Welkom bij de lessenserie voor Hoofdstuk 5, paragraaf 1 en 2 van de methode Getal en Ruimte 12e editie 2havo/vwo.
Wat moet je doen?:
- Lees goed wat er van je gevraagd wordt.
- Begin met de oefentoets!
- Check wat je score is:
Deze score bepaald bij welk onderdeel je begint.
- Sla niks over van de verplichte onderdelen.
- Alles wat je hier uitgelegd krijgt, zal de docent niet weer gaan uitleggen in de les.
- Je sluit de les af met een Eindtoets.
Dit onderdeel gaat over de Stelling van Pythagoras. Ik hoor je al denken of zeggen: "Wie is dat?"
Ben je benieuwd geworden, dan kun je onderstaand filmpje bekijken (niet verplicht).
Leerdoelen
LEERDOELEN
Lees onderstaande informatie
Het is belangrijk om de leerdoelen vast te stellen bij de start van een les. Zo weet jij ook beter wat er van je verwacht wordt als leerling en kun je aan het eind van een les checken of je dit leerdoel hebt behaald. Dit leerdoel hoef je dus aan het begin van een les nog niet te beheersen, maar aan het einde wel.
De verschillende soorten driehoeken onderscheiden blijkt nogal lastig. Het is heel belangrijk dat je kunt aangeven om welke driehoek het gaat. Want we mogen de Stelling van Pythagoras alleen gebruiken bij een rechthoekige driehoek.
Aan het einde van deze les kan ik...
...de bekende wortels en kwadraten uit het hoofd berekenen.
...de gelijkzijdige, de gelijkbenige en rechthoekige driehoek van elkaar onderscheiden.
...de twee rechthoekszijden en de schuine zijde in een rechthoekige driehoek herkennen en benoemen. De stelling van Pythagoras erbij kunnen opschrijven.
...de onbekende lengte van de schuine zijde berekenen met de Stelling van Pythagoras.
...de onbekende lengte van een rechthoekszijde berekenen met de Stelling van Pythagoras.
...de stelling van Pythagoras toepassen in situaties, door hulplijnen te tekenen.
Belangrijke afkortingen:
- rechthoekszijde = rz
- schuine zijde = sz
Instaptoets
Toets: Instaptoets
0%
Deze toets is bedoeld om te bekijken wat je al wel weet en waar je misschien deze les nog mee moet oefenen.
Je beantwoordt alle vragen, dit zijn in totaal 6 vragen.
Bij een score van 4 of hoger, mag je beginnen met het onderdeel "Berekenen lange zijde"
Bij een score van 3 of lager, moet je beginnen met het onderdeel "Herhalen voorkennis"
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Uit de instaptoets is gebleken dat jij bepaalde onderdelen uit Hoofdstuk 5, Voorkennis en paragraaf 1 nog niet voldoende beheerst. Dit is niet erg, maar het is niet verstandig om alvast te beginnen met de nieuwe leerstof uit de volgende paragraaf. Je hebt de voorkennis nodig om een goede basis te hebben, voordat je begint met het onderdeel "Stelling van Pythagoras".
Aan het einde van de voorkennis kan ik...:
...de wortel en kwadraat van een getal berekenen.
...de verschillende driehoeken herkennen en benoemen.
...de lange zijde en 2 korte zijden in een rechthoekige driehoek aangeven.
...de stelling van Pythagoras opschrijven in de vorm AB2 + AC2 = BC2
Bij een kwadraat zou je eigenlijk kunnen denken aan een vierkant. Om de oppervlakte van een vierkant te berekenen vermenigvuldig je het getal van de ene zijde met het getal van de andere zijde.
De eigenschap van een vierkant is dat alle zijden dezelfde lengte hebben. Bij een kwadraat moet je ook uitgaan van dit principe. Want bij het kwadraat van een getal vermenigvuldig je het getal nogmaals met hetzelfde getal.
Voorbeeld:
52= 5 x 5 = 25
Deze tussenstap hoef je niet te noteren, tenzij het prettig werkt voor jezelf.
Dus 132= 13 x 13 = 169
Wat zou dan het kwadraat van 10 zijn?
Worteltrekken
Bij de wortel uit het getal, doe je eigenlijk het omgekeerde van de kwadraat. Je gaat namelijk op zoek naar het getal in het kwadraat, zonder het kwadraat erboven.
Voorbeeld:
De wortel 25 = 5, want 52= 25.
Dus de wortel van 81 = 9, want 92= 81.
Wat zou dan de wortel uit 36 zijn?
Verschillende soorten driehoeken
Er zijn verschillende soorten driehoeken. Het is belangrijk dat je bij een gegeven driehoek kunt aangeven wat voor soort driehoek het is. Je zou je kunnen afvragen waarom het belangrijk is dat je dit moet weten. Iedere driehoek heeft andere eigenschappen. Deze eigenschappen kunnen je goed van pas komen, alleen moet je daarvoor wel eerst weten met wat voor driehoek je te maken hebt.
We gaan hieronder 3 belangrijke driehoeken behandelen, leer deze goed uit je hoofd!:
1. De rechthoekige driehoek
Deze driehoek heeft één hoek van 90 graden en twee scherpe hoeken.
In de afbeelding hierboven kun je 5 rechthoekige driehoeken herkennen en benoemen.
Lukt dit jou?
De driehoeken zijn DEF, DFG, DEG, DGH, EGH.
Al deze driehoeken hebben een rechte hoek en noemen we daarom rechthoekige driehoek.
2. De gelijkzijdige driehoek
Deze driehoek heeft 3 zijden met gelijke lengten, vandaar de naam gelijkzijdige driehoek. De hoeken in deze driehoek zijn allen 60 graden. Je kunt vanuit een hoekpunt een zwaartelijn tekenen, deze verdeelt deze driehoek in 2 rechthoekige driehoeken. Deze staat loodrecht op de overstaande zijde, en deelt deze lijn in twee stukken met dezelfde lengte.
3. Gelijkbenige driehoek
Deze driehoek heeft twee zijden met dezelfde lengte, en 1 zijde met een andere lengte. De twee opstaande zijden met dezelfde lengten, hebben ook twee basishoeken. Deze hoeken hebben dezelfde grootte.
Voorbeeld:
Stel dat we een gelijkbenige driehoek hebben met lengte 5, 5 en 3. De twee hoeken zijn 75 graden en 30 graden. Hoeveel graden is de andere hoek? Dan weet je al gelijk dat de andere hoek ook 75 graden is. Check: 180 - 75 - 30 = 75 graden, dit klopt.
Ook bij een gelijkbenige driehoek geldt dat als je een zwaartelijn tekent vanuit een hoekpunt naar de overstaande zijde, deze loodrecht staat op deze zijde. Dit betekent dat er door deze lijn twee rechthoekige driehoeken zijn gevormd.
Kortom, let in dit hoofdstuk goed op de signaalwoorden als gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek. Doordat je een zwaartelijn kunt tekenen, kun je ook gebruik maken van de Stelling van Pythagoras, later hier meer over.
Rechthoekige driehoek en zijden benoemen
Je hebt bovenstaande doorgenomen en bent klaar om verder te gaan met het volgende onderdeel.
Ga verder met onderdeel "Stelling van Pythagoras": "lange zijde/schuine zijde berekenen".
Stelling van Pythagoras
Socrative oefening
Let op: Roomname is BALKOCA. Vul je naam in.
Check of je het antwoord op deze 3 stellingen juist kunt beantwoorden. True= waar en False= niet waar.
Na het afronden van de 3 vragen, is het mogelijk dat er een symbool verschijnt, waardoor het lijkt alsof je nog niet klaar bent. Laat je hier niet door afleiden en GA DOOR!
Je gaat vanaf nu werken met de Stelling van Pythagoras.
Deze mag je alleen gebruiken in een rechthoekige driehoek en gebruik je voor het berekenen van de lengte van een onbekende zijde. We gaan dit doen volgens een stappenplan, die ik hieronder zal toelichten.
Dit stappenplan is:
Noteer rz, rz, sz
Noteer hierachter wat de lettercombinatie is van deze zijde, dus bv. AB.
Noteer de stelling van Pythagoras.
Reken de bekende kwadraten uit.
Trek de wortel om de onbekende zijde te berekenen.
