## 3.3: Stelling van middelpuntshoek en omtrekshoek

In opdracht 3 van hoofdstuk 3 ga je leren over de stelling van de middelpuntshoek en omtrekshoek. Maar voor we kunnen beginnen aan het maken van een constructie met behulp van geogebra, moet je eerst een paar definities kennen die we voorheen nog niet hebben behandeld. Het gaat hierbij om de volgende definities:

Boog

“Een boog is een stukje van de omtrek van een cirkel.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

Omtrekshoek

“De omtrekshoek die bij een boog AB hoort is de hoek van een willekeurig ander punt van de cirkel naar beide uiteinden A en B van die boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

Middelpuntshoek

“De middelpuntshoek die bij een boog AB hoort is de hoek van het middelpunt van de cirkel naar beide uiteinden A en B van die boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

We gaan in deze opdracht dus een cirkel teken met een boog, waarna we voor die boog de middelpuntshoek en omtrekshoek gaan tekenen. Als deze constructie gemaakt is, zal je een vermoeden ontwikkelen over deze twee hoeken. Dit vermoeden gaan we vervolgens versterken door de punten te verschuiven. Het bewijs volgt, zoals alle bewijzen, is hoofdstuk 4.

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 3.3’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

Voor deze constructie beginnen we weer met een cirkel. Maak dus eerst een nieuw punt en teken vervolgens een cirkel met middelpunt en straal. Zorg er weer voor dat de cirkel in het venster past. Nu moet je twee nieuwe punten op de cirkel zetten. Je mag zelf weten waar je deze punten neer, maar probeer ze wel een beetje dichtbij elkaar te houden. Deze punten, die waarschijnlijk B en C heten, vormen samen een ‘boog’.

Zet vervolgens nog een punt (D) op de cirkel, en verbind daarna dit punt met beide uiteinden van de ‘boog’. De hoek die deze lijnen maken, noem je de ‘omtrekshoek’ op de boog BC. Deze omtrekshoek is altijd even groot, ongeacht waar punt D ligt. Laat geogebra maar eens de hoek uitrekenen met de functie ‘hoek’ en versleep daarna punt D over de cirkel om te zien dat de hoek overal gelijk is.

Als je de punten B en C gaat verslepen verandert de grootte van de hoek wel, maar dit komt omdat de lengte van de ‘boog’ verandert. De omtrekshoek voor een willekeurige boog is dus constant, zolang je de boog maar onveranderd laat.

Naast de omtrekshoek gaan we ook nog de middelpuntshoek tekenen. Dit is de hoek die het middelpunt van de cirkel maakt met de uiteinden van de boog. Verbind voor deze hoek de punten B en C beide met punt M. De hoek die deze lijnen nu met elkaar maken heet de ‘middelpuntshoek op de boog BC’. Laat geogebra ook de grootte van deze hoek bepalen.

Is er nu iets wat je opvalt tussen de omtrekshoek en de middelpuntshoek? Versleep de punten allemaal maar eens om te kijken of je een vermoeden kan ontwikkelen over het verband tussen de omtrekshoek en middelpuntshoek.

De stelling van de omtrekshoek en middelpuntshoek luidt als volgt:

“De middelpuntshoek is precies twee keer zo groot als de omtrekshoek op dezelfde boog.” (Omtrekshoek en Middelpuntshoek, z.d.)

In het onderstaande geogebra bestand heb ik zelf ook een soortgelijke constructie gemaakt. In de tekst die je ziet heb ik geogebra de middelpuntshoek laten delen door de omtrekshoek. Je ziet nu dat de uitkomst precies 2 is, maar versleep de punten in de tekening maar eens om te zien of dit ook echt zo blijft.

Tijdens deze opdracht is je vermoeden hopelijk dat deze stelling waar zal moeten zijn. Het delen van de hoeken met behulp van geogebra is nu echter ook geen waterdicht wiskundig bewijs. In hoofdstuk 4 ga je zien hoe het wiskundige bewijs van deze stelling in elkaar zit.

Dit is het einde van opdracht 3 en daarmee van hoofdstuk 3. Sla je bestand op voordat je het venster van geogebra sluit.

In hoofdstuk 4 ga je de constructie die je hebt gemaakt gebruiken om stellingen te bewijzen. Je wordt hierin begeleid hoe het wiskundige bewijs tot stand moet komen. Veel succes met het verdere vervolg op deze website.