## 4.3: Snijpunt zwaartelijnen

In deze opdracht ga je zelf proberen de volgende stelling te bewijzen:

“In iedere driehoek snijden de drie zwaartelijnen elkaar in één punt. Dit snijpunt noem je het zwaartepunt.” (De Bruijn et al, 2014)

Dit bewijs is wat lastiger dan het bewijs van de vorige twee opdrachten. Voor we deze stelling kunnen bewijzen, moeten we namelijk eerst een beetje voorwerk doen. Voor we kunnen bewijzen dat de drie zwaartelijnen elkaar snijden in 1 punt, hebben we het bewijs van de volgende stelling nodig:

“Twee zwaartelijnen van een driehoek verdelen elkaar in stukken die zich verhouden als 1 : 2.” Stelling en bewijs (z.d.).

Dit bewijs ga ik je straks laten zien, maar zelfs voor we aan dit bewijs kunnen beginnen moeten we eerst nog een definitie bespreken. Dit is de definitie van de middenparallel.

“De middenparallel van een driehoek is het lijnstuk dat loopt van het midden van de ene zijde naar het midden van de tweede zijde.” Stelling en bewijs (z.d.).

Eigenschappen middenparallel Stelling en bewijs (z.d.):

- De middenparallel is evenwijdig aan de derde zijde
- De lengte van de middenparallel is precies de helft van de lengte van de derde zijde

Kijk goed naar het geogebra bestand hieronder. Hierin wordt bewezen dat de zwaartelijnen elkaar verdelen in de verhouding 1:2. Laat het bewijs zelf stapsgewijs verschijnen en kijk of je het begrijpt.

Met het bovenstaande bewijs is de volgende stelling bewezen:

“Als twee zwaartelijnen elkaar snijden, verdelen ze elkaar in de verhouding 1:2.” (Reichard et al, 2011)

Nu het voorwerk is gedaan, ga je zelf proberen om te bewijzen dat de drie zwaartelijnen elkaar in 1 punt snijden.

Om deze stelling te bewijzen, moet je eerst bestand ‘Opdracht 2.3’ openen die je in hoofdstuk 2 hebt gemaakt. In dit bestand had je een willekeurige driehoek getekend met twee zwaartelijnen en het snijpunt van deze zwaartelijnen (het zwaartepunt).

Via de onderstaande link kan je straks naar de online-versie van geogebra gaan. Als je daar hebt ingelogd, kan je ‘opdracht 2.3’ openen. Ga dit eerst doen, en lees daarna verder in deze opdracht.

Opdracht 4.3

Zoals je ziet snijden de twee zwaartelijnen elkaar al ergens. Als het goed is, heeft die snijpunt weer de letter D. Om te bewijzen dat de drie zwaartelijnen elkaar allemaal snijden in dit punt, hoef je alleen maar te bewijzen dat de derde zwaartelijn ook door dit punt gaat. In de basis lijkt dus bewijs dus erg op het bewijs uit opdracht 4.1.

Voor we verder gaan:

Geef het midden van zijde AB de letter E.

Geef het midden van zijde AC de letter F.

Geef het midden van zijde BC de letter G.

Om je op weg te helpen met het bewijs heb ik de volgende hints voor je:

De zwaartelijn CE snijdt de zwaartelijn AG in punt D, zo dat het volgende geldt: DG : AD = 1 : 2

De zwaartelijn BF snijdt de zwaartelijn AG in punt S, zo dat het volgende geldt: SG : AS = 1 : 2

De punten D en S verdelen de zwaartelijn allebei in de verhouding 1 : 2. Wat betekent dit voor de punten D en S? Hoe kan je hiermee bewijzen dat de drie zwaartelijnen door 1 punt gaan?

Succes met het bewijzen van deze stelling. Je kan altijd mijn geogebra bestand onderaan deze pagina raadplegen als je vastloopt.

Je bent nu aangekomen bij het eind van opdracht 4.3. Sla je bestand op voor je geogebra weer afsluit.