## H4.3 De stelling van Pythagoras

# Inleiding.

Je hebt er vast al eens over gehoord: De stelling van Pythagoras vraag er maar eens naar bij bijvoorbeeld je ouders. Al snel zullen ze opnoemen a2 + b2 = c2. Maar wat betekend dat nou eigenlijk? In deze paragraaf leer je hier betekenins aan geven.

### Leerdoelen:

- Aan het eind van deze paragraaf kan ik met behulp van de stelling van Pythagoras de schuine zijde van een rechthoekige driehoek berekenen.
- Aan het eind van deze paragraaf kan ik met behulp van de omgekeerde stelling van Pyhtagoras een rechthoekzijde van een rechthoekige driehoek berekenen.

4.3 Opdracht 1.

1. Teken in je ruitjesschrift de volgende coördinaten: A(2,1), B(6,3) en C(-1,5).
2. Verbind de punten met elkaar zodat ΔABC ontstaat.
3. Ga na of ΔABC een'bijzondere' driehoek is.

4.3 Opdracht 2.

Van ∆STU is ST = 5 cm, TU = 2 cm en T = 90o

1. Schets driehoek STU in je ruitjesschrift.
2. Schrijf de rechthoekszijden op.
3. Welke zijde is de schuine zijde?

## Kennisbank. De stelling van Pythagoras. Een rechthoekige driehoek heeft 3 zijdes: 2 rechthoekszijden en een schuine zijde. De schuine zijde wordt ook wel eens de langste zijde, of de hypotenusa genoemd. Wanneer je de 2 rechthoekszijden weet kun je de lengte van de schuine zijde berekenen met de stelling van Pythagoras. Het handigste is om een tabel te maken om de stelling van Pythagoras uit te rekenen. Voorbeeld: gegeven is rechthoekige driehoek ABC met rechthoekszijde AB, 4 cm, en rechthoekszijde AC, 3 cm, en de schuine zijde BC. Uitwerking.

4.3 Opdracht 3.

Bekijk driehoek ABC met AB = 4cm, AC = 3 cm en

BC = 5 cm.

1. Bereken het kwadraat van zijde AB.
2. Bereken het kwadraat van zijde AC.
3. Tel de kwadraten van de twee rechthoekzijde bij elkaar op.
4. Is de som (+) van de kwadraten van de rechthoekzijde even groot als het kwadraat van de schuine zijde (zijde BC)

4.3 Opdracht 4.

Bekijk driehoek GHI.

1. Bereken het kwadraat van zijde GH.
2. Bereken het kwadraat van zijde HI.
3. Tel de kwadraten van de twee rechthoekzijde bij elkaar op.
4. Bereken het kwadraat van zijde GH (de schuine zijde)
5. Wat valt je nu op?
6. Is driehoek GHI een rechthoekige driehoek?

4.3 Opdracht 5.

Bekijk drihoek DEF met DE = 8cm, EF = 6 cm.

1. Welke twee zijden zijn de rechthoekzijden?
2. Welke zijde is de schuine zijde?
3. Neem het schema over en vul de ontbrekende waarden in.

4. Bereken de lengte van de schuine zijde.

4.3 Opdracht 6.

Hiernaast zie je driehoek ABC met AC =18 en BC = 24. Verder is C de rechte hoek.

1. Hoe kun je zien dat hoek C de rechte hoek is?
2. Welke twee zijden zijn de rechthoekzijden?
3. Welke zijde is de schuine zijde?
4. Neem het schema over en vul op de puntjes de juiste waarden in.

5. Bereken de lengte van zijde AB (de schuine zijde). Rond je antwoord af op 1 decimaal.

4.3 Opdracht 7.

Bekijk de drie driehoeken op het plaatje.

Bereken van iedere driehoek de zijde met het vraagteken.

Maak bij iedere driehoek een eigen schema. Rond telkens je antwoord af op 1 decimaal.

4.3 Opdracht 8.

Van een rechthoekige driehoek PQR is Q = 90°, PQ = 16 en PR = 30.

1. Schets in je ruitjesschrift deze driehoek.
2. Bereken de lengte van zijde QR, rond je antwoord af op 2 decimalen

4.3 Opdracht 9.

Bekijk rechthoek ABCD met daarin diagonaal BD

We willen graag de lengte weten van diagonaal BD.

Bereken met behulp van de stelling van Pythagoras de lengte van BD, rond je antwoord af op 1 decimaal.

## Kennisbank. De omgekeerde stelling. Wanneer je de schuine zijde al weet en één van de rechthoekzijde, dan kun je de andere rechthoekzijde uitrekenen met de stelling van pythagoras. We draaien dan de stelling om. Voorbeeld: Zoals je ziet hebben we hier een rechthoekige driehoek met een schuine zijde van 13 en een rechthoekszijde van 12. We gaan zijde PR berekenen (een rechthoekzijde) Uitwerking: We zetten de schuine zijde nu als eerste neer! Daar halen we de rechthoekzijde die bekend is vanaf. We gebruiken dus - in plaats van + Bekijk het filmpje met extra uitleg en voorbeelden hieronder ook maar eens.

