## 2.2: Snijpunt bissectrices

Voor deze opdracht moet je de volgende definitie kennen:

Ingeschreven cirkel

“De ingeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die de drie zijden van de driehoek raakt.” (Dijkhuis et al., 2018, p. 62)

In opdracht 2 gaan we het hebben over het snijpunt van de bissectrices van een driehoek. Deze opdracht zal daarom erg lijken op opdracht 1. In hoofdstuk 1 heb je al gezien dat de bissectrices van een driehoek elkaar snijden in 1 punt. In deze opdracht ga je geogebra ook echt dat punt laten tekenen. Hierbij mag je eerst aannemen dat alle drie de bissectrices elkaar snijden in 1 punt. Dit bewijs volgt, zoals gezegd, ook later.

Belangrijk: Om het snijpunt van de bissectrices te bepalen, hoef je maar 2 bissectrices te tekenen. De derde bissectrice gaat automatisch ook door dit snijpunt.

Opdracht 2.2

Klik op de link hierboven om naar de online-versie van geogebra te gaan. Als je met de app werkt, kan je daar nu een leeg bestand in openen.

Begin met het opslaan van je lege bestand onder de naam ‘Opdracht 2.2’. Als je dan tussentijds stopt, kan je het bestand opslaan en een ander moment daar verder gaan.

Begin in je lege bestand met 3 nieuwe punten op willekeurige plekken. Zorg er bij voorkeur voor dat de nieuwe punten op roosterpunten liggen, maar dit is niet verplicht. Verbind vervolgens de 3 punten met elkaar met de functie ‘Lijnstuk tussen 2 punten’. Nu heb je een willekeurige driehoek getekend, die waarschijnlijk weer ABC heet.

Laat geogebra nu van twee hoeken de bissectrices bepalen met de functie ‘bissectrice’. Schrik niet van de lijnen die buiten de driehoek ook verschijnen. De bissectrices zijn de lijnen die door de driehoek gaan. Laat geogebra het snijpunt van de bissectrices bepalen. Als dit snijpunt is verschenen, mag je alle lijnen weer verbergen. Het enige wat je dan overhoudt is de driehoek en het snijpunt van de bissectrices. Dit snijpunt heeft ook een bijzondere eigenschap.

Voor het snijpunt van de bissectrices geldt de volgende stelling:

“Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de bissectrices van de hoeken.” (Dijkhuis et al., 2018)

Zoals je eerder hebt gelezen, is de ingeschreven cirkel van een driehoek een cirkel die alle zijden aan de binnenkant raakt. Om deze cirkel te kunnen tekenen, moet je eerst van 1 zijde de kortste afstand naar het snijpunt van de bissectrices bepalen. Dit kun je doen met behulp van de functie ‘Loodlijn’.

Als je een loodlijn hebt getekend naar 1 van de zijden van de driehoek, moet je geogebra nog het snijpunt van deze zijde en de loodlijn laten bepalen. Als je dit punt hebt, kan je de functie ‘Cirkel met middelpunt door punt’ gebruiken om de ingeschreven cirkel te laten tekenen.

Je hebt nu een cirkel die, als het goed is, ook de andere twee zijden van de driehoek precies raakt. De cirkel is als het ware ingesloten door de driehoek.

Verschuif de punten A, B en C eens om op te kunnen merken dat dit altijd zo blijft. Hiermee hebben we ook deze stelling natuurlijk nog niet bewezen, maar ons vermoeden is wel weer versterkt. Het bewijzen doen we ook later.

Dit is het einde van opdracht 2 van hoofdstuk 2. Sla je bestand weer op voor je deze opdracht afsluit.