## 2.5: De rechte van Euler

In de vorige opdrachten heb je gezien dat in een driehoek de bijzondere lijnen elkaar snijden in 1 punt. In deze opdracht gaan we het hebben over de snijpunten van de volgende lijnen:

- Hoogtelijnen
- Zwaartelijnen
- Middelloodlijnen

Opdracht 2.5

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 2.5’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

In de vorige opdrachten heb je geleerd hoe je deze punten kan vinden met behulp van geogebra. Nu geldt dus de volgende opdracht:

a) Maak een willekeurige driehoek ABC in een leeg bestand.

b) Teken met behulp van geogebra het snijpunt van de middelloodlijnen. Verberg daarna de middelloodlijnen.

c) Teken met behulp van geogebra het snijpunt van de hoogtelijnen. Verberg daarna de hoogtelijnen.

d) Teken met behulp van geogebra het snijpunt van de zwaartelijnen. Verberg daarna de zwaartelijnen.

Als het goed is, heb je nu alleen driehoek ABC en de drie verschillende snijpunten in de tekening staan. Verschuif de punten van de driehoek eens om te zien hoe de punten meebewegen. Begin je een vermoeden te krijgen hoe deze punten met elkaar samenhangen?

Om het vermoeden te versterken, ga je een lijnstuk tekenen tussen de twee punten die het meest uit elkaar liggen. Als het goed is, zie je dat dit lijnstuk ook door het punt in het midden gaat. Verschuif wederom eens de hoekpunten van de driehoek om dit vermoeden te versterken.

De stelling bij deze eigenschap luidt als volgt:

“Van een willekeurige driehoek liggen het hoogtepunt, het zwaartepunt en het midden van de omgeschreven cirkel altijd op een rechte lijn. De wordt de Rechte van Euler genoemd.”

Zo zie je dus dat deze drie snijpunten van bijzondere lijnen in elke willekeurige driehoek op een rechte lijn liggen, en dat het dus geen toeval is. Het bewijs van deze stelling komt in de onderbouw nog niet aan bod, en dus op deze website ook nog niet.

Als je geïnteresseerd bent om erachter te komen hoe dit bewijs in elkaar zit, kan je de onderstaande video kijken van de Wiskunde Academie. Hierin wordt het bewijs duidelijk en kort uitgelegd.

De Rechte van Euler https://www.youtube.com/watch?v=uHT-G0Hc2D4

Dit was het einde van opdracht 5 van hoofdstuk 2, en daarmee ook het einde van hoofdstuk 2. Sla het bestand weer op voordat je het venster van geogebra afsluit.

In hoofdstuk 3 ga je met behulp van geogebra bijzondere constructies maken waar ook weer bijzondere stellingen en eigenschappen naar boven komen. Veel succes met het verdere vervolg op deze website.