4.3 Opdracht 10.

Bekijk driehoek DEF met DE = 4cm, EF = 3 cm en

DF = 5 cm.

1. Welke zijde is de schuine zijde (lange zijde)?
2. Bereken het kwadraat van de schuine zijde.
3. Reken de kwadraten van de twee rechthoekzijden (korte zijden) uit. Noteer de berekening in je wiskundeschrift.
4. Maak nu de volgende berekeningen:
   • 52 - 42 = ... reken daarna de wortel van het antwoord uit =
   • 52 - 32 = ... reken daarna de wortel van het antwoord uit =
   • 32 + 42 = ... reken daarna de wortel van het antwoord uit =
5. Wat valt je op aan je berekeningen bij vraag d?

4.3 Opdracht 11.

Bekijk driehoek RST met RS = 15cm, ST = 9cm en

RT = 12cm.

1. Welke zijde is de schuine zijde (lange zijde)?
2. Bereken het kwadraat van de schuine zijde.
3. Reken de kwadraten van de twee rechthoekzijden (korte zijden) uit. Noteer de berekening in je wiskundeschrift.
4. Maak nu de volgende berekeningen:
   • 152 - 92 = ... reken daarna de wortel van het antwoord uit =
   • 152 - 122 = ... reken daarna de wortel van het antwoord uit =
5. Is driehoek RST een rechthoekige driehoek?

4.3 Opdracht 12.

Bekijk driehoek ABC met AB = 37 cm, BC = ? cm en

AC = 12 cm.

Bereken zijde BC van deze driehoek.
Gebruik het schema om je berekening netjes uit te werken.

4.3 Opdracht 13.

Bekijk driehoek DEF met DE = ? cm, EF = 9 cm en

DF = 12 cm.

Bereken zijde DE van deze driehoek.
Gebruik het schema om je berekening netjes uit te werken.

4.3 Opdracht 14.

Bekijk driehoek PQR.
Bereken zijde QR.

Schrijf je berekening weer netjes in je schrift.

4.3 Opdracht 15.

Bekijk ΔABC met AB =15 en AC = 8 cm.

1. Bereken zijde BC.
2. Punt M is precies het midden van zijde BC.
   Hoe lang is MC nu?
3. Bereken nu zijde SC in ΔSMC.

4.3 Opdracht 16.

Een uitdagende opdracht.
Hiernaast zie je drie rechthoekige driehoeken tegen elkaar geplakt. We willen uiteindelijke de lengte van zijde TR in ΔSTR berekenen. Voer de stappen hieronder uit om zijde TR te kunnen berekenen.

1. Bereken eerst zijde QS in ΔPQS (zandkleurige driehoek). Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op 1 decimaal.
2. Bereken nu zijde SR in ΔSQR (blauwe driehoek). Rond je antwoord weer af op 1 decimaal.
3. Nu kun je met je verkregen informatie de lengte van zijde TR bereken.
   Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op 1 decimaal.

4.3 Opdracht 17.

Bekijk de drie driehoeken hiernaast.

Bereken bij iedere driehoek de ontbrekende lengte van de aangegeven zijde.

Schrijf voor iedere driehoek netjes je berekening op in je ruitjesschrift. Rond indien nodig je antwoord af op 1 decimaal.

4.3 Opdracht 18.

Bekijk de drie driehoeken hiernaast.

1. Bereken in de roze driehoek de lengte van zijde XY. Rond je antwoord af op 2 decimalen.
2. Bereken in de groen driehoek de lengte van zijde EF, rond je antwoord af op 2 decimalen
3. Bekijk de licht orange driehoek ΔPQR. In deze driehoek is hoogtelijntje SR getekend.
   Bereken de lengte van zijde SR in ΔPSR.
4. Bereken nu de lengte van zijde QR in ΔSQR.

## Bewijs Nu je weet wat de stelling van Pythagoras is laat ik je het bewijs zien, want we nemen het niet alleen maar aan. Bij wiskunde wil je (door middel van) met de berekening altijd laten zien dat jouw gevonden antwoord klopt. Hieronder dus een filmpje met het bewijs van de stelling. In de animatie hieronder zie je dat de oppervlakte van de twee kleine vierkanten (de vierkanten die vast zitten aan de rechte hoek) even groot zijn als de oppervlakte van het grote vierkant (die vast zit aan de schuine zijde) Versleep de groene en blauwe knop maar eens.

4.3 Opdracht 19.

Bereken met behulp van de stelling van pythagoras of je een rechthoekige driehoek kunt maken met:

een rechthoekzijde van 7 cm,

een rechthoekzijde van 11 cm,

een schuine zijde van 13 cm.

4.3 Opdracht 20.

Bereken met behulp van de stelling van pythagoras of je een rechthoekige driehoek kunt maken met:

een rechthoekzijde van 6 cm,

een rechthoekzijde van 8 cm,

een schuine zijde van 10 cm.

4.3 Opdracht 21.

Bereken met behulp van de stelling van pythagoras of je een rechthoekige driehoek kunt maken met:

een rechthoekzijde van 9 cm,

een rechthoekzijde van 14 cm,

een schuine zijde van 16,6 cm.