## Gegeven zijn vijf massa’s in een vlak

is een soort gewogen gemiddelde vector van , , , en . Hoe "zwaar" elk van die vectoren in het gemiddelde meetelt, hangt af van de grootte van massa op de betreffende plaats.

We gaan nu het algemene geval bekijken.

Voor drie massa’s

Gegeven zijn drie massa’s , , op de plaatsen , , . We kiezen een willekeurig punt als oorsprong en berekenen de som van de massa’s: .
Dan vinden we het zwaartepunt als volgt:
.

Bewijs

De som van de drie massa's noemen we .
Stel dat we eerst de massa’s en samennemen. Die twee kunnen we vervangen door de massa in hun zwaartepunt met .
Dit gecombineerd met massa geeft het punt met
.
Omdat in het eindantwoord de drie massa’s en de drie plaatsen volkomen symmetrisch voorkomen, is de volgorde waarin de massa’s zijn samengenomen kennelijk niet van belang!

Voor vier massa’s

Gegeven zijn vier massa’s , , , op de plaatsen , , , . We kiezen een willekeurig punt als oorsprong en berekenen de som van de massa’s: .
Dan vinden we het zwaartepunt als volgt: .

Bewijs
Eerst nemen we de massa’s in , en samen. Die kunnen we vervangen door massa in plaats , waarbij .
Dit nemen we samen met massa in . Dat geeft ons het zwaartepunt , waarvoor:
Weer is het antwoord volkomen symmetrisch in de vier massa’s en plaatsen. Kennelijk is de volgorde van samennemen niet van belang.

En zo gaat dat door voor vijf, zes, … massa’s. Algemeen vinden we voor elk aantal massa’s , , , op de plaatsen , , , het zwaartepunt als volgt:

Stelling De massa’s , , , bevinden zich op de plaatsen , , , . Het zwaartepunt noemen we . Dan: . Hierbij is .

| Opmerking: We zien dat een soort gewogen gemiddelde vector is van , , , . Hierbij bepaalt een massa op een plaats hoe zwaar die plaats meetelt.

Het doet er niet toe in hoeveel dimensies we werken. De punten mogen best op een rechte lijn liggen, maar dat hoeft niet. En als drie punten een driehoek in de ruimte vormen, hoeft de gekozen oorsprong niet in het vlak van de driehoek te liggen. De werkwijze met vectoren is dus algemeen geldig: de kracht van vectoren.