Beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Bekijk de driehoek hiernaast, de driehoek is een samengestelde driehoek.
Een rechthoekige driehoek heeft 3 zijdes: 
Voorbeeld:
Bekijk driehoek ABC met AB = 4cm, AC = 3 cm en
Bekijk driehoek GHI.
Bekijk drihoek DEF met DE = 8cm, EF = 6 cm.
Hiernaast zie je driehoek ABC met AC =18 en BC = 24. Verder is 
Zoals je ziet hebben we hier een rechthoekige driehoek met een schuine zijde van 13 en een rechthoekszijde van 12.
Bekijk driehoek DEF met DE = 4cm, EF = 3 cm en
Bekijk driehoek RST met RS = 15cm, ST = 9cm en
Bekijk driehoek PQR.
Bekijk ΔABC met AB =15 en AC = 8 cm.
Een uitdagende opdracht.
Bekijk de drie driehoeken hiernaast.
Bekijk de drie driehoeken hiernaast.
H4.4 opdracht 1. 
H4.4 opdracht 2.
Saskia rijdt graag motor. Vooral in de bergen waar ze steile hellingen kan afdalen met haar motor heeft ze hier veel plezier aan. Saskia rijdt een 225 meter lange helling af. Het hoogteverschil dat zij dan overbrugt is 30 meter. Hoeveel meter legt Saskia dan horizontaal af?
Een bootje is afgemeerd aan een stijger. Het bootje wordt vast gemaakt aan een lier op 1,5 meter boven de stijger.
Bij golf is het de bedoeling om in zo weinig mogelijk slagen een balletje in een putje te krijgen. 
In veel sprookjes worden jonkvrouwen uit kastelen gered nadat zij door kwaadaardige tovenaars zijn gekidnapt. Hier zien we ook zo'n voorbeeld.
H4.4 opdracht 9.
H4.4 opdracht 10.
Dit hoofdstuk is het tweede hoofdstuk over verbanden dit jaar. We kijken dit keer naar kwadratische verbanden want behalven kwadraten uitrekenen kun je ook formules maken met daarin een kwadraat. Waneer je werk met een kwadratische formule (verband) dan krijg je iets anders dan regelmaat in je tabel en de grafiek ziet er al helemaal anders uit.
Werken met verbanden hoort bij het onderwerp algebra. Binnen algebra houden we ons bezig met getallen en formules (verbanden). Een architect of bouwkundige krijgt veel te maken met kwadratische verbanden. Maar ook wanneer je met radiogolven werkt, bijvoorbeeld bij communicatie tussen twee telefoons of een wifinetwerk krijg je te maken met kwadratische verbanden. Zo zie je maar, wiskunde is een heel veelzijdig vak en komt in heel veel beroepen in de wereld om je heen voor.
Rosalie fietst elke dag van huis naar school en weer terug. Dat is elke dag 16 km in totaal.
Michaëla werkt ook bij de pizzaketen waar Giovanni werkt. Zij werkt niet als bezorger, maar in de bediening in het restaurant. Zij kan haar verdiensten berekenen met de volgende formule:
Wanneer je een taxi rit maakt kun je behalve voor de diensten van Uber ook kiezen voor andere taximaatschappijen. Bij taxitender betaal je geen instaptarief, je betaald alleen €0,75 per gereden kilometer. Hierbij hoort de formule:
Bij het branden van een cilindervormige kaars kun je ook een formule maken.
Tijdens een sportdag wordt er door het warme weer limonade uitgedeeld aan de deelnemers. Jammer genoeg heeft iemand het kraantje onder aan het vat niet goed dicht gedaan, daardoor loopt het vat langzaam leeg. Hierbij hoort de formule
Met lucifers kun je allerlei patronen leggen, bekijk de figuren hiernaast maar eens.
Behalve dat je driehoeken met lucifers kunt leggen kun je natuurlijk ook andere patronen maken bijvoorbeeld vierkanten.
De grafiek wordt een parabool vanwege het kwadraat.
Bekijk de parabolen hiernaast.
Kenneth is keeper van een voetbalelftal. Kenneth oefent veel op het nemen van een doeltrap zodat hij de bal met een vere trap naar de spits van het elftal kan schieten. Bij de baan die de bal aflegt wanneer je deze wegtrapt hoort een kwadratische formule.
Aan het eind van de wereldhavendagen wordt er in rotterdam een grote vuurwerkshow gehouden. Bij het afschieten van een vuurpijl hoort ook een kwadratische formule. De baan van de vuurpijl heeft namelijk de vorm van een parabool.
Hiernaast zie je een balans getekend.
Is de formule waarmee je werkt niet-lineair, dan kun je een vergelijking oplossen met de inklem-methode. De inklem-methode is als het ware gokken. Je vult net zo lang getallen in tot je het goede antwoord hebt gevonden. Bij inklemmen houdt je in een schema bij wat je allemaal geprobeerd hebt.
In opgave 1 t/m 5 heb je jouw kennis over de balansmethode weer even herhaalt. Je werkte in al die opgaven met lineaire formule. Is de formule niet-lineair, dan kun je de balansmethode niet gebruiken, je gebruikt dan de inklemmethode.
Hiernaast zie je een kaars. Een formule die ongeveer het verband tussen de hoogte van deze kaars en de brandtijd aangeeft, is:
Hiernaast zie je een foto van de Red-Bull Cliffdive competitie. Hierbij hoort een verband tussen de hoogte van het plateau en de tijdsduur van de sprong in seconden. Voor dit verband geldt de volgende formule
Sarah is bloemiste, zij heeft een eigen bloemenzaak.
