Spreidingsmaten

Spreidingsmaten

Wat ga ik leren?

Je gaat in deze paragraaf leren ...

Opgaven

Spreidingsbreedte

Tot nu toe hebben we gekeken naar de centrummaten. Naast deze kengetallen voor het centrum van de 'berg' cijfers zijn er ook kengetallen voor de spreiding van de 'berg' cijfers.

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

Bekijk de twee cijferreeksen:
A: 6,6,6,7,6,5

B: 10,2,10,2,3,9

Beide reeksen hebben als gemiddelde 6, maar er is duidelijk verschil tussen de reeksen. De spreiding bij reeks B is veel groter.

 

De meest eenvoudige spreidingsmaat is de spreidingsbreedte:
grootste waarneming − kleinste waarneming.

 

 

Spreidingsbreedte

Bij reeks A is de spreidingsbreedte \(2\) en bij reeks B is die \(8\).

Verzin een voorbeeld van een cijferreeks met dezelfde spreidingsbreedte als B maar waarvan jij de spreiding toch kleiner vindt dan die van B.

 

Reeksen met dezelfde spreidingsbreedte

Reeksen met dezelfde spreidingsbreedte

Reeksen met dezelfde spreidingsbreedte hebben voor ons gevoel niet altijd dezelfde spreiding. Er kunnen zelfs grote verschillen optreden. Het is dus eigenlijk niet zo'n goede maat om de spreiding van een reeks aan te geven.

Wat is een voordeel van de spreidingsbreedte als maat voor de spreiding?

 

Kwartielafstand

Een andere maat voor de spreiding is de kwartielafstand:
derde kwartiel (Q3) − eerste kwartiel (Q1).

 

Kwartielafstand

Bereken de kwartielafstand van de volgende cijferreeks:
\(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\).

 

Gevoeligheid voor uitschieters kwartielafstand

Gevoeligheid uitschieters kwartielafstand

Deze kwartielafstand is minder gevoelig voor uitschieters dan de spreidingsbreedte.

Illustreer deze uitspraak met een getallenvoorbeeld.

 

 

Gemiddelde afwijking

Een derde maat voor de spreiding is de gemiddelde afwijking ten opzichte van het gemiddelde.
De gemiddelde afwijking wordt berekend door de afwijkingen (altijd een positief getal) t.o.v. het gemiddelde van alle waarnemingen op te tellen en vervolgens te delen door het aantal waarnemingen.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

Serie A: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Serie B: 2,5,5,6,6,6,8,8,9,10,12
Beide series hebben als gemiddelde 7.


Voor serie A zijn de afwijkingen ten opzichte van 7:
5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5.

De gemiddelde afwijking wordt nu:
5+4+3+2+1+0+1+2+3+4+511=2,7.


Voor serie B is de gemiddelde afwijking:
5+2+2+1+1+1+1+1+2+3+511=2,45.
Gemiddelde afwijking

Bereken de gemiddelde afwijking voor de volgende serie:
\(5, 4, 7, 8, 2, 9, 10, 3, 6, 7\).

 

Gemiddelde afwijking bij de frequentietabel

Gemiddelde afwijking bij de frequentietabel

 

 

 

Bereken de gemiddelde afwijking bij de frequentietabel hiernaast.

De lengten die hier staan zijn natuurlijk de klassenmiddens van de verschillende klassen.

 

Cijferreeks van 7 cijfers

Cijferreeks van 7 cijfers

Verzin een cijferreeks van \(7\) cijfers waarbij het gemiddelde \(6\) is en de gemiddelde afwijking \(2\).

 

 

 

Standaarddeviatie

De gemiddelde afwijking heeft niet het bezwaar dat die zeer gevoelig is voor uitschieters. Toch wordt deze spreidingsmaat in de praktijk nauwelijks gebruikt omdat het rekenwerk en de rekenregels daarbij nogal gecompliceerd zijn.


Deze rekenregels worden eenvoudiger als je de afwijkingen kwadrateert. Het gemiddelde van deze kwadraten is de variantie.


