Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent.
Je hebt geleerd hoe je de onbekende hoek en zijden kan berekenen met de sinusregel.
Maar soms brengt de sinusregel geen uitkomst bij gegevens van een driehoek, bijvoorbeeld als je alleen alle zijdes weet.
Op zo'n moment brengt de cosinusregel wel uitkomst.
Je gaat in deze paragraaf eerst zien hoe deze regel tot stand komt, vervolgens ga je er wat opdrachten mee maken en tot slot combineren we de sinusregel en de cosinusregel in één opgave.
Opgaven
Unieke driehoek
Cosinusregel
In de volgende opgave bewijzen we de cosinusregel.
Door de rollen van bijvoorbeeld \(\small A\) en \(\small B\) te verwisselen krijg je \(\small b^2=a^2+c^2-2a\cdot c \cdot \text{cos}(\beta)\), enzovoort.
In bovenstaande opgave ligt de hoogtelijn uit \(\small C\) tussen \(\small A\) en \(\small B\), maar als \(\small \alpha\) stomp is ziet het er zó uit.
Ook in dit geval gelden de regels als hierboven. Het bewijs staat in Extra opgave 11.
Voorbeeld:
Hiernaast staat de driehoek die je in opgave a van 'Unieke driehoek' moest tekenen.
Vraag
Bereken \(\small BC\) in één decimaal en de hoeken \(\small B\) en \(\small C\) in graden nauwkeurig.
Oplossing
We noemen \(\small \angle BAC=\alpha\) en \(\small \angle ABC=\beta\).
De zijden tegenover de hoeken \(\small A\), \(\small B\) en \(\small C\) noemen we \(\small a\), \(\small b\) en \(\small c\).
We gebruiken de regel: \(\small a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot \text{cos}(\alpha) \).
Invullen geeft: \(\small a^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4 \cdot \text{cos}(40°) = 6\text{,}61\ldots\), dus \(\small BC = a = \sqrt{6\text{,}61\ldots} \approx 2\text{,}6\).
Om \(\small \beta\) te berekenen, kun je bijvoorbeeld de regel \(\small b^2=a^2+c^2-2a\cdot c \cdot \text{cos}(\beta)\) gebruiken. Wij gebruiken de sinusregel.
Invullen in \(\small {\text{sin}(\alpha) \over a}={\text{sin}(\beta) \over b}\) geeft: \(\small {\text{sin}(40°) \over 2\text{,}5719\ldots}={\text{sin}(\beta) \over 3}\), dus \(\small \text{sin}(\beta)=3⋅{\text{sin}(40°) \over 2\text{,}5719\ldots} = 0\text{,}749\ldots\), dus hoek \(\small B\) is \(\small \beta \approx 49°\).
Dus hoek \(\small C\) is \(\small \gamma =180°-49°-40°=91°\).
Voorbeeld:
In opgave b van 'Unieke driehoek' moest je een driehoek tekenen met zijden \(\small 13\), \(\small 20\) en \(\small 21\).
In het laatste onderdeel van die opgave moest je de hoeken van die driehoek in graden nauwkeurig berekenen. Daar hebben we dat gedaan door een hoogtelijn van de driehoek te tekenen. Maar het kan nu ook direct met de cosinusregel.
We berekenen als voorbeeld de hoek \(\small \alpha\) tegenover de zijde van lengte \(\small 20\).
Volgens de cosinusregel geldt: \(\small 20^2=21^2+13^2−2\cdot 21 \cdot 13 \cdot \text{cos}(\alpha)\). Dus \(\small \text{cos}(\alpha)={5 \over 13}\) en \(\small \alpha = 67°\).
Welke regel moet ik toepassen?
Opmerking:
Welke regel moet ik toepassen?
We hebben eigenlijk zes regels om zijden of hoeken in driehoek \(\small ABC\) te berekenen:
\(\small a^2=b^2+c^2-2b\cdot c \cdot \text{cos}(\alpha)\)
Je probeert ze alle zes. Als er, na invullen, twee onbekenden in zo'n regel blijven staan, kun je hem niet direct gebruiken. In dat geval probeer je een andere regel.
Voorbeeld:
Zie plaatje.
Vraag
Bereken hoek \(\small RPQ\) in graden nauwkeurig.
Oplossing
Een 'sinusregel' gebruiken heeft geen zin, want je kent geen enkele hoek.
We passen de regel \(\small a^2=b^2+c^2-2b\cdot c \cdot \text{cos}(\alpha)\) toe, met \(\small a=12\), \(\small b=5\) en \(\small c=10\), dan is \(\small \alpha = \angle RPQ\).
Je krijgt: \(\small 144=100+25-100\cdot \text{cos}(\alpha)\), dus \(\small \text{cos}(\alpha)=\text{-}0\text{,}19\) en hoek \(\small RPQ\) is \(\small \alpha = 101°\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'.
Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent.
Je hebt geleerd hoe je de onbekende hoek en zijden kan berekenen met de sinusregel.
Maar soms brengt de sinusregel geen uitkomst bij gegevens van een driehoek, bijvoorbeeld als je alleen alle zijdes weet.
Op zo'n moment brengt de cosinusregel wel uitkomst.
Je gaat in deze paragraaf eerst zien hoe deze regel tot stand komt, vervolgens ga je er wat opdrachten mee maken en tot slot combineren we de sinusregel en de cosinusregel in één opgave.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, cosinusregel, driehoek, havo 4, stercollectie, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'.
Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent.
Je hebt geleerd hoe je de onbekende hoek en zijden kan berekenen met de sinusregel.
Maar soms brengt de sinusregel geen uitkomst bij gegevens van een driehoek, bijvoorbeeld als je alleen alle zijdes weet.
Op zo'n moment brengt de cosinusregel wel uitkomst.
Je gaat in deze paragraaf eerst zien hoe deze regel tot stand komt, vervolgens ga je er wat opdrachten mee maken en tot slot combineren we de sinusregel en de cosinusregel in één opgave.
Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent.
Voorbeeld:
