Leren omgaan met Geogebra

Leren omgaan met Geogebra

Welkom

Leren omgaan met Geogebra

Een handleiding voor leerlingen

Onderbouw havo/vwo

 

 

Inleiding

Met behulp van deze website ga je leren hoe je zelf kunt werken met Geogebra. Voor de meesten van jullie, of misschien wel allemaal, is dit een programma waar je nog nooit eerder mee hebt gewerkt. Daarom gaan we rustig opbouwen qua moeilijkheidsgraad.

In het eerste hoofdstuk zullen jullie met behulp van kleine opdrachten 1 voor 1 kennismaken met alle functies die Geogebra. Hierbij beperken we ons tot de functies die jullie ook daadwerkelijk veel gaan gebruiken tijdens alle opdrachten. De rest laten we voor nu even achterwege. Hier is in de extra stof aan het eind van de module nog wel ruimte voor, voor de leerlingen die zich hier bezig mee willen houden. 

Na hoofdstuk 1 worden de opgaven steeds lastiger en zullen jullie soms zelf constructies moeten maken van verschillende objecten, zonder dat er in het boek uitgelegd wordt hoe jullie dit moeten aanpakken. Hier ga ik nu nog niet dieper op in, want dit zullen jullie vanzelf tegenkomen.

We gebruiken tijdens deze module de website www.geogebra.org. Dit is een gratis website die je op elk apparaat (laptop, computer of iPad) kunt gebruiken. Jullie zullen straks uitgelegd krijgen hoe jullie hier een account op kunnen aanmaken.

Taal instellen

Taal controleren

Als het goed is zullen alle Geogebra-bestanden die je opent op deze website in het Nederlands zijn. Geogebra.org is echter wel een Engelse website als je er voor het eerst naartoe gaat. Daarom zou het kunnen dat de website uit zichzelf weer terug gaat naar het Engels. Hieronder heb ik een foto gezet van hoe de site eruit ziet als je hem opent met de hierbovenstaande link 'Taal controleren'. Bekijk de foto goed en volg de stappen die uitgelegd worden onder de foto om de taal weer op Nederlands te krijgen. Voor de duidelijkheid: Je zal deze stappen waarschijnlijk bijna niet nodig zijn. Ze zijn alleen weergegeven voor het geval dat de site zelf weer terug gaat naar het Engels.

Klik eerst op het omcirkelde knopje links bovenin je scherm. Met dit knopje wordt het menu geopend (wat op de afbeelding al geopend is). Ga in dit menu naar het omcirkelde kopje 'settings'.

BELANGRIJK: Als alle kopjes al in het Nederlands zijn, moet je niet verder gaan. Dan staat de taal al in de goede instelling. Als de gebruikte taal nog wel Engels is, moet je dus op het kopje 'settings' klikken. Er opent dan iets aan de rechterkant van je scherm, waaronder ook het kopje 'Language'. Onder dit kopje moet je zoeken naar 'Dutch/Nederlands (Nederland)'. Als je hierop klikt, gaat alles als het goed is over in het Nederlands.

Klik het geopende stukje weer weg met het kleine kruisje in de hoek zodat je weer kunt werken met de site.

Account aanmaken

Account aanmaken

Als je de taal op Nederlands hebt staan, kun je een account gaan aanmaken in geogebra! Het maken van een account is belangrijk om je werk op te kunnen slaan. Zo kan ik jullie werk online beoordelen en hoeft je niet altijd je laptop of iPad mee te nemen zodat ik jullie werk kan bekijken. 

Klik op het kopje 'Account aanmaken' hierboven om weer in het beginscherm van geogebra te komen. Controleer direct of de gebruikte taal nu Nederlands is. Pas het indien nodig nogmaals aan, maar als het goed is heeft jouw laptop of iPad onthouden dat de taal Nederlands is. 

Klik in het geopende bestand op 'aanmelden' rechts bovenin en klik vervolgens in het venster dat opent op 'maak een account aan'. Voor het maken van een account heb je een emailadres, een gebruikersnaam en een wachtwoord nodig. Kies als gebruikersnaam een combinatie van jouw naam en verjaardag, zoals bijvoorbeeld: Markneef2206. Op deze manier kan ik jullie makkelijk vinden in geogebra om jullie werk na te kijken. Zorg ervoor dat je je gegevens ergens noteert voor het geval je bijvoorbeeld je wachtwoord vergeet! 

Vink het eerste vakje aan voor het accepteren van de gebruiksvoorwaarden of laat het door 1 van je ouders doen als je jonger bent dan 14. Klik vervolgens op 'maak een account aan'. Je kunt nu werken met geogebra en je werk opslaan in je persoonlijke account! 

Voorkennis

We beginnen zo meteen eerst met de voorkennis. Dit zijn stellingen en definities die je als waarheid mag beschouwen.

 

Aan het begin van de voorkennis krijgen jullie een instaptoets die jullie moeten maken. Na de instaptoets komen de stellingen en definities langs die je op de instaptoets hebt gekregen. Als je veel fouten had op de instaptoets, raad ik je aan om daarna even uitgebreid de voorkennis door te nemen voor je aan hoofdstuk 1 begint. De voorkennis moet je namelijk wel echt weten om met deze website aan de slag te kunnen!

Instaptoets

Hoeken

Rechte hoek

Een rechte hoek is een hoek van 90°.

 

Gestrekte hoek  

Een gestrekte hoek is een hoek van 180°.

 

F-hoeken en Z-hoeken

Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, zijn de F-hoeken en Z-hoeken gelijk aan elkaar.

 

 

 

Overstaande hoeken

Als twee lijnen elkaar snijden zijn de 2 paar overstaande hoeken aan elkaar gelijk.

Lijnen

Middelloodlijn

Een middelloodlijn is een lijn die loodrecht door het midden van een lijnstuk gaat of er op valt.

 

Bissectrice

Een bissectirce (of deellijn) is een lijn die een hoek precies in twee gelijke delen verdeeld.

 

Hoogtelijn

Een hoogtelijn is een lijn in een driehoek die vanuit een hoek loodrecht op zijn tegenoverstaande zijde valt.

 

Zwaartelijn

Een zwaartelijn is een lijn in een driehoek die vanuit een hoek precies op het midden van zijn tegenoverstaande zijde valt.

Driehoeken

Hoekensom Driehoek

De som van de hoeken in een driehoek is altijd gelijk aan 180°.

 

Gelijkbenige driehoek

Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee even lange lijnstukken. De basishoeken aan deze even lange zijden hebben dezelfde grootte.

 

Gelijkzijdige driehoek

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan alle zijden even lang zijn. In een gelijkzijdige driehoek zijn tevens alle hoeken even groot, namelijk 60°.

 

Rechthoekige driehoek

Een rechthoekige driehoek is een driehoek met precies één rechte hoek.

 

 

 

Vierhoeken

Hoekensom vierhoek

De som van de hoeken in een vierhoek is altijd gelijk aan 360°.

 

Vierkant

Een vierkant is een vierhoek met 4 gelijke zijden en 4 hoeken van 90°.

 

Rechthoek

Een rechthoek is een vierhoek met 4 hoeken van 90° waarvan de overstaande zijden even lang zijn.

 

 

 

 

 

Hoofdstuk 1: Kennismaking met Geogebra

In het eerste hoofdstuk op deze website ga je stapje voor stapje veel functies van geogebra ontdekken.

Als je even niet meer weet hoe een functie eruitziet, kun je altijd de gereedschapsbalk op deze website gebruiken. (Zie bijlagen)

Soms moet je voor een opdracht een paar definities doorlezen. Doe dit ook echt, want deze zorgen ervoor dat je gemakkelijker door de opdracht heen werkt. De lijst met definities staat ook in de bijlagen.

 

Tip: Om te voorkomen dat je tijdens de opdrachten heen en weer moet tussen verschillende tabbladen, is het handig om deze website ook te openen op je mobiele telefoon (of een ander device). 

Op deze manier kan je op je computer het tabblad met geogebra open laten staan, en kan je de instructie aflezen van je andere device. 

Succes! 

1.1: Punten

Tijdens deze opdracht ga je de volgende functies van Geogebra ontdekken:

Opdracht 1.1

 

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 1.1’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

De functie 'verplaatsen' zullen we tijdens alle opdrachten in dit boek weer gaan gebruiken. Nadat je een andere functie hebt gebruikt, moet je de functie ‘verplaatsen’ weer aanklikken, zodat je het scherm weer kunt verschuiven. Je zal tijdens de opdrachten vanzelf merken wat er gebeurt als je dit vergeet om te doen.

Schakel de functie ‘Nieuw punt’ in door eerst op het derde icoon in de bovenste rij te klikken, om vervolgens dit icoon aan te klikken in de rij die zich net heeft geopend. Nu kun je nieuwe punten maken in het tekenvenster. Klik maar eens drie keer in het tekenvenster op willekeurige plekken. De punten A, B en C verschijnen met blauwe stippen. De coördinaten die bij deze punten horen verschijnen automatisch in het algebravenster. Druk nu weer de functie ‘verplaatsen’ aan.    

We gaan nu de punten verschuiven. Leg je vinger (of muis) op punt A, en versleep hem langzaam door je tekenvenster heen. Let tijdens het verschuiven op de coördinaten van punt A in het algebravenster. Wat zie je gebeuren?                                              

Probeer eens om het punt A zo te verschuiven dat de coördinaten hele getallen zijn. Dit valt wel mee toch? Dit komt omdat de punten licht magnetisch worden aangetrokken door de roosterpunten. Ook al is het rooster niet getekend, voelen de punten zich er alsnog tot aangetrokken. Naast verslepen is er nog een andere manier om een punt precies op een roosterpunt te krijgen. Hiervoor moet je tussen de haakjes tikken van dat punt in het algebravenster. Als je bijvoorbeeld punt A de coördinaten (3,2) wil geven, verwijder je de coördinaten die er stonden en typ je (3,2) in. Zorg ervoor dat ervoor en na de coördinaten een haakje staat!

 

Je kunt punten ook laten verdwijnen zonder ze helemaal te verwijderen. Dit noemen we ‘verbergen’ Dit doe je door in het algebravenster op het rondje voor het punt te tikken. Deze rondjes hebben altijd dezelfde kleur in het algebravenster als in het tekenvenster. Je ziet het punt verdwijnen, en je ziet het blauwe rondje in het algebravenster wit worden. Je kunt het punt door nog een keer te tikken weer tevoorschijn halen.

 

We gaan nu de functie ‘Lijnstuk tussen 2 punten’ inschakelen. Deze schakelen we in door eerst op het derde icoon in de bovenste rij te klikken, en vervolgens dit icoon aanklikken in de rij die zich heeft geopend.

Om een lijnstuk tussen 2 punten de tekenen moet je achtereenvolgens de 2 punten aantikken waartussen je een lijn wil tekenen. Ga dit nu eens doen met de punten A en B. Klik dus eerst punt A aan, en daarna punt B (andersom mag ook). Druk nu eerst weer de functie ‘verplaatsen’ aan.

