De filosoof en wiskundige René Descartes is bekend geworden voor zijn aanpak van meetkundige problemen: hij voerde in dat elk meetkundig probleem kon worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem, waarbij het probleem kan worden opgelost door een vergelijking met één onbekende op te lossen.
In deze paragraaf leer je ook om een meetkundig probleem te algebraïseren, dus om te zetten in een vergelijking die je dan moet oplossen.
Opgaven
Probleemaanpak volgens Descartes
Het eerste onderdeel van de vorige opgave zou je als volgt aan kunnen pakken.
De zijde van een afgeknipte driehoek noem je bijvoorbeeld \(x\). Drie zijden van de zeshoek zijn dan ook \(x\), de andere drie kun je in \(x\) uitdrukken.
De eis over de omtrekken geeft je een vergelijking in \(x\). Die los je op en je hebt de oplossing van het probleem.
Vier vierkanten
Descartes 1596-1650
De filosoof en wiskundige René Descartes heeft een enorme invloed gehad. Hij begon zijn filosofie met absolute twijfel: niets mocht als waar aangenomen worden. Hij bedacht: ‘Ik denk, dus ik besta’, (Latijn: Cogito, ergo sum) en vond zo tenminste één zekerheid om vanuit te gaan.
In Descartes’ filosofie waren lichaam en geest van de mens geheel onafhankelijk. Rond 1630 had Descartes al regels geformuleerd voor ‘de richting van het denken’. Eenvoudig gezegd kwamen die hier op neer.
Elk vraagstuk of probleem in de wereld kan worden teruggebracht tot een meetkundig probleem.
Elk meetkundig probleem moet worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem.
Elk algebraïsch probleem moet worden teruggebracht tot het oplossen van een vergelijking met één onbekende.
Omdat de wiskunde zekerheid bood, kon zo zekerheid in andere zaken bereikt worden. Als denker is Descartes een extreme rationalist: alleen het denken leidt de mens op weg naar de waarheid (en de ervaring der zintuigen of geloven bijvoorbeeld niet).
De wiskunde van de tweede en derde stip publiceerde Descartes in 1637 in het slot-essay van zijn Discours de la Méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences met de ondertitel La Geometrie.
Elk meetkundeprobleem is uiteindelijk het bepalen van lengtes van lijnstukken, stelde Descartes in de eerste zin van La Geometrie. Hij bedacht daarbij de volgende zeer algemene methode.
Geef alle lijnstukken in de figuur namen (letters), bekende zowel als onbekende.
Probeer één grootheid op twee verschillende manieren uit te drukken in de aldus benoemde lijnstukken.
De uitdrukkingen zijn gelijk, dat geeft een vergelijking.
Los de onbekende uit de vergelijking op. Dan is alles bekend in de figuur en het probleem opgelost.
Descartes stimuleerde zo de toen nog tamelijk jonge letteralgebra en leverde meteen een van de belangrijkste toepassingen hiervan. Vaak volgen we zijn methode bij het onderwerp Meetkunde met coördinaten. Het eerste punt (dat elk probleem in wiskunde is te vertalen) is een filosofisch uitgangspunt, waar uiteraard de meningen over uiteenlopen.
Een driehoek met zijden 5, 5 en 6
Twee vierkanten met middelpunten M en N
Bewijs de stelling van Apollonius
Een zwaartelijn in een driehoek verbindt een hoekpunt van de driehoek met het midden van de tegenoverliggende zijde.
In de figuur is lijnstuk \(CM\) een zwaartelijn in driehoek \(ABC\).
Apollonius was een beroemd Grieks wiskundige die leefde in de derde eeuw voor Christus. Hij schreef een groot werk over kegelsneden. Hij bewees de volgende stelling. \(M\) is het midden van zijde \(AB\) van driehoek \(ABC\), verder zie de figuur hiernaast. Dan geldt: \({a^2} + {b^2} = 2{m^2} + 2{d^2}\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
De filosoof en wiskundige René Descartes is bekend geworden voor zijn aanpak van meetkundige problemen: hij voerde in dat elk meetkundig probleem kon worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem, waarbij het probleem kan worden opgelost door een vergelijking met één onbekende op te lossen.
In de figuur is lijnstuk 
