Cosinusregel

In de volgende opgave bewijzen we de cosinusregel.

Door de rollen van bijvoorbeeld en te verwisselen krijg je , enzovoort.

Cosinusregel


 

 

 

 

 

 

 

 

Opmerking:

In bovenstaande opgave ligt de hoogtelijn uit tussen en , maar als stomp is ziet het er zó uit.

 

 

 

 

 

 


Ook in dit geval gelden de regels als hierboven. Het bewijs staat in Extra opgave 11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

Hiernaast staat de driehoek die je in opgave a van 'Unieke driehoek' moest tekenen.

Vraag

Bereken in één decimaal en de hoeken en in graden nauwkeurig.

Oplossing

We noemen en .
De zijden tegenover de hoeken , en noemen we , en .
We gebruiken de regel: .
Invullen geeft: , dus .

Om te berekenen, kun je bijvoorbeeld de regel
gebruiken. Wij gebruiken de sinusregel.
Invullen in geeft: , dus , dus hoek is .
Dus hoek is .

Voorbeeld:

In opgave b van 'Unieke driehoek' moest je een driehoek tekenen met zijden , en .
In het laatste onderdeel van die opgave moest je de hoeken van die driehoek in graden nauwkeurig berekenen. Daar hebben we dat gedaan door een hoogtelijn van de driehoek te tekenen. Maar het kan nu ook direct met de cosinusregel.
We berekenen als voorbeeld de hoek tegenover de zijde van lengte .
Volgens de cosinusregel geldt: . Dus en .