Een rechthoekige driehoek ligt vast in de volgende gevallen.
Als je twee zijden kent. De derde zijde kun je met de stelling van Pythagoras uitrekenen en de niet-rechte hoeken met sinus, cosinus of tangens.
Als je een zijde en een niet-rechte hoek kent. De andere zijden en hoeken kun je uitrekenen met sinus, cosinus of tangens.
In dit hoofdstuk zullen we onze berekeningen uitbreiden tot scherphoekige en stomphoekige driehoeken.
Opgaven
Onderzoek
Herhaling
Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek, zeg \(α\) zoals in figuur 1, hebben we als volgt gedefinieerd.
figuur 1
figuur 2
Maak een rechthoekige driehoek waarvan één van de hoeken de scherpe hoek \(α\) is. De rechthoekszijde tegenover de hoek \(α\) noemen we \(a\). De rechthoekszijde waar \(α\) aanligt, noemen we \(b\). De schuine zijde noemen we \(c\), zie figuur 2.
Hoe groot je de driehoek maakt, doet er niet toe, vanwege gelijkvormigheid.
Meestal gebruik je sinus en cosinus in de volgende vorm.
\(a=c⋅\text{sin} (α)\) en \(b = c \cdot \cos \left( \alpha \right)\)
Voor welke hoeken
Als \(90°< α <180°\), dan, \({\text{sin}}\left( \alpha \right) = {\text{sin}}\left( {180^\circ - \alpha } \right)\) en \({\text{cos}}\left( \alpha \right) = ‐{\text{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right)\)
Neem de tabel over en vul de exacte waarden in
In deze opgave gebruik je geen GR
Van een hoek α tussen 0° en 90°
De oppervlakte van een driehoek
Afspraak
In driehoek \(ABC\) noemen we
de grootte
van hoek \(A\)
\(α\)
van hoek \(B\)
\(β\)
van hoek \(C\)
\(γ\)
de lengte
van zijde \(AB\)
\(c\)
van zijde \(AC\)
\(b\)
van zijde \(BC\)
\(a\)
Merk op dat:
de zijde met lengte \(a\) tegenover hoek \(A\) ligt,
de zijde met lengte \(b\) tegenover hoek \(B\) en
de zijde met lengte \(c\) tegenover hoek \(C\).
Verder noemen we
het hoogtelijnstuk uit \(A\): \(h_A\)
het hoogtelijnstuk uit \(B\): \(h_B\)
het hoogtelijnstuk uit \(C\): \(h_C\).
In beide plaatjes is het hoogtelijnstuk hC uit C getekend
De sinusregel
Een regel om de oppervlakte van een driehoek te berekenen
De oppervlakte van driehoek \(ABC=\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot {\text{sin}}\left( \alpha \right) = \;\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot {\text{sin}}\left( \beta \right) = \;\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot {\text{sin}}\left( \gamma \right)\).
De sinusregel toegepast op een gelijkbenige driehoek
In de praktijk
Een landmeter kan met zijn theodoliet eenvoudig en nauwkeurig hoeken meten (op \(0,0001°\) nauwkeurig!). Het opmeten van afstanden is veel moeilijker. (Hij moet bijvoorbeeld omlopen omdat er een heg of een sloot is.) Hij beperkt zich tot het nauwkeurig meten van één afstand. Om de overige afstanden te bepalen, meet hij hoeken. De afstanden berekent hij dan met trigonometrie (= driehoeksmeting; het Griekse woord γονυ(gonu) betekent hoek). Dat heet in de landmeetkunde voorwaartse insnijding. Deze methode werkt alleen in de “lagere geodesie”, de landmeetkunde waarbij het aardoppervlak als plat kan worden beschouwd. Hoe het werkt, zie je in de volgende opgave.
De eerste driehoeksmeting werd uitgevoerd door Willebrord Snel van Royen uit Leiden. Hij bepaalde de afstand tussen Bergen op Zoom en Alkmaar met behulp van een netwerk van aaneengesloten driehoeken tussen torens in veertien steden. Op al deze punten voerde hij richtingsmetingen naar enkele van de andere torens uit. Onder andere in een weiland bij Leiden werd door hem een basis (afstand) gemeten waarmee hij, via een aantal hulpdriehoeken, de grootte van het driehoeksnet bepaalde.
Uit: 175 jaar kadaster GEO-INFO 2007-5
Bij de berekeningen die hierbij uitgevoerd moesten worden, moet je denken aan die in de volgende opgave.
Een landmeter
De Nederlandse meetkundige Sybrandt Hansz
Ad wil de hoogte van een boom weten
Van driehoek ABC
Een theodoliet
Oppervlakte van het parallellogram
De oppervlakte van een parallellogram
De oppervlakte van een parallellogram met zijden \(a\) en \(b\) en een hoek \(α\) is: \(a \cdot b \cdot \sin \left( \alpha \right)\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Een rechthoekige driehoek ligt vast in de volgende gevallen.
Een landmeter kan met zijn theodoliet eenvoudig en nauwkeurig hoeken meten (op 
De eerste driehoeksmeting werd uitgevoerd door Willebrord Snel van Royen uit Leiden. Hij bepaalde de afstand tussen Bergen op Zoom en Alkmaar met behulp van een netwerk van aaneengesloten driehoeken tussen torens in veertien steden. Op al deze punten voerde hij richtingsmetingen naar enkele van de andere torens uit. Onder andere in een weiland bij Leiden werd door hem een basis (afstand) gemeten waarmee hij, via een aantal hulpdriehoeken, de grootte van het driehoeksnet bepaalde.