Je ziet dat er in het algebravenster een letter is verschenen die overeenkomt met de letter die bij de lijn zelf staat. In het algebravenster staan de punten waar de lijn tussen zit. Ook staat er een getal bij. Wat betekent dit getal? Verschuif eens de punten A en B om hierachter te komen. Teken ook eens een lijnstuk tussen de punten B en C, en tot slot ook nog tussen de punt A en C. Schuif met de punten en de lijn en kijk wat er allemaal mee schuift. Ook lijnen kun je verbergen door op het (in dit geval zwarte) rondje te tikken voor het lijnstuk dat je wil verbergen.

 

De laatste functie die we gaan inzetten bij deze opdracht is de functie ‘Midden of middelpunt’. Zet deze functie eerst aan door achtereenvolgens op het tweede icoon in de bovenste rij te tikken, en daarna op het juiste icoon in de rij dit net is geopend. Met deze functie kunnen we het exacte midden van 1 of 2 objecten vinden. Zo kunnen we bijvoorbeeld het midden van een lijnstuk bepaalden. We gaan nu het midden bepalen van het lijnstuk f tussen A en B. Dit doen we door eerst op A en vervolgens op B te tikken (of andersom). Er ontstaat een punt D. Dit is nu het punt dat precies tussen A en B ligt. Dit punt is (in tegenstelling tot A, B en C) niet blauw, maar zwart. Ook in het algebravenster staat een zwart rondje voor punt D, in plaats van een blauw rondje. Hoe komt het nu dat deze anders is dan A, B en C?

Druk nu weer de functie ‘verplaatsen’ aan. Probeer punt D eens te verschuiven, zonder iets anders te verschuiven. Dit is (als het goed is) niet mogelijk. Hoe zou dat kunnen?

Dit komt dus omdat punt D afhankelijk is van punt A en punt B. Punt D heeft namelijk als eigenschap dat hij het midden is van de punten A en B. Zolang deze niet verschuiven, kan punt D dus ook niet verschuiven. Vandaar dat het punt D geen blauwe markering krijgt, maar een zwarte. Bepaal met deze functie van Geogebra ook nog de middens van de lijnstukken g en h en kijk of deze ook een zwarte markering krijgen.

 

Dit is het einde van opdracht 1 van hoofdstuk 1.

Sla je bestand weer op voor je geogebra afsluit.

       

 

 

1.2: Lijnen

Tijdens deze opdracht ga je de volgende functies van Geogebra ontdekken:

Opdracht 1.2

 

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 1.2’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

We beginnen met de functie ‘Lijn door 2 punten’. In opdracht 1 had je al ontdekt dat je een lijnstuk kunt tekenen tussen 2 punten die al in het assenstelsel staan. Je kunt echter ook een lijn tekenen dóór 2 punten. En het wordt nog mooier. De punten waar je de lijn door tekent hoeven nog niet in het assenstelsel te staan. Zet de functie maar eens aan door eerst op het derde icoon te tikken in de bovenste rij, en vervolgens op het bovenste icoon in de rij die zich naar beneden opent.

Tik nu eens 2 keer op je tekenvenster op 2 willekeurige plekken. Je ziet de punten A en B verschijnen en automatisch ook de lijn f door deze 2 punten. Schakel nu eerst weer de functie ‘verplaatsen’ in.

Je kunt de punt A en B verschuiven door je tekenvenster. De lijn zal constant meebewegen. Probeer dit maar eens uit. Je kunt daarnaast ook de lijn helemaal verschuiven. Je zult zien dat de punt A en B mooi mee schuiven, maar wel even ver bij elkaar vandaan blijven.

We gaan nu de functie ‘Halve rechte door twee punten’ aan zetten. Tik hiervoor weer op het derde icoon in de bovenste rij, en daarna op de vierde in de kolom naar beneden. Deze functie tekent een lijn voor je die aan 1 kant wel doorloopt, en aan de andere kant stop bij het punt waar hij aan verbonden is. Toepasselijk heet hij daarom ook de ‘halve rechte’. Met deze lijn kun je op dezelfde manier spelen als met de lijn die we hiervoor hebben getekend.

Zet nu een de functie ‘Lijnstuk met beginpunt en vaste lengte’ aan. Hiervoor tik je op het derde icoon in de bovenste rij, en de derde van boven in de kolom die zich opent. Tik nu een op je tekenvenster op een willekeurige plek. Er opent zich direct een venster waar je een waarde in kunt voeren. Dit wordt de lengte van het nieuwe lijnstuk. Typ eerst maar een 5 in dit venster. Er verschijnt een lijnstuk, evenwijdig aan de x-as, met lengte 5. Zet de functie ‘verplaatsen’ weer aan. Verschuif nu eens om de beurt de beide punten en het lijnstuk zelf. Je zult zien dat er van alles kan veranderen aan hun posities, maar de lengte van het lijnstuk zelf blijft altijd 5.

Voordat we de laatste functie van deze opdracht aanzetten, gaan we even het tekenvenster leegmaken. Dit doen we dan met de functie ‘object verwijderen’. Op de iPad kan deze eruit zien als het icoon van een vuilnisbak.

Deze zet je aan door in de bovenste rij helemaal recht te klikken, en daarna op de onderste van de geopende rij. Als hij aan staat, tik je één-voor-één alle object in het tekenvenster aan. Dus, alle punten en alle lijnen. Na het verwijderen van alle punten en lijnen zet je met de functie ‘nieuw punt’, die we al eerder hadden gebruikt, de volgende punten in het tekenvenster: A(-4,2), B(4,2), C(4,-2) en D(-4,-2). Verschuif de punten eventueel als we net niet op de goed coördinaten liggen. Teken vervolgens met ‘Lijn door 2 punten’ een lijn door A en C, en een lijn door B en D. Deze snijden elkaar nu in de oorsprong.

Nu het voorwerk gedaan is, gaan we de functie ‘Snijpunten van (twee) objecten aanzetten. Hiervoor tik je de tweede in de bovenste rij aan, en daarna de vierde naar beneden. Als hij aan staat, tik je eerst op de lijn tussen A en C (dus niet op de punten zelf), en daarna op de lijn tussen B en D. Er verschijnt een punt E in de oorsprong. Dit punt E is het vaste snijpunt van de lijnen f en g. Je kunt de punten A, B, C en D verschuiven. De lijnen zullen dan mee verschuiven. Omdat de lijnen verschuiven, verschuift punt E ook weer. Punt E heeft, anders dan A t/m D, een zwarte stip. Deze is dus weer ‘afhankelijk’, en kan zelf niet verschoven worden. Kan het ook zijn dat dit punt E niet ‘bestaat’? Dit kan alleen maar als er dus geen snijpunten is tussen de lijnen f en g. En wanneer is dit het geval? Probeer dit zelf eens te onderzoeken en probeer ervoor te zorgen dat het punt E niet ‘bestaat’. Je zult zien dat het gelukt is als er in het algebravenster bij het punt E de volgende notatie staat: E=intersect(f,g) → ?                          

Dit betekent dat geogebra de waarden van E niet kan berekenen. E bestaat dus niet, en dus snijden de lijnen f en g niet.

 

 

Dit is het einde van opdracht 2 van hoofdstuk 1.

Sla je bestand weer op voor je geogebra afsluit.

1.3: Bijzondere lijnen

Tijdens deze opdracht ga je de volgende functies van Geogebra ontdekken:

 

 

Lees voordat je begint aan deze opdracht nog even de volgende definities door:                                  

  • Middelloodlijn    
  • Bissectrice    
  • Hoogtelijn    
  • Zwaartelijn                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

In de vorige opdracht heb je gezien dat je geogebra kan gebruiken om lijnen voor je te tekenen. In deze opdracht ga je zien dat je het ook kan gebruiken om lijnen met bijzondere eigenschappen te laten tekenen. Deze lijnen met een bijzondere eigenschap gaan we door geogebra laten tekenen. In de opdrachten van 1.3 gebruik je voor iedere opdracht hetzelfde bestand van geogebra waar al een driehoek in getekend staat.

 

Klik op de link onderaan om naar de online-versie van geogebra te gaan.

Als je het bestand hebt geopend moet je het bestand eerst opslaan in jouw eigen account onder de naam 'Opdracht 1.3'.

 

Ga daarna verder naar 1.3.1 voor de rest van de opdracht.

 

Bijzondere lijnen

1.3.1: Middelloodlijnen

We beginnen in deze opdracht met het tekenen van middelloodlijnen. Zoals je weet, is een middelloodlijn een lijn met een gelijke afstand tot 2 punten. Waar ze middelloodlijn dus precies ligt, is afhankelijk van 2 punten. Om een middelloodlijn te laten tekenen door geogebra, moet je de functie ‘middelloodlijn’ aanzetten. Deze staat (in de app) onder het vierde icoon in de bovenste rij. In de online-versie, kun je deze functie vinden onder ‘constructies’. Als je de functie heb aangezet, moet je 2 punten selecteren. Die worden dus de 2 punten waar de middelloodlijn tussen komt te liggen.

In de driehoek die je hierboven ziet, moet je de middelloodlijnen laten tekenen van alle drie de zijden. Klik dus bijvoorbeeld voor de middelloodlijn van AB, eerst op punt A en dan op punt B. Andersom mag dit natuurlijk ook. Zoals je ziet, ontstaat er direct een lijn die precies tussen de punten A en B ligt. Doe hetzelfde voor de zijden BC en AC.

Nu heb je al het goed is alle drie de middelloodlijnen getekend in de driehoek ABC. Zoals je ziet, lijken deze lijnen elkaar allemaal te snijden in hetzelfde punt. Om te zien dat dit ook echt het geval is, kun je de punten verslepen. De lijnen bewegen dat automatisch mee, en je zal zien dat ze door hetzelfde punt blijven gaan. Dit punt heeft een bijzondere eigenschap, maar daar gaan we het in hoofdstuk 2 over hebben. In hoofdstuk 3 gaan we vervolgens wiskundig bewijzen dat deze lijnen elkaar altijd snijden in 1 punt.

Voor we gaan beginnen met het tekenen van bissectrices, is het handig om eerst de middelloodlijnen te verbergen. Dit doe je door op de bolletjes te tikken/klikken van de middelloodlijnen. Waarschijnlijk hebben deze lijnen de letters f, g en h.

Als je de bolletjes aan de linkerkant nog niet ziet, moet je eerst op de kleine rekenmachine klikken linksboven (zie afbeelding hieronder). Onder deze rekenmachine vind je het 'algebravenster', met alle punten, lijnen, cirkel etc. die in jouw bestand voorkomen. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ga nu verder naar 1.3.2 voor de rest van de opdracht.