In de stelling van Pythagoras geldt dat de twee rechthoekszijden in het kwadraat, de schuine zijde in het kwadraat opleveren. Dus rz2 + rz2 = sz2.
Voorbeeld:
rz
AB
rz
BC
sz
AC
AB2 + BC2 = AC2
32 + 42= AC2
25 = AC2
AC= wortel 25 = 5 cm (vergeet de eenheid niet)
Lange zijde berekenen
Hoe bereken ik de lange zijde of korte zijde in een rechthoekige driehoek?
Korte zijde berekenen
Berekenen korte zijde in een rechthoekige driehoek
Bekijk eerst onderstaande kennisclip!
In de kennisclip is ook uitgelegd hoe je de onbekende lengte van de rechthoekszijde kunt berekenen.
Dit was het verkorte stappenplan:
Stap 1: Ik moet de stelling van Pythagoras opschrijven!
Stap 2: Vul de bekende gegevens in de formule in (naam zijde, lengte zijde)
Stap 3: Bereken de zijde van de onbekende rechthoekszijde (tip: je moet worteltrekken)
Het verschil tussen het berekenen van de lange zijde en korte zijde:
- rz2 + rz2= sz2
- sz2 - rz2 = rz2
Berekenen rechthoekszijde:
Je moet dus het kwadraat van de schuine zijde - het kwadraat van de bekende rechthoekszijde doen. Dit getal levert jouw het kwadraat van de onbekende rechthoekszijde op.
Nu kun je hier de wortel van nemen. Dit levert jou de lengte van de onbekende rechthoekszijde op.
De langste zijde blijft altijd de schuine zijde qua lengte, dus de rechthoekszijde die je berekent, moet altijd kleiner zijn qua waarde. Check dus altijd je antwoord.
Checken rechthoekige driehoek
Checken of een driehoek rechthoekig is
De Stelling van Pythagoras mogen wij alleen gebruiken in een driehoek die rechthoekig is. Hiermee kunnen we bij een driehoek waarbij alle zijden bekend zijn, checken of het hier om een rechthoekige driehoek gaat of niet. We moeten dus checken of de vierde kolom in de tabel het getal oplevert voor de lange zijde.
Zie bovenstaande afbeelding.
We gaan controleren of dit een rechthoekige driehoek is, dit doen we op de volgende manier.
AB2 + BC2 = AC2
112 + 82 = AC2
64 + 121 = AC2
185 = AC2
AC = Wortel 185 = 13, 601 = 13, 6 dm
Conclusie trekken: Dus nee, driehoek ABC is geen rechthoekige driehoek. Want deze is 13 dm, terwijl dit bij een rechthoekige driehoek 13,6 dmhad moeten zijn.
Pythagoras in gelijkbenige driehoek en trapezium
Belangrijk!
De stelling van Pythagoras kun je ook gebruiken in het berekenen van een zijde in een gelijkbenige driehoek of een trapezium.
Allereerst dien je hiervoor wel hulplijnen te moeten tekenen. Want pas dan zal je er een rechthoekige driehoek in maken, waardoor je de stelling mag gebruiken.
3) Verwerk de gegevens in de schets en zet letters bij belangrijke punten.
4) Bereken de gevraagde lengte met de stelling van Pythagoras.
Bekijk dit filmpje over hoe je dit moet aanpakken!
Voorbeeldopgave
Bereken zijde AD.
Constateer dat je hulplijn vanuit punt D moet tekenen op zijde AB, noemt dit punt E.
AE = 7 - 4 = 3
Stelling van Pythagoras:
AE2 + DE2 = AD2
32 + 52 = AD2
34 = AD2
AD = Wortel 34 = 5,830...= 5,8
Check of je dit leerdoel behaald hebt?
Eindtoets
Voordat je de eindtoets maakt dien je alle andere onderdelen afgerond te hebben.
Dit cijfer geeft jou een goed beeld bij over of je de Stelling van Pythagoras ook kan toepassen in andere situaties. Want we gaan in paragraaf 5 van dit hoofdstuk verder met de Stelling van Pythagoras in ruimtefiguren.
Het arrangement Stelling van Pythagoras - 2Havo is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Silya Balkoca
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2020-06-28 21:37:50
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Instaptoets
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
