In deze paragraaf bekijken we de groeisnelheid van tweedegraadsfuncties.
Een tweedegraadsfunctie is van de vorm \(y=ax^2+bx+c\) voor zekere getallen \(a\), \(b\) en \(c\), waarbij \(a≠0\).
Opgaven
Wat is een tweedegraads functie?
y=0,5x^2+2x−4
De groeisnelheid van een lineaire en een kwadratische functie
y=0,5x^2−2x nogmaals
f:x→x^2
De oppervlakte van het vierkant
Gegeven is een functie \(f\). Je kunt de groeisnelheid van \(f(x)\) in het punt met eerste coördinaat \(x\) goed benaderen met: \(\frac{{f(x + 0,001) - f(x)}}{{0,001}}\).
Functie f met f(x)=x^2
Gegeven is de functie \(f:x→x^2\).
De groeisnelheid van \(f(x)\) in \(x=a\) is \(2a\).
Anders gezegd: de helling van de raaklijn in het punt van de grafiek met eerste coördinaat \(a\) is \(2a\).
De somfunctie en zijn groeisnelheid
Geef een formule voor f′(x)
Algemeen
Neem aan, je hebt twee functies \(y_1\) en \(y_2\).
We bekijken \(y=y_1+y_2\).
We maken een rekenschema om het verband tussen de groeisnelheden van \(y\), \(y_1\) en \(y_2\) te berekenen als \(x=2\).
Neem aan: als \(x=2\), dan \(y_1=3\) en \(y_2=5\), dus \(y=8\).
Rekenschema
\(x=2\)
\(→\)
\(y=8\)
\(x=2+Δx\)
\(→\)
\(y_1=3+Δy_1\)
\(→\)
\(y_2=5+Δy_2\)
dus
\(x=2+Δx\)
\(→\)
\(y=8+Δy_1+Δy_2\)
Dus: \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta {y_1} + \Delta {y_2}}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta {y_1}}}{{\Delta x}} + \frac{{\Delta {y_2}}}{{\Delta x}}\).
Als \(Δx\) naar \(0\) nadert vind je hieruit:
De groeisnelheid van \(y=\) de groeisnelheid van \(y_1+\) de groeisnelheid van \(y_2\).
We voeren een korte notatie in.
Afspraak
Gegeven is een functie \(f\).
De groeisnelheid van \(f(x)\) als \(x=a\) noteren we met \(f′(a)\).
De functie \(f′\) noemen we de afgeleide functie van \(\bf \it {f}\).
Bij een gegeven functie de afgeleide functie bepalen, noemen we de functie differentiëren.
We hebben gezien:
Als \(f(x)=x^2\), dan \(f′(a)=2a\), dus \(f′(x)=2x\) (opgave "De oppervlakte van het vierkant"),
als \(f(x)=2x+3\), dan \(f′(x)=2\) (opgave "f:x→2x+3").
In opgave "Een boot vaart de sluis door" en daarna hebben we het volgende gezien.
Somregel
Als \(f(x)=g(x)+h(x)\), dan \(f′(x)=g′(x)+h′(x)\).
Voorbeeld:
We passen de somregel toe op de functie \(f:x→x^2+3x+5\)
Dan \(f=g+h\) met \(g:x→x^2\) en \(h:x→3x+5\).
Dan \(g′(x)=2x\) en \(h′(x)=3\). Dus \(f′(x)=2x+3\).
De oppervlakte van de rechthoek
Gegeven de functies f en g
Een veelvoud van een functie en zijn groeisnelheid
Wat voor de gemiddelde helling geldt, geldt ook voor de helling in een punt. Dus heb je het volgende.
Gegeven een functie \(f\). Voor de functie \(g\) geldt: er is een getal \(c\) zó, dat \(g(x)=f(x)+c\) voor alle \(x\). Dan ontstaat de grafiek van \(g\) door die van \(f\) over \(c\) eenheden verticaal te verschuiven.
Er geldt: \(g′(x)=f′(x)\) voor alle \(x\).
Opmerking:
Je kunt bovenstaande ook zien als een speciaal geval van de somregel.
Hoe?
In één plaatje de grafieken van de functies f en g (2)
Geef een formule voor f′(x)
Gegeven zijn de functies \(f\) en \(g\). Veronderstel: er is een getal \(c\) zó, dat \(g(x)=c⋅f(x)\) voor alle \(x\).
Dan ontstaat de grafiek van \(g\) door de grafiek van \(f\) ten opzichte van de \(x\)-as met factor \(c\) te vermenigvuldigen.
Veelvoudregel
Als er een getal \(c\) is, zó, dat \(g(x)=c⋅f(x)\) voor alle \(x\), dan \(g′(x)=c⋅f′(x)\).
Voorbeeld:
De afgeleide van \(f:x→‐2x^2+3x−7\) vind je als volgt: \(f(x)=g(x)+h(x)\) met \(g(x)=‐2x^2\) en \(h(x)=3x−7\). \(g′(x)=‐4x\) (veelvoudregel) en \(h′(x)=3\), dus \(f′(x)=‐4x+3\) (somregel).
Het arrangement Tweedegraadsfuncties is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Gegeven is een functie 
