Dit thema gaat over negatieve getallen. Negatieve getallen kun je overal tegenkomen. Kijk maar eens naar de volgende voorbeelden:
Vannacht was de temperatuur -3 °C.
Het waterpeil daalde tot -3 m onder NAP (Normaal Amsterdams Peil).
Doordat ik te veel geld heb uitgegeven, heb ik een negatief banksaldo.
Ook in spelletjes kunnen negatieve getallen een rol spelen.
In dit hoofdstuk leer je hoe je een negatief getal kunt herkennen.
Leer je vermenigvuldigen, delen, optellen en eraf met negatieve getallen. Een hoop nieuwe vaardigheden waarbij je de afspraken goed in je achterhoofd moet houden.
In deze paragraaf leer je alles over de positiewaarde van getallen. Deze kennis hebben we nodig als we een getal goed willen afronden. De positiewaarde van een getal kun je gemakkelijk laten zien met een schema.
Voorbeeld:
In het getal 345 heeft 4 de positiewaarde 40, omdat de 4 op de positie van de tientallen staat. Je kunt nu de posities in een getal extra laten zien door verticale lijntjes te trekken tussen de cijfers, positiestrepen dus:
H
T
E
3
4
5
Met H geeft men de honderdtallen aan, met T de tientallen en met E de eenheden.
Tientallig stelsel
Om goed te kunnen afronden leren we eerst iets over ons tientallig stelsel. We rekenen namelijk altijd in groepjes van tien. Je ziet dit ook terug aan onze cijfers. Een cijfer is een symbool voor een hoeveelheid. Er zijn tien Arabische cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.
Door twee of meer cijfers achter elkaar te plakken ontstaat een getal bijvoorbeeld 708. De positie van het cijfer bepaald dan zijn waarde. Zo is het cijfer 7 in het getal 708
7 honderdtallen. Het heeft een waarde van 7 x 100 = 700
Op een telraam kun je dit goed duidelijk maken.
Je ziet dat het getal 32 uit de cijfers 3 en 2 bestaat. De positie die een getal heeft bepaalt zijn waarde.
De 3 (blauwe kralen) staan op de plek van de tientallen, deze zijn dus allemaal 10 waard. 3 x 10 = 30 er naast staan nog 2 kralen op de plek van de eenheden. je hebt dus 3 x 10 en 2 eenheden dat maakt twee-en-dertig (32)
In een getal bepaalt de plaats waar de cijfers staan hoeveel de waarde van het cijfer is.
Zo heeft het cijfer 7 in het getal 371 een waarde van zeven tientallen ofwel 70.
Hoeveel is het cijfer 7 waard in onderstaande getallen. Noteer de antwoorden netjes in je schrift.
371
8807
47953
700008
1704
679824
2
Schrijf de waarde op
Benoem de waarde van de cijfers van de getallen hieronder. Doe het zoals in het voorbeeld hieronder.
Zet de getallen dus in een tabel zodat je het netjes overzichtelijk kunt noteren.
En onthoud, gebruik je potlood en geodriehoek wanneer je een tabel tekent.
Schrijf uit zoals hierboven:
56871
3008
57980052
368
5498700
180047
3
Getallen
Vorm het getal:
Voorbeeld:
4t + 2H = 40 + 200 = 240
Splits het getal:
Voorbeeld:
20073 = 2Td 7T 3E
8D + 4H + 3E =
7T + 3D + 5E =
4TD + 1E + 6H + 8h + 3D =
25973 =
7000369 =
7954 =
4
Dichtsbijzijnde getal
Zoek het zichtsbijzijnde gevraagde getal, eigenlijk ben je hier al een beetje aan het afronden.
voorbeeld:
Zoek het dichtsbijzijnde duizendtal: 458790 -> 459000
Noteer de gevraagde getallen netjes in je ruitjesschrift.
Zoek het dichtsbijzijnde honderdtal: 761
Zoek het dichtsbijzijnde tiental: 43
Zoek het dichtsbijzijnde duizendtal : 8794058
Zoek de dichtsbijzijnde tienduizendtal : 7851000
Zoek het dichtsbijzijnde Miljoental : 8405294
Afronden
Om af te ronden op een bepaalde rang (een tiental, een honderdtal, een duizendtal of een decimaal getal), kijk je naar het cijfer van de volgende rang.
Is dat cijfer 0, 1, 2, 3 of 4, dan rond je af naar beneden.
Is dat cijfer 5, 6, 7, 8 of 9, dan rond je af naar boven.
Afronden voor de komma (grote getallen afronden)
Ook voor de komma moet je wel eens getallen afronden bij voorbeeld op duizendtallen of op miljoenen.
Voorbeelden.
tot op een tiental:
23 ligt tussen de tientallen 20 en 30.
Je moet kijken naar het cijfer direct achter het tiental (de 2). Dat cijfer is een 3. Je moet dus afronden naar beneden.
23 afgerond tot op een tiental is 20. (23 ligt ook dichterbij 20 dan bij 30)
tot op een honderdtal:
582 ligt tussen de honderdtallen 500 en 600.
Je moet kijken naar het cijfer direct achter het honderdtal (de 5). Dat cijfer is een 8. Je moet dus afronden naar boven.
582 afgerond tot op een honderdtal is 600.
(582 ligt ook dichter bij 600 dan bij 500)
Afronden op decimalen(getallen achter de komma)
Als je een getal afrond op cijfers achter de komma dan noemen we dit afronden op decimalen. Decimalen zijn cijfers achter de komma.
Even herhalen.
Stappenplan:
Voorbeelden.
tot op een duizendsten: 3,7124
Duizendsten, dat is het 3e cijfer achter de komma.
3,7124
We kijken er dan altijd eentje verder dus we kijken naar het 4e cijfer achter de komma.
het 4e cijfer achter de komma is een vier, ik rond af naar beneden -> 3,712
tot op helen (= een getal zonder komma):
74,12 ligt tussen de getallen 74 en 75. Je moet kijken naar het eerste cijfer achter de komma. Dat cijfer is een 1. Je moet dus afronden naar beneden.
74,12 afgerond op een heel getal is 74.
112,650 ligt tussen de getallen 112 en 113. Je moet kijken naar het eerste cijfer achter de komma. Dat cijfer is een 6. Je moet dus afronden naar boven. 112,650 afgerond op een heel getal is 113.
Op je werkblad staat deze tabel ook. rond de getallen af zoals gevraagd. Sommige vakjes kan je niet invullen.
tot op een tiental
tot op een honderdtal
tot op een duizendtal
Op een tienduizendtal
470904
19266
1274
310810
3888
71452
6
Afronden
Kevin spaart om een nieuwe spelcomputer te kunnen kopen.
De spelcomputer moet €389,99 kosten.
Rond het bedrag €389,99 af op honderdtallen.
7
Afronden
Om naar school te kunnen fietsen krijgt Nicole voor haar verjaardag een nieuwe fiets.
Deze fiets kostte € 549,99.
Rond dit bedrag af op tientallen euro's.
8
Afronden
Suzanne brengt folders rond. Haar folderwijk bestaat uit 200 adressen.
Iedere week verdient Suzanne hier € 12,23 mee.
Rond het bedrag € 12,23 af op hele euro's
9
Afronden
In de supermarkt zijn verschillende zepen shampoo's etc. in de aanbieding. 6 flessen halen = 5 betalen.
Michael haalt snel 5 flessen wasmiddel. Hij moet € 22,85 afrekenen.
Rond het bedrag € 22,85 af op tientallen.
10
Afronden, achter de komma
Rond af op 1 decimaal
(één cijfer achter de komma)
Rond af op 3 decimalen
(drie cijfers achter de komma)
3,702 → …..
10,074 → …..
753,276 → …..
68,75274 → …..
1,4505 → …..
1478,0834 → …..
11
Afronden
Van school naar de sportvelden fietsen is 2,789 km.
Juist de cijfers zijn bedacht door de Arabieren, deze hebben wij gewoon even 'geleend'. Wiskunde is een verzameling van allerlei ontdekkingen van over de hele wereld. Super multi-cultureel dus. Daarom is wiskunde over de hele wereld ook hetzelfde.
Elk werelddeel kent wel een eigen tijdperk waarin zij floreren (zich heel sterk ontwikkelen). Bij wiskunde hebben we al deze kennis gebundeld. Wiskunde is daarom een vak dat in ieder land op de wereld uitgaat van dezelfde regels en afspraken.
In Nederland wonen momenteel 17,458912 miljoen mensen.
Rond het getal 17,458912 miljoen af op 1 decimaal.
13
Afronden
Op aarde is zo'n 51,134 procent van de mensen een man.
Rond het percentage 51,134 af op 2 decimalen.
14
Afronden
In een blikje frisdrank pas 0,333 liter.
Rond de inhoud van het blikje af op 1 decimaal.
15
Afronden
Het zwaarste landdier op aarde is de Savanneolifant. Deze olifant kan wel
4,875 ton wegen. Rond het gewicht af op 2 decimalen
*een ton in gewicht = 1000 kilogram.
16
Afronden op "stuivers"
In de supermarkt rond men de prijzen altijd af op het 0,05
Dus op een veelvoud van 5 cent
Je staat bij de kassa en hebt een een zak M&M's gekocht. Op de verpakking lees je €1,93. Welk bedrag moet je nu aan de kassa afrekenen als je contant betaald (dus niet met je pin-pas)
Hannah staat bij de kassa. Op het display van de kassa ziet Hannah €17,27 staan.
Ze besluit met contant geld te betallen. Welk bedrag moet Hannah nu afrekenen? Noteer het antwoord in je schrift.
Je koopt 3 blikjes cola van €0,51 per stuk.
Welk bedrag moet je nu aan de kassa afrekenen wanneer je met contant geld betaald?
Wat betaal je voor een frikandelbroodje van €0,93 en een kaasbroodje van €0,64 samen wanneer je dit contant aan de kassa wilt afrekenen?
§2 Negatieve getallen
Wat is negatief?
Inleiding.
In dit onderdeel leer je wat een negatief getal is en hoe je een negatief getal herkent.
In welke dagelijkse situaties je te maken krijgt met negatieve getallen en je leert negatieve getallen bij elkaar optelt of van elkaar afhaalt.
Negatief
Een negatief getal is een getal waarvan de waarde minder dan nul is. Je herkent ze gemakkelijk aan het minteken dat er voor staat.
-7 Dit is een voorbeeld van een negatief getal, je herkent ze aan het minteken vóór het getal.
Voorbeeld 1 Afgelopen winter hebben we maar een klein aantal vorstdagen gehad. Vorstdagen zijn dagen waarbij de temperatuur onder het nulpunt komt. We zeggen dan dat het vriest. Onder nul, dus de temperatuur is lager dan nul. We spreken hier van negatieve getallen.
Hier zie je een getallenlijn met positieve en negatieve getallen.
Langs de getallenlijn geldt: als je verder naar links gaat, worden de getallen kleiner.
Voorbeeld 2
Hiernaast zie je een thermometer.
Met een thermometer meet je de temperatuur in oC.
Op een thermometer staan positieve en negatieve getallen.
Is de temperatuur lager dan 0 oC dan vriest het.
Voorbeeld 3
Meneer van der Heyden heeft € 60,- op zijn rekening.
Hij koopt een broek van € 90,-.
Hij betaalt met zijn betaalpas. Het bedrag wordt van zijn rekening afgeschreven.
Het nieuwe saldo op de rekening is € 30,- negatief.
Meneer van der Heyden staatrood.
Groter dan of kleiner dan; > of <
Wanneer we werken met negatieve getallen hebben we het vaak over de waarde van de getallen. We vergelijken ze vaak met elkaar. Wat is meer waard, op welke plaats staat het getal op een getallenlijn.
