Je gaat in deze paragraaf leren hoe je de groeisnelheid in een punt van de grafiek van een aantal eenvoudige functies kunt berekenen:
Bij rechte lijnen, dus \(\small f(x)=ax+b\)
Bij \(\small f(x)=x^2\)
Bij \(\small f(x)=x^3\)
Bij \(\small f(x) = \frac {1}{x}\)
Opgaven
Groeisnelheid berekenen
Gegeven is een of andere functie \(\small f\).
De functie die in elk punt de helling van \(\small f\) geeft, noemen we de afgeleide functie van \(\small f\).
We noteren deze functie met \(\small f′\).
In opgave "We bekijken nog eens de bewegende strook papier" heb je gezien:
als \(\small f:x \to \frac{1}{2}{x^2} + 2x\), dan geldt: de helling in het punt met eerste coördinaat \(\small a\) is \(\small a+2\), dus \(\small f′(a)=a+2\).
Groeisnelheid met de GR
f:x→1,5x−6
Hiernaast is de grafiek getekend van het verband tussen twee grootheden, zeg \(\small A\) en \(\small x\). Veronderstel dat \(\small (2,7)\) op de grafiek ligt. Laat \(\small x\) veranderen van \(\small 2\) tot \(\small 2+Δx\); hierdoor verandert \(\small A\) van \(\small 7\) tot \(\small 7+ΔA\).
Als we een formule van het verband tussen \(\small x\) en \(\small A\) kennen, kunnen we \(\small \frac{{\Delta A}}{{\Delta x}}\) berekenen.
Laten we vervolgens \(\small Δx\) tot \(\small 0\) naderen, dan vinden we de limiet van \(\small \frac{{\Delta A}}{{\Delta x}}\), notatie: \(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta A}}{{\Delta x}}\).
Deze limiet is de groeisnelheid van \(\small A\) als \(\small x=2\).
Deze limiet is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt \(\small (2,7)\).
Als \(\small f\) een constante functie of een lineaire functie van \(\small x\) is, hangt de groeisnelheid van \(\small f(x)\) niet af van \(\small x\).
Als \(\small f\) dat niet is, hangt de groeisnelheid van \(\small f(x)\) wel af van \(\small x\).
We noteren de groeisnelheid van de functie \(\small f\) in het punt met eerste coördinaat \(\small x\) als \(\small f′(x)\).
Zoals eerder is opgemerkt: \(\small f′\) heet de afgeleide functie van \(\small f\).
Een rechthoek
Opmerking:
In de opgave "Een rechthoek" was sprake van de functie \(\small f\) met \(\small f(x) = \left\{ \begin{gathered} 2x\,\,{\text{als}}\,\,0 \leqslant x \leqslant 2 \hfill \\ 4\,\,{\text{als}}\,\,2 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\ ‐2x + 14\,\,{\text{als}}\,\,5 \leqslant x \leqslant 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.\) .
(Hier is \(\small x\) de hoogte \(\small h\) en \(\small f(x)\) de breedte \(\small b\).)
Als \(\small 0<x<2\) geldt: \(\small f′(x)=2\).
Als \(\small 2<x<5\) geldt: \(\small f′(x)=0\).
Als \(\small 5<x<7\) geldt: \(\small f′(x)=‐2\).
Deze functie heeft geen raaklijn in de punten met eerste coördinaat \(\small 2\) en \(\small 5\) (is niet differentieerbaar voor \(\small x=2\) en voor \(\small x=5\)).
Populair gezegd:
Een functie is differentieerbaar als de grafiek geen knik heeft; men spreekt dan ook wel van een gladde functie.
Meer hierover vind je in de paragraaf Differentieerbaarheid.
De afgeleide van enkele machtsfuncties
Gegeven: f:x→x²
Afgeleide van y=x³
Familie de Vrij gaat op vakantie
Afgeleide van y=1/x
Als \(\small f:x \to \frac{1}{x}\), dan \(\small f':x \to ‐\frac{1}{{{x^2}}}\).
Helling benaderen met de GR
Gegeven is een functie \(\small y\) van \(\small x\). Stel dat je een formule van deze functie kent. Het bepalen van de groeisnelheid kan dan best lastig zijn. Maar de berekening komt wel steeds op hetzelfde neer. De rekenmachine kan het lastige (en saaie?) werk van ons overnemen. Bij de functie van opgave 23 gaat dat als volgt.
Y1 = X^3
Y2 = (Y1(X+0.001)–Y1)/0.001
De functie Y2 geeft voor op te geven waarden van X de waarde van \(\small \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) met ∆X=0,001. En dat is (meestal) een goede benadering van de groeisnelheid. Voor X kun je natuurlijk ook een andere waarde nemen (als hij maar klein genoeg is).
We hebben dit ook al gezien bij opgave "Voer in op de GR".
Het arrangement De afgeleide functie is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Je gaat in deze paragraaf leren hoe je de groeisnelheid in een punt van de grafiek van een aantal eenvoudige functies kunt berekenen:
Hiernaast is de grafiek getekend van het verband tussen twee grootheden, zeg 
Gegeven is een functie 