1.3.2: Bissectrices

Als je de middelloodlijnen van de driehoek weer verborgen hebt, gaan we in deze driehoek de bissectrices tekenen. Zoals je eerder hebt gelezen, is de bissectrice de lijn die een gelijke afstand heeft tot 2 lijnen, en dan de bissectrice een hoek verdeelt in twee even grote delen. Een bissectrice is dus afhankelijk van 2 lijnen, en daarom moet je na het aanzetten van de functie ‘bissectrice’ twee lijnen selecteren. De functie ‘bissectrice’ vind je op bijna dezelfde plaats als de functie ‘middelloodlijn’. Klik op deze functie, en laat geogebra eerst eens de bissectrice tekenen van hoek A. Hiervoor klik je na het aanzetten van de functie achtereenvolgens op de zijden AB en AC (volgorde niet van belang). Je ziet als het goed is nu twee lijnen verschijnen, waarvan er eentje door de driehoek loopt en eentje loodrecht op deze lijn staat. De lijn die door de driehoek loopt, is nu de bissectrice van hoek A. Zet de andere lijn uit door op het bolletje van de lijn te klikken/tikken. Je kan zien welke letter bij deze lijn hoor, door te kijken welke letter naast deze lijn staat.                                        

Teken na de bissectrice van hoek A ook de bissectrices van de hoek B en C op dezelfde manier. Zorg ervoor dat je daarna weer de lijnen buiten de driehoek verbergt door op de bolletjes te klikken. Zo hou je de tekening overzichtelijk.                                                      

Zoals je ziet lijken de bissectrices van een driehoek, net als de middelloodlijnen, door 1 punt te gaan. Versleep wederom de punten van de driehoek om te kijken of dit altijd zo is. Als het goed is, blijven ze altijd door 1 punt gaan. Ook dit punt heeft in een driehoek een bijzondere eigenschap. Hier gaan we het in hoofdstuk 2 hebben. Daarnaast gaan we in hoofdstuk 3 weer wiskundig bewijzen dat deze lijnen in een driehoek inderdaad altijd door 1 punt gaan.

Voor we verder gaan naar de volgende opdracht moet je eerst weer de lijnen, die je hebt laten tekenen door geogebra, verbergen. Klik hiervoor weer op de bolletjes die bij de bissectrices horen, zodat weer de ‘kale’ driehoek overhoudt waar je mee bent begonnen.

1.3.3: Hoogelijnen

Nu we weer een kale driehoek hebben, gaan we in deze driehoek de hoogtelijnen tekenen. Eerder heb je als het goed is de definitie van een hoogtelijn weer gelezen. Dit is de lijn die vanuit een hoekpunt, loodrecht op de overstaande zijde valt. De functie die we hiervoor gebruiken, is de functie ‘loodlijn’. Zet deze functie eerst aan voor je verder gaat. Deze is op dezelfde plek te vinden als de andere functie van deze opdracht.                              

Een loodlijn is afhankelijk van een punt en een lijn. Hij valt namelijk loodrecht op een lijn en hij moet dan door een gekozen punt gaan om vast te liggen. Op bijvoorbeeld de hoogtelijn te tekenen die vanuit A loodrecht op BC valt, moet je punt A en de zijde BC achtereenvolgens aanklikken (volgorde niet van belang). Er verschijnt nu een lijn die door punt A en loodrecht door lijnstuk BC gaat. Dit is dus een hoogtelijn in driehoek ABC.                                

Teken de andere twee hoogtelijnen in deze driehoek ook op dezelfde manier als dat je de eerste hoogtelijn hebt getekend.                                                                                        

Als je alle drie te hoogtelijnen hebt getekend, zie je iets wat je misschien al wel een beetje aan zag komen. De hoogtelijnen lijken óók alle drie door 1 punt te gaan. Controleer wederom of dit altijd zo is door de punten van de driehoek te verschuiven. Als het goed is, blijven de lijnen inderdaad altijd door hetzelfde punt gaan. Ook dit gaan we in hoofdstuk 3 wiskundig bewijzen.                                                                                                                    

Zorg ervoor dat je de hoogtelijnen weer verbergt voordat je naar de volgende opdracht gaat.

1.3.4: Zwaartelijnen

De laatste ‘bijzondere lijnen’ die we gaan bespreken, zijn zwaartelijnen. Als het goed is heb je eerder al even de definitie hiervan doorgelezen. Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn die vanaf een hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde gaat. Zonder te verklappen wat je straks gaat zien, kan het misschien al wel een beetje aan zien komen.

Voordat we de zwaartelijn kunnen laten tekenen door geogebra, moet we eerst van alle zijden van driehoek ABC de middens bepalen. Dit doen we met de functie ‘Midden of middelpunt’, die je in opdracht 1 hebt leren gebruiken. Bepaal met behulp van deze functie de middens van de zijden van driehoek ABC.

Als je de middens hebt bepaald, kan je de zwaartelijnen gaan tekenen. Hiervoor gebruiken we de functie ‘Lijnstuk tussen 2 punten’. Als de deze functie hebt aangeklikt, kun je bijvoorbeeld de zwaartelijn tekenen vanuit punt A door achtereenvolgens punt A en het midden van BC aan te klikken. De volgorde is wederom niet van belang.

Nadat de zwaartelijn vanuit A is verschenen, kan je de zwaartelijnen vanuit B en C op dezelfde manier laten tekenen door geogebra.

Wat je misschien wel had verwacht, lijken ook deze lijnen door hetzelfde punt te gaan. Natuurlijk kan je dit vermoeden weer versterken door de punten A, B en C te verschuiven om te kijken of dit altijd zo blijft. Als het goed is zal je zien dat ook deze lijnen door 1 punten blijven gaan. Dit gaan we natuurlijk ook wiskundig bewijzen, maar ook dit bewijs bewaren we voor hoofdstuk 3.

Zorg ervoor dat je de zwaartelijnen weer verbergt voordat je naar de volgende opdracht gaat.

1.3.5: Evenwijdige lijnen

De laatste functie die je tijdens deze opdracht gaat gebruiken, is de functie ‘evenwijdige lijn’. Met deze functie kun je geogebra een lijn laten tekenen die precies evenwijdig is met een al getekende lijn. We gaan deze functie gebruiken om een driehoek te tekenen die gelijkvormig is aan de gegeven driehoek. Zet eerst de functie ‘evenwijdige lijn’ aan. Je vindt deze op dezelfde plek als de rest van de functie uit deze opdracht.

Om een evenwijdige lijn te tekenen moet je eerst de lijn aantikken waar hij evenwijdig aan moet zijn, waarna je een punt selecteert waar de evenwijdige lijn doorheen moet gaan. Teken eerst eens een evenwijdige lijn ten opzichte van AB door eerst op de lijn AB te tikken, en vervolgens een roosterpunt net naast AB aan te tikken (buiten de driehoek). Doe vervolgens hetzelfde voor de lijnstukken AC en BC. Zorg ervoor dat de evenwijdige lijnen allemaal buiten de driehoek vallen.

Als het goed is heb je met de evenwijdige lijnen een driehoek gecreëerd die gelijkvormig is met de driehoek waarmee je begon. Als je de punten A, B en C gaat verschuiven zie je ook dat de driehoek met evenwijdige lijnen mee beweegt. Dit komt omdat de evenwijdige lijnen afhankelijk zijn van de lijn van de driehoek.

 

Dit is het einde van opdracht 3 van hoofdstuk 1.

Sla je bestand op voor je geogebra weer afsluit. 

1.4: Cirkels en hoeken

Tijdens deze opdracht ga je de volgende functies van Geogebra ontdekken:

 

Lees voordat je begint aan deze opdracht nog even de volgende definities door:

  • Gelijkzijdige driehoek     (Voorkennis)
  • Gelijkbenige driehoek    (Voorkennis)
  • Hoekensom Driehoek    (Voorkennis)
  • Omgeschreven cirkel

 

In de vorige opdrachten heb je veel gewerkt met het tekenen van punten en lijnen. In deze opdracht ga je wat meer kennismaken met het gebruik van de functie die cirkels voor je kunnen tekenen. Je gaat zien dat je deze functie kan gebruiken om bijvoorbeeld driehoeken te tekenen die bepaalde eigenschappen hebben. Maar ik zal niet te veel verklappen, want je komt er zelf snel genoeg achter.

 

 

Opdracht 1.4

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 1.4’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

Voor we de cirkelfuncties gaan gebruiken, beginnen we met een lijnstuk. Dit lijnstuk gaan we een vaste waarde geven. Selecteer de functie ‘Lijnstuk met vaste lengte’. Deze is te vinden onder het derde icoon in de bovenste rij. In de online-versie is deze functie te vinden bij het onderdeel ‘Lijnen’.

Om een lijnstuk te tekenen met een vaste waarde moet je eerst een roosterpunt aantikken waar de lijn begint, en daarna opent geogebra een venster waar je de lengte moet aangeven. Kies in deze opdracht voor een lengte van 5. Je ziet nu dat geogebra een lijnstuk tekent met een exacte lengte van 5. Dit lijnstuk heet waarschijnlijk AB. De lengte van AB ligt nu vast. Probeer maar eens te slepen met de punten van deze lijn. Je kan ze wel verplaatsen, maar de lengte kan je niet veranderen.

Ga nu verder naar 1.4.1 voor de rest van de opdracht.

1.4.1: Gelijkzijdige driehoek

Met dit lijnstuk gaan we nu een gelijkzijdige driehoek construeren. Eerder heb je, als het goed is, al gelezen wat de definitie is van een gelijkzijdige driehoek. Deze heeft namelijk 3 gelijke zijden en 3 gelijke hoeken. Om ervoor te zorgen dat we 3 gelijke zijden hebben, gaan we de functie ‘Cirkel met middelpunt door punt’ aanzetten. Deze functie vind je onder het zesde icoon in de bovenste rij (of onder ‘cirkels’ in de online-versie). We gebruiken deze functie omdat we namelijk willen dat alle zijden straks een lengte hebben van 5, want het lijnstuk dat we nu hebben heeft ook deze lengte. We zoeken dus een punt dat vanaf A en vanaf B een afstand heeft van 5. Als je de functie ‘Cirkel met middelpunt door punt’ aan hebt gezet, klik je eerst op punt A en daarna op punt B. Daarna doe je dit nog een keer, maar precies andersom. Als het goed is zijn er nu twee cirkels verschenen. De snijpunten van deze cirkels geven de punten aan waar de afstand tot A én B precies 5 is. Met de functie ‘snijpunten van twee objecten’ kan je geogebra de snijpunten laten tekenen. Als je dit doet, verschijnen de punt C en D. We gaan in het vervolg van de opdracht alleen punt C gebruiken, dus je mag punt D en de twee cirkels verbergen door op de bolletjes te klikken.

Nu je alleen nog maar de lijn AB en punt C hebt, kan je driehoek ABC afmaken door de punten A en C te verbinden met de functie ‘Lijnstuk tussen twee punten’, en dat daarna ook te doen tussen de punten B en C. Nu heb je, als het goed is, een gelijkzijdige driehoek geconstrueerd.

We kunnen dit makkelijk controleren met behulp van geogebra. Bij een gelijkzijdige driehoek is het namelijk zo dat alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot.

 

Selecteer nu de functie ‘Afstand of lengte’. In de app vind je deze onder het achtste icoon in de bovenste rij. In de online-versie vind je deze onder het kopje ‘Meten’. Nadat de deze functie hebt aangezet kan je alle lijnstukken aantikken, waarna geogebra automatisch de lengtes van de lijnstukken uitrekent. Als het goed is zie je nu dat alle zijden even lang zijn.

Naast de zijden, laten we geogebra ook nog even de grootte van de hoeken uitrekenen. Selecteer daarvoor de functie ‘Hoek’. Deze vind je op dezelfde plek als de functie ‘Afstand of lengte’.

Om geogebra een hoek te laten uitrekenen, moet je twee lijnstukken selecteren.

Let op: Geogebra rekent altijd de hoek uit die tegen de klok in gaat.

Om dus bijvoorbeeld hoek A uit te laten rekenen, moet je eerst op AB klikken en daarna op AC.

Als je dit hebt gedaan zie je als het goed is een hoek verschijnen die precies 60 graden is. Laat geogebra op dezelfde manier de hoeken B en C uitrekenen. Nu kan je zien dat alle hoeken inderdaad even groot zijn, namelijk 60 graden. Je kan nog even proberen om de punten A en B te verslepen. Je ziet dan dat de hele driehoek mee beweegt, en dat de grootte van de hoeken én de lengtes van de zijden onveranderd blijft. Dit geeft aan dat we succesvol een gelijkzijdige driehoek hebben geconstrueerd.

We gaan de volgende opdracht een gelijkbenige driehoek construeren. Verberg daarom alles, behalve de lijn AB en de punten A en B. De rest kan je dus verbergen door de bolletjes ‘uit’ te zetten.

1.4.2: Gelijkbenige driehoek

We starten weer met het gegeven lijnstuk AB. In deze opdracht gaan we echter geen gelijkzijdige driehoek construeren, maar een ‘gelijkbenige driehoek’. In de definities heb je gelezen dat dit een driehoek is met 2 gelijke lijnstukken. Bovendien zijn in een gelijkbenige driehoek ook de basishoeken gelijk.

Om een gelijkbenige driehoek te construeren gaan we de functie ‘Cirkel met middelpunt en straal’ gebruiken. Deze is op dezelfde plek te vinden als de eerder gebruikte functie met een cirkel.

Om een driehoek te maken met 2 gelijke lijntukken, gaan we vanaf A en vanaf B een cirkel laten tekenen met een gelijke straal ten opzichte van elkaar. Een belangrijke eis is dat deze straal nietgelijk is aan de lengte van lijnstuk AB. Anders hebben we namelijk weer een gelijkzijdige driehoek.

Zet de functie “Cirkel met middelpunt en straal’ aan, en klik daarna op punt A. In het venster dat opent moet je de straal invullen. Kies hier voor een straal van bijvoorbeeld 7. Doe vervolgens hetzelfde bij punt B. Nu heb je twee cirkels laten tekenen. De snijpunten van deze cirkels zijn de plekken waar de afstand tot zowel A als B precies 7 is. Laat geogebra de snijpunten van deze cirkels tekenen. Nu verschijnen er weer twee punten, die waarschijnlijk E en F worden genoemd. Voor we verder gaan, mag je het punt onder AB en de twee cirkels weer verbergen. Zo blijft de tekening mooi overzichtelijk.

Maak vervolgens de driehoek ABE compleet door gebruik te maken van de functie ‘Lijnstuk tussen 2 punten’. Nu heb je een gelijkbenige driehoek gemaakt met behulp van geogebra.

Om te controleren of deze driehoek echt gelijkbenig is, gaan we geogebra de lengtes van de zijden en de grootte van de hoeken laten bepalen.

Probeer hier zelf uit te komen, en kijken eventueel naar hoe je het hebt moeten doen in de vorige opdracht. Verschuif daarna nog even de punten A en B om te kijken of de driehoek altijd gelijkbenig blijft.

Als het is gelukt, mag je de driehoek laten staan. Deze heb je namelijk nog nodig bij de volgende opdracht.

1.4.3: Omgeschreven cirkel

Als laatste opdracht van hoofdstuk 1 ga je leren hoe je geogebra heel makkelijk de omgeschreven cirkel kan laten tekenen van een driehoek. Hiervoor gebruiken we de gelijkbenige driehoek die je hebt overgehouden na de laatste opdracht. Zoals je eerder in de definitie hebt gelezen, gaat de omgeschreven cirkel van een driehoek door alle hoekpunt van die driehoek.

Om geogebra die omgeschreven cirkel te laten tekenen, gebruiken we de functie ‘Cirkel door drie punten’. Deze is op dezelfde plek te vinden als de eerder gebruikte cirkelfuncties. Nadat je de functie hebt aangezet, moet je de drie punten van de driehoek aanklikken. Nadat je dat hebt gedaan, zie je automatisch een cirkel verschijnen die door alle hoekpunten van deze driehoek gaat.

Als de punten A en B van de driehoek beweegt, zal je zien dat de omgeschreven cirkel ook mee beweegt! Dit komt omdat deze cirkel nu dus afhankelijk is van deze driehoek.

In de latere hoofdstukken ga je leren dat je de omgeschreven cirkel ook nog op een andere manier kan tekenen. Maar ik zal niet op de zaken vooruit gaan lopen door dat nu al te verklappen.

 

Dit is het einde van opdracht 1.4, en daarmee ook van hoofdstuk 1.

Sla je bestand op voor je geogebra afsluit. 

 

 

Ik hoop dat je alles tot nu toe kon volgen. In de verdere hoofdstukken ga je zien wat voor soort constructies je allemaal kan maken met geogebra, en je zal dan ook zien hoe je geogebra kan gebruiken om bepaalde stellingen te bewijzen.

Hoofdstuk 2: Functies gebruiken

In hoofdstuk 1 heb je veel verschillende functies van geogebra leren kennen en wat ze precies doen. In hoofdstuk 2 ga je veel van deze functie nog een keer gebruiken om bijzondere punten te laten tekenen door geogebra. Deze bijzondere punten heb je in hoofdstuk 1 ook al wel een beetje voorbij zien komen, maar nu gaan we ze ook echt laten tekenen en vastleggen door geogebra.

De eigenschappen die deze punten hebben gaan we in dit hoofdstuk nog niet bewijzen. Het bewijzen van stellingen bewaren we voor het laatste hoofdstuk.

2.1: Snijpunt middelloodlijnen

In hoofdstuk 1 heb je al gezien dat de middelloodlijnen van een driehoek elkaar snijden in 1 punt. In deze opdracht ga je geogebra ook echt dat punt laten tekenen. Hierbij mag je eerst aannemen dat alle drie de middelloodlijnen elkaar snijden in 1 punt. Het bewijs volgt zoals gezegd later.

 

Belangrijk: Om het snijpunt van de middelloodlijnen te bepalen, hoef je maar 2 middelloodlijnen te tekenen. De derde middelloodlijn gaat automatisch ook door dit snijpunt.

 

 

Opdracht 2.1

 

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 2.1’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

Begin in je lege bestand met 3 nieuwe punten op willekeurige plekken. Zorg er bij voorkeur voor dat de nieuwe punten op roosterpunten liggen, maar dit is niet verplicht. Verbind vervolgens de 3 punten met elkaar met de functie ‘Lijnstuk tussen 2 punten’. Nu heb je een willekeurige driehoek getekend, die waarschijnlijk ABC heet.

 

Laat geogebra vervolgens van 2 lijnstukken de middelloodlijn tekenen. Zoals je misschien nog weet, moet dit met de functie ‘Middelloodlijn’. Gebruik de functie ‘Snijpunt(en) van twee objecten’ om met behulp van geogebra het snijpunt van deze lijnen te tekenen. Dit punt is dus het snijpunt van de middelloodlijnen. Beweeg de punten van je driehoek ABC om te zien dat de lijnen en het snijpunt constant mee bewegen.

Dit snijpunt van de middelloodlijnen heeft nog een bijzonder eigenschap, maar voor we het daarover gaan hebben mag je eerst de middelloodlijnen zelf wel verbergen. Deze heb je nu niet meer nodig.

 

Voor dit bijzondere punt geldt namelijk de volgende stelling:

“Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Gebruik maar eens de functie ‘Cirkel met middelpunt door punt’. Selecteer hierbij als middelpunt het snijpunt van de middelloodlijnen, en klik daarna op 1 van de punten van de driehoek. Het maakt niet uit of je op A, B of C klikt. Zolang het snijpunt van de middelloodlijnen maar het middelpunt is.

 

Als het goed is, zie je dat de cirkel inderdaad door alle drie de punten van de driehoek gaat. Verschuif de punten A, B en C maar eens om te zien dat dit ook zo blijft. Hiermee hebben we de stelling natuurlijk nog niet bewezen, maar ons vermoeden is wel versterkt. Het bewijzen doen we later.

 

Dit is het einde van opdracht 1 van hoofdstuk 2. Sla je bestand weer op voor je deze opdracht afsluit.

2.2: Snijpunt bissectrices

Voor deze opdracht moet je de volgende definitie kennen:

Ingeschreven cirkel

“De ingeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die de drie zijden van de driehoek raakt.” (Dijkhuis et al., 2018, p. 62)

 

In opdracht 2 gaan we het hebben over het snijpunt van de bissectrices van een driehoek. Deze opdracht zal daarom erg lijken op opdracht 1. In hoofdstuk 1 heb je al gezien dat de bissectrices van een driehoek elkaar snijden in 1 punt. In deze opdracht ga je geogebra ook echt dat punt laten tekenen. Hierbij mag je eerst aannemen dat alle drie de bissectrices elkaar snijden in 1 punt. Dit bewijs volgt, zoals gezegd, ook later.

 

Belangrijk: Om het snijpunt van de bissectrices te bepalen, hoef je maar 2 bissectrices te tekenen. De derde bissectrice gaat automatisch ook door dit snijpunt.

 

 

Opdracht 2.2

 

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 2.2’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

Begin in je lege bestand met 3 nieuwe punten op willekeurige plekken. Zorg er bij voorkeur voor dat de nieuwe punten op roosterpunten liggen, maar dit is niet verplicht. Verbind vervolgens de 3 punten met elkaar met de functie ‘Lijnstuk tussen 2 punten’. Nu heb je een willekeurige driehoek getekend, die waarschijnlijk weer ABC heet.

 

Laat geogebra nu van twee hoeken de bissectrices bepalen met de functie ‘bissectrice’. Schrik niet van de lijnen die buiten de driehoek ook verschijnen. De bissectrices zijn de lijnen die door de driehoek gaan. Laat geogebra het snijpunt van de bissectrices bepalen. Als dit snijpunt is verschenen, mag je alle lijnen weer verbergen. Het enige wat je dan overhoudt is de driehoek en het snijpunt van de bissectrices. Dit snijpunt heeft ook een bijzondere eigenschap.

 

Voor het snijpunt van de bissectrices geldt de volgende stelling:

“Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de bissectrices van de hoeken.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Zoals je eerder hebt gelezen, is de ingeschreven cirkel van een driehoek een cirkel die alle zijden aan de binnenkant raakt. Om deze cirkel te kunnen tekenen, moet je eerst van 1 zijde de kortste afstand naar het snijpunt van de bissectrices bepalen. Dit kun je doen met behulp van de functie ‘Loodlijn’.

Als je een loodlijn hebt getekend naar 1 van de zijden van de driehoek, moet je geogebra nog het snijpunt van deze zijde en de loodlijn laten bepalen. Als je dit punt hebt, kan je de functie ‘Cirkel met middelpunt door punt’ gebruiken om de ingeschreven cirkel te laten tekenen.

Je hebt nu een cirkel die, als het goed is, ook de andere twee zijden van de driehoek precies raakt. De cirkel is als het ware ingesloten door de driehoek.

 

Verschuif de punten A, B en C eens om op te kunnen merken dat dit altijd zo blijft. Hiermee hebben we ook deze stelling natuurlijk nog niet bewezen, maar ons vermoeden is wel weer versterkt. Het bewijzen doen we ook later.

 

Dit is het einde van opdracht 2 van hoofdstuk 2. Sla je bestand weer op voor je deze opdracht afsluit.

2.3: Snijpunt zwaartelijnen

In deze opdracht gaan we met behulp van geogebra het snijpunt van de zwaartelijnen tekenen. Het begin van deze opdracht zal daarom weer heel erg lijken op het begin van opdracht 1 en 2.

 

In hoofdstuk 1 heb je al gezien dat de zwaartelijnen van een driehoek elkaar snijden in 1 punt. In deze opdracht ga je geogebra ook echt dat punt laten tekenen. Hierbij mag je eerst aannemen dat alle drie de zwaartelijnen elkaar snijden in 1 punt. Dit bewijs volgt, zoals gezegd, ook later.

 

Belangrijk: Om het snijpunt van de zwaartelijnen te bepalen, hoef je maar 2 zwaartelijnen te tekenen. De derde zwaartelijn gaat automatisch ook door dit snijpunt.

 

 

Opdracht 2.3

 

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 2.3’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

Begin in je lege bestand met 3 nieuwe punten op willekeurige plekken. Zorg er bij voorkeur voor dat de nieuwe punten op roosterpunten liggen, maar dit is niet verplicht. Verbind vervolgens de 3 punten met elkaar met de functie ‘Lijnstuk tussen 2 punten’. Nu heb je een willekeurige driehoek getekend, die waarschijnlijk weer ABC heet.

 

Voor we de zwaartelijnen kunnen laten tekenen door geogebra, moet je eerst het midden van de lijnstukken bepalen. Want zoals je misschien nog weet, luidt de definitie van een zwaartelijn als volgt: “Het lijnstuk in een driehoek dat een hoekpunt verbindt met het midden van de zijde ertegenover, noem je de zwaartelijn uit dat hoekpunt.” (De Bruijn et al, 2014)

 

Bepaal met geogebra het midden van lijnstukken, en verbind vervolgens de hoekpunten met het midden van de overstaande zijden. Dit hoef je, zoals eerder gezegd, maar twee keer te doen.

 

Als je de zwaartelijnen hebt getekend, laat je geogebra het snijpunt hiervan bepalen. Dit punt noemen we het ‘zwaartepunt’. Je mag nu de zwaartelijnen zelf weer verbergen. Beweeg de punten van de driehoek maar eens om te zien dat het zwaartepunt mee beweegt.

 

Dit zwaartepunt heeft, samen met andere punten, nog een bijzondere eigenschap. Maar hier kom ik later op terug, want voor deze eigenschap hebben we nog niet alle benodigde punten.

 

Dit is het einde van opdracht 3 van hoofdstuk 2. Sla je bestand weer op voor je deze opdracht afsluit.

2.4: Snijpunt hoogtelijnen

In deze opdracht gaan we met behulp van geogebra het snijpunt van de hoogtelijnen tekenen. Het begin van deze opdracht zal daarom weer heel erg lijken op het begin van de vorige opdrachten.  

 

In hoofdstuk 1 heb je al gezien dat de hoogtelijnen van een driehoek elkaar snijden in 1 punt. In deze opdracht ga je geogebra ook echt dat punt laten tekenen. Hierbij mag je eerst aannemen dat alle drie de hoogtelijnen elkaar snijden in 1 punt. Dit bewijs volgt, zoals gezegd, ook later.

 

Belangrijk: Om het snijpunt van de hoogtelijnen te bepalen, hoef je maar 2 hoogtelijnen te tekenen. De derde hoogtelijn gaat automatisch ook door dit snijpunt.

 

 

Opdracht 2.4

 

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 2.4’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

Begin in je lege bestand met 3 nieuwe punten op willekeurige plekken. Zorg er bij voorkeur voor dat de nieuwe punten op roosterpunten liggen, maar dit is niet verplicht. Verbind vervolgens de 3 punten met elkaar met de functie ‘Lijnstuk tussen 2 punten’. Nu heb je een willekeurige driehoek getekend, die waarschijnlijk weer ABC heet.

 

Zoals je misschien nog weet van eerder, luidt de definitie van de hoogtelijn als volgt:

“De loodlijn uit een hoekpunt van een driehoek op de zijde ertegenover noem je de hoogtelijn uit dat hoekpunt.” (De Bruijn et al, 2014)

 

Om de hoogtelijnen te tekenen, heb je dus de functie ‘loodlijn’ van geogebra nodig. Als de deze functie hebt aangezet, klik je op een hoekpunt en vervolgens op de overstaande zijde. Dit doe je twee keer, zodat je twee verschillende hoogtelijnen krijgt.

 

Opmerking: Officieel is een hoogtelijn trouwens alleen het stuk dat binnen de driehoek valt, maar voor het snijpunt van de hoogtelijn is dit niet belangrijk.

 

Als je twee hoogtelijnen hebt, kan je geogebra weer het snijpunt laten bepalen. Dit snijpunt noemen we het ‘Hoogtepunt’. Je mag nu de hoogtelijnen zelf weer verbergen. Beweeg de punten van de driehoek eens om te zien dat het hoogtepunt meebeweegt. Deze is dus afhankelijk van de vorm van de driehoek.

 

In opdracht 5 ga je nog zien wat voor bijzondere eigenschap dit hoogtepunt heeft. Deze eigenschap hangt samen met het ‘zwaartepunt’ en het snijpunt van de middelloodlijnen.

 

Dit is het einde van opdracht 4 van hoofdstuk 2. Sla je bestand weer op voor je deze opdracht afsluit.

2.5: De rechte van Euler

In de vorige opdrachten heb je gezien dat in een driehoek de bijzondere lijnen elkaar snijden in 1 punt. In deze opdracht gaan we het hebben over de snijpunten van de volgende lijnen:

  • Hoogtelijnen
  • Zwaartelijnen
  • Middelloodlijnen

 

 

Opdracht 2.5

 

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 2.5’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

In de vorige opdrachten heb je geleerd hoe je deze punten kan vinden met behulp van geogebra. Nu geldt dus de volgende opdracht:

a) Maak een willekeurige driehoek ABC in een leeg bestand.

b) Teken met behulp van geogebra het snijpunt van de middelloodlijnen. Verberg daarna de middelloodlijnen.

c) Teken met behulp van geogebra het snijpunt van de hoogtelijnen. Verberg daarna de hoogtelijnen.

d) Teken met behulp van geogebra het snijpunt van de zwaartelijnen. Verberg daarna de zwaartelijnen.

 

Als het goed is, heb je nu alleen driehoek ABC en de drie verschillende snijpunten in de tekening staan. Verschuif de punten van de driehoek eens om te zien hoe de punten meebewegen. Begin je een vermoeden te krijgen hoe deze punten met elkaar samenhangen?

 

Om het vermoeden te versterken, ga je een lijnstuk tekenen tussen de twee punten die het meest uit elkaar liggen. Als het goed is, zie je dat dit lijnstuk ook door het punt in het midden gaat. Verschuif wederom eens de hoekpunten van de driehoek om dit vermoeden te versterken.

 

De stelling bij deze eigenschap luidt als volgt:

“Van een willekeurige driehoek liggen het hoogtepunt, het zwaartepunt en het midden van de omgeschreven cirkel altijd op een rechte lijn. De wordt de Rechte van Euler genoemd.”

 

Zo zie je dus dat deze drie snijpunten van bijzondere lijnen in elke willekeurige driehoek op een rechte lijn liggen, en dat het dus geen toeval is. Het bewijs van deze stelling komt in de onderbouw nog niet aan bod, en dus op deze website ook nog niet.

Als je geïnteresseerd bent om erachter te komen hoe dit bewijs in elkaar zit, kan je de onderstaande video kijken van de Wiskunde Academie. Hierin wordt het bewijs duidelijk en kort uitgelegd.

 

De Rechte van Euler

Dit was het einde van opdracht 5 van hoofdstuk 2, en daarmee ook het einde van hoofdstuk 2. Sla het bestand weer op voordat je het venster van geogebra afsluit.

 

In hoofdstuk 3 ga je met behulp van geogebra bijzondere constructies maken waar ook weer bijzondere stellingen en eigenschappen naar boven komen. Veel succes met het verdere vervolg op deze website.

Hoofdstuk 3: Constructies maken

In de vorige hoofdstukken ben je erg veel bezig geweest met het ontdekken van de verschillende mogelijkheden die geogebra te bieden heeft. Hierbij heb je al veel functies van geogebra gebruikt. In hoofdstuk 3 ga je de reeds gebruikte functies gebruiken om van bepaalde stellingen een sterk vermoeden te ontwikkelen. De vermoedens die je in hoofdstuk 3 krijgt, ga je later in hoofdstuk 4 wiskundig bewijzen. Zoals eerder al gezegd, ga je in hoofdstuk 4 ook de vermoedens van hoofdstuk 2 bewijzen.

Lees in hoofdstuk 3 bij het maken van de constructies goed welke stappen je moet nemen. Voor deze stappen heb je alleen de eerder gebruikte functies nodig. We zijn dus inmiddels aangekomen op een punt dat we minder kennis meer maken met geogebra, maar vooral geogebra gaan gebruiken om vermoedens te ontwikkelen. Hetgeen waar geogebra een ontzettend handig programma is.

 

Veel succes met de opdrachten!

 

3.1: De stelling van Thales

In de eerste opdracht van hoofdstuk 3 ga je leren over de stelling van Thales. Deze stelling luidt als volgt:

“Als C op de cirkel ligt met middellijn AB, dan is hoek ACB een rechte hoek.” (Reichard et al, 2011)

 

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 3.1’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

We beginnen in deze constructie met een lijnstuk AB. Teken dus met geogebra twee nieuwe punten in je assenstelsel en verbind deze punten vervolgens. Het advies is om het lijnstuk AB zo te tekenen dat deze horizontaal ligt.

Hierna gaan we een cirkel tekenen waarvan ons lijnstuk AB de middellijn moet zijn. Om dit goed te doen, moet je met geogebra eerst het midden van AB bepalen. Het midden van AB wordt door geogebra waarschijnlijk punt C genoemd. Als het midden hebt bepaald, maak je een cirkel met de functie ‘Cirkel met middelpunt door punt’. Het middelpunt is dan het midden van AB, en daarna moet je op A of B klikken (maakt niet uit welke).

Nu heb je cirkel gemaakt met middellijn AB. Beweeg de punten AB maar eens om te controleren of AB inderdaad altijd de middellijn blijft.

 

Om nu de constructie af te maken gaan we een los punt op deze cirkel zetten. Gebruik hiervoor de functie ‘nieuw punt’, en klik ergens op de cirkel. Het advies is om ergens aan de bovenkant van AB te klikken, maar hij mag er ook onder.

Als je een punt op de cirkel hebt gezet, moet je eerst even controleren of dit punt echt vastligt op de cirkel. Probeer hem maar eens te verslepen, en kijk of je hem van de cirkel af kan krijgen.  

Als het punt op de cirkel vastligt, moet je met dit punt en de lijn AB een driehoek maken. Je krijgt nu dus een driehoek ABD in een cirkel, waarvan AB de middellijn van de cirkel is.

De stelling van Thales beweert nu dat hoek ADB een rechte hoek zou moeten zijn. Laat geogebra uitrekenen hoe groot deze hoek is met de functie ‘hoek’.

Opmerking: Vergeet niet de geogebra de hoek tegen de klok in berekent.

 

Als het goed is zie je nu dat hoek ADB inderdaad precies 90° is. Versleep de punten A, B en D maar op te controleren of dit altijd zo blijft.

Probeer ook maar eens op punt D te verslepen tot deze onder het lijnstuk AB ligt. Wat gebeurt er dan met de hoek? Probeer zelf eens te achterhalen hoe dit komt! Bij het bewijs van deze stelling wordt dit nog sowieso benoemd.

 

Tijdens deze opdracht is je vermoeden hopelijk dat de stelling van Thales waar zal moeten zijn. In hoofdstuk 4 ga je zien hoe het wiskundige bewijs van deze stelling in elkaar zit.

 

Dit is het einde van opdracht 1 van hoofdstuk 3. Sla je bestand op voordat je het venster van geogebra sluit.

3.2: De stelling van de koordenvierhoek

In opdracht 2 van hoofdstuk 3 ga je leren over de stelling van de koordenvierhoek. Voor we de stelling van de koordenvierhoek behandelen, moet je eerst weten wat een koordenvierhoek precies is.

De definitie van een koordenvierhoek luidt als volgt:

“Een koordenvierhoek is een vierhoek waarbij een cirkel bestaat die door de hoekpunten van de vierhoek gaat.” (Reichard et al, 2011)

Een koordenvierhoek is dus een vierhoek waarvan alle hoekpunten op dezelfde cirkel liggen. Zo’n vierhoek ga je in deze opdracht maken met behulp van geogebra.

 

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 3.2’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

Om een koordenvierhoek te maken moeten we beginnen met een cirkel. Maak hiervoor eerst een nieuw punt aan, en maak vervolgens een cirkel met de functie ‘Cirkel met middelpunt en straal’. Je bent in principe vrij in hoe groot je de cirkel maakt, maar zorg er in ieder geval voor dat je de hele cirkel ziet op jouw scherm.

 

Als je eenmaal een cirkel hebt, moet je 4 punten op deze cirkel plaatsen. Waar deze punten precies komen is niet belangrijk, maar om de tekening overzichtelijk te houden is het wel handig om de punten niet te dicht bij elkaar te plaatsen. Als je vier punten op de cirkel hebt geplaatst, moet je voor je verder gaat nog wel even controleren of de punten vastzitten op de cirkel. Probeer ze maar eens te verschuiven, en kijk of ze van de cirkel afwijken. Als ze erop blijven, mag je verder!

 

Om een vierhoek te maken gebruik je de functie ‘Lijnstuk tussen 2 punten’ en ga je tussen twee opeenvolgende punten een lijn tekenen. Nu heb je een koordenvierhoek gemaakt met behulp van geogebra. Deze koordenvierhoek kan je nog veranderen, maar aangezien alle punten vastliggen op de cirkel blijft het wel altijd een koordenvierhoek.

 

De stelling van de koordenvierhoek luidt nu als volgt:

“De som van een paar overstaande hoeken van een koordenvierhoek is 180 graden.” (Reichard et al, 2011)

 

Om over deze stelling een vermoeden te ontwikkelen, moet je geogebra de grootte van de vier hoeken laten bepalen met behulp van de functie ‘Hoek’. De hoeken die geogebra laat zien zijn waarschijnlijk kommagetallen met erg veel decimalen. Controleer eens met je rekenmachine of de overstaande hoeken opgeteld inderdaad 180° zijn. Verschuif daarna de punten van de vierhoek over de cirkel heen en controleer nog een keer met je rekenmachine of het klopt. Doe dit meerdere keren om je vermoeden nog meer te versterken. Zijn de overstaande hoeken opgeteld inderdaad altijd 180°?

 

 

In het onderstaande geogebra bestand heb ik zelf ook een koordenvierhoek getekend, en de hoeken hiervan laten uitrekenen door geogebra. In de tekst die je ziet heb ik geogebra de overstaande hoeken laten optellen. Nu zie je inderdaad dat de overstaande hoeken opgeteld inderdaad precies 180° zijn. Verschuif de punten van mijn koordenvierhoek maar eens om te kijken of dit ook altijd zo is.

 

 

Tijdens deze opdracht is je vermoeden hopelijk dat de stelling van de koordenvierhoek waar zal moeten zijn. Het optellen van de hoeken met behulp van geogebra is echter nog geen waterdicht wiskundig bewijs. In hoofdstuk 4 ga je zien hoe het wiskundige bewijs van deze stelling in elkaar zit.

 

Dit is het einde van opdracht 2 van hoofdstuk 3. Sla je bestand op voordat je het venster van geogebra sluit.

3.3: Stelling van middelpuntshoek en omtrekshoek

In opdracht 3 van hoofdstuk 3 ga je leren over de stelling van de middelpuntshoek en omtrekshoek. Maar voor we kunnen beginnen aan het maken van een constructie met behulp van geogebra, moet je eerst een paar definities kennen die we voorheen nog niet hebben behandeld. Het gaat hierbij om de volgende definities:

 

Boog

“Een boog is een stukje van de omtrek van een cirkel.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

 

Omtrekshoek

“De omtrekshoek die bij een boog AB hoort is de hoek van een willekeurig ander punt van de cirkel naar beide uiteinden A en B van die boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

 

Middelpuntshoek

“De middelpuntshoek die bij een boog AB hoort is de hoek van het middelpunt van de cirkel naar beide uiteinden A en B van die boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

 

We gaan in deze opdracht dus een cirkel teken met een boog, waarna we voor die boog de middelpuntshoek en omtrekshoek gaan tekenen. Als deze constructie gemaakt is, zal je een vermoeden ontwikkelen over deze twee hoeken. Dit vermoeden gaan we vervolgens versterken door de punten te verschuiven. Het bewijs volgt, zoals alle bewijzen, is hoofdstuk 4.

 

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 3.3’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

 

Voor deze constructie beginnen we weer met een cirkel. Maak dus eerst een nieuw punt en teken vervolgens een cirkel met middelpunt en straal. Zorg er weer voor dat de cirkel in het venster past. Nu moet je twee nieuwe punten op de cirkel zetten. Je mag zelf weten waar je deze punten neer, maar probeer ze wel een beetje dichtbij elkaar te houden. Deze punten, die waarschijnlijk B en C heten, vormen samen een ‘boog’.

 

Zet vervolgens nog een punt (D) op de cirkel, en verbind daarna dit punt met beide uiteinden van de ‘boog’. De hoek die deze lijnen maken, noem je de ‘omtrekshoek’ op de boog BC. Deze omtrekshoek is altijd even groot, ongeacht waar punt D ligt. Laat geogebra maar eens de hoek uitrekenen met de functie ‘hoek’ en versleep daarna punt D over de cirkel om te zien dat de hoek overal gelijk is.

Als je de punten B en C gaat verslepen verandert de grootte van de hoek wel, maar dit komt omdat de lengte van de ‘boog’ verandert. De omtrekshoek voor een willekeurige boog is dus constant, zolang je de boog maar onveranderd laat.

 

Naast de omtrekshoek gaan we ook nog de middelpuntshoek tekenen. Dit is de hoek die het middelpunt van de cirkel maakt met de uiteinden van de boog. Verbind voor deze hoek de punten B en C beide met punt M. De hoek die deze lijnen nu met elkaar maken heet de ‘middelpuntshoek op de boog BC’. Laat geogebra ook de grootte van deze hoek bepalen.

 

 

Is er nu iets wat je opvalt tussen de omtrekshoek en de middelpuntshoek? Versleep de punten allemaal maar eens om te kijken of je een vermoeden kan ontwikkelen over het verband tussen de omtrekshoek en middelpuntshoek.

De stelling van de omtrekshoek en middelpuntshoek luidt als volgt:

“De middelpuntshoek is precies twee keer zo groot als de omtrekshoek op dezelfde boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

 

In het onderstaande geogebra bestand heb ik zelf ook een soortgelijke constructie gemaakt. In de tekst die je ziet heb ik geogebra de middelpuntshoek laten delen door de omtrekshoek. Je ziet nu dat de uitkomst precies 2 is, maar versleep de punten in de tekening maar eens om te zien of dit ook echt zo blijft.

 

Tijdens deze opdracht is je vermoeden hopelijk dat deze stelling waar zal moeten zijn. Het delen van de hoeken met behulp van geogebra is nu echter ook geen waterdicht wiskundig bewijs. In hoofdstuk 4 ga je zien hoe het wiskundige bewijs van deze stelling in elkaar zit.

 

Dit is het einde van opdracht 3 en daarmee van hoofdstuk 3. Sla je bestand op voordat je het venster van geogebra sluit.

In hoofdstuk 4 ga je de constructie die je hebt gemaakt gebruiken om stellingen te bewijzen. Je wordt hierin begeleid hoe het wiskundige bewijs tot stand moet komen. Veel succes met het verdere vervolg op deze website.

Hoofdstuk 4: Stellingen bewijzen

Zoals in de eerder hoofdstukken ook al benoemd, ga je in dit vierde en laatste hoofdstukken de eerder verkregen vermoedens bewijzen. Hiervoor gebruik je de bestanden van geogebra die je in eerdere hoofdstukken hebt moeten maken.

 

Voor het vormen van een wiskundig bewijs zal ik je bij elke opdracht op weg helpen met tips, maar in dit hoofdstuk wordt er ook vooral een beroep gedaan op jouw eigen bewijs vorming. Het wiskundig bewijs mag je gewoon opschrijven in je schrift.

 

Bij alle opdrachten in dit hoofdstuk heb ik zelf ook een geogebra bestand gemaakt, waarin ik voor de desbetreffende stelling een wiskundig bewijs heb toegevoegd. Dit bewijs kunnen jullie zelf stapsgewijs laten verschijnen door de aanvinkvakjes op volgorde aan te vinken.

 

Belangrijk: Als je mijn geogebra bestand gaat bekijken, moet je hem wel eerst op het volledige scherm hebben. Dit kan met het knopje rechts onderin het geogebra venster. (Zie de afbeelding hieronder)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Probeer er bij elke opdracht eerst zelf een wiskundig bewijs te vormen, en raadpleeg mijn bewijzen alleen als je er helemaal niet uitkomt.

 

Succes met het vormen van de bewijzen!

4.1: Snijpunt middelloodlijnen

In deze opdracht ga je zelf proberen de volgende stellingen te bewijzen:

 

Stelling 3: Snijpunt middelloodlijnen

“De middelloodlijnen van de zijden van een driehoek gaan door één punt.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Stelling 4: Middelpunt omgeschreven cirkel

“Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Om deze stellingen te bewijzen, moet je eerst bestand ‘Opdracht 2.1’ openen die je in hoofdstuk 2 hebt gemaakt. In dit bestand had je een willekeurige driehoek getekend met twee middelloodlijnen en de omgeschreven cirkel.

Via de onderstaande link kan je straks naar de online-versie van geogebra gaan. Als je daar hebt ingelogd, kan je ‘opdracht 2.1’ openen. Ga dit eerst doen, en lees daarna verder in deze opdracht.

Opdracht 4.1

 

 

Als je eenmaal opdracht 2.1 hebt geopend, moet je ervoor zorgen dat je in de tekening alleen de driehoek, de middelloodlijnen en het snijpunt van de middelloodlijnen hebt staan. Als je dus in het algebravenster zit (kleine rekenmachine linksboven), moet je alles wat je niet nodig hebt verbergen.

 

Zoals je ziet snijden de twee middelloodlijnen elkaar al ergens. Als het goed is, heeft die snijpunt de letter D. Om te bewijzen dat de drie middelloodlijnen elkaar allemaal snijden in dit punt, hoef je alleen maar te bewijzen dat de middelloodlijn van de derde zijde ook door dit punt gaan.

 

Om dit te bewijzen mag je gebruik maken van de volgende stelling:

“De punten die even ver van de punten A en B liggen, vormen de middelloodlijn van het lijnstuk AB.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Om je op weg te helpen met het bewijs heb ik de volgende tip voor je:

Als punt D op de middelloodlijn van AB ligt, betekent dat het volgende: AD = BD

Als punt D op de middelloodlijn van BC ligt, betekent dat het volgende: ……………

 

Met behulp van de uitkomsten van de bovenstaande regels, moet je het volgende kunnen beweren:

“Punt D ligt dus ook op de middelloodlijn van AC.”

 

 

Met behulp van alle bovenstaande uitkomsten, moet je bovendien kunnen bewijzen dat punt D inderdaad het middelpunt is van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

 

Succes met het bewijzen van deze stelling. Je kan altijd mijn geogebra bestand onderaan deze pagina raadplegen als je echt vastloopt.  

 

Je bent nu aangekomen bij het eind van opdracht 4.1. Sla je bestand op voor je geogebra weer afsluit.

4.2: Snijpunt bissectrices

In deze opdracht ga je zelf proberen de volgende stellingen te bewijzen:

 

Stelling 1: Snijpunt bissectrices

“De bissectrices van de hoeken van een driehoek gaan door één punt.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Stelling 2: Middelpunt ingeschreven cirkel

“Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de bissectrices van de hoeken.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Om deze stellingen te bewijzen, moet je eerst bestand ‘Opdracht 2.2’ openen die je in hoofdstuk 2 hebt gemaakt. In dit bestand had je een willekeurige driehoek getekend met twee bissectrices en de ingeschreven cirkel.  

Via de onderstaande link kan je straks naar de online-versie van geogebra gaan. Als je daar hebt ingelogd, kan je ‘opdracht 2.2’ openen. Ga dit eerst doen, en lees daarna verder in deze opdracht.

Opdracht 4.2

 

 

Als je eenmaal opdracht 2.2 hebt geopend, moet je ervoor zorgen dat je in de tekening alleen de driehoek, de bissectrices en het snijpunt van de bissectrices hebt staan. Als je dus in het algebravenster zit (kleine rekenmachine linksboven), moet je alles wat je niet nodig hebt verbergen.

 

Zoals je ziet snijden de twee bissectrices elkaar al ergens. Als het goed is, heeft die snijpunt de letter D. Om te bewijzen dat de drie bissectrices elkaar allemaal snijden in dit punt, hoef je alleen maar te bewijzen dat de bissectrice van de derde zijde ook door dit punt gaan. In de basis lijkt dus bewijs dus erg op het bewijs uit opdracht 4.1.

 

Voor het bewijzen van deze stelling, mag de volgende stelling over de bissectrice gebruiken:

“De punten binnen een hoek die even ver van het ene als van het andere been liggen, vormen de bissectrice van de hoek.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Om je op weg te helpen met het bewijs heb ik de volgende tip voor je:

Als punt D op de bissectrice van hoek A ligt, betekent dat het volgende: d(D,AB) = d(D,AC)

Als punt D op de bissectrice van hoek B ligt, betekent dat het volgende: ……………………….

 

Opmerking: de notatie d(D,AB) betekent: De kortste afstand vanaf punt D naar AB.

 

Met behulp van de uitkomsten van de bovenstaande regels, moet je het volgende kunnen beweren:

“Punt D ligt dus ook op de bissectrice van hoek C.”

 

Met behulp van alle bovenstaande uitkomsten, moet je bovendien kunnen bewijzen dat punt D inderdaad het middelpunt is van de ingeschreven cirkel van driehoek ABC.

 

Succes met het bewijzen van deze stelling. Je kan altijd mijn geogebra bestand onderaan deze pagina raadplegen als je vastloopt.  

 

Je bent nu aangekomen bij het eind van opdracht 4.2. Sla je bestand op voor je geogebra weer afsluit.

4.3: Snijpunt zwaartelijnen

In deze opdracht ga je zelf proberen de volgende stelling te bewijzen:

 

“In iedere driehoek snijden de drie zwaartelijnen elkaar in één punt. Dit snijpunt noem je het zwaartepunt.” (De Bruijn et al, 2014)

 

Dit bewijs is wat lastiger dan het bewijs van de vorige twee opdrachten. Voor we deze stelling kunnen bewijzen, moeten we namelijk eerst een beetje voorwerk doen. Voor we kunnen bewijzen dat de drie zwaartelijnen elkaar snijden in 1 punt, hebben we het bewijs van de volgende stelling nodig:

“Twee zwaartelijnen van een driehoek verdelen elkaar in stukken die zich verhouden als 1 : 2.” Stelling en bewijs (z.d.).

 

Dit bewijs ga ik je straks laten zien, maar zelfs voor we aan dit bewijs kunnen beginnen moeten we eerst nog een definitie bespreken. Dit is de definitie van de middenparallel.

“De middenparallel van een driehoek is het lijnstuk dat loopt van het midden van de ene zijde naar het midden van de tweede zijde.” Stelling en bewijs (z.d.).

 

Eigenschappen middenparallel Stelling en bewijs (z.d.):

  • De middenparallel is evenwijdig aan de derde zijde
  • De lengte van de middenparallel is precies de helft van de lengte van de derde zijde

 

Kijk goed naar het geogebra bestand hieronder. Hierin wordt bewezen dat de zwaartelijnen elkaar verdelen in de verhouding 1:2. Laat het bewijs zelf stapsgewijs verschijnen en kijk of je het begrijpt.

 

 

Met het bovenstaande bewijs is de volgende stelling bewezen:

“Als twee zwaartelijnen elkaar snijden, verdelen ze elkaar in de verhouding 1:2.” (Reichard et al, 2011)

 

Nu het voorwerk is gedaan, ga je zelf proberen om te bewijzen dat de drie zwaartelijnen elkaar in 1 punt snijden.

 

Om deze stelling te bewijzen, moet je eerst bestand ‘Opdracht 2.3’ openen die je in hoofdstuk 2 hebt gemaakt. In dit bestand had je een willekeurige driehoek getekend met twee zwaartelijnen en het snijpunt van deze zwaartelijnen (het zwaartepunt).

Via de onderstaande link kan je straks naar de online-versie van geogebra gaan. Als je daar hebt ingelogd, kan je ‘opdracht 2.3’ openen. Ga dit eerst doen, en lees daarna verder in deze opdracht.

Opdracht 4.3

Zoals je ziet snijden de twee zwaartelijnen elkaar al ergens. Als het goed is, heeft die snijpunt weer de letter D. Om te bewijzen dat de drie zwaartelijnen elkaar allemaal snijden in dit punt, hoef je alleen maar te bewijzen dat de derde zwaartelijn ook door dit punt gaat. In de basis lijkt dus bewijs dus erg op het bewijs uit opdracht 4.1.

 

Voor we verder gaan:

Geef het midden van zijde AB de letter E.

Geef het midden van zijde AC de letter F.

Geef het midden van zijde BC de letter G.

Om je op weg te helpen met het bewijs heb ik de volgende hints voor je:

De zwaartelijn CE snijdt de zwaartelijn AG in punt D, zo dat het volgende geldt: DG : AD = 1 : 2

De zwaartelijn BF snijdt de zwaartelijn AG in punt S, zo dat het volgende geldt: SG : AS = 1 : 2

 

De punten D en S verdelen de zwaartelijn allebei in de verhouding 1 : 2. Wat betekent dit voor de punten D en S? Hoe kan je hiermee bewijzen dat de drie zwaartelijnen door 1 punt gaan?

 

 

Succes met het bewijzen van deze stelling. Je kan altijd mijn geogebra bestand onderaan deze pagina raadplegen als je vastloopt.  

 

Je bent nu aangekomen bij het eind van opdracht 4.3. Sla je bestand op voor je geogebra weer afsluit.

4.4: Stelling van Thales

In deze opdracht ga je zelf proberen de volgende stelling te bewijzen:

 

De stelling van Thales

“Als C op de cirkel ligt met middellijn AB, dan is hoek ACB een rechte hoek.” (Reichard et al, 2011)

 

Om deze stelling te bewijzen, moet je eerst bestand ‘Opdracht 3.1’ openen die je in hoofdstuk 3 hebt gemaakt. In dit bestand heb je een driehoek gemaakt met een omgeschreven cirkel, waarbij de lijn AB de middellijn was van de cirkel.

Via de onderstaande link kan je straks naar de online-versie van geogebra gaan. Als je daar hebt ingelogd, kan je ‘opdracht 3.1’ openen. Ga dit eerst doen, en lees daarna verder in deze opdracht.

 

Opdracht 4.4

 

Voor het bewijs van de stelling van Thales heb je de volgende stellingen nodig:

 

Gelijkbenige driehoek

“Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee even lange lijnstukken. De basishoeken aan deze even lange zijden hebben dezelfde grootte.”

 

Hoekensom Driehoek

“De som van de hoeken in een driehoek is altijd gelijk aan 180°.”

 

Om je op weg te helpen met het bewijs heb ik de volgende hints voor je:

  1. Teken een lijnstuk tussen het middelpunt van de cirkel en het punt op de cirkel.
  2. Verdeel de hoek op de cirkel in 2 delen.
  3. Schrijf de hoekensom driehoek op.
  4. Herschrijf de hoekensom driehoek met behulp van gelijkbenige driehoek. Je hebt gelijkbenige driehoek omdat de straal van de cirkel overal gelijk is.

 

In mijn bestand onderaan de pagina staan zowel tips als stappen. Probeer eventueel ook met deze tips eerst zelf een bewijs te formuleren. Als je er echt niet uitkomt, kan je daarna het bewijs stapsgewijs laten verschijnen. Tussendoor kan je dus ook proberen om het bewijs zelf af te maken.  

 

Succes met het bewijzen van deze stelling.

 

Je bent nu aangekomen bij het eind van opdracht 4.4. Sla je bestand op voor je geogebra weer afsluit.

4.5: Stelling van de koordenvierhoek

In deze opdracht ga je zelf proberen de volgende stelling te bewijzen:

 

Stelling van de koordenvierhoek

“De som van een paar overstaande hoeken van een koordenvierhoek is 180 graden.” (Reichard et al, 2011)

 

Om deze stelling te bewijzen, moet je eerst bestand ‘Opdracht 3.2’ openen die je in hoofdstuk 3 hebt gemaakt. In dit bestand heb je een vierhoek gemaakt waarvan alle punt op 1 cirkel liggen.

Via de onderstaande link kan je straks naar de online-versie van geogebra gaan. Als je daar hebt ingelogd, kan je ‘opdracht 3.2’ openen. Ga dit eerst doen, en lees daarna verder in deze opdracht.

 

Opdracht 4.5

Voor het bewijs van de stelling van de koordenvierhoek heb je de volgende stellingen nodig:

 

Gelijkbenige driehoek

“Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee even lange lijnstukken. De basishoeken aan deze even lange zijden hebben dezelfde grootte.”

 

Hoekensom vierhoek

“De som van de hoeken in een driehoek is altijd gelijk aan 360°.”

 

 

Om je op weg te helpen met het bewijs heb ik de volgende hints voor je:

  1. Teken lijnen vanaf het middelpunt naar de hoeken van de koordenvierhoek
  2. Verdeel de hoeken in hoeken 1 en 2
  3. Schrijf de hoekensom vierhoek op.
  4. Gebruik gelijkbenige driehoeken om hoekensom te herschrijven zodat je alleen letters van overstaande hoeken over houdt.

 

In mijn bestand onderaan de pagina staan zowel tips als stappen. Probeer eventueel ook met deze tips eerst zelf een bewijs te formuleren. Als je er echt niet uitkomt, kan je daarna het bewijs stapsgewijs laten verschijnen. Tussendoor kan je dus ook proberen om het bewijs zelf af te maken.  

 

Succes met het bewijzen van deze stelling.

 

Je bent nu aangekomen bij het eind van opdracht 4.5. Sla je bestand op voor je geogebra weer afsluit.

 

4.6: Stelling van middelpuntshoek en omtrekshoek

In deze opdracht ga je zelf proberen de volgende stelling te bewijzen:

 

Stelling van omtrekshoek & middelpuntshoek

“De middelpuntshoek is precies twee keer zo groot als de omtrekshoek op dezelfde boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

 

Voordat we deze stelling kunnen bewijzen, moet ik je eerst nog het bewijs van een andere stelling laten zien. Het gaat hierbij om de stelling van de buitenhoek. Deze luidt als volgt:

“De buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee tegenoverstaande binnenhoeken.” (Hoeken (z.d.)

 

Het bewijs hiervan is niet erg lastig, maar we hebben het wel nodig om de stelling van deze opdracht te kunnen bewijzen. In het geogebra bestand hieronder zie je het bewijs. Bekijk deze eerst voor je verder gaat.

 

Nu we de stelling van de buitenhoek hebben behandeld, kunnen we toewerken naar het bewijs van de omtrekshoek en middelpuntshoek stelling.

Om deze stelling te bewijzen, moet je eerst bestand ‘Opdracht 3.2’ openen die je in hoofdstuk 3 hebt gemaakt. In dit bestand heb je een vierhoek gemaakt waarvan alle punt op 1 cirkel liggen.

Via de onderstaande link kan je straks naar de online-versie van geogebra gaan. Als je daar hebt ingelogd, kan je ‘opdracht 3.2’ openen. Ga dit eerst doen, en lees daarna verder in deze opdracht.

 

Opdracht 4.6

Voor het bewijs van de stelling van de omtrekshoek en middelpuntshoek heb je de volgende stellingen nodig:

 

Gelijkbenige driehoek

“Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee even lange lijnstukken. De basishoeken aan deze even lange zijden hebben dezelfde grootte.”

 

Stelling van de buitenhoek

“De buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee tegenoverstaande binnenhoeken.” (Hoeken (z.d.)

 

Om je op weg te helpen met het bewijs heb ik de volgende hints voor je:

  1. Teken een lijn vanaf de omtrekshoekhoek door het middenpunt van de cirkel. Dit kan met de functie ‘halve rechte’.
  2. Verdeel de omtrekshoek en de middelpuntshoek in hoeken 1 en 2.
  3. Druk hoek M uit in de hoeken A, B en C.
  4. Gebruik gelijkbenigheid om dit te herschrijven. Bedenk hierbij goed waar je naartoe wil!

 

In mijn bestand onderaan de pagina staan zowel tips als stappen. Probeer eventueel ook met deze tips eerst zelf een bewijs te formuleren. Als je er echt niet uitkomt, kan je daarna het bewijs stapsgewijs laten verschijnen. Tussendoor kan je dus ook proberen om het bewijs zelf af te maken.  

 

Succes met het bewijzen van deze stelling.

Je bent nu aangekomen bij het eind van opdracht 4.5. Sla je bestand op voor je geogebra weer afsluit.

 

Bijlagen

Gereedschapsbalk

Stellingen

Stelling 1

“De bissectrices van de hoeken van een driehoek gaan door één punt.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Stelling 2

“Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de bissectrices van de hoeken.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Stelling 3

“De middelloodlijnen van de zijden van een driehoek gaan door één punt.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Stelling 4

“Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Stelling 5: Zwaartepunt

“In iedere driehoek snijden de drie zwaartelijnen elkaar in één punt. Dit snijpunt noem je het zwaartepunt.” (De Bruijn et al, 2014)

 

Stelling 6: Hoogtepunt

“In iedere driehoek snijden de drie hoogtelijnen elkaar in één punt. Dit snijpunt noem je het hoogtepunt.” (De Bruijn et al, 2014)

 

Stelling 7: De stelling van Thales

“Als C op de cirkel ligt met middellijn AB, dan is hoek ACB een rechte hoek.” (Reichard et al, 2011)

 

Stelling 8: Koordenvierhoek

“De som van een paar overstaande hoeken van een koordenvierhoek is 180 graden.” (Reichard et al, 2011)

 

Stelling 9: De rechte van Euler

“Van een willekeurige driehoek liggen het hoogtepunt, het zwaartepunt en het midden van de omgeschreven cirkel altijd op een rechte lijn. Dit wordt de Rechte van Euler genoemd.”

 

Stelling 10: Omtrekshoek & middelpuntshoek

“De middelpuntshoek is precies twee keer zo groot als de omtrekshoek op dezelfde boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

 

Stelling 11: Middelloodlijn

“De punten die even ver van de punten A en B liggen, vormen de middelloodlijn van het lijnstuk AB.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Stelling 12: Bissectrice

“De punten binnen een hoek die even ver van het ene als van het andere been liggen, vormen de bissectrice van de hoek.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Stelling 13: Zwaartelijn

“Twee zwaartelijnen van een driehoek verdelen elkaar in stukken die zich verhouden als 1 : 2.”

 

Stelling 14: Middenparallel

“De middenparallel van een driehoek is het lijnstuk dat loopt van het midden van de ene zijde naar het midden van de tweede zijde.” Stelling en bewijs (z.d.).

 

Stelling 15: Stelling van de buitenhoek

“De buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee tegenoverstaande binnenhoeken.” (Hoeken (z.d.)

Definities

Middelloodlijn

“De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn die door het midden van dat lijnstuk gaat en loodrecht op het lijnstuk staat.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Bissectrice

“De bissectrice van een hoek is de halve lijn die de hoek middendoor deelt.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Hoogtelijn

“De loodlijn uit een hoekpunt van een driehoek op de zijde ertegenover noem je de hoogtelijn uit dat hoekpunt.” (De Bruijn et al, 2014)

 

Zwaartelijn

“Het lijnstuk in een driehoek dat een hoekpunt verbindt met het midden van de zijde ertegenover, noem je de zwaartelijn uit dat hoekpunt.” (De Bruijn et al, 2014)

 

Gelijkbenige driehoek

"Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee even lange lijnstukken. De basishoeken aan deze even lange zijden hebben dezelfde grootte."

 

Gelijkzijdige driehoek

"Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan alle zijden even lang zijn. In een gelijkzijdige driehoek zijn tevens alle hoeken even groot, namelijk 60°."

 

Omgeschreven cirkel

“De omgeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die door de hoekpunten van die driehoek gaat.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Ingeschreven cirkel

“De ingeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die de drie zijden van de driehoek raakt.” (Dijkhuis et al., 2018)

 

Koordenvierhoek

“Een koordenvierhoek is een vierhoek waarbij een cirkel bestaat die door de hoekpunten van de vierhoek gaat.” (Reichard et al, 2011)

 

Boog

“Een boog is een stukje van de omtrek van een cirkel.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

 

Omtrekshoek

“De omtrekshoek die bij een boog AB hoort is de hoek van een willekeurig ander punt van de cirkel naar beide uiteinden A en B van die boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

 

Middelpuntshoek

“De middelpuntshoek die bij een boog AB hoort is de hoek van het middelpunt van de cirkel naar beide uiteinden A en B van die boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)