Je bent bij de gemengde opgaven aangekomen. Dat betekent dat je alle onderdelen van het hoofdstuk hebt afgerond. Gebruik de gemengde opgaven als check ✓ ✗
Volgorde van bewerkingen (voorrangregels)
Gideon werkt als fietskoerier
Jasmina en Mitchell gaan een wandeltocht maken in de bergen. Voor de steilste stukken in de tocht maken ze gebruik van cabineliften.
Hiernaast zie je een tekening van een stuk sierbestrating. De stenen die hiervoor gebruikt worden heten klinkers. De klinkers worden in drietallen naast elkaar gelegd. Zo ontstaat telkens een vierkant.
Hiernaast zien we de balans die hoort bij de vergelijking
Bij de blauwe grafiek hoort de formule:
Het maken van een pizza kost natuurlijk geld. Het maken van de bodem kost €0,75. Per ingredient komt daar nog eens €1,25 bij. Hierbij hoort de formule:
Los op met inklemmen: (als je niet meer weet hoe dit moet, kijk dan naar het filmpje in de uitleg)
In het zesde hoofdstuk van dit jaar gaan we aan de slag met procenten en verhoudingen.
Statistiek, het stukje wiskunde dat het dichts bij de 'gewone' wereld staat. Open je een krant of kijk je wel eens het journaal, dan zie je vaak mooie diagrammen voorbij komen. Het begrijpbaar maken van gegevens en dit vormgeven in een diagram dat is statistiek. Je verzamelt gegevens en probeert dit zo overzichtelijk mogelijk te presenteren. In hoofdstuk 6 van dit jaar leer je dus gegevens interpreteren en hier een diagram (plaatje) bij maken.
Bekijk het prisma hiernaast.
De voorkant van deze 'tent' is een gelijkbenige driehoek.
Bekijk het plaatje hiernaast.
Het grondvlak van een cilinder heeft een straal van van 5 cm.
Bereken de inhoud van deze balk.
De jacuzzi is 1,2 meter hoog en heeft een diameter van 1,6 m.
Het grondvlak van de piramide hieronder is een vierkant met zijde van 4 cm. De hoogte van de piramide is 3,5 cm.
Het grondvlak van de kegel hieronder is een cirkel met een straal van 3 cm.
De piramide hieronder heeft een grondvlak met een oppervlakte van 25 cm². De hoogte is 6,3 cm.
Hiernaast zie je een piramide en een kegel. Laat door middel van
Sanne is jarig en wil in haar klas een kleine tractatie uitdelen. Ze besluit feesthoedjes te vullen met popcorn.
Niet iedere piramide heeft een rechthoek of een vierkant als grondvlak. Kijk maar eens naar de dobbelsteen hiernaast. Je ziet daar een piramide met een gelijkzijdige driehoek als grondvlak.
Bekijk de cornetto chocolade hiernaast.
Het theezakje hieronder bestaat uit allemaal gelijkzijdige driehoeken met zijden van 3 cm. De hoogte van het zakje is ook 3cm.
De wereld om ons heen bestaat niet enkel uit losse ruimtefiguren (lichamen). Heel veel objecten zijn opgebouwd uit twee of meer ruimtefiguren samen. Kijk maar naar het huis hiernaast. Dit huis bestaat uit twee balken en een prisma als dak.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Hiernaast zien we de contouren van een huisje.
Hiernaast zien we een afgeknotte kegel. Voor het gemak is ernaast gezet welk stukje er afgesneden is.
Bereken de inhoud van het huis hiernaast.
Hiernaast zien we een kaarsenhouder. Deze balkvormige houder heeft in het midden een cilindervormig gat waar de kaars precies in past.
Hiernaast zie je hou handdoekrollen worden vervoert. Op het plaatje kun je zien dat er zes rollen in één doos passen, twee naast elkaar en drie achter elkaar.
Op een pak gezeefde tomaten staat: Inhoud 500 ml.
Sanne schetst het bouwwerk dat je hiernaast ziet.
In de figuur hiernaast zie je het bovenaanzicht van een blokkenbouwwerk. De getallen geven de hoeveelheid blokjes aan die gestapeld zijn.
Hiernaast zie je eens schets van een kubus met daarin 2 gekleurde vlakken.
Bereken de oppervlakte van het zwembad hiernaast.
De figuur hiernaast is samengesteld uit twee ruimtefiguren.
Hiernaast zie je drie uitslagen.
Hiernaast zien we een draadmodel van een huisje. De architect wil graag weten wat de inhoud van dit modelhuis is.
Naast lineaire en kwadratische verbanden zijn er in de wereld om ons heen nog veel meer verbanden te ontdekken. In dit leer je daar meer over.
Veel opleidingen vinden het belangrijk dat je iets van dit onderwerp af weet. Niet omdat je dan toevallig allerlei verschillende formules hebt geleerd, maar omdat je bepaalde vaardigheden hebt getraind. Denk maar aan het herkennen van een bepaald verband. Daarna volgens bepaalde stappen een berekening gemaakt, een tabel getekend en een grafiek gemaakt. Dit noemen we het analytisch vermogen van je hersenen. Wiskunde helpt je deze vaardigheden ontwikkelen. Daarom vinden veel opleidngen dit zo'n belangrijk vak.
