Groeiprincipe
Als een hoeveelheid eerst \(a\) keer zo groot wordt en vervolgens nog eens \(b\) keer zo groot, wordt de hoeveelheid in totaal \(a⋅b\) keer zo groot.
Vier grootouders
Bacteriën vermenigvuldigen zich door deling
De groei van het aantal bacteriën is niet lineair. Dat zie je ook aan de formule \(B(t)=2^t\).
Omdat de invoer-variabele \(t\) in de exponent voorkomt, spreken we van exponentiële groei.
Op de GR kun je gemakkelijk de exponentiële rij 1, 2, 4, 8, 16, ... maken. Kijk in de gebruiksaanwijzing of vraag je docent hoe dat moet.
Rekenregels voor machten
Aantal bacteriën (1)
Wat is het verband
Aantal bacteriën (2)
Schrijf als macht van 2
Bereken
Rekenregels toepassen
Rekenregels voor machten
\({a^p} \cdot {a^q} = {a^{p + q}}\)
\({a^p}:{a^q} = {a^{p - q}}\)
\({\left( {{a^p}} \right)^q} = {a^{p \cdot q}}\)
\({(a \cdot b)^p} = {a^p} \cdot {b^p}\)
Deze regels gelden voor alle positieve getallen \(a\), \(b\), \(p\) en \(q\), waarbij \(p\) en \(q\) geheel zijn en \(p>q\).
Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.
Schrijf zo ook als één macht van 2
Onderzoek welke van de volgende formules juist zijn
Gebroken exponenten
Bereken op deze manier ook zonder rekenmachine de volgende machten
Het kwadraat van \({x^{\frac{1}{2}}}\) is \(x\), dus \({x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \);
de derde macht van \({x^{\frac{1}{3}}}\) is \(x\), dus \({x^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{x}\);
de vierde macht van \({x^{\frac{1}{4}}}\) is \(x\), dus \({x^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{x}\).
De \(n\)-de macht van \({x^{\frac{1}{n}}}\) is \(x\), dus \({x^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{x}\).
In de vorige opgave heb je ook gezien: \({6^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{6^2}}}\) en \({6^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{6^4}}}\).
Verder zou volgens regel 1 moeten gelden: \(\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{6} = {6^{\frac{1}{3}}} \cdot {6^{\frac{1}{3}}} = {6^{\frac{2}{3}}}\) enzovoort.
We maken dus de volgende afspraak.
Afspraak
Voor alle positieve getallen \(a\), \(p\) en \(q\) met \(p\) en \(q\) geheel geldt: \({a^{\frac{p}{q}}} = \sqrt[q]{{{a^p}}} = {\sqrt[q]{a}^p}\).
Voorbeeld:
Soms komt een macht met een gebroken exponent mooi uit. \({27^{\frac{1}{3}}}\): de derde macht van dit getal is \(27\). Dus moet dat getal wel \(3\) zijn!
We kennen nu ook \({27^{\frac{2}{3}}}\), als volgt: \({27^{\frac{2}{3}}} = {\left( {{{27}^{\frac{1}{3}}}} \right)^2} = {3^2} = 9\).
Rekenen met gebroken exponenten
Vereenvoudig als in het voorbeeld
Schrijf zo ook zonder worteltekens
Leg uit dat
Schrijf zonder worteltekens
Er draaien acht planeten om de zon
Het warmteverlies van een dier
Negatieve exponenten
Als rekenregel 1 ook geldt voor negatieve exponenten
We spreken af: \({g^{‐p}} = \frac{1}{{{g^p}}}\), voor \(g>0\) en \(p>0\).
In woorden: \(g^{‐p}\) en \(g^p\) zijn elkaars omgekeerde.
Het arrangement Gebroken en negatieve exponent is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Op de GR kun je gemakkelijk de exponentiële rij 1, 2, 4, 8, 16, ... maken. Kijk in de gebruiksaanwijzing of vraag je docent hoe dat moet.
Soms komt een macht met een gebroken exponent mooi uit.
