De groeisnelheid van de functie \(f\) in het punt met eerste coördinaat \(a\) is de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat \(a\).
Als je een formule van \(f(x)\) hebt, dan kun je de helling in het punt met eerste coördinaat \(a\) goed benaderen door de gemiddelde groei \(\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\) van \(f(x)\) op het interval \([a,b]\) uit te rekenen.
Die benadering is beter, naarmate \(b\) dichter bij \(a\) gekozen wordt.
Met de \(Δ\)-notatie kunnen we dit ook zó opschrijven:
met \(Δx=b−a\) en \(Δy=f(b)−f(a)\) is \(\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
De gemiddelde helling van een functie \(f\) op het interval \([a,b]\) is een quotiënt van twee verschillen namelijk \(Δy=f(b)−f(a)\) gedeeld door \(Δx=b−a\).
Daarom noemt men \(\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\) en \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) ook wel een differentiequotiënt. \(Δ\) (Griekse hoofdletter delta) staat voor differentie, dit betekent verschil.)
Opmerking:
Kijk nog eens goed naar de eenheden waarin de groeisnelheid wordt uitgedrukt.
In opgave "Wandeling": \(t\) de tijd in uur, \(s\) de afstand in km,
de gemiddelde groeisnelheid van \(s\) is in km/u;
In opgave "y=x^3−10x^2+50x": \(x\) het aantal stuks (in honderdtallen), \(y\) de kosten in honderden euro,
de gemiddelde groeisnelheid van \(y\) is in honderden euro per honderd stuks, dus in euro per stuk;
In opgave "Optrekkende auto": \(t\) de tijd in seconden, \(s\) de afstand in meter,
de gemiddelde groeisnelheid van \(s\) is in m/s.
Van gemiddelde groeisnelheid naar groeisnelheid
y=0,5x^2−2x
Gegeven een functie \(f\) met daarop een punt \(A\) met eerste coördinaat \(a\).
De waarde die je krijgt door in \(\frac{{f(a + \Delta x) - f(a)}}{{\Delta x}}\) het getal \(Δx\) naar \(0\) te laten naderen, is de groeisnelheid van \(f(x)\) in \(A\).
We noemen die waarde ook de helling van de grafiek van \(f\) in \(A\).
Als \(P\) het punt op de grafiek van \(f\) met eerste coördinaat \(a+Δx\) is, nadert lijn \(AP\) de raaklijn in \(A\). De raaklijn in \(A\) aan de grafiek van \(f\) is de lijn door \(A\) met de groeisnelheid als richtingscoëfficiënt.
Opmerking:
Bekijk de applet demo_raaklijn waar de grafiek van bovenstaande functie is getekend.
Met de schuifknop \(a\) kun je de positie van \(A\) op de grafiek variëren: de eerste coördinaat van \(A\) is \(a\). Het punt \(P\) op de grafiek van de functie heeft eerste coördinaat \(a+Δx\).
Je kunt met een schuifknop de eerste coördinaat van \(A\) en \(Δx\) kiezen.
Naarmate \(Δx\) dichter bij \(0\) gekozen wordt, 'nadert' lijn \(AB\) de raaklijn.
Het arrangement Groeisnelheid berekenen is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
De groeisnelheid van de functie 