Het is handig als je dit dan overzichtelijk en snel kunt noteren. Daar hebben het groter dan > , kleiner dan < en het is gelijk aan = teken voor ontwikkeld.
Handig om te onthouden:
Het pijltje wijst altijd het kleinste getal aan.
Het tekentje zegt altijd iets over het gedeelte dat aan de linkerkant staat.
Voorbeeld:
6 is meer waard dan 4 dus: 6 > 4
-8 is minder waard dan -2 dus : -8 < -2
Hieronder zie 8 getallen. Omcirkel, op je werkblad, de negatieve getallen.
5 -3 7,5 19 -4,5 0 -32 100
Neem over en vul ‘links’ of ‘rechts’ in: Op een getallenlijn liggen de positieve getallen …………… van de 0. Op een getallenlijn liggen de negatieve getallen …………… van de 0.
Neem over en vul < of > in.
4 …… 7
3 …… -2
-6 …… 4
-2 …… 7
-3 …… -2
-4 …… -7
2
Temperaturen
In de tabel zie je de ochtendtemperaturen in 4 Europese steden.
In welke steden vriest het?
In welke stad is de temperatuur het laagst?
Hoeveel °C verschilt de temperatuur tussen Amsterdam en Parijs?
’s Middags is het in Oslo 4°C warmer.
Wat is de middagtemperatuur in Oslo?
3
Saldo
Mevrouw Van der Heyden heeft nog € 45,- op haar rekening staan.
Ze koopt een tas van € 80,-.
Bereken het nieuwe saldo op de rekening van mevrouw Van der Heyden.
Wat wordt bedoeld met rood staan?
4
Flatgebouw
Hiernaast zie je een flatgebouw met 13 verdiepingen.
Onder het flatgebouw bevindt zich een parkeergarage met 6 verdiepingen. De laagste verdieping heeft dus als nummer -6
Op het plaatje zie je de nummers van een aantal verdiepingen en een gedeelte van de parkeergarage onder het flatgebouw.
Josephine is op de 12e verdieping, ze neemt de lift en gaat 14 verdiepingen omlaag. Schrijf de berekening die hierbij hoort op je ruitjespapier en reken uit.
Kevin parkeert zijn auto op -3, daarna neemt hij de lift, 10 verdiepingen omhoog om aan het werk te gaan. Schrijf de berekening die hierbij hoort op je ruitjespapier en reken uit.
Aaliyah is in de kantine op de 5e verdieping. Ze heeft geparkeerd op de 2e verdieping van de parkeer garage (-2) Hoeveel verdiepingen moet zij naar beneden om bij haar auto te komen? Schrijf de berekening die hierbij hoort op je ruitjespapier en reken uit.
5
Groter dan en kleiner dan
Neem de getallen hieronder over en vul op de ... de tekentjes > (groter dan), < (kleiner dan) of = (is gelijk aan) in.
6 ... 8
-3 ... -2
-3,4 ... -3,2
16,5 ... 16,49
-10 ... -11
-5,5 ... 5
-0,7 ... -7
3,04 ... 3,06
6
Temperatuurgrafiek
Bekijk de grafiek hieronder.
Joshua heeft op een dag in januari ieder uur dat hij wakker was de temperatuur gemeten.
Van de metingen heeft hij de grafiek hierboven gemaakt
Hoeveel graden was het om acht uur ‘s morgens?
Wat was de laagste temperatuur en wanneer werd die gemeten? (minimum)
Wat was de hoogste temperatuur en wanneer werd die gemeten? (maximum)
Hoeveel graden is het verschil tussen de hoogste en de laagste temperatuur.
Noem drie tijdstippen waarop de temperatuur −3 ℃ was.
Tussen welke twee opeenvolgende uren steeg de temperatuur het meest?
Bereken met hoeveel graden de temperatuur steeg tussen die twee uren.
7
Negatief in het assenstelsel
Teken een assenstelsel. De verticale as loopt van −5 tot 6. De horizontale as loopt van −5 tot 5 b.
Teken de punten: A(−1,2), B(−2,0), C(−4, −1), D(−2, −2), E(−1, −4), F(0, −2) en G(2, −1), H(0,0).
Verbind de punten met elkaar op volgorde. Dus A met B, B met C, C met D enz. Verbind als laatste punt H met A.
§3 Erbij en eraf
Som(+) en Verschil(-)
Een ander woord voor optelling (=erbij) is som. Daarom spreken wiskundigen ook vaak van opgaven of opdrachten in plaats van sommen. Som betekend dus plus, erbij.
Ook voor een aftrekking (=eraf) gebruiken we een ander woord. Als we spreken over minsommen (raar woord) bedoelen we het verschil. Kijk maar het verschil tussen 9 en 4 is:
9 - 4 = 5
SOM
Je kunt optellen met negatieve getallen.
8 + -3 is hetzelfde als 8 – 3.
Dus:
8 + -3 =
8– 3 = 5
Voorbeelden:
5 + -3 =
4 + -7 =
-2 + -4 =
5 – 3 = 2
4 – 7 = -3
-2 –4 = -6
Voorbeeld
Irma doet mee aan een danswedstrijd.
Na haar optreden krijg zij van de jury de volgende puntenaantallen:
De totaalscore voor Irma bereken je met de volgende som:
4 + -2 + 1 + -2
4 – 2 + 1 – 2 = 1
De totaalscore voor Irma is dus 1.
Bij het maken van dit soort opgaven noteer je altijd eerst de opgave in je schrift en daarna de uitwerking (tussenstappen) er onder !
VERSCHIL
Je kunt ook negatieve getallen ergens van aftrekken.
8– -3 is hetzelfde als 8 + 3.
Dus:
8 – -3 =
8 + 3 = 11.
Voorbeelden:
5 – -3 =
5 + 3 = 8
4 – -7 =
4 + 7 = 11
-9 – -4 =
-9 + 4 = -5
Voorbeeld
Irma doet mee aan een danswedstrijd.
