Iemand heeft zeven blokken op elkaar gestapeld. De stapel helt gevaarlijk naar rechts over. Maar hij valt niet om! Hoe dat te begrijpen is, daar gaat deze paragraaf over.
Opgaven
Massa’s schuiven
We maken in deze paragraaf gebruik van het schuifprincipe uit de natuurkunde.
Het evenwicht wordt niet verstoord als je twee gelijke massa’s tegengesteld aan elkaar over dezelfde afstand verplaatst: \(\small →\)\(\small ←\) of \(\small ←\)\(\small →\)
Het schuifprincipe is ons uitgangspunt. Als je een balans tot je beschikking hebt, kun je experimenteel vaststellen dat dit juist is. Uitgaande van dit natuurkundige principe, gaan we wiskundig redeneren.
Zoek uit waar je de mobielen 1, 2, 3 en 4 moet ophangen
Aan de massaloze staaf hangen twee massa’s van grootte 2 en 6
Het punt waar de staaf met massa’s moet worden opgehangen om de staaf in evenwicht te krijgen, noemen we het zwaartepunt of massamiddelpunt van de staaf met massa’s.
In \(\small A\) en \(\small B\) bevinden zich twee massa's van grootte \(\small a\) en \(\small b\). Het zwaartepunt \(\small Z\) van de twee massa’s ligt op lijnstuk \(\small AB\), zodat \(\small AZ:BZ=b:a\).
Opmerking:
Het achterliggende natuurkundige principe is de zogenaamde momentenwet.
Een kracht die op een afstand van een draaipunt of ophangpunt werkt oefent een moment uit: \(\small moment = kracht⋅arm\).
Een moment kan linksdraaiend (tegen de wijzers van de klok in) of rechtsdraaiend (met de wijzers van de klok mee) zijn. Denk bijvoorbeeld aan een wip, balans of een mobile.
Als er evenwicht is, dan geldt: \(\small \text{moment linksom} = \text{moment rechtsom}\).
Voorbeeld: Als ten opzichte van het draaipunt (of zwaartepunt) aan de linkerzijde op afstand \(\small x\) gewicht \(\small a\) hangt en aan de rechterzijde op afstand \(\small y\) gewicht \(\small b\) dan geldt dus: \(\small \text{moment linksom} =x⋅a\) en \(\small \text{moment rechtsom} =y⋅b\), dus de momentenwet zegt dan: \(\small x \cdot a = y \cdot b \to \frac{x}{y} = \frac{b}{a} \to x:y = b:a\).
Conclusie: de afstanden ten opzichte van het zwaartepunt (of draaipunt) zijn omgekeerd evenredig met de grootte van de massa's.
Aan een massaloze staaf hangen twee massa's van grootte 3 en 7
Aan een massaloze staaf hangen drie massa’s van grootte 1, 2 en 3
In de situatie van twee massa's met grootte \(\small a\) (links) en \(\small b\) (rechts) op onderlinge afstand \(\small L\) van elkaar, dan bevindt zich het zwaartepunt \(\small Z\) van grootte \(\small a+b\) op afstand \(\small x = \frac{b}{{a + b}} \cdot L\) vanaf de linkerkant en afstand \(\small y = \frac{a}{{a + b}} \cdot L\) vanaf de rechterkant (en \(\small L=x+y\)).
Nu we weten hoe we het zwaartepunt van twee massa’s kunnen bepalen, gaan we een systeem van drie massa’s op één lijn aanpakken.
Ga na dat je dezelfde plek vindt
Bepaal het zwaartepunt van
We bekijken een voorbeeld met drie massa’s: 1, 2 en 3
Waarom vind je steeds hetzelfde punt?
Hoe luidt 'het gevolg'
Gegeven zijn de punten \(\small A\) en \(\small B\) en een punt \(\small Z\) op lijnstuk \(\small AB\) zó, dat \(\small AZ:ZB=b:a\).
Kies een willekeurig punt \(\small O\) als oorsprong.
