Gebroken en negatieve exponent

Gebroken en negatieve exponent

Wat ga ik leren?

Je gaat in deze paragraaf leren ...

Opgaven

Groei

Groeiprincipe
Als een hoeveelheid eerst \(a\) keer zo groot wordt en vervolgens nog eens \(b\) keer zo groot, wordt de hoeveelheid in totaal \(a⋅b\) keer zo groot.

Vier grootouders

Bacteriën vermenigvuldigen zich door deling

De groei van het aantal bacteriën is niet lineair. Dat zie je ook aan de formule \(B(t)=2^t\).
Omdat de invoer-variabele \(t\) in de exponent voorkomt, spreken we van exponentiële groei.

 

Op de GR kun je gemakkelijk de exponentiële rij 1, 2, 4, 8, 16, ... maken. Kijk in de gebruiksaanwijzing of vraag je docent hoe dat moet.

 

 

 

 

 

Rekenregels voor machten

Aantal bacteriën (1)

Wat is het verband

Aantal bacteriën (2)

Schrijf als macht van 2

Bereken

Rekenregels toepassen

Rekenregels voor machten

  1. \({a^p} \cdot {a^q} = {a^{p + q}}\)

  2. \({a^p}:{a^q} = {a^{p - q}}\)

  3. \({\left( {{a^p}} \right)^q} = {a^{p \cdot q}}\)

  4. \({(a \cdot b)^p} = {a^p} \cdot {b^p}\)

Deze regels gelden voor alle positieve getallen \(a\), \(b\), \(p\) en \(q\), waarbij \(p\) en \(q\) geheel zijn en \(p>q\).
Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.

Schrijf zo ook als één macht van 2

Onderzoek welke van de volgende formules juist zijn

Gebroken exponenten

Bereken op deze manier ook zonder rekenmachine de volgende machten

Het kwadraat van \({x^{\frac{1}{2}}}\) is \(x\), dus \({x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \);
de derde macht van \({x^{\frac{1}{3}}}\) is \(x\), dus \({x^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{x}\);
de vierde macht van \({x^{\frac{1}{4}}}\) is \(x\), dus \({x^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{x}\).

 

De \(n\)-de macht van \({x^{\frac{1}{n}}}\) is \(x\), dus \({x^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{x}\).

 

 

In de vorige opgave heb je ook gezien: \({6^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{6^2}}}\) en \({6^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{6^4}}}\).
Verder zou volgens regel 1 moeten gelden: \(\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{6} = {6^{\frac{1}{3}}} \cdot {6^{\frac{1}{3}}} = {6^{\frac{2}{3}}}\) enzovoort.
We maken dus de volgende afspraak.

 

Afspraak
Voor alle positieve getallen \(a\), \(p\) en \(q\) met \(p\) en \(q\) geheel geldt:
\({a^{\frac{p}{q}}} = \sqrt[q]{{{a^p}}} = {\sqrt[q]{a}^p}\).

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

Soms komt een macht met een gebroken exponent mooi uit.
\({27^{\frac{1}{3}}}\): de derde macht van dit getal is \(27\). Dus moet dat getal wel \(3\) zijn!
We kennen nu ook \({27^{\frac{2}{3}}}\), als volgt: \({27^{\frac{2}{3}}} = {\left( {{{27}^{\frac{1}{3}}}} \right)^2} = {3^2} = 9\).

Rekenen met gebroken exponenten

Vereenvoudig als in het voorbeeld

Schrijf zo ook zonder worteltekens

Leg uit dat

Schrijf zonder worteltekens

Er draaien acht planeten om de zon

Het warmteverlies van een dier

Negatieve exponenten

Als rekenregel 1 ook geldt voor negatieve exponenten

We spreken af: \({g^{‐p}} = \frac{1}{{{g^p}}}\), voor \(g>0\) en \(p>0\).
In woorden: \(g^{‐p}\) en \(g^p\) zijn elkaars omgekeerde.

Bereken zonder rekenmachine

Laat met behulp van regel 3 zien

De opgewekte energie van een windmolen

  • Het arrangement Gebroken en negatieve exponent is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    29-03-2022 12:40:13
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2022).

    Machientjes

    https://maken.wikiwijs.nl/154985/Machientjes

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Wikiwijs is een dienst van