We hebben al veel raaklijnen aan grafieken bekeken. De raaklijn zegt iets over de helling van de grafiek in één punt. De raaklijn raakt de grafiek precies in één punt. Voor een raaklijn aan een cirkel is dit niet anders. Het opstellen van de raaklijn aan een cirkel gaat wel anders dan we tot nu toe hebben gezien.
Eerder konden we het punt invullen in de afgeleide functie om zo de helling in het punt berekenen. Bij een cirkel werkt dit anders. We gaan werken met loodrechte lijnen om zo de raaklijn in een punt op te stellen. Ook kunnen we het berekenen met een stelsel van vergelijkingen, zoals je in de vorige paragraaf hebt gezien. Bij die berekening gebruiken we de discriminant.
Opgaven
Raaklijn meetkundig gezien
Raken
Als je het goed gedaan hebt, heb je in de laatste vraag van de vorige paragraaf \(\small a =2\sqrt{2}\) gevonden. Het enige punt dat \(\small k_a\) in dit geval met de cirkel gemeen heeft, is het punt \(\small P(\sqrt{2},\sqrt{2})\).
We zeggen dat de lijn \(\small k_a\) de cirkel raakt in \(\small P\).
De lijn \(\small OP\) staat loodrecht op \(\small k_a\).
We zeggen: een cirkel \(\small c\)raakt een lijn \(\small k\) als \(\small c\) en \(\small k\) precies één punt, het raakpunt, gemeen hebben.
Als \(\small c\) middelpunt \(\small M\) heeft en het raakpunt \(\small P\) is, dan staat lijn \(\small MP\) loodrecht op \(\small k\).
We bewijzen dit in het volgende.
Gegeven een cirkel \(\small c\) met middelpunt \(\small M\) en straal \(\small 3\) en een lijn \(\small k\).
Neem aan: \(\small c\) heeft één punt gemeen met \(\small k\), zeg \(\small P\). Dan liggen de andere punten van \(\small k\) meer dan \(\small 3\) van \(\small M\) af. Dus \(\small P\) is het punt van \(\small k\) dat het dichtst bij \(\small c\) ligt.
Dus lijn \(\small MP\) staat loodrecht op \(\small k\).
Omgekeerd:
Als \(\small P\) een gemeenschappelijk punt van \(\small k\) en \(\small c\) is en \(\small MP\) staat loodrecht op \(\small k\), dan geldt voor elk ander punt \(\small Q\) van \(\small c\) dat \(\small MQ \gt 3\) (stelling van Pythagoras in driehoek \(\small MPQ\)), dus dan is \(\small P\) het enige punt dat \(\small c\) en \(\small k\) gemeen hebben.
Voorbeeld
Gegeven is de cirkel met vergelijking \(\small (x+1)^2+(y+3)^2=10\) met daarop het punt \(\small P(0,\text{-}6)\).
We geven een vergelijking van de raaklijn in \(\small P\) aan de cirkel.
Het middelpunt van de cirkel is \(\small M(\text{-}1,\text{-}3)\). Lijn \(\small PM\) heeft richtingscoëfficiënt \(\small \text{-}3\). Deze staat loodrecht op de raaklijn, dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt \(\small {1 \over 3}\).
Een vergelijking van de raaklijn is dus: \(\small y={1 \over 3}x+b\).
De raaklijn gaat door \(\small P\), dus een vergelijking van de raaklijn is: \(\small y={1 \over 3}x-6\).
Waar ligt de cirkel?
Middelpunt op de y-as
Een ijsje
Een kleine en een grote cirkel
Raaklijnen door O
Stelsel met één oplossing
Raaklijn algebraïsch gezien
Voorbeeld
In de laatste opgave van de vorige paragraaf hebben we de raaklijnen aan de cirkel met vergelijking \(\small x^2+y^2=4\) bepaald die evenwijdig zijn met de lijn \(\small x+y=0\). Nu doen we dat nog eens op een andere manier.
De raaklijnen hebben vergelijking \(\small x+y=a\) voor zekere waarden van \(\small a\).
Het stelsel \(\small \begin{cases} x^2+y^2=4 \\ x+y=a\end{cases}\) moet één oplossing hebben.
Vul \(\small y=a-x\) in in de vergelijking \(\small x^2+y^2=4\), dit geeft: \(\small x^2+(a-x)^2=4 \rightarrow 2x^2-2ax+a^2-4=0\). Deze vergelijking (in \(\small x\)) moet één oplossing hebben, dus de discriminant van de vergelijking is \(\small 0\).
Dus: \(\small (\text{-}2a)^2-4⋅2⋅(a^2-4)=0⇔4a^2-8a^2+32=0\).
Dus \(\small a=2\sqrt{2}\) of \(\small a=\text{-}2\sqrt{2}\).
De raaklijnen hebben dus vergelijking \(\small x+y=2\sqrt{2}\) en \(\small x+y=\text{-}2\sqrt{2}\).
Opmerking
Je kunt de werkwijze vergelijken met die in hoofdstuk 3 Kwadratische verbanden, paragraaf Parabool en lijn. Daar heb je met behulp van een discriminant raaklijnen aan een parabool bepaald.
Het arrangement Raaklijn aan een cirkel is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Lijnen en cirkels'. Het onderwerp van deze les is: raaklijn aan een cirkel.
We hebben al veel raaklijnen aan grafieken bekeken. De raaklijn zegt iets over de helling van de grafiek in één punt. De raaklijn raakt de grafiek precies in één punt. Voor een raaklijn aan een cirkel is dit niet anders. Het opstellen van de raaklijn aan een cirkel gaat wel anders dan we tot nu toe hebben gezien.
Eerder konden we het punt invullen in de afgeleide functie om zo de helling in het punt berekenen. Bij een cirkel werkt dit anders. We gaan werken met loodrechte lijnen om zo de raaklijn in een punt op te stellen. Ook kunnen we het berekenen met een stelsel van vergelijkingen, zoals je in de vorige paragraaf hebt gezien. Bij die berekening gebruiken we de discriminant.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, cirkel, discriminant, havo 4, raaklijn, stercollectie, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Lijnen en cirkels'. Het onderwerp van deze les is: raaklijn aan een cirkel.
We hebben al veel raaklijnen aan grafieken bekeken. De raaklijn zegt iets over de helling van de grafiek in één punt. De raaklijn raakt de grafiek precies in één punt. Voor een raaklijn aan een cirkel is dit niet anders. Het opstellen van de raaklijn aan een cirkel gaat wel anders dan we tot nu toe hebben gezien.
Eerder konden we het punt invullen in de afgeleide functie om zo de helling in het punt berekenen. Bij een cirkel werkt dit anders. We gaan werken met loodrechte lijnen om zo de raaklijn in een punt op te stellen. Ook kunnen we het berekenen met een stelsel van vergelijkingen, zoals je in de vorige paragraaf hebt gezien. Bij die berekening gebruiken we de discriminant.
We hebben al veel raaklijnen aan grafieken bekeken. De raaklijn zegt iets over de helling van de grafiek in één punt. De raaklijn raakt de grafiek precies in één punt. Voor een raaklijn aan een cirkel is dit niet anders. Het opstellen van de raaklijn aan een cirkel gaat wel anders dan we tot nu toe hebben gezien.