Om dit kwadrateren weer op te heffen, wordt van de variantie de wortel genomen. Het getal dat je dan krijgt, is de standaardafwijking, ook vaak standaarddeviatie genoemd (deviatie = afwijking). Dit is de meest gebruikte spreidingsmaat.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

De variantie en standaarddeviatie van de serie 3,5,6,7,8,9,11 bereken je als volgt.

  • Bereken eerst het gemiddelde:
    3+5+6+7+8+9+117=7.

  • Bepaal de afwijkingen (deviaties) van het gemiddelde:
    4,2,1,0,1,2,4.

  • Bereken de kwadraten van deze afwijkingen:
    16,4,1,0,1,4,16.

  • Bereken het gemiddelde van deze kwadraten:
    16+4+1+0+1+4+167=6.
    Dit is de variantie.

  • Bereken de wortel van de variantie:
    √6=2,45.
    Dit is de standaarddeviatie (of standaardafwijking).
Standaarddeviatie

Bereken de standaarddeviatie van de series A en B (waarvan de gemiddelde afwijking hiervoor al is bepaald):
Serie A: \(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\)
Serie B: \(2, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 12\)

 

Variantie de standaardafwijking

Variantie de standaardafwijking

a Bereken de variantie en de standaardafwijking bij de tabel met de lengten (opgave "Gemiddelde afwijking bij de frequentietabel").

b Waarom gebruiken we als spreidingsmaat de wortel van de variantie en niet de variantie zelf?

(hint: In welke eenheid wordt de variantie uitgedrukt als de waarnemingen in cm zijn?)

 

 

 

Vier series

Vier series

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a Bereken het gemiddelde, de variantie en de standaarddeviatie van elk van de volgende series.
Serie P: \(2, 4, 6, 8\).
Serie Q: \(102, 104, 106, 108\).
Serie R: \(20, 40, 60, 80\).
Serie S: \(2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8\).

b Wat gebeurt er met het gemiddelde en met de standaarddeviatie als je van een serie:

  • alle getallen met \(100\) vermeerdert?

  • alle getallen met \(10\) vermenigvuldigt?

  • alle getallen twee keer telt?

c Welke van de volgende zes series hebben dezelfde standaarddeviatie en hoe komt dat?

Serie U: \(1, 2, 2, 3\).           

Serie X: \(1, 1, 1, 3, 3, 3\).

Serie V: \(1, 1, 3, 3\).

Serie Y: \(0, 0, 2, 2\).

Serie W: \(1, 1, 1, 3\).

Serie Z: \(2, 2, 6, 6\).

 

 

Series van zeven cijfers

Series van zeven cijfers

We bekijken alle mogelijke series van zeven cijfers, die minimaal \(1\) en maximaal \(10\) zijn.

Bereken de grootst mogelijke standaarddeviatie en de kleinst mogelijke standaarddeviatie. Geef ook de bijbehorende series.

 

Handboogschieten

Handboogschieten

Bij veel sporten worden allerlei statistieken bijgehouden. Stel dat bij handboogschieten de scores van de leden van een club zijn bijgehouden. We bekijken de statistieken van drie leden.
Schutter A: gemiddelde \(8,2\) en standaardafwijking \(0,4\).
Schutter B: gemiddelde \(8,0\) en standaardafwijking \(0,5\).
Schutter C: gemiddelde \(7,8\) en standaardafwijking \(1,0\).
Bij een wedstrijd moet de coach een van deze drie leden kiezen om zijn team compleet te maken.

Welke afweging kan de coach maken, enkel op grond van deze statistieken?

 

 

 

  • Het arrangement Spreidingsmaten is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-10-06 18:10:55
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde A voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Statistiek 1'.
    Leerniveau
    HAVO 4;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, havo 4, statistiek, stercollectie, wiskunde a

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (z.d.).

    Wat is statistiek?

    https://maken.wikiwijs.nl/155009/Wat_is_statistiek_

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van