Dan:
Gevolg
Als zich in \(\small A\) en \(\small B\) massa's \(\small a\) en \(\small b\) bevinden, dan heeft het zwaartepunt \(\small Z\) plaatsvector \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{a}{{a + b}}\overrightarrow {OA} + \frac{b}{{a + b}}\overrightarrow {OB}\).
Speciaal geval
Voor het midden \(\small M\) van \(\small AB\) geldt: \(\small \overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB}\).
Het speciaal geval heb je in opgave "ABCD is een parallellogram. P, Q, R en S zijn middens van zijden" al gezien.
In de punten A en B bevinden zich de massa's a en b
Gegeven zijn vijf massa’s in een vlak
\(\small \overrightarrow {OZ}\) is een soort gewogen gemiddelde vector van \(\small \overrightarrow {O{A_1}}\), \(\small \overrightarrow {O{A_2}}\), \(\small \overrightarrow {O{A_3}}\), \(\small \overrightarrow {O{A_4}}\) en \(\small \overrightarrow {O{A_5}}\). Hoe "zwaar" elk van die vectoren in het gemiddelde meetelt, hangt af van de grootte van massa op de betreffende plaats.
We gaan nu het algemene geval bekijken.
Voor drie massa’s
Gegeven zijn drie massa’s \(\small a_1\), \(\small a_2\), \(\small a_3\) op de plaatsen \(\small A_1\), \(\small A_2\), \(\small A_3\). We kiezen een willekeurig punt \(\small O\) als oorsprong en berekenen de som van de massa’s: \(\small a = {a_1} + {a_2} + {a_3}\).
Dan vinden we het zwaartepunt \(\small Z\) als volgt: \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{{{a_1}}}{a}\overrightarrow {O{A_1}} + \frac{{{a_2}}}{a}\overrightarrow {O{A_2}} + \frac{{{a_3}}}{a}\overrightarrow {O{A_3}}\).
Bewijs
De som van de drie massa's noemen we \(\small a\).
Stel dat we eerst de massa’s \(\small a_1\) en \(\small a_2\) samennemen. Die twee kunnen we vervangen door de massa \(\small b = {a_1} + {a_2}\) in hun zwaartepunt \(\small Z_{12}\) met \(\small \overrightarrow {O{Z_{12}}} = \frac{{{a_1}}}{b}\overrightarrow {O{A_1}} + \frac{{{a_2}}}{b}\overrightarrow {O{A_2}}\).
Dit gecombineerd met massa \(\small a_3\) geeft het punt \(\small Z\) met \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{b}{{b + {a_3}}}\overrightarrow {O{Z_{12}}} + \frac{{{a_3}}}{{b + {a_3}}}\overrightarrow {O{A_3}}\) \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{b}{{b + {a_3}}}\left( {\frac{{{a_1}}}{b}\overrightarrow {O{A_1}} + \frac{{{a_2}}}{b}\overrightarrow {O{A_2}} } \right) + \frac{{{a_3}}}{{b + {a_3}}}\overrightarrow {O{A_3}}\) \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{{{a_1}}}{a}\overrightarrow {O{A_1}} + \frac{{{a_2}}}{a}\overrightarrow {O{A_2}} + \frac{{{a_3}}}{a}\overrightarrow {O{A_3}}\).
Omdat in het eindantwoord de drie massa’s en de drie plaatsen volkomen symmetrisch voorkomen, is de volgorde waarin de massa’s zijn samengenomen kennelijk niet van belang!
Voor vier massa’s
Gegeven zijn vier massa’s \(\small a_1\), \(\small a_2\), \(\small a_3\), \(\small a_4\) op de plaatsen \(\small A_1\), \(\small A_2\), \(\small A_3\), \(\small A_4\). We kiezen een willekeurig punt \(\small O\) als oorsprong en berekenen de som van de massa’s: \(\small a = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\).
Dan vinden we het zwaartepunt \(\small Z\) als volgt: \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{{{a_1}}}{a}\overrightarrow {O{A_1}} + \frac{{{a_2}}}{a}\overrightarrow {O{A_2}} + \frac{{{a_3}}}{a}\overrightarrow {O{A_3}} + \frac{{{a_4}}}{a}\overrightarrow {O{A_4}}\).