Na haar optreden krijg zij van de jury de volgende puntenaantallen:
De totaalscore voor Irma bereken je met de volgende som:
5 + -1 + 2 + -4 = 5– 1 + 2 – 4 = 2 De totaalscore voor Irma is dus 2.
Irma mag de slechtste score laten vervallen.
De laagste score is -4. De nieuwe score wordt dan:
2 – -4 =
2 +4 = 6
Ga na of dit klopt!
Bij het maken van dit soort opgaven noteer je altijd eerst de opgave in je schrift en daarna de uitwerking (tussenstappen) er onder !
Opgaven 1 t/m 4
Opgaven som en verschil ..................................................................................
Maak alle opgaven ZONDER rekenmachine!
1
Temparaturen
Hieronder zie je een aantal europese steden met daarachter de temperatuur in °C
Brussel
3°
Moskou
-12°
Lissabon
10°
Rotterdam
4°
Madrid
11°
Helsinki
-9°
Londen
-1°
Ankara
16°
Parijs
5°
Oslo
-8°
Praag
-4°
Wenen
-6°
Bereken telkens het verschil in temperatuur tussen de steden hieronder.
Schrijf telkens de berekeningen op je ruitjespapier.
(Schrijf de stad die als eerste genoemd wordt ook als eerste op dus:
Rotterdam en Brussel = 4 - 3 = 1)
Rotterdam en Ankara
Praag en Lissabon
Parijs en Oslo
Madrid en Londen
Praag en Wenen
Helsinki en Moskou
2
Getallenlijn
Op je werkblad vindt je 6 getallenlijnen. Teken op deze getallenlijnen onderstaande opgaven en reken ze uit.
-4 + 6
5 - 7
-3 - 2
-3 + 2
-2 - 6
1 + 5
3
Som en verschil
Denk er aan: maak het jezelf gemakkelijk en pas je regel hieronder toe.
Neem over en bereken:
Som ( +)
- 13 + 3
9 + - 5
11 + - 7
- 8 + 4
-8 + 12
-56 + - 6
78 + - 58
-121 - - 21
Verschil ( - )
- 16 - 3
11 - - 5
1 - - 2
14 - 12
62 - - 22
34 - - 14
-9 - 18
20 - 40
4
Som en verschil, door elkaar
Neem over en bereken:
- 17 + - 7
9 - 5
11 + - 7
- 24 - - 12
18 - - 16
-51 + 6
78 - 58
-21 + - 21
17 - 17
- 22 - - 22
18 + - 18
-14 + 14
45 - 15
34 - - 16
140 + - 20
- 63 + 23
§4 Keer en delen
Product en quotiënt
In het tweede deel van bewerkingen met negatieve getallen leer je negatieve getallen vermenigvuldigen en delen.
Je leert een stukje theorie (uitleg) uit het hoofd en oefent met het toepassen hiervan.
Vermenigvuldigen (product) en delen (quotiënt) met negatieve getallen.
Natuurlijk kun je met negatieve getallen ook keer- en deelopgaven maken.
De getallenlijn kun je daarbij niet echt meer als hulpmiddel gebruiken, dat zou erg omslachtig worden.
Gelukkig ken je de tafels van 1 t/m 10 al wel uit het hoofd!
Bij bewerkingen met product (x) en quotiënt (:) is het belangrijk dat je de regels goed toepast. Bij het optellen som (+) en het verschil (-) heb je al eens regels toegepast.
De regels bij product en quotiënt zijn als volgt:
Dus:
twee dezelfde, dan wordt het antwoord positief
twee verschillende, dan wordt het antwoord negatief
Opgaven 1 t/m 9
Maak alle opgaven ZONDER rekenmachine!
Opgaven product en quotiënt ..........................................................................................
1
Invulen en uitrekenen
Neem over en vul op de juiste plaats de woorden ‘positief’ en ‘negatief’ in.
positief x positief = …………………………………………………….
negatief x positief = ……………………………………………………
positief x negatief = ……………………………………………………
negatief x negatief = …………………………………………………...
Maak de volgende voorbeelden af:
3 x 5 = -3 x 5 = 3 x -5 = -3 x -5 =
Maak nu ook de volgende sommen.
7 x -3 = -9 x -2 = -2 x -7 = -4 x 4 =
2
Danswedstrijd
Irma doet mee aan een danswedstrijd.
Na haar optreden krijgt zij van de jury de puntenaantallen hieronder:
De jury is erg streng.
Met welke vermenigvuldiging kun je berekenen wat de score wordt?
Bereken ( zonder rekenmachine! ) de totaalscore.
3
Vermenigvuldigen
Maak de volgende vermenigvuldigingen:
-7 x -3 =
2 x -7 =
7 x -3 =
-2 x -12 =
19 x -2 =
-1 x – 4 =
0 x -5 =
3 x -125 =
4
Invullen
Neem over in je schrift en vul de open plaatsen in.
-7 x …… = -14
-6 x …… = 30
-1 x …… = 7
-8 x …… = -24
9 x …… = 27
-11 x …… = 55
-5 x …… = 0
-3 x …… = 30
5
Bereken (zonder rekenmachine)
-16 : 4 =
-6 : -2 =
-8 : -2 =
-96 : -6 =
9 : -3 =
36 : 9 =
56 : 7 =
-18 : 0 =
6
Bereken (zonder rekenmachine)
15 : -3 =
-20 : -4 =
-35 : -7 =
-15 : -3 =
18 : -6 =
35 : –7 =
7
Bereken (zonder rekenmachine)
Schrijf, zo nodig, de tussenstappen op.
72 : -4 : -2
-36 : 3 : 4
-66 : 11 : -3
54 : -2 : 3
-96 : -16 : -2
24 : -3 : 4
8
Verjaardag
Je bent jarig en besluit een feestje te geven. Er komen 9 vrienden en vriendinnen langs. Jij + 9 vriend(inn)en maakt dus 10 personen.
Je besteld voor jullie 5 pizza's.
Schrijf de deelsom op die bij deze opgave hoort op en reken uit.
Voor je verjaardag heb je ook koekjes gebakken. Je hebt in totaal 1600 gram deeg gemaakt. Dit is genoeg voor 20 koekjes. Bereken wat ieder koekje weegt.
Weet je het nog? Zodra je het woordje bereken in de opgave ziet staan, is het de bedoeling dat je een berekening in je schrift of op je toetsblad noteert! Doe je dat niet, dan krijg je geen punten voor alleen de uitkomst :(
In totaal heb je 3 liter flessen cola en 2 liter pakken sap gekocht. Je hebt dus 5 liter (5000 ml) aan drinken voor je verjaardag ingeslagen. In 1 glas past 200 ml. Bereken hoeveel glazen cola je kunt uitschenken.
.
9
Oefenen, oefenen, ...
Om te werken aan je concentratie, snelheid en om vaardigheden in te slijpen (automatiseren) maken we vooral veel opgaven.
Net als met trainen, veel trainen, dan wordt je er veel beter in, krijg je meer uithoudingsvermogen en wordt je uiteindelijk een kampioen!
-6 x -2 =
5 x -5 =
7 x 8 =
-9 x -1 =
-3 x 0 =
18 : -2 =
-49 : -7 =
-21 : 3 =
80 : 20 =
-30 : 5 =
8 x -4 =
45 : -9 =
56 : 7 =
-12 x -2 =
0 : -6 =
§5 Kwadraten en wortels
Kwadraten
In deze paragraaf leer je over machten en wortels.
Je leert bijvoorbeeld dat wortels 'ontdekt' zijn door de Indiërs. Zo zie je maar weer, wiskunde is universeel.
Het is niet gebonden aan landsgrenzen en kent zijn oorsprong van Arabië en Azië tot Europa en alles ten westen daarvan.
Het kwadraat* van een getal is een ander woord voor de tweede macht van een getal.
* van Latijn: quadratus, wat vierkant betekent
Maar wat is dat dan, de tweede macht of het kwadraat?
Het kwadraat is een getal dat je krijgt als je een getal vermenigvuldigt met nog een keer dat zelfde getal.
Het kwadraat van vijf is dus 52 = 5 x 5 (=25)
Het kwadraat van een getal ziet er dus zo uit x2
*op de plek van de x kun je elk getal invullen dat je maar wilt.
En het kwadraat van een negatief getal?
Wil je een negatief getal kwadrateren, dan moet je er haakjes omheen zetten
(-3)2 = (-3) x (-3) = 9
Zonder haakjes plak je het minteken alleen aan het eerste getal vast:
-62 = -6 x 6 = -36
Dus:
(-4)2 = (-4) x (-4) = 16
Het kwadraat van alles tussen haakjes (..)
Je merkt wel dat het heel handig is om een aantal kwadraten uit het hoofd te leren.
Je hoeft dan niet telkens op nieuw de berekening op te schrijven. Het scheelt je veel tijd, tijd die je kunt gebruiken om andere opgaven te maken.
Op je werkblad vindt je een tabel. Vul deze tabel in en leer de kwadraten en bijbehorende wortels uit het hoofd.
en Wortels
En de wortel?
We zeggen wel eens dat een wortel het tegenovergestelde van een kwadraat is.
dus 52 = 5 x 5 = 25 dan is \(\small{ \mathsf{ \sqrt{25}\ =\ 5 } }\) want 5 x 5 = 25
Let bij het schrijven van wortels er dat je de getallen duidelijk onder de wortel zet.
Bij \(\small{ \mathsf{\sqrt{100}} }\)en \(\small{ \mathsf{ \sqrt{1600} } }\) zie je dat de getallen netjes onder 'het afdakje' staan.
Staat er een berekening onder de wortel, dan moet je dat eerst uitrekenen en daarna pas worteltrekken. (een wortel uitrekenen noem je worteltrekken)
dus:
\(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 5 } } \ }\) ligt tussen \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 4 } } \ }\) en \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 9 } } \ }\) dus ligt \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 5 } } \ }\) tussen 2 en 3.
Neem over en vul in: \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 12 } } \ }\) ligt tussen √…… en √…… en dus ligt \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 12 } } \ }\) tussen …… en ……. \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 20 } } \ }\) ligt tussen √…… en √…… en dus ligt \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 20 } } \ }\) tussen …… en …….
Opgaven 3 t/m 6
Opgaven kwadraten en wortels ................................................................................................
Maak alle opgaven ZONDER rekenmachine!
3
Vierkanten
Weet je de lengte van de zijde van een vierkant, dan kun je de oppervlakte uitrekenen.
Is de zijde 7 cm, dan is de oppervlakte van het vierkant 72 = 7 x 7 = 49 cm2.
Is de zijde 12cm, dan is de oppervlakte van het vierkant 122 = 144 cm2
Andersom, weet je de oppervlakte van het vierkant, dan kun je de zijde berekenen.
Is de oppervlakte 49 cm2 dan is de zijde: \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 49 } } }\)= 7 cm
Is de oppervlakte 144 cm2 dan is de zijde \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 144 } } }\)= 12 cm
Bereken de oppervlakte van het vierkant bij een zijde van:
3
10
15
8
5
Bereken de zijde van het vierkant bij een oppervlakte van:
121
81
16
4
36
4
Bereken het kwadraat of de wortel
a.
92 =
e.
\(\small{ \mathsf{ \sqrt{121} } }\)=
b.
\(\small{ \mathsf{ \sqrt{16} } }\)=
f.
72 =
c.
22 =
g.
\(\small{ \mathsf{ \sqrt{9} }}\)=
d.
\(\small{ \mathsf{ \sqrt{25} } }\)=
h.
102 =
5
Kruiswoordpuzzel
Op je werkblad vindt je een kruiswoordpuzzel.
Vul de antwoorden op de vragen hieronder in de kruiswoordpuzzel in.
