Raaklijn meetkundig gezien

Raken

Als je het goed gedaan hebt, heb je in de laatste vraag van de vorige paragraaf gevonden. Het enige punt dat in dit geval met de cirkel gemeen heeft, is het punt .
We zeggen dat de lijn de cirkel raakt in .
De lijn staat loodrecht op .


We zeggen: een cirkel raakt een lijn als en precies één punt, het raakpunt, gemeen hebben.
Als middelpunt heeft en het raakpunt is, dan staat lijn loodrecht op .

 

We bewijzen dit in het volgende.

Gegeven een cirkel met middelpunt en straal en een lijn .
Neem aan: heeft één punt gemeen met , zeg . Dan liggen de andere punten van meer dan van af. Dus is het punt van dat het dichtst bij ligt.
Dus lijn staat loodrecht op .

Omgekeerd:
Als een gemeenschappelijk punt van en is en staat loodrecht op , dan geldt voor elk ander punt van dat (stelling van Pythagoras in driehoek ), dus dan is het enige punt dat en gemeen hebben.

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld

Gegeven is de cirkel met vergelijking met daarop het punt .
We geven een vergelijking van de raaklijn in aan de cirkel.

Het middelpunt van de cirkel is . Lijn heeft richtingscoëfficiënt . Deze staat loodrecht op de raaklijn, dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt .
Een vergelijking van de raaklijn is dus: .
De raaklijn gaat door , dus een vergelijking van de raaklijn is: .