Bewijs
Eerst nemen we de massa’s in \(\small A_1\), \(\small A_2\) en \(\small A_3\) samen. Die kunnen we vervangen door massa \(\small b = {a_1} + {a_2} + {a_3}\) in plaats \(\small Z_{123}\), waarbij \(\small \overrightarrow {O{Z_{123}}} = \frac{{{a_1}}}{b}\overrightarrow {O{A_1}} + \frac{{{a_2}}}{b}\overrightarrow {O{A_2}} + \frac{{{a_3}}}{b}\overrightarrow {O{A_3}}\).
Dit nemen we samen met massa \(\small a_4\) in \(\small A_4\). Dat geeft ons het zwaartepunt \(\small Z\), waarvoor: \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{b}{{{a_4} + b}}\overrightarrow {O{Z_{123}}} + \frac{{{a_4}}}{{{a_4} + b}}\overrightarrow {O{A_4}}\) \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{b}{{{a_4} + b}}\left( {\frac{{{a_1}}}{b}\overrightarrow {O{A_1}} + \frac{{{a_2}}}{b}\overrightarrow {O{A_2}} + \frac{{{a_3}}}{b}\overrightarrow {O{A_3}} } \right) + \frac{{{a_4}}}{{{a_4} + b}}\overrightarrow {O{A_4}}\) \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{{{a_1}}}{a}\overrightarrow {O{A_1}} + \frac{{{a_2}}}{a}\overrightarrow {O{A_2}} + \frac{{{a_3}}}{a}\overrightarrow {O{A_3}} + \frac{{{a_4}}}{a}\overrightarrow {O{A_4}}\)
Weer is het antwoord volkomen symmetrisch in de vier massa’s en plaatsen. Kennelijk is de volgorde van samennemen niet van belang.
En zo gaat dat door voor vijf, zes, … massa’s. Algemeen vinden we voor elk aantal massa’s \(\small a_1\), \(\small a_2\), \(\small …\) , \(\small a_n\) op de plaatsen \(\small A_1\), \(\small A_2\), \(\small …\), \(\small A_n\) het zwaartepunt \(\small Z\) als volgt:
Stelling
De massa’s \(\small a_1\), \(\small a_2\), \(\small …\) , \(\small a_n\) bevinden zich op de plaatsen \(\small A_1\), \(\small A_2\), \(\small …\), \(\small A_n\). Het zwaartepunt noemen we \(\small Z\).
Dan: \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{{{a_1}}}{a}\overrightarrow {O{A_1}} + \frac{{{a_2}}}{a}\overrightarrow {O{A_2}} + ... + \frac{{{a_n}}}{a}\overrightarrow {O{A_n}}\).
Hierbij is \(\small a = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\).
Opmerking:
We zien dat \(\small \overrightarrow {OZ}\) een soort gewogen gemiddelde vector is van \(\small \overrightarrow {O{A_1}}\), \(\small \overrightarrow {O{A_2}}\), \(\small ...\), \(\small \overrightarrow {O{A_n}}\). Hierbij bepaalt een massa op een plaats hoe zwaar die plaats meetelt.
Het doet er niet toe in hoeveel dimensies we werken. De punten mogen best op een rechte lijn liggen, maar dat hoeft niet. En als drie punten een driehoek in de ruimte vormen, hoeft de gekozen oorsprong niet in het vlak van de driehoek te liggen. De werkwijze met vectoren is dus algemeen geldig: de kracht van vectoren.
Anneke heeft achtereenvolgens de volgende cijfers voor wiskunde gehaald
Het arrangement Op zoek naar evenwicht is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Iemand heeft zeven blokken op elkaar gestapeld. De stapel helt gevaarlijk naar rechts over. Maar hij valt niet om! Hoe dat te begrijpen is, daar gaat deze paragraaf over.
Als ten opzichte van het draaipunt (of zwaartepunt) aan de linkerzijde op afstand 
In de situatie van twee massa's met grootte 
Gegeven zijn de punten 
De som van de drie massa's noemen we 
