## 4.6: Stelling van middelpuntshoek en omtrekshoek

In deze opdracht ga je zelf proberen de volgende stelling te bewijzen:

Stelling van omtrekshoek & middelpuntshoek

“De middelpuntshoek is precies twee keer zo groot als de omtrekshoek op dezelfde boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

Voordat we deze stelling kunnen bewijzen, moet ik je eerst nog het bewijs van een andere stelling laten zien. Het gaat hierbij om de stelling van de buitenhoek. Deze luidt als volgt:

“De buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee tegenoverstaande binnenhoeken.” (Hoeken (z.d.)

Het bewijs hiervan is niet erg lastig, maar we hebben het wel nodig om de stelling van deze opdracht te kunnen bewijzen. In het geogebra bestand hieronder zie je het bewijs. Bekijk deze eerst voor je verder gaat.

Nu we de stelling van de buitenhoek hebben behandeld, kunnen we toewerken naar het bewijs van de omtrekshoek en middelpuntshoek stelling.

Om deze stelling te bewijzen, moet je eerst bestand ‘Opdracht 3.2’ openen die je in hoofdstuk 3 hebt gemaakt. In dit bestand heb je een vierhoek gemaakt waarvan alle punt op 1 cirkel liggen.

Via de onderstaande link kan je straks naar de online-versie van geogebra gaan. Als je daar hebt ingelogd, kan je ‘opdracht 3.2’ openen. Ga dit eerst doen, en lees daarna verder in deze opdracht.

Opdracht 4.6

Voor het bewijs van de stelling van de omtrekshoek en middelpuntshoek heb je de volgende stellingen nodig:

Gelijkbenige driehoek

“Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee even lange lijnstukken. De basishoeken aan deze even lange zijden hebben dezelfde grootte.”

Stelling van de buitenhoek

“De buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee tegenoverstaande binnenhoeken.” (Hoeken (z.d.)

Om je op weg te helpen met het bewijs heb ik de volgende hints voor je:

1. Teken een lijn vanaf de omtrekshoekhoek door het middenpunt van de cirkel. Dit kan met de functie ‘halve rechte’.
2. Verdeel de omtrekshoek en de middelpuntshoek in hoeken 1 en 2.
3. Druk hoek M uit in de hoeken A, B en C.
4. Gebruik gelijkbenigheid om dit te herschrijven. Bedenk hierbij goed waar je naartoe wil!

In mijn bestand onderaan de pagina staan zowel tips als stappen. Probeer eventueel ook met deze tips eerst zelf een bewijs te formuleren. Als je er echt niet uitkomt, kan je daarna het bewijs stapsgewijs laten verschijnen. Tussendoor kan je dus ook proberen om het bewijs zelf af te maken.

Succes met het bewijzen van deze stelling.

Je bent nu aangekomen bij het eind van opdracht 4.5. Sla je bestand op voor je geogebra weer afsluit.