In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe we de groeisnelheid (de helling) in één punt van verschillende functies berekenen. Dit kan met een raaklijn aan de grafiek in dat punt. De groeisnelheid is dan gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Voor machtsfuncties konden we de helling in één punt vereenvoudigen tot een kleine term.
In deze paragraaf gaan we deze helling van een machtsfunctie in één punt linken aan de afgeleide functie. Je gaat veel berekeningen maken om zo vertrouwd te raken met de basis van het differentiëren. Ook ga je wat kennis van de hellingshoek herhalen.
Opgaven
Hellingshoek
Voor elke machtsfunctie \(\small y=x^n\), met \(\small n\) een positief geheel getal, geldt:
de helling van de grafiek in het punt met \(\small x=p\) is \(\small n⋅p^{n-1}\).
Dat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt.
Raaklijn en hellingshoek
De hellingshoek van de grafiek in een punt op de grafiek wordt bepaald door de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt.
Uit hoofdstuk Hellingen weten we dat voor de hellingshoek \(\small \alpha\) het volgende geldt: \(\small \text{tan(}\alpha) = \text{richtingscoëfficiënt}\).
Alpha, beta, gamma en delta
Opmerking
Ook met de GR kun je de helling in een punt uitrekenen.
Daarvoor moet je eerst de grafiek van de functie tekenen op je GR en de window goed instellen.
Op de TI84 kun je de helling in een punt op de grafiek dan berekenen met het menu CALC, optie 6: dy/dx.
Ook kan de GR een raaklijn in een bepaald punt van de grafiek tekenen en berekenen.
Kies daarvoor op de TI84 in het menu DRAW, optie 5: Tangent.
Zoek uit hoe het werkt op jouw GR.
Deze mogelijkheden van je GR mag je niet gebruiken als gevraagd wordt om iets exact of algebraïsch te berekenen.
Je kunt dan deze opties juist wel goed gebruiken om je antwoorden te controleren.
De zesde macht
Waarden voor de richtingscoëfficiënt
Grote macht
Afgeleide functie
Differentiëren
\(\small y'=n \cdot x^{n-1}\) is de afgeleide functie van \(\small y=x^n\).
Met de afgeleide functie kun je de helling (richtingscoëfficiënt van de raaklijn) uitrekenen in een gegeven punt van de grafiek. Daarom wordt de afgeleide functie ook wel hellingfunctie genoemd.
Opmerking
We kennen nu de afgeleide functie van \(\small y=x^n\)voor elk positief geheel getal \(\small n\). Maar wat is de afgeleide functie van \(\small y=x^2(x+1)^3\), van \(\small y={1 \over x^2+5}\) en van \(\small y=5x-\sqrt{x}\)?
Daarvoor moeten we nog een heleboel werk verrichten. Het bepalen van de afgeleide functie bij een gegeven functie heet differentiëren.
\(\small \text{Isaac Newton (1643-1727)}\)
\(\small \text{Gottfried W. Leibniz (1646-1716)}\)
Het onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met het berekenen van afgeleide functies heet differentiaalrekening. Deze is in de zeventiende eeuw uitgevonden door de Engelsman Isaac Newton en de Duitser Gottfried Willhelm von Leibniz. Newton publiceerde zijn werk in 1687, maar had de theorie al eerder (in 1665) ontwikkeld; Leibniz publiceerde zijn Nova Methodes in 1684. De twee geleerden betwistten elkaar de uitvinding van de differentiaalrekening, met beschuldigingen van plagiaat over en weer.
Vóór Newton en Leibniz konden alleen de knapste koppen de helling van een raaklijn aan bijvoorbeeld een parabool in een gegeven punt berekenen. Daar was voor elk type grafiek weer een aparte (vaak ingenieuze) methode voor nodig. Nu hebben we één methode die werkt voor alle mogelijke grafieken. En dat is dagelijkse kost voor een havo-scholier in het B-profiel. Nu moet je niet denken dat de methode van Newton en Leibniz eenvoudig te begrijpen was. Integendeel, de redeneringen waren vaag en ondervonden aanvankelijk veel weerstand. Anderen hebben veel bijgeschaafd aan de theorie en deze zodoende toegankelijk gemaakt, ook voor middelbare scholieren.
De naam "differentiaalrekening" is afkomstig van Leibniz: "calculus differentialis". Denk aan "differentie", wat verschil betekent. \(\small \Delta x\) is het verschil tussen twee waarden van \(\small x\).
Het arrangement Groeisnelheid en helling is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Differentiëren'. Het onderwerp van deze les is: groeisnelheid en helling.
In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe we de groeisnelheid (de helling) in één punt van verschillende functies berekenen. Dit kan met een raaklijn aan de grafiek in dat punt. De groeisnelheid is dan gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Voor machtsfuncties konden we de helling in één punt vereenvoudigen tot een kleine term.
In deze paragraaf gaan we deze helling van een machtsfunctie in één punt linken aan de afgeleide functie. Je gaat veel berekeningen maken om zo vertrouwd te raken met de basis van het differentiëren. Ook ga je wat kennis van de hellingshoek herhalen.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, differentieren, groeisnelheid, havo 4, helling, hellingshoek, machtsfunctie, stercollectie, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Differentiëren'. Het onderwerp van deze les is: groeisnelheid en helling.
In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe we de groeisnelheid (de helling) in één punt van verschillende functies berekenen. Dit kan met een raaklijn aan de grafiek in dat punt. De groeisnelheid is dan gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Voor machtsfuncties konden we de helling in één punt vereenvoudigen tot een kleine term.
In deze paragraaf gaan we deze helling van een machtsfunctie in één punt linken aan de afgeleide functie. Je gaat veel berekeningen maken om zo vertrouwd te raken met de basis van het differentiëren. Ook ga je wat kennis van de hellingshoek herhalen.
