1. Inleiding
We beginnen met de definities van domein en bereik:
Domein
Het domein van een functie bestaat uit alle waarden van x waarvoor ook een y-waarde bestaat. Het domein is dus het interval op de x-as.
Bereik
Het bereik van een functie bestaat uit alle functiewaarden. Dat betekent dat het bereik bestaat uit alle waarden van y waarvoor ook een x-waarde bestaat. Het bereik is dus het interval op de y-as.
Hieronder zien we de grafiek van functie f.
In bovenstaand voorbeeld loopt het domein-interval van 0 tot en met 40. Dit noteren we ook wel met de intervalnotatie. Het domein noteer je met de hoofdletter D met daarbij de naam van de functie.
Het bereik van de funtie is van 2000 tot en met 5000:
2. Domein en bereik bepalen
Voor het domein geldt dat voor elke x-waarde er een y-waarde moet zijn. Het domein van bijvoorbeeld lineaire functies en kwadratische functies is oneindig. Echter zijn er uitzonderingen zoals wortelfuncties en hyperbolen. Het bereik kan ook verschillen per soort functie. In dit hoofdstuk behandelen we daarom per soort funvtie het domein en bereik.
Lineaire functie
\(g(x) = 3x + 5\)
Zoals jullie weten loopt de lijn van een lineaire functie oneindig door. Dit betekend dat de lijn ook altijd verder naar links en verder naar rechts gaat. Oftwel het domein is van min-oneindig tot oneindig. In dit geval hebben we te maken met de functie: \(g(x) = 3x + 5\). Welke waarde je ook invult voor de 'x' er komt altijd een y-waarde uitrollen. Dus zowel aan de grafiek als het functievoorschrift kan je zien wat het domein is. Het domein noteren we als volgt:
- \(D_g\):\(\mathbb{R}\) (of \(<-\infty \ ; \infty>\) of \(<\leftarrow\ ;\rightarrow>\))
Voor het bereik geldt bij een lineaire functie hetzelfde als voor het domein. De lijnen lopen oneidig ver door, dus ook oneindig ver naar boven en naar beneden. Ook aan het functievoorschrift zien we dat we wanneer we alle mogelijke x-waardes invoeren we ook oneindige y-waardes krijgen. Het Bereik van functie f is dan ook:
- \(B_g\): \(\mathbb{R}\) (of \(<-\infty \ ; \infty>\) of \(<\leftarrow\ ;\rightarrow>\))
Aangezien een lineaire functie altijd oneindig doorloopt geldt bovenstaand domein en bereik niet alleen voor functie f maar voor alle lineaire functies.
Kwadratische functie
\(h(x)=3x^2-2\)
Van kwadratische functie heeft een lijn die oneindig doorloopt. In dit geval hebben we te maken met een dal-parabool. Hoe verder je de lijn omhoog volgt, hoe verder de lijn ook naar links of rechts gaat. We kunnen dus oneindig ver omhoog, en oneindig ver naar links en rechts. Echter naar beneden kunnen we slechts tot de top. De y-waarde van de top is -2. Het domein en bereik van deze functie is dan ook:
- \(D_h\): \(\mathbb{R}\)
- \(B_h\): \([-2;\infty>\)
Het domein van elke kwadratische functie is oneindig. Het bereik word altijd begrenst door de y-waarde van de top. Wanneer je geen grafiek krijgt bij de functie, moet je dus uit het functievoorschrift kunnen bepalen wat het bereik is. Daarvoor moet je de grens weten (de y-waarde van de top) en kunnen bepalen of dit een maxium of een mimimum is. (dal of bergparabool)
\(x_{top} = {-b \over 2a}={-0 \over 2*3}=0\)
\(y_{top}\) bereken je door de \(x_{top} \) in te vullen in het functie voorschrift:
\(h(x)=3x^2-2=3*0^2-2=-2\)
Oftewel
\(y_{top}=-2\)
We hebben te maken hebben met een dalparabool want de a>0. (a is namelijk 3). Dit betekend dus dat \(y_{top}\) het laagste punt (minimum) van de grafiek is. Het bereik is dus:
Hyperbool
\(i(x)={3 \over x-3} + 1 \)
Inmiddels weten jullie dat een hyperbool altijd een x waarde heeft waarop de functie niet bestaat. Deze waarde is de plek van de verticale asymptoot. In dit geval is de verticale asymptoot: x = 3.
