De vergelijking van een parabool kan op verschillende manieren weergegeven worden.
Je gaat leren wat deze verschijningsvormen zijn en ook hoe ze veranderen als we een transformatie op de parabool toepassen.
Aan de hand van de vergelijking ga je beredeneren en/of berekenen waar de top van de parabool ligt en berekenen wat de vergelijking van de symmetrieas is.
Je gaat ook zelf de vergelijking van een parabool opstellen.
Dit kan wanneer je de top van een parabool kent of zijn nulpunten.
Opgaven
Parabolen verschuiven
Beredeneren waar de top zit
Je kunt ook beredeneren wat de top is van de parabool met vergelijking \(\small y=(x+3)^2+5\):
Een kwadraat is minimaal \(\small 0\), dus \(\small (x+3)^2\) is minimaal \(\small 0\). Je krijgt de waarde \(\small 0\) door \(\small x=\text{-}3\) te nemen.
Dus is \(\small y=(x+3)^2\) minimaal \(\small 0\) bij \(\small x=\text{-}3\). \(\small y=(x+3)^2+5\) is dus minimaal \(\small 5\).
Dus is \(\small (\text{-}3,5)\) het laagste punt van de parabool.
Met verschuiving precies één nulpunt
Coördinaten van de top
De parabool \(\small y=c(x-a)^2+b\) (met \(\small c \ne 0\)) ontstaat door de parabool \(\small y=cx^2\) als volgt te verschuiven: \(\small a\) eenheden naar rechts en \(\small b\) eenheden naar boven.
Een ander woord voor een verschuiving is een translatie.
De top van de parabool is dus \(\small (a,b)\).
Je krijgt een dalparabool als \(\small c \gt 0\) en een bergparabool als \(\small c \lt 0\). Het getal \(\small c\) bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.
De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top. Een vergelijking van de symmetrieas is: \(\small x=a\).
De vergelijking van de parabool in de vorm \(\small y=c(x-a)^2+b\) wordt de topvorm van de parabool genoemd, omdat direct de coördinaten van de top zijn af te lezen.
Voorbeeld
De grafiek van de vergelijking \(\small y=\text{-}{1 \over 2}(x+3)^2-4\) ontstaat uit de parabool \(\small y=\text{-}{1 \over 2}x^2\) door \(\small 3\) eenheden naar links te schuiven en \(\small 4\) naar beneden.
In plaats van \(\small 3\) naar links zeggen we ook wel \(\small \text{-}3\) naar rechts. En in plaats van \(\small 4\) naar beneden ook wel \(\small \text{-}4\) naar boven.
Het is een bergparabool met top \(\small (\text{-}3,\text{-}4)\).
De symmetrieas heeft vergelijking \(\small x=\text{-}3\).
Vermenigvuldigen t.o.v. de x-as
In een eerdere paragraaf hebben wij gezien hoe de grafiek van \(\small y=cx^2\) er voor verschillende waarden van \(\small c\) eruit ziet.
In de volgende opgave gaan wij hier nauwkeuriger naar kijken.
De grafiek van \(\small y=cx^2\) krijg je uit de grafiek van \(\small y=x^2\) door deze met factor \(\small c\) te vermenigvuldigen ten opzichte van de \(\bf \it x\)-as.
Als het punt \(\small (a,b)\) op de grafiek van \(\small y=x^2\) ligt, dan ligt het punt \(\small (a,bc)\) op de grafiek van \(\small y=cx^2\).
Vermenigvuldigen en verschuiven
Het vermenigvuldigen en verschuiven van parabolen kunnen ook gecombineerd worden.
Transformaties
De grafiek van \(\small y=\text{-}{1 \over 2}(x+3)^2-4\) kan je op twee manieren krijgen uit de standaardparabool \(\small y=x^2\):
Door eerst met factor \(\small \text{-}{1 \over 2}\) te vermenigvuldigen t.o.v. de \(\small x\)-as, dan krijg je \(\small y=\text{-}{1 \over 2}x^2\),
en daarna \(\small 3\) naar links en \(\small 4\) naar beneden te schuiven, dat geeft \(\small y=\text{-}{1 \over 2}(x+3)^2-4\).
Door eerst \(\small 3\) naar links en \(\small 8\) naar boven te schuiven, dat geeft \(\small y=(x+3)^2+8\),
en daarna met factor \(\small \text{-}{1 \over 2}\) te vermenigvuldigen t.o.v. de \(\small x\)-as, dat geeft \(\small y=\text{-}{1 \over 2}((x+3)^2+8) =\text{-}{1 \over 2}(x+3)^2-4\).
Hoewel er twee mogelijke volgordes zijn, ligt de eerste manier veel meer voor de hand, want bij de eerste manier kan je de vermenigvuldiging en verschuivingen direct in de formule zien.
De grafiek van \(\small y=c(x−a)^2+b\) kun je uit de grafiek van de standaardparabool \(\small y=x^2\) krijgen door achtereenvolgens de volgende transformaties toe te passen:
Eerst een vermenigvuldiging ten opzichte van de \(\small x\)-as met factor \(\small c\);
Daarna de translatie \(\small a\) naar rechts en \(\small b\) naar boven.
Vergelijkingen voor parabolen opstellen
Van een parabool is de top \(\small (\text{-}2,3)\).
Een vergelijking van de parabool is: \(\small y=c(x+2)^2+3\) voor een getal \(\small c\).
Als je buiten de top nog een punt van de parabool kent, kun je \(\small c\) bepalen. Als bijvoorbeeld \(\small (\text{-}6,\text{-}5)\) er op ligt, krijg je: \(\small \text{-}5 = c(\text{-}6+2)^2 + 3 \\ \small \text{-}5 = 16c + 3\\ \small \text{-}8 = 16 c \\ \small \text{-}{1 \over 2} = c\)
Een vergelijking van de parabool is: \(\small y=\text{-}{1 \over 2}(x+2)^2+3\).
Kwadraatafsplitsen (2)
In opgaves 'Nulpunten' en 'Parabool zonder nulpunten' van de vorige paragraaf hebben we gezien dat het vinden van de top van een parabool niet zo eenvoudig is als de vergelijking in de vorm zonder haakjes staat.
Deze vorm zonder haakjes van de vergelijking van de parabool wordt de standaardvorm genoemd.
Een manier om in zo'n geval de top te vinden is om eerst de symmetrieas te zoeken: door het midden te nemen van de twee nulpunten (als die er zijn), of het midden van de twee snijpunten van de parabool met een horizontale lijn.
Een andere manier is om de standaardvorm in de topvorm te zetten, dus in de vorm \(\small y=c(x-a)^2+b\).
Voorbeeld
Een vergelijking van een parabool omzetten in de topvorm met kwadraatafsplitsen is best lastig als er een getal voor \(\small x^2\) staat.
Een iets andere manier (waarbij je minder haakjes nodig hebt) is de volgende:
\(\small y\)
\(\small =\)
\(\small 2x^2+8x-6\)
DELEN DOOR \(\small 2\)
KWADRAATAFSPLITSEN
VEREENVOUDIGEN
KEER \(\small 2\)
\(\small {1 \over 2}y\)
\(\small =\)
\(\small x^2+4x-3\)
\(\small {1 \over 2}y\)
\(\small =\)
\(\small (x+2)^2-4-3\)
\(\small {1 \over 2}y\)
\(\small =\)
\(\small (x+2)^2-7\)
\(\small y\)
\(\small =\)
\(\small 2(x+2)^2-14\)
Vier vergelijkingen
Vergelijking bepalen
Rechthoek in een driehoek
Nulpunten
Als een parabool nulpunten heeft bij \(\small x=a\) en \(\small x=b\) dan kun je de vergelijking van de parabool schrijven in de vorm \(\small y=c(x-a)(x-b)\).
Deze vorm van de vergelijking van de parabool heet de nulpuntsvorm van de parabool.
De symmetrieas is dan \(\small x={ a+b \over 2}={1 \over 2}a+{1 \over 2}b\).
De eerste (of \(\small x\)-)coördinaat van de top is \(\small {1 \over 2}a+{1 \over 2}b\).
Berg- of dalparabool?
Drie verschijningsvormen
Er zijn drie verschijningsvormen van de vergelijking van een parabool, elk met zijn voor- en nadelen:
De standaardvorm\(\small y=ax^2+bx+c\)
Vooral handig voor het oplossen van vergelijkingen, bijvoorbeeld voor toepassen van de abc-formule.
De topvorm\(\small y=c(x-a)^2+b\).
Vooral handig voor het vinden van de top van de parabool en de symmetrieas.
De nulpuntsvorm\(\small y=c(x-a)(x-b)\).
Je kunt direct de snijpunten met de \(\small x\)-as aflezen. De symmetrieas zit er dan midden tussen (evenals de top).
Let op: de waarden van \(\small a\), \(\small b\) en \(\small c\) zijn in de bovenstaande vormen telkens verschillend.
Het arrangement Formules van parabolen is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Kwadratische verbanden'. Het onderwerp van deze les is: formules van parabolen.
De vergelijking van een parabool kan op verschillende manieren weergegeven worden.
Je gaat leren wat deze verschijningsvormen zijn en ook hoe ze veranderen als we een transformatie op de parabool toepassen.
Aan de hand van de vergelijking ga je beredeneren en/of berekenen waar de top van de parabool ligt en berekenen wat de vergelijking van de symmetrieas is.
Je gaat ook zelf de vergelijking van een parabool opstellen.
Dit kan wanneer je de top van een parabool kent of zijn nulpunten.
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, havo 4, nulpunt, parabool, stercollectie, symmetrieas, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Kwadratische verbanden'. Het onderwerp van deze les is: formules van parabolen.
De vergelijking van een parabool kan op verschillende manieren weergegeven worden.
Je gaat leren wat deze verschijningsvormen zijn en ook hoe ze veranderen als we een transformatie op de parabool toepassen.
Aan de hand van de vergelijking ga je beredeneren en/of berekenen waar de top van de parabool ligt en berekenen wat de vergelijking van de symmetrieas is.
Je gaat ook zelf de vergelijking van een parabool opstellen.
Dit kan wanneer je de top van een parabool kent of zijn nulpunten.
leerling/student
PT4H
arrangeerbaar, havo 4, nulpunt, parabool, stercollectie, symmetrieas, wiskunde b
De vergelijking van een parabool kan op verschillende manieren weergegeven worden.