52 wordt tweeenvijftig (de letter ij gaat dus in twee hokjes)
Horizontaal (van links naar rechts).
vier in het kwadraat.
Wortel van zestien.
dertien in het kwadraat
zes in het kwadraat
wortel van vijfentwintig
Verticaal (van boven naar beneden)
tien in het kwadraat
acht in het kwadraat
wortel van hoderdvierenveertig
vijf in het kwadraat
wortel uit honderdéénentwintig
6
Rekenslang
Op je werkblad vindt je een rekenslang. Vul de rekenslang in.
§6 Voorrangregels
Rekenvolgorde
Je wist vast al dat er een bepaalde volgorde bij het berekenen van opgaven wordt gehanteerd.
In deze paragraaf gaan we hier meer aandacht aan besteden.
Voorrangsregel bij bewerkingen
Moet je een berekeningen maken waar verschillende rekenbewerkingen ( +, –, :, x , √.. en ..² )
in worden gebruikt? Houd dan rekening met de voorrangsregels. Dit houdt in dat je de opgave niet zomaar in volgorde van links naar rechts moet uitrekenen. Sommige bewerkingen moet je namelijk eerder uitrekenen en hebben dus voorrang. Denk maar aan het verkeer. Hier moet je ook de regels goed toepassen, anders gebeuren er ongelukken!
Volgorde van bewerkingen
1.
Bereken eerst wat tussen haakjes staat. (ook binnen haakjes voorrangregels toepassen)
2.
Bereken de machten en wortels
(van links naar rechts!)
3.
Bereken keer en delen
(van links naar rechts!)
4.
Als laatste erbij en eraf.
(van links naar rechts!)
8
Let wel op, we werken natuurlijk wel van links naar rechts.
Wat bedoelen we hier nu mee?
voorbeeld:
6 - 4 + 10 =
We zien hier een opgave met daarin - en + , deze bewerkingen staan op dezelfde hoogte in ons schema, ze zijn dus gelijkwaardig. In dat geval werken we van links naar rechts, dus wat we het eerste tegen komen.
6 - 4 + 10 =
2 + 10 = 12
Je ziet ook hoe we een bewerking met voorrangregels uitschrijven. Onderstreep het deel dat je uitrekent, zet onder dat deel de uitkomst en ga daarna verder met de volgende bewerking. Je kunt daarbij natuurlijk ook kleurtjes gebruiken
Voorbeeld:
2 x ( 8 + 2 ) - 32 = Eerst tussen haakjes uitrekenen.
2 x 10 - 32 = kwadraten en wortels berekenen.
2 x 10 - 9 = keer en delen.
20 - 9 = 11 plus en min.
In het filmpje hiernaast wordt het allemaal nog eens stapje voor stapje voorgedaan.
Doe hier je voordeel mee. Kijk, zet stop en probeer. Kijk opnieuw, zet eens op pauze en spoel terug. Op deze manier leer jij jezelf deze techniek aan.
Sarah koopt bij de bakker een grote taart van €10,- en vier gebakjes van €3,-
Helaas past de bakker de voorrangregels niet goed toe.
10 + 4 x 3 =
14 x 3 = €42 ,-
Had de bakker beter opgelet tijdens zijn wiskundelessen dan had hij begrepen waarom Sarah nu met een kwaad gezicht staat uit te leggen dat ze echt geen 42 euro gaat afrekenen.
Maak bij de volgende verhaaltjes telkens een berekening.
Finn is jarig geweest. Van zijn broer heeft hij 2 briefjes van €10,- gekregen. Van zijn ouders een briefje van €50,- en aan het eind van zijn feestje heeft hij 5 keer een munt van €2,- , 3 briefjes van € 5,- en een briefje van €10,- . Bereken het totaal bedrag dat Finn tijdens zijn verjaardag heeft gekregen.
Sylvia doet aan athletiek, tijdens een training loopt zij 3x 100m sprint, 2x 800m en nog 2 uitlooprondjes van 500 meter per stuk. Bereken hoeveel meter heeft Sylvia gelopen in totaal?
Aan het eind van een schoolreisje tellen de docenten altijd het aantal leerlingen dat zich verzameld heeft bij de bus voor de terugweg. Meneer de Gier telt vier groepjes van 5 leerlingen, één groepje van 2 leerlingen, een groep van 7 leerlingen en tot slot nog 3 leerlingen die aankomen rennen. Hoe groot is de klas van meneer de Gier?
Je gaat bij de patatzaak om de hoek samen met je vrienden wat eten.
Samen bestellen jullie het volgende:
- halve baal patat
- 2 broodjes kroket
- 1 losse kroket
- 1 frikandel met mayo
Bereken wat de totale bestelling jullie samen gaat kosten, schrijf de berekening in je schrift en pas de voorrangregels toe.
2
Waarom gaan machten en wortels voor keer en delen?
Wanneer je de volgorde bij een kwadraat toepast gaat dat als volgt:
2 x42 =
2 x(4 x 4) =
2 x 16 = 32.
en
3 x 52+ 6 =
3 x(5 x 5)+ 6 =
3 x25+ 6 =
75 + 6 = 81.
Bereken nu zelf de volgende opgaven.
2 + 32 - 6 =
3 x 2 + -32 =
3 + \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 49 }}}\)
x - 2 =
(-4)2 - \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 81 } } }\)
-10² =
3
Het nut van haakjes
Voer de volgende bewerkingen uit. Als hulp is er achter gezet in rekentaal wat je moet doen.
Tel 4 en 1 bij elkaar op.
4 + 1 = ...
doe het antwoord keer 2
... x 2 = ...
neem nu het kwadraat.
...2 = ...
haal van dat antwoord 12 af.
... - 12 = ...
deel het nu door 4
... : 4 = ...
welk antwoord heb je nu?
...
Zou je al deze bewerkingen achter elkaar plakken, dan krijg je een heel andere uitwerking.
