In het voorgaande hebben we de afgeleide van \(\small y=x^n\) bepaald voor \(\small n=1\), \(\small n=2\), \(\small n=3\) en \(\small n=‐1\).
In het volgende zullen dat doen voor positieve gehele getallen \(\small n\) en \(\small n = \frac{1}{2}\).
Daarvoor herhalen we nog eens hoe je de afgeleide in een punt van de grafiek kunt berekenen.
Opgaven
Afgeleide in (1,1) van de functie y=x^5
In het voorgaande hebben we de afgeleide van \(\small y=x^n\) bepaald voor \(\small n=1\), \(\small n=2\), \(\small n=3\) en \(\small n=‐1\).
In het volgende zullen dat doen voor positieve gehele getallen \(\small n\) en \(\small n = \frac{1}{2}\).
Daarvoor herhalen we nog eens hoe je de afgeleide in een punt van de grafiek kunt berekenen.
Laat \(\small P(a,b)\) een punt zijn van de grafiek van functie \(\small f\). Veronderstel dat de grafiek van \(\small f\) glad is in \(\small P\), dus de grafiek heeft een raaklijn in \(\small P\).
De helling van de grafiek is de richtingscoëfficiënt van die raaklijn; die laat zich benaderen met \(\small \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{y - b}}{{x - a}}\), waarbij \(\small Δx=x−a\) klein gekozen moet worden. Preciezer: als \(\small Δx\) nadert tot \(\small 0\), nadert \(\small \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) tot de richtingscoëfficiënt.
Ofwel: als \(\small x\) nadert tot \(\small a\), nadert \(\small \frac{{y - b}}{{x - a}}\) tot de richtingscoëfficiënt.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is de limiet (= grenswaarde) van \(\small \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\), notatie: \(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) of \(\small \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{y - b}}{{x - a}}\).
Deze limietwaarde zelf wordt wel genoteerd met \(\small \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}\).
Verderop wordt aan het ontstaan van die notatie aandacht besteed.
Afgeleide van de functie y=x^5 in het punt met eerste coördinaat a
Ga na of deze regel ook klopt voor
We kunnen op precies dezelfde manier te werk gaan bij andere positieve gehele exponenten \(\small n\). We concluderen:
Als \(\small f:x→x^n\), dan \(\small f′ :x \to n \cdot {x^{n - 1}}\) (\(\small n\) positief geheel).
Opmerking:
Voor \(\small n=2\) en \(\small n=3\) hebben we dit al gezien.
Gegeven de functie y=x^3 met daarop P
Raaklijn in Q
Voorbeeld:
Vergelijking van een raaklijn opstellen
Gegeven \(\small f:x→x^2+4x\) met daarop het punt \(\small P\) met eerste coördinaat \(\small 3\).
Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van \(\small f\) in het punt \(\small P\).
Oplossing \(\small f(3)=3^2+4⋅3=21\), dus \(\small P(3,21)\). \(\small f′(x)=2x+4\), dus \(\small f′(3)=2⋅3+4=10\).
De raaklijn gaat dus door \(\small (3,21)\) en heeft richtingscoëfficiënt \(\small 10\).
Een vergelijking van die lijn is: \(\small y=10x+b\), voor zeker getal \(\small b\). \(\small (3,21)\) moet aan de vergelijking voldoen, dus \(\small 21=3⋅10+b\), dus \(\small b=‐9\).
Een vergelijking van de raaklijn is dus: \(\small y=10x−9\).
Op de GR heb je de mogelijkheid in een punt de raaklijn aan een grafiek te tekenen. Ook krijg je de vergelijking van die raaklijn. Zoek uit hoe dat gaat.
Gegeven is de functie f met f(x)=x^4−2x^2
Teken met window [0,1] x [0,1] de grafieken
Over de notatie\(\small \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}\)
Gottfried Wilhelm Leibniz
1646 - 1716
Zoals gezegd, is de notatie \(\small \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}\) afkomstig van \(\small \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\). In de zeventiende eeuw is de notatie ingevoerd door een van de ontdekkers van de differentiaalrekening: Gottfried Wilhelm Leibniz. \(\small Δy\) en \(\small Δx\) stellen (zeer) kleine toenamen voor van \(\small y\) en \(\small x\). \(\small \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) is het quotiënt van die kleine toenamen, het zogenaamde differentiequotiënt.
Leibniz sprak bij \(\small \text dy\) en \(\small \text dx\) over oneindig kleine toenames van \(\small y\) en \(\small x\). Maar oneindig klein is strikt genomen \(\small 0\) en als \(\small \text dy\) en \(\small \text dx\) beide \(\small 0\) zijn, wat moet je dan met \(\small \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}\)?
Dat ontlokte bij tijdgenoten van Leibniz spottende kritiek als zou de nieuwe methode van de differentiaalrekening onzin zijn, onder anderen van de Nederlandse wiskundige Bernard Nieuwentijt (arts en burgemeester te Purmerend). \(\small \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}\) noemt men wel een differentiaalquotiënt.
Voor ons is \(\small \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}\) niets meer of minder dan een notatie voor de exacte helling van de grafiek, een notatie die doet denken aan de manier waarop je de helling benadert, namelijk met \(\small \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}\). Je spreekt \(\small \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}\) uit als "dé-ij- dé-iks".
De afgeleide van de wortelfunctie
\(\small \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}x}}\sqrt x = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Ga na dat deze regel ook juist is
Bereken exact
We bekijken de raaklijn aan de grafiek
Gegeven is de functie f:x→x−3√x en de lijn met vergelijking x+2y=0
Het arrangement Meer machtsfuncties afleiden is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Laat 
Op de GR heb je de mogelijkheid in een punt de raaklijn aan een grafiek te tekenen. Ook krijg je de vergelijking van die raaklijn. Zoek uit hoe dat gaat.
