De sinusregel

De sinusregel

Wat ga ik leren?

Een rechthoekige driehoek ligt vast in de volgende gevallen.

  • Als je twee zijden kent. De derde zijde kun je met de stelling van Pythagoras uitrekenen en de niet-rechte hoeken met sinus, cosinus of tangens.

  • Als je een zijde en een niet-rechte hoek kent. De andere zijden en hoeken kun je uitrekenen met sinus, cosinus of tangens.

In dit hoofdstuk zullen we onze berekeningen uitbreiden tot scherphoekige en stomphoekige driehoeken.

Opgaven

Onderzoek

Herhaling

Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek, zeg \(α\) zoals in figuur 1, hebben we als volgt gedefinieerd.

figuur 1                                           
figuur 2

 

Maak een rechthoekige driehoek waarvan één van de hoeken de scherpe hoek \(α\) is. De rechthoekszijde tegenover de hoek \(α\) noemen we \(a\). De rechthoekszijde waar \(α\) aanligt, noemen we \(b\). De schuine zijde noemen we \(c\), zie figuur 2.

Dan: \(\sin \left( \alpha \right) = \frac{a}{c}\), \(\cos \left( \alpha \right)\; = \frac{b}{c}\) en \(\tan \left( \alpha \right) = \frac{a}{b}\).

Hoe groot je de driehoek maakt, doet er niet toe, vanwege gelijkvormigheid.

 

Meestal gebruik je sinus en cosinus in de volgende vorm.

\(a=c⋅\text{sin} (α)\) en \(b = c \cdot \cos \left( \alpha \right)\)

Voor welke hoeken

Als \(90°< α <180°\), dan,
\({\text{sin}}\left( \alpha \right) = {\text{sin}}\left( {180^\circ - \alpha } \right)\) en \({\text{cos}}\left( \alpha \right) = ‐{\text{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right)\)

Neem de tabel over en vul de exacte waarden in

In deze opgave gebruik je geen GR

Van een hoek α tussen 0° en 90°

De oppervlakte van een driehoek

Afspraak
In driehoek \(ABC\) noemen we

de grootte         

van hoek \(A\)               

\(α\)

 

van hoek \(B\)

\(β\)

 

van hoek \(C\)

\(γ\)

de lengte

van zijde \(AB\)

\(c\)

 

van zijde \(AC\)

\(b\)

 

van zijde \(BC\)

\(a\)

 

Merk op dat:
de zijde met lengte \(a\) tegenover hoek \(A\) ligt,
de zijde met lengte \(b\) tegenover hoek \(B\) en
de zijde met lengte \(c\) tegenover hoek \(C\).

             

 

Verder noemen we
het hoogtelijnstuk uit \(A\): \(h_A\)
het hoogtelijnstuk uit \(B\): \(h_B\)
het hoogtelijnstuk uit \(C\): \(h_C\).

In beide plaatjes is het hoogtelijnstuk hC uit C getekend

De sinusregel

Een regel om de oppervlakte van een driehoek te berekenen
De oppervlakte van driehoek
\(ABC=\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot {\text{sin}}\left( \alpha \right) = \;\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot {\text{sin}}\left( \beta \right) = \;\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot {\text{sin}}\left( \gamma \right)\).

Hieruit volgt de sinusregel
\(\frac{{\sin (\alpha )}}{a} = \frac{{\sin (\beta )}}{b} = \frac{{\sin (\gamma )}}{c}\).

Ga na dat de sinusregel niet bruikbaar is

Van driehoek ABC is gegeven

De sinusregel toegepast op een gelijkbenige driehoek

In de praktijk

Een landmeter kan met zijn theodoliet eenvoudig en nauwkeurig hoeken meten (op \(0,0001°\) nauwkeurig!). Het opmeten van afstanden is veel moeilijker. (Hij moet bijvoorbeeld omlopen omdat er een heg of een sloot is.) Hij beperkt zich tot het nauwkeurig meten van één afstand. Om de overige afstanden te bepalen, meet hij hoeken. De afstanden berekent hij dan met trigonometrie (= driehoeksmeting; het Griekse woord γονυ(gonu) betekent hoek). Dat heet in de landmeetkunde voorwaartse insnijding. Deze methode werkt alleen in de “lagere geodesie”, de landmeetkunde waarbij het aardoppervlak als plat kan worden beschouwd. Hoe het werkt, zie je in de volgende opgave.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

De eerste driehoeksmeting werd uitgevoerd door Willebrord Snel van Royen uit Leiden. Hij bepaalde de afstand tussen Bergen op Zoom en Alkmaar met behulp van een netwerk van aaneengesloten driehoeken tussen torens in veertien steden. Op al deze punten voerde hij richtingsmetingen naar enkele van de andere torens uit. Onder andere in een weiland bij Leiden werd door hem een basis (afstand) gemeten waarmee hij, via een aantal hulpdriehoeken, de grootte van het driehoeksnet bepaalde.
Uit: 175 jaar kadaster GEO-INFO 2007-5

Bij de berekeningen die hierbij uitgevoerd moesten worden, moet je denken aan die in de volgende opgave.

 

 

Een landmeter

De Nederlandse meetkundige Sybrandt Hansz

Ad wil de hoogte van een boom weten

Van driehoek ABC

Een theodoliet

Oppervlakte van het parallellogram

De oppervlakte van een parallellogram
De oppervlakte van een parallellogram met zijden \(a\) en \(b\) en een hoek \(α\) is: \(a \cdot b \cdot \sin \left( \alpha \right)\).

Getekende sterren

Twee vierkanten en twee driehoeken

  • Het arrangement De sinusregel is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    03-01-2022 01:34:13
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2022).

    De stelling van Pythagoras

    https://maken.wikiwijs.nl/154988/De_stelling_van_Pythagoras

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Wikiwijs is een dienst van