Bereken, pas de voorrangregels toe: 4 + 1 x 2 2 - 12 : 4 =
En dan nu met haakjes. We plaatsen haakjes in de opgaven, bereken hem nu eens.
*denk aan de tussenstappen!
(4 + 1) x 2 2 - 12 : 4 =
haakjes binnen haakjes
Je merkt als je opgave c netjes hebt berekend in je schrift, dat je aan één set haakjes niet genoeg hebt om tot een goed antwoord te komen. Bekijk het filmpje hiernaast.
Bereken de bewerking, om je te helpen hebben we de haakjes kleurtjes gegeven.
* denk aan de tussenstappen (((4 + 1) x 2)2 - 12) : 4 =
Nog een paar voorbeelden om te bekijken.
En hieronder nog een filmpje met heel veel voorbeelden van hoe je dit soort opgaven uitwerkt in je schrift.
4
Automatiseren
Neem twee lege bladzijden in je schrift voor je.
Trek een kantlijn van minimaal 2 hokjes.
Schrijf de opgave hieronder over in je schrift, bereken stap voor stap de uitkomst.
Hoe je rekenmachine werkt?
Je kunt er allerlei filmpjes over vinden op de hoofdpagina van onze digitale methode:
Als je schrijft zie je vaak geen verschil tussen de - voor 'negatief' en de - voor aftrekken.
Op je rekenmachine is er wel een aparte toets voor 'negatief'.
Op onze rekenmachine zit die toets naast de Enter toets:
Opgaven 1 t/m 6
1
Rekenen met de rekenmachine
Reken uit met de rekenmachine.
Voorbeeld:
3,15 × –12,4 = –39,06
6,7 × –4 =
3,5 × –2,5 =
1,2 × –4,2 =
–2,5 × 2,5 =
–3,5 × –2,1 =
2
Rekenmachine LOL
Met welke toets zet je de rekenmachine eigenlijk aan?
En... hoe zet je hem uit? Met welke combinatie van toetsen doe je dat?
Als je op je rekenmachine 18 - 6 x 2 = wilt intypen, welke knop is dan het = teken?
Leg je rekenmachine eens op zijn kop, en druk daarna op het getal 8. Op welke letter lijkt dit getal?
Ligt de rekenmachine op zijn kop, dan kun je er mee 'schrijven' . Dit komt doordat de getallen, net als de blokletters uit streepjes bestaan.
Het getal 8 hiernaast bestaat in totaal uit 7 streepjes. Zo kun je nog meer letters vormen.
Wil je het woord GOOGLE met je rekenmachine schrijven, dan typ je het als volgt in: Google -> 379009. Als je een 'woord' typt werk je dus in tegengestelde richting.
Kijk eens wat er gebeurt als je de volgende berekening in je rekenmachine intypt:
707 + 707 =
Vertaal het onderstaande 'gedicht' maar eens met behulp van je rekenmachine
617312 Waarom ik 50078? Voor deze 537 Haalde ik maar een 532 De docent vond mij een 7323
3
Som (+) en Verschil (-), met de rekenmachine
Bereken onderstaande opgaven met je rekenmachine.
Ondanks dat het woordje bereken er staat hoef je alleen een antwoord te noteren.
3 + 4 =
18 - 6 =
- 14 + 8 =
12 - - 6 =
28 - 101 =
12 + 11 - - 5 + - 9 =
- 31 - 31 - - 31 + - 31 =
17 + - 8 - - 4 + - 18 =
21 + - 9 =
18 - 17 - - 8 + - 17 + 31 =
4
Product (×) en Quotiënt (:) met de rekenmachine
Bereken onderstaande opgaven met je rekenmachine.
Ondanks dat het woordje bereken er staat hoef je alleen een antwoord te noteren.
Rond indien nodig je antwoord af op 1 cijfer achter de komma (1 decimaal)
3 x 4 =
18 : - 6 =
- 14 x - 8 =
12 : 6 =
- 28 x 101 =
2,72 x - 23 =
-15,5 : 3,1 =
- 12,05 x - 2 =
- 18 x -3 : 9 =
198,87 : 23,21 =
5
Machten en Wortels
Bereken onderstaande opgaven met je rekenmachine.
Ondanks dat het woordje bereken er staat hoef je alleen een antwoord te noteren.
Rond indien nodig je antwoord af op 1 decimaal.
LET OP! Bij deze opgave gaan we er vanuit dat je netjes de opgave overneemt in je schrift en met tussenstapjes laat zien wat de uitkomst is.
Je mag hier je rekenmachine bij gebruiken.
SCHRIJF NIET ALLEEN EEN ANTWOORD OP!
Komen de antwoorden niet netjes uit op hele getallen? Rond ze dan af naar het dichtsbijzijnde hele getal.
Extra opgaven1 ...........................................................................................................
1
Sorteren
Hieronder zie je zeven getallen.
5,5 –1 –2,5 3,5 0,5 –0,5 –4
Schrijf deze zeven getallen op van klein naar groot.
2
Getallenlijn
Hieronder zie je een getallenlijn.
Kijk goed naar de getallenlijn. Neem over en vul < of > in.
2,5 …… –3
–5 …… –3
–3 …… 2
–5 …… 3
–2 …… –5
–5 …… 0,5
3
Temperaturen
In de tabel zie je de ochtendtemperaturen in vier Europese steden.
Hoeveel graden is het verschil in temperatuur tussen:
a Amsterdam en Rome?
d Rome en Lissabon?
b Amsterdam en Lissabon?
e Rome en Moskou?
c Amsterdam en Moskou?
f Lissabon en Moskou?
4
Assenstelsel
Hiernaast zie je een assenstelsel met daarin de punten A, B en C en D.
Geef de coördinaten van deze vier punten.
Teken zelf in een assenstelsel zoals hiernaast de punten E(–1 , 1), F(4 , –2) en G(–4 , 0)
5
Temperaturen
In de tabel zie je de ochtendtemperatuur in vier Europese steden.
In alle steden geldt dat de middagtemperatuur 4° hoger is dan de ochtendtemperatuur.
Vul in de tabel op je werkblad de middagtemperaturen in.
6
Optellen met negatieve getallen.
Neem over en reken uit. Schrijf ook de tussenstap op zoals in het voorbeeld!
200+ –120 =
200 –120 = 80
30 + –7 =
20 + –41 =
–10 + –25 =
–30 + –20 =
7
Aftrekken met negatieve getallen
Neem over en reken uit. Schrijf ook de tussenstap op zoals in het voorbeeld!
200 – –120 =
200 +120 = 320
30 – –7 =
20 – –41 =
–10 – –25 =
–30 – –20 =
8
Vermenigvuldigen met negatieve getallen
Neem over en reken uit.
5 × 3 =
–6 × 2 =
4 × –5 =
–6 × –2 =
–4 × –7 =
–8 × 5 =
6 × –2 =
0 × –4 =
9
Delen met negatieve getallen
Neem over en reken uit.
–32 : 8 =
16 : –2 =
–36 : –4 =
42 : –7 =
63 : -7 =
–56 : –8 =
24 : –6 =
–72 : 18 =
10
Rekenen met negatieve getallen
Neem over en vul de open plaatsen in.
–5 × ……… = –15
5 × ……… = –50
–5 × ……… = 35
5 × ……… = 75
–7 × ……… = 77
–4 × ……… = –32
2 × ……… = –42
–9 × ……… = 81
Extra opgaven 2 ........................................................................................................
11
Bankrekening
Bankpasjes zijn handig om te betalen maar als je niet oppast geef je meer geld uit dan op je rekening staat. Je hebt dan een negatief saldo.
Negatieve getallen schrijf je met een – teken ervoor.
In het schema hieronder (ook te zien op het werkblad) zie je dat Joost een beginsaldo heeft van € 140,-. Nadat hij zijn geld voor het lopen van de krantenwijk heeft ontvangen is zijn saldo € 175,-. In het schema zie je nog meer inkomsten en uitgaven van Joost.
Bereken op elke regel het saldo van de bankrekening van Joost en vul dit in op het werkblad.
Als het saldo negatief is, schrijf dan een – teken voor het saldo.
12
Rekenmachine
Reken uit met de rekenmachine.
Voorbeeld:
3,15 × –12,4 = –39,06
6,7 × –4 =
3,5 × –2,5 =
1,2 × –4,2 =
–2,5 × 2,5 =
–3,5 × –2,1 =
13
Berekenen
Neem over en bereken. Schrijf de tussenstappen op!
8 + −4 =
5 − −2 =
−2 + −7 =
−9 − −11 =
6 − −9 – 3 − 7 =
8 + −2 + 4 − −1 =
−12 + 3 + −3 =
−1 + −1 – 1 − −1 =
14
Vermenigvuldigen
Neem over en bereken.
8 × 4 =
−6 × 5 =
2 × −9 =
−1 × −13 =
8 × −125 =
−7 × −11 =
4 × −125 =
−3 × −2,5 =
15
Invullen
Neem over en vul de ontbrekende getallen in:
3 × … = −21
−6 × … = −18
−2 × … = 8
8 × … = −72
−4 × … = 16
4 × … = −28
0,25 × … = −2
−12 × … = 60
16
Assenstelsel
Noteer van alle punten de bijbehoerende coördinaten.
17
Samengestelde berekeningen
Neem over en bereken. Schrijf de tussenstappen op!
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Het onderstaande spelletje kan je gebruiken om te testen en te oefenen hoe de rekenvolgorde werkt.
Als je het nog moeilijk vindt en graag wat makkelijker wilt beginnen, dan kies je voor 2 stapjes.
Wil je juist wat meer uitdaging? Dan kan je direct voor 5 stapjes kiezen. Dan heb je meteen door wat je moet kunnen voor de toets later.
Zorg er uiteindelijk voor dat je precies weet wat de volgorde is. Schrijf de volgorde van bewerkingen op een blaadje tijdens het maken zodat je niks over het hoofd ziet.
Herhaling
Uitleg & opgaven
Als het hoofdstuk af is en je hebt de gemengde opgaven geoefend en als afsluiting de d-toets gemaakt. Je uitleg ken je door en door en als iemand vast loopt in dit hoofdstuk, dan kan jij hem of haar verder helpen dan is het tijd voor nog een laatste test.
Maak de herhalingsopgaven bijvoorbeeld 2 dagen voor dat de toets wordt afgenomen. Loop je dan toch nog vast of heb je naar aanleiding van de herhalingopdrachten nog vragen, dan kan je die nog stellen in de dag voor de toets.
Veel succes met deze laatste afsluitende oefeningen
Alle uitlegfilmpjes bij elkaar.
Door op de link te klikken opent er telkens een ander uitlegfilmpje.
Vind jij het ene filmpje niet zo fijn, ging het je te snel of begrijp je een onderwerp nog niet zo goed, open dan het andere filmpje.
Een vaardigheid aanleren is namelijk een kwestie van oefenen, fouten maken, opnieuw proberen, uitleggen aan een ander, een eigen oefentoets maken, uitleg leren, nog eens een oefening, extra proberen. Kortom, het is trainen en daarvan ga je zweten en wordt je hongerig.
Het arrangement 1H03 Bewerkingen en getallen is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Negatieve getallen
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
Aan het eind van dit thema:
1H03 Werkbladen
Op een telraam kun je dit goed duidelijk maken.
Juist de cijfers zijn bedacht door de Arabieren, deze hebben wij gewoon even 'geleend'. Wiskunde is een verzameling van allerlei ontdekkingen van over de hele wereld. Super multi-cultureel dus. Daarom is wiskunde over de hele wereld ook hetzelfde.
Je gaat bij de patatzaak om de hoek samen met je vrienden wat eten.
Met welke toets zet je de rekenmachine eigenlijk aan?
daarin de punten A, B en C en D.
Door op de link te klikken opent er telkens een ander uitlegfilmpje.
