De standaard cirkelbeweging

De standaard cirkelbeweging

De standaard cirkelbeweging

Wat ga ik leren?

Periodieke functies zijn er in alle soorten en maten. In deze paragraaf gaan we ons verdiepen in de cirkelvormige baan. En dan in het bijzonder de standaard cirkelvormige baan. De beweging die hierbij hoort heet de standaard cirkelbeweging.

We volgen een kogeltje dat deze beweging doorloopt. In de paragraaf leer je hoe je de positie van het kogeltje op een tijdstip heel precies kan aangeven. Ook leer je een nieuwe eenheid, 'radialen', waarmee de berekening van de positie vergemakkelijkt wordt. Ook leer je hoe je in deze speciale baan een vergelijking oplost.

Opgaven

Reuzenrad

Er zijn allerlei periodieke bewegingen. Eén ervan is een bijzonder regelmatige: de standaard cirkelbeweging. Dat is de "moeder" van alle periodieke bewegingen.

Een kogeltje draait in een cirkelvormige baan, als volgt:

  • de straal van de baan is \(\small 1\text{ cm}\);

  • het middelpunt is \(\small (0,0)\);

  • het kogeltje draait in positieve richting (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);

  • de snelheid is \(\small 1\text{ cm/s}\): het kogeltje legt elke \(\small \text{seconde}\) een afstand van \(\small 1\text{ cm}\) af langs de cirkel;

  • op tijdstip \(\small 0\) is het kogeltje in \(\small (1,0)\).

Deze beweging is de standaard cirkelbeweging. De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.

 

Kogeltje

Verdeelpunten

Zo nauwkeurig mogelijk

 

 

 

 

Voorbeeld

We gaan de plaats van het kogeltje op tijdstip \(\small 23\) heel precies aangeven.
Het kogeltje doet over één rondje \(\small 2\pi \text{ seconden}\).
\(\small {23 \over 2π}\approx 3\text{,}6606\), dus in \(\small 23 \text{ seconden}\) is het kogeltje \(\small 3\) keer helemaal rond geweest en dan nog \(\small 0\text{,}6606^\text{de}\) deel van de cirkel.
Daarbij hoort een hoek van \(\small 0\text{,}6606⋅360°≈238°\).
Teken die hoek bij het middelpunt en je hebt de plaats op tijdstip \(\small t=23\) gevonden.

 

Radialen

Om de plaats van het kogeltje op een gegeven tijdstip te vinden, moet je eigenlijk een meetlat langs de eenheidscirkel buigen. Dus moeten we net zo iets hebben als een gradenboog, maar dan met \(\small \text{cm}\) in plaats van \(\small \text{graden}\).
Of algemener: met de straal van de cirkel uitgezet langs de omtrek. Zie de animatie lijn oprollen.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Meestal spreekt men van radialen in plaats van "stralen".

Een Engelsman geeft zijn lengte in "\(\small \text{inch}\)", een Nederlander in "\(\small \text{centimeter}\)". Een hoek kan ook in verschillende maten gemeten worden. De hoekmaat die we meestal gebruikt hebben, is de “\(\small \text{graad}\)”. Je gebruikt je geodriehoek om een hoek in graden te meten.

 

 


De grootte van een hoek kun je ook zo geven: Leg het hoekpunt in het midden van een cirkel en meet de lengte van de boog die de benen van de hoek van de eenheidscirkel afsnijden.

Hoeveel stralen deze booglengte lang is, is de hoek gemeten in radialen, afgekort \(\small \text{rad}\).

Een gestrekte hoek is:

  • gemeten in graden: \(\small 180°\);

  • gemeten in radialen: \(\small π\text{ rad}\).

 

\(\small 180°\) komt overeen met \(\small \pi\) radialen.

 

Opmerking

Met de applet graden_radialen kun je het verband tussen graden en radialen nog eens goed bekijken.

 

Coördinaten

Twee nieuwe functies

We gaan twee nieuwe functies definiëren, met oude namen: \(\small \text{sin}\) en \(\small \text{cos}\).

Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.

\(\small \text{sin}(t)=\) de tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip \(\small t\);

\(\small \text{cos}(t)=\) de eerste coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip \(\small t\).



In de vorige opgave heb je dus \(\small \text{sin}(4)\) en \(\small \text{cos}(4)\) berekend. Dat heb je gedaan door van \(\small 4\text{ radialen}\) eerst het overeenkomstige aantal \(\small \text{graden}\) te berekenen en toen daarvan de "gewone" \(\small \text{sin}\) en \(\small \text{cos}\) te nemen.
Het kan ook in één keer met de knoppen \(\small \text{sin}\) en \(\small \text{cos}\) op je GR: je hoeft dan alleen maar je machine in de stand "RADIAN" te zetten.

 

 

 

 

Als we in het vervolg over \(\small \text{sin}(10)\) spreken, bedoelen we de hoogte van een kogeltje dat de standaard cirkelbeweging maakt op tijdstip \(\small 10\). Je vindt de waarde van \(\small \text{sin}(10)\) dus met je rekenmachientje in de stand RADIAN.
Alleen als we met hoeken in figuren werken, rekenen we nog met graden en moet de eenheid er ook bij staan: \(\small \text{sin}(10°)\).

Teken de eenheidscirkel

Tabel

Grafieken

Symmetrie sinus

 

 

 

 

 

Voorbeeld

Er zijn twee getallen \(\small t\) tussen \(\small 0\) en \(\small 2\pi\) zo dat \(\small \text{sin}(t)=0\text{,}4\).
Welke waarden zijn dat?

Aanpak:
In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven.
Je GR levert je maar één van deze twee waarden (in de stand RADIAN): \(\small \text{sin}^{\text{-}1}(0\text{,}4)≈0\text{,}4115168\ldots\)
De andere waarde vind je door de symmetrie in de figuur te gebruiken: \(\small π-0\text{,}4115168\ldots≈2\text{,}7300758\ldots\)

 

Andere intervallen sinus

Symmetrie cosinus

 

 

 

 

 

Voorbeeld

Er zijn twee getallen \(\small t\) tussen \(\small 0\) en \(\small 2\pi\) zo dat \(\small \text{cos}(t)=0\text{,}4\).
Welke waarden zijn dat?

Aanpak:
In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven.
Je GR levert je weer één van deze twee waarden (in de stand RADIAN): \(\small \text{cos}^{\text{-}1}(0\text{,}4)≈1\text{,}1592795\ldots\)
De andere waarde vind je door de symmetrie in de figuur te gebruiken: \(\small 2π-1\text{,}1592795\ldots≈5\text{,}1239058\ldots\)

 

Andere intervallen cosinus

Algemene oplossing

Oplossen vergelijkingen:

  • \(\small \text{sin}(t)=\)
    Dan geeft de GR (met \(\small \text{sin}^{\text{-}1}\)): \(\small t=\)
    Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing:
    \(\small t=\) \(\small + k \cdot 2\pi\)  of  \(\small t= \pi - {}\) \(\small + k \cdot 2\pi\).

  • \(\small \text{cos}(t)=\)
    Dan geeft de GR (met \(\small \text{cos}^{\text{-}1}\)): \(\small t=\)
    Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing:
    \(\small t=\) \(\small + k \cdot 2\pi\)  of  \(\small t= 2\pi - {}\) \(\small + k \cdot 2\pi\).

Hierin kan \(\small k\) elke gehele waarde aannemen (positief én negatief).

 

  • Het arrangement De standaard cirkelbeweging is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2022-07-29 14:06:28
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Sinus en cosinus'.
    Leerniveau
    HAVO 4;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, cirkelbeweging, cosinus, havo 4, sinus, stercollectie, wiskunde b

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (z.d.).

    Periodieke bewegingen

    https://maken.wikiwijs.nl/155036/Periodieke_bewegingen

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van