Bij deze waarde van x, vinden we ook een y-waarde waarop de grafiek niet bestaat. Namelijk de horizontale asymptoot. In dit geval hebben we een horizontale asymptoot van y = 1.
De lijnen in de grafiek lopen oneindig ver door naar links, onder, boven en rechts maar zullen dus nooit bij de waarde x = 3 of y = 1 komen. Het domein en bereik is dan ook:
- \(D_i\):\(< -\infty\ ;3><3;\infty>\)
- \(B_i\):\(< -\infty\ ;1><1;\infty>\)
Wortelfunctie
\(j(x)=-4+\sqrt{x+2}\)
We zien aan de grafiek dat deze functie een beginpunt heeft namelijk (-2;-4). Het domein van deze functie begint bij -2 en loopt door tot oneindig want de lijn naar rechts loopt oneindig ver door. Het domein is dus aan 1 kant begrenst. Deze begrenzing zien we terug in het functievoorschrift: \(j(x)=-4+\sqrt{x+2}\). Aangezien we geen wortel kunnen nemen van een negatief getal, mag het deel onder de wortel: \(x + 2\) nooit negatief worden. De grens van positief naar negatief ligt bij \(0\). Dus wanneer je de grens zoekt van het domein van een wortelfunctie, moet je het deel onder de wortel gelijk stellen aan \(0\) en bepalen voor welke waarde van 'x' dit klopt:
\(x+2=0 \)
dus
\(x = \color{red}{-2}\) want \(\color{red}{-2} +2 = 0 \)
Nu is de vraag, is dit de ondergrens of de bovengrens van het domein. Dit kan je oplossen door een tabelletje te maken. waarbij je de gevonden grens voor de x in het midden plaatst. De y-waarde bereken je door de x in de het functievoorschrift in te vullen.
Wanneer je x = -3 invult in j(x):
\(j(-3)=-4+\sqrt{-3+2}=-4+\sqrt{-1}\)
dan kunnen we de y niet berekenen want het deel onder de wortel kleiner dan 0. Dit betekend dus dat de grafiek op x = -3 niet bestaat.
Wanneer je x = -2 invult in j(x):
\(j(-2)=-4+\sqrt{-2+2}=-4+\sqrt{0}=-4\)
Krijg je -4 als antwoord.
Wanneer je x = -1 invult in j(x):
\(j(-2)=-4+\sqrt{-1+2}=-4+\sqrt{1}=-4+1=-3\)
Krijg je -3 als antwoord.
Waneer je nu de tabel gaat aanvullen:
| x |
kan niet (-3) |
-2 |
-1 |
| j(x) |
kan niet |
-4 |
-3 |
Zie je dat het domein van van -2 tot oneindig loopt en het bereik van -4 tot oneindig.
- \(D_j\):\([-2;\infty>\)
- \(B_j\):\([-4 ;\infty>\)
3.Samenvatting
Domein
Het domein van een functie bestaat uit alle waarden van x waarvoor ook een y-waarde bestaat. Het domein is dus het interval op de x-as.
Bereik
Het bereik van een functie bestaat uit alle functiewaarden. Dat betekent dat het bereik bestaat uit alle waarden van y waarvoor ook een x-waarde bestaat. Het bereik is dus het interval op de y-as.
Lineaire functie
\(D\): \(\mathbb{R}\)
\(D\): \(\mathbb{R}\)
Kwadratische functie
\(D\): \(\mathbb{R}\)
\(B_{dalparabool}\): \([y_{top};\infty>\) of \(B_{bergparabool}\): \(<-\infty;y_{top}]\)
Hyperbool
\(D\):\(< -\infty\ ;va><va;\infty>\) va = verticale asymptoot (x)
\(B\):\(< -\infty\ ;ha><ha;\infty>\) ha = horizontale asymptoot (y)
Wortelfunctie
\(D\):\(< -\infty\ ;x_{grens}]\) of \([x_{grens};\infty>\)
\(B\):\(< -\infty\ ;y_{grens}]\) of \([y_{grens};\infty>\)
Oefening hyperbolen.xlsx
