In deze paragraaf ga je aan de slag met nieuwe methodes om kwadratische vergelijkingen op te lossen.
Dit kan, naast het herleiden tot \(\small 0\) en hem daarna te ontbinden, namelijk ook met kwadraatafsplitsen of met de abc-formule. Bij beide methodes zal je zien hoe ze tot stand zijn gekomen en er vervolgens mee rekenen.
Ook zal je nulpunten van een parabool gaan zoeken. Je kunt met de discriminant, die bij de abc-formule hoort, iets zeggen over het aantal nulpunten van een parabool. Wanneer je de nulpunten van een parabool hebt gevonden, kun je de symmetrieas achterhalen en daarmee de coördinaten van de top uitrekenen.
Opgaven
Zuivere kwadraten
In de vorige paragraaf hebben we kwadratische vergelijkingen opgelost door ze eerst op nul te herleiden en daarna te ontbinden.
Maar niet voor alle kwadratische vergelijkingen is dat de handigste methode.
En ook kun je niet alle vergelijkingen op deze manier oplossen.
Vergelijkingen oplossen
Kwadraatafsplitsen (1)
In de vorige opgave heb je de vergelijking \(\small (x+5)^2=7\) opgelost. De oplossingen zijn \(\small \text{-}5 - \sqrt{7}\) en \(\small \text{-}5 + \sqrt{7}\).
Als je de haakjes in de vergelijking wegwerkt en op \(\small 0\) herleidt, vind je: \(\small x^2+10x+18=0\).
Deze vergelijking kun je niet oplossen door ontbinden omdat er geen paar gehele getallen te vinden is waarvan het product \(\small 18\) en de som \(\small 10\) is. Haakjes wegwerken, werkt hier dus averechts.
Als je de vergelijking \(\small x^2+10x+18=0\) op wilt lossen, moet je proberen de vorm \(\small (x+5)^2=7\) terug te vinden. Hoe je zoiets aanpakt, bekijken we in de komende paar opgaven.
Blauwe L-vorm
Oranje L-vorm
Kwadraatafsplitsen
We hebben steeds de oppervlakte van een L-vorm geschreven als het verschil in oppervlakte van twee vierkanten, bijvoorbeeld \(\small x^2+10x=(x+5)^2-25\).
We gebruiken dit bij het oplossen van vergelijkingen.
Voorbeeld
Los op:
\(\small x^2+10x+12=0\)
\(\small x^2+10x\) VERVANGEN DOOR \(\small (x+5)^2-25\)
VEREENVOUDIGEN
PLUS \(13\)
\(\small (x+5)^2-25+12=0\)
\(\small (x+5)^2-13=0\)
\(\small (x+5)^2=13\)
\(\small x = \text{-}5 + \sqrt{13}\) of \(\small x = \text{-}5 - \sqrt{13}\)
\(\small x^2+10x\) vervangen door \(\small (x+5)^2-25\), noemen we kwadraatafsplitsen.
Vierkantsvergelijkingen oplossen
Voorbeeld
Aan de hand van drie uitgewerkte voorbeelden kun je hieronder zien hoe je kwadraatafsplitsen kunt gebruiken om kwadratische vergelijkingen op te lossen.
Voorbeeld 1
Los op:
\(\small x^2+3x\)
\(\small =\)
\(\small 7x+10\)
OP \(\small 0\) HERLEIDEN
KWADRAATAFSPLITSEN
PLUS \(\small 14\)
\(\small x^2-4x-10\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
\(\small (x-2)^2-4-10\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
\(\small (x-2)^2\)
\(\small =\)
\(\small 14\)
\(\small x = 2 + \sqrt{14}\)
of
\(\small x = 2 - \sqrt{14}\)
Voorbeeld 2
Los op:
\(\small 2x^2+12x\)
\(\small =\)
\(\small 10x-20\)
OP \(\small 0\) HERLEIDEN
DELEN DOOR \(\small 2\)
KWADRAATAFSPLITSEN
MIN \(\small \text{-}9{3 \over 4}\)
\(\small 2x^2+2x+20\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
\(\small x^2+x+10\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
\(\small (x+{1 \over 2})^2 - {1 \over 4} + 10\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
\(\small (x + {1 \over 2})^2\)
\(\small =\)
\(\small \text{-}9{3 \over 4}\)
De vergelijking heeft geen oplossingen, want de uitkomst van een kwadraat kan nooit negatief zijn!
Voorbeeld 3
Los op:
\(\small (x+1)^2\)
\(\small =\)
\(\small 2x^2-(x+3)\)
HAAKJES WEGWERKEN
OP \(\small 0\) HERLEIDEN
KWADRAATAFSPLITSEN
PLUS \(\small 6{1 \over 4}\)
\(\small x^2+2x+1\)
\(\small =\)
\(\small 2x^2-x-3\)
\(\small 0\)
\(\small =\)
\(\small x^2-3x-4\)
\(\small (x-1{1 \over 2})^2-2{1 \over 4}-4\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
\(\small (x-1{1 \over 2})^2\)
\(\small =\)
\(\small 6{1 \over 4}={25 \over 4}\)
\(\small x-1{1 \over 2}={5 \over 2}\)
of
\(\small x-1{1 \over 2}=\text{-}{5 \over 2}\)
\(\small x=4\)
of
\(\small x=\text{-}1\)
Vanaf de derde regel had je ook zo verder kunnen gaan:
\(\small x^2-3x-4\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
ONTBINDEN
VERDER OPLOSSEN
\(\small (x-4)(x+1)\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
\(\small x=4\)
of
\(\small x=\text{-}1\)
De abc-formule
Met kwadraatafsplitsen hebben we een werkwijze waarmee we elke kwadratische vergelijking op kunnen lossen.
We bekijken het oplossen van de vergelijking \(\small 2x^2+12x+6=0\).
Een mogelijke uitwerking zie je hieronder.
Voorbeeld
Los op:
\(\small 2x^2+12x+6\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
DELEN DOOR \(\small 2\)
KWADRAATAFSPLITSEN
PLUS \(\small 6\)
\(\small x^2 + 6x +3\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
\(\small (x+3)^2-9+3\)
\(\small =\)
\(\small 0\)
\(\small (x+3)^2\)
\(\small =\)
\(\small 6\)
\(\small x+3=\sqrt{6}\)
of
\(\small x+3=\text{-}\sqrt{6}\)
\(\small x=\text{-}3+\sqrt{6}\)
of
\(\small x=\text{-}3-\sqrt{6}\)
We doen hetzelfde met de vergelijking \(\small 3x^2+5x-2=0\).
Een mogelijke uitwerking zie je hieronder.
Zoals je aan de uitgewerkte voorbeelden hierboven ziet, is het best veel werk om zo'n vergelijking netjes op te lossen, zeker als er breuken aan te pas komen.
En het kan nóg lastiger, bijvoorbeeld bij de vergelijking \(\small 3x^2+5x-1=0\).
Wiskundigen hebben een formule gevonden die je onmiddellijk de oplossing(en) geeft van elke tweedegraads vergelijking. Dat is de zogenaamde abc-formule.
Van de vergelijking \(\small ax^2+bx+c=0\), met \(\small a\ne 0\), zijn de oplossingen: \(x = {\text{-}b + \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) of \(x = {\text{-}b - \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\).
Een bewijs van deze formule vind je verderop in deze paragraaf.
Als a gelijk is aan 0
De abc-formule (wortelformule)
Algemeen: \(\small ax^2+bx+c=0\), met \(\small a \ne 0\), dan zijn de oplossingen: \(x = {\text{-}b + \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) of \(x = {\text{-}b - \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\).
Of de vergelijking \(\small ax^2+bx+c=0\) oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van \(\small D=b^2-4ac\). We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
Discriminare (Latijn) betekent: onderscheid maken. (Hier wordt onderscheid gemaakt tussen het aantal oplossingen.)
De vierkantsvergelijking \(\small ax^2+bx+c=0\) met \(\small a \ne 0\) heeft
geen oplossingen als \(\small D \lt 0\)
één oplossing als \(\small D=0\), namelijk: \(\small x = \text{-}{b \over 2a}\)
twee oplossingen als \(\small D \gt 0\) namelijk: \(\small x={\text{-}b+\sqrt{D} \over 2a}\) of \(\small x={\text{-}b-\sqrt{D} \over 2a}\)
\(\small 7x^2-6x+1=0\)
Deze vergelijking krijg je uit \(\small ax^2+bx+c=0\) door \(\small a=7\), \(\small b = \text{-}6\) en \(\small c=1\) in te vullen. \(\small D=(\text{-}6)^2-4 \cdot 7 \cdot 1=36−28=8\) (dus de vergelijking heeft twee oplossingen) \(\small \sqrt D = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) \(\small x={\text{-}(\text{-}6) + 2\sqrt{2} \over 14}\) of \(\small x={\text{-}(\text{-}6) - 2\sqrt{2} \over 14}\) \(\small x={3 \over 7}+{1 \over 7}\sqrt{2}\) of \(\small x={3 \over 7}-{1 \over 7}\sqrt{2}\)
Oplossen met abc-formule
Nulpunten
De nulpunten van een vergelijking zijn de oplossingen van de vergelijking \(\small y=0\).
Parabool zonder nulpunten
De \(\small x\)-coördinaat van de top zit altijd midden tussen twee punten op de parabool op gelijke hoogte.
De top kan je dus vinden door de nulpunten te zoeken (punten op hoogte \(\small 0\)), of door twee punten op een andere gelijke hoogte te zoeken.
Het arrangement Kwadratische vergelijkingen is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Kwadratische verbanden'. Het onderwerp van deze les is: kwadratische vergelijkingen.
In deze paragraaf ga je aan de slag met nieuwe methodes om kwadratische vergelijkingen op te lossen.
Dit kan, naast het herleiden tot 0
en hem daarna te ontbinden, namelijk ook met kwadraatafsplitsen of met de abc-formule. Bij beide methodes zal je zien hoe ze tot stand zijn gekomen en er vervolgens mee rekenen.
Ook zal je nulpunten van een parabool gaan zoeken. Je kunt met de discriminant, die bij de abc-formule hoort, iets zeggen over het aantal nulpunten van een parabool. Wanneer je de nulpunten van een parabool hebt gevonden, kun je de symmetrieas achterhalen en daarmee de coördinaten van de top uitrekenen.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
abc-formule, arrangeerbaar, discriminant, havo 4, nulpunt, stercollectie, symmetrieas, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Kwadratische verbanden'. Het onderwerp van deze les is: kwadratische vergelijkingen.
In deze paragraaf ga je aan de slag met nieuwe methodes om kwadratische vergelijkingen op te lossen.
Dit kan, naast het herleiden tot 0
en hem daarna te ontbinden, namelijk ook met kwadraatafsplitsen of met de abc-formule. Bij beide methodes zal je zien hoe ze tot stand zijn gekomen en er vervolgens mee rekenen.
Ook zal je nulpunten van een parabool gaan zoeken. Je kunt met de discriminant, die bij de abc-formule hoort, iets zeggen over het aantal nulpunten van een parabool. Wanneer je de nulpunten van een parabool hebt gevonden, kun je de symmetrieas achterhalen en daarmee de coördinaten van de top uitrekenen.
In deze paragraaf ga je aan de slag met nieuwe methodes om kwadratische vergelijkingen op te lossen.
