## 3.2: De stelling van de koordenvierhoek

In opdracht 2 van hoofdstuk 3 ga je leren over de stelling van de koordenvierhoek. Voor we de stelling van de koordenvierhoek behandelen, moet je eerst weten wat een koordenvierhoek precies is.

De definitie van een koordenvierhoek luidt als volgt:

“Een koordenvierhoek is een vierhoek waarbij een cirkel bestaat die door de hoekpunten van de vierhoek gaat.” (Reichard et al, 2011)

Een koordenvierhoek is dus een vierhoek waarvan alle hoekpunten op dezelfde cirkel liggen. Zo’n vierhoek ga je in deze opdracht maken met behulp van geogebra.

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 3.2’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

Om een koordenvierhoek te maken moeten we beginnen met een cirkel. Maak hiervoor eerst een nieuw punt aan, en maak vervolgens een cirkel met de functie ‘Cirkel met middelpunt en straal’. Je bent in principe vrij in hoe groot je de cirkel maakt, maar zorg er in ieder geval voor dat je de hele cirkel ziet op jouw scherm.

Als je eenmaal een cirkel hebt, moet je 4 punten op deze cirkel plaatsen. Waar deze punten precies komen is niet belangrijk, maar om de tekening overzichtelijk te houden is het wel handig om de punten niet te dicht bij elkaar te plaatsen. Als je vier punten op de cirkel hebt geplaatst, moet je voor je verder gaat nog wel even controleren of de punten vastzitten op de cirkel. Probeer ze maar eens te verschuiven, en kijk of ze van de cirkel afwijken. Als ze erop blijven, mag je verder!

Om een vierhoek te maken gebruik je de functie ‘Lijnstuk tussen 2 punten’ en ga je tussen twee opeenvolgende punten een lijn tekenen. Nu heb je een koordenvierhoek gemaakt met behulp van geogebra. Deze koordenvierhoek kan je nog veranderen, maar aangezien alle punten vastliggen op de cirkel blijft het wel altijd een koordenvierhoek.

De stelling van de koordenvierhoek luidt nu als volgt:

“De som van een paar overstaande hoeken van een koordenvierhoek is 180 graden.” (Reichard et al, 2011)

Om over deze stelling een vermoeden te ontwikkelen, moet je geogebra de grootte van de vier hoeken laten bepalen met behulp van de functie ‘Hoek’. De hoeken die geogebra laat zien zijn waarschijnlijk kommagetallen met erg veel decimalen. Controleer eens met je rekenmachine of de overstaande hoeken opgeteld inderdaad 180° zijn. Verschuif daarna de punten van de vierhoek over de cirkel heen en controleer nog een keer met je rekenmachine of het klopt. Doe dit meerdere keren om je vermoeden nog meer te versterken. Zijn de overstaande hoeken opgeteld inderdaad altijd 180°?

In het onderstaande geogebra bestand heb ik zelf ook een koordenvierhoek getekend, en de hoeken hiervan laten uitrekenen door geogebra. In de tekst die je ziet heb ik geogebra de overstaande hoeken laten optellen. Nu zie je inderdaad dat de overstaande hoeken opgeteld inderdaad precies 180° zijn. Verschuif de punten van mijn koordenvierhoek maar eens om te kijken of dit ook altijd zo is.

Tijdens deze opdracht is je vermoeden hopelijk dat de stelling van de koordenvierhoek waar zal moeten zijn. Het optellen van de hoeken met behulp van geogebra is echter nog geen waterdicht wiskundig bewijs. In hoofdstuk 4 ga je zien hoe het wiskundige bewijs van deze stelling in elkaar zit.

Dit is het einde van opdracht 2 van hoofdstuk 3. Sla je bestand op voordat je het venster van geogebra sluit.