Periodieke functies zijn er in alle soorten en maten. In deze paragraaf gaan we ons verdiepen in de cirkelvormige baan. En dan in het bijzonder de standaard cirkelvormige baan. De beweging die hierbij hoort heet de standaard cirkelbeweging.
We volgen een kogeltje dat deze beweging doorloopt. In de paragraaf leer je hoe je de positie van het kogeltje op een tijdstip heel precies kan aangeven. Ook leer je een nieuwe eenheid, 'radialen', waarmee de berekening van de positie vergemakkelijkt wordt. Ook leer je hoe je in deze speciale baan een vergelijking oplost.
Opgaven
Reuzenrad
Er zijn allerlei periodieke bewegingen. Eén ervan is een bijzonder regelmatige: de standaard cirkelbeweging. Dat is de "moeder" van alle periodieke bewegingen.
Een kogeltje draait in een cirkelvormige baan, als volgt:
de straal van de baan is \(\small 1\text{ cm}\);
het middelpunt is \(\small (0,0)\);
het kogeltje draait in positieve richting (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);
de snelheid is \(\small 1\text{ cm/s}\): het kogeltje legt elke \(\small \text{seconde}\) een afstand van \(\small 1\text{ cm}\) af langs de cirkel;
op tijdstip \(\small 0\) is het kogeltje in \(\small (1,0)\).
Deze beweging is de standaard cirkelbeweging. De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.
Kogeltje
Verdeelpunten
Zo nauwkeurig mogelijk
Voorbeeld
We gaan de plaats van het kogeltje op tijdstip \(\small 23\) heel precies aangeven.
Het kogeltje doet over één rondje \(\small 2\pi \text{ seconden}\). \(\small {23 \over 2π}\approx 3\text{,}6606\), dus in \(\small 23 \text{ seconden}\) is het kogeltje \(\small 3\) keer helemaal rond geweest en dan nog \(\small 0\text{,}6606^\text{de}\) deel van de cirkel.
Daarbij hoort een hoek van \(\small 0\text{,}6606⋅360°≈238°\).
Teken die hoek bij het middelpunt en je hebt de plaats op tijdstip \(\small t=23\) gevonden.
Radialen
Om de plaats van het kogeltje op een gegeven tijdstip te vinden, moet je eigenlijk een meetlat langs de eenheidscirkel buigen. Dus moeten we net zo iets hebben als een gradenboog, maar dan met \(\small \text{cm}\) in plaats van \(\small \text{graden}\).
Of algemener: met de straal van de cirkel uitgezet langs de omtrek. Zie de animatie lijn oprollen.
Meestal spreekt men van radialen in plaats van "stralen".
Een Engelsman geeft zijn lengte in "\(\small \text{inch}\)", een Nederlander in "\(\small \text{centimeter}\)". Een hoek kan ook in verschillende maten gemeten worden. De hoekmaat die we meestal gebruikt hebben, is de “\(\small \text{graad}\)”. Je gebruikt je geodriehoek om een hoek in graden te meten.
De grootte van een hoek kun je ook zo geven: Leg het hoekpunt in het midden van een cirkel en meet de lengte van de boog die de benen van de hoek van de eenheidscirkel afsnijden.
Hoeveel stralen deze booglengte lang is, is de hoek gemeten in radialen, afgekort \(\small \text{rad}\).
Een gestrekte hoek is:
gemeten in graden: \(\small 180°\);
gemeten in radialen: \(\small π\text{ rad}\).
\(\small 180°\) komt overeen met \(\small \pi\) radialen.
Opmerking
Met de applet graden_radialen kun je het verband tussen graden en radialen nog eens goed bekijken.
Coördinaten
Twee nieuwe functies
We gaan twee nieuwe functies definiëren, met oude namen: \(\small \text{sin}\) en \(\small \text{cos}\).
Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.
\(\small \text{sin}(t)=\) de tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip \(\small t\);
\(\small \text{cos}(t)=\) de eerste coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip \(\small t\).
In de vorige opgave heb je dus \(\small \text{sin}(4)\) en \(\small \text{cos}(4)\) berekend. Dat heb je gedaan door van \(\small 4\text{ radialen}\) eerst het overeenkomstige aantal \(\small \text{graden}\) te berekenen en toen daarvan de "gewone" \(\small \text{sin}\) en \(\small \text{cos}\) te nemen.
Het kan ook in één keer met de knoppen \(\small \text{sin}\) en \(\small \text{cos}\) op je GR: je hoeft dan alleen maar je machine in de stand "RADIAN" te zetten.
Als we in het vervolg over \(\small \text{sin}(10)\) spreken, bedoelen we de hoogte van een kogeltje dat de standaard cirkelbeweging maakt op tijdstip \(\small 10\). Je vindt de waarde van \(\small \text{sin}(10)\) dus met je rekenmachientje in de stand RADIAN.
Alleen als we met hoeken in figuren werken, rekenen we nog met graden en moet de eenheid er ook bij staan: \(\small \text{sin}(10°)\).
Teken de eenheidscirkel
Tabel
Grafieken
Symmetrie sinus
Voorbeeld
Er zijn twee getallen \(\small t\) tussen \(\small 0\) en \(\small 2\pi\) zo dat \(\small \text{sin}(t)=0\text{,}4\).
Welke waarden zijn dat?
Aanpak:
In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven.
Je GR levert je maar één van deze twee waarden (in de stand RADIAN): \(\small \text{sin}^{\text{-}1}(0\text{,}4)≈0\text{,}4115168\ldots\)
De andere waarde vind je door de symmetrie in de figuur te gebruiken: \(\small π-0\text{,}4115168\ldots≈2\text{,}7300758\ldots\)
Andere intervallen sinus
Symmetrie cosinus
Voorbeeld
Er zijn twee getallen \(\small t\) tussen \(\small 0\) en \(\small 2\pi\) zo dat \(\small \text{cos}(t)=0\text{,}4\).
Welke waarden zijn dat?
Aanpak:
In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven.
Je GR levert je weer één van deze twee waarden (in de stand RADIAN): \(\small \text{cos}^{\text{-}1}(0\text{,}4)≈1\text{,}1592795\ldots\)
De andere waarde vind je door de symmetrie in de figuur te gebruiken: \(\small 2π-1\text{,}1592795\ldots≈5\text{,}1239058\ldots\)
Andere intervallen cosinus
Algemene oplossing
Oplossen vergelijkingen:
\(\small \text{sin}(t)=\)
Dan geeft de GR (met \(\small \text{sin}^{\text{-}1}\)): \(\small t=\)
Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing: \(\small t=\)\(\small + k \cdot 2\pi\) of \(\small t= \pi - {}\)\(\small + k \cdot 2\pi\).
\(\small \text{cos}(t)=\)
Dan geeft de GR (met \(\small \text{cos}^{\text{-}1}\)): \(\small t=\)
Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing: \(\small t=\)\(\small + k \cdot 2\pi\) of \(\small t= 2\pi - {}\)\(\small + k \cdot 2\pi\).
Hierin kan \(\small k\) elke gehele waarde aannemen (positief én negatief).
Het arrangement De standaard cirkelbeweging is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
Periodieke functies zijn er in alle soorten en maten. In deze paragraaf gaan we ons verdiepen in de cirkelvormige baan. En dan in het bijzonder de standaard cirkelvormige baan. De beweging die hierbij hoort heet de standaard cirkelbeweging.
Meestal spreekt men van radialen in plaats van "stralen".
Een gestrekte hoek is:
