## 4.2: Snijpunt bissectrices

In deze opdracht ga je zelf proberen de volgende stellingen te bewijzen:

Stelling 1: Snijpunt bissectrices

“De bissectrices van de hoeken van een driehoek gaan door één punt.” (Dijkhuis et al., 2018)

Stelling 2: Middelpunt ingeschreven cirkel

“Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de bissectrices van de hoeken.” (Dijkhuis et al., 2018)

Om deze stellingen te bewijzen, moet je eerst bestand ‘Opdracht 2.2’ openen die je in hoofdstuk 2 hebt gemaakt. In dit bestand had je een willekeurige driehoek getekend met twee bissectrices en de ingeschreven cirkel.

Via de onderstaande link kan je straks naar de online-versie van geogebra gaan. Als je daar hebt ingelogd, kan je ‘opdracht 2.2’ openen. Ga dit eerst doen, en lees daarna verder in deze opdracht.

Opdracht 4.2

Als je eenmaal opdracht 2.2 hebt geopend, moet je ervoor zorgen dat je in de tekening alleen de driehoek, de bissectrices en het snijpunt van de bissectrices hebt staan. Als je dus in het algebravenster zit (kleine rekenmachine linksboven), moet je alles wat je niet nodig hebt verbergen.

Zoals je ziet snijden de twee bissectrices elkaar al ergens. Als het goed is, heeft die snijpunt de letter D. Om te bewijzen dat de drie bissectrices elkaar allemaal snijden in dit punt, hoef je alleen maar te bewijzen dat de bissectrice van de derde zijde ook door dit punt gaan. In de basis lijkt dus bewijs dus erg op het bewijs uit opdracht 4.1.

Voor het bewijzen van deze stelling, mag de volgende stelling over de bissectrice gebruiken:

“De punten binnen een hoek die even ver van het ene als van het andere been liggen, vormen de bissectrice van de hoek.” (Dijkhuis et al., 2018)

Om je op weg te helpen met het bewijs heb ik de volgende tip voor je:

Als punt D op de bissectrice van hoek A ligt, betekent dat het volgende: d(D,AB) = d(D,AC)

Als punt D op de bissectrice van hoek B ligt, betekent dat het volgende: ……………………….

Opmerking: de notatie d(D,AB) betekent: De kortste afstand vanaf punt D naar AB.

Met behulp van de uitkomsten van de bovenstaande regels, moet je het volgende kunnen beweren:

“Punt D ligt dus ook op de bissectrice van hoek C.”

Met behulp van alle bovenstaande uitkomsten, moet je bovendien kunnen bewijzen dat punt D inderdaad het middelpunt is van de ingeschreven cirkel van driehoek ABC.

Succes met het bewijzen van deze stelling. Je kan altijd mijn geogebra bestand onderaan deze pagina raadplegen als je vastloopt.

Je bent nu aangekomen bij het eind van opdracht 4.2. Sla je bestand op voor je geogebra weer afsluit.