
Hiernaast en op het werkblad is de grafiek van een functie \(f\) getekend.
a Lees de gemiddelde groeisnelheid van \(f\) op het interval \([‐1,1]\) af uit de grafiek.
De toename van \(\bf \it x\) noteren we met \(Δx\) (en de toename van \(y\) met \(Δy\)).
Op het interval \([‐1,1]\) is \(Δx=2\) en \(Δy=6\).
De gemiddelde groeisnelheid van \(y\) op \([‐1,1]\) is \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\).
Deze is gelijk aan de gemiddelde helling van de grafiek op het interval \([‐1,1]\).
b Geef \(Δx\) en \(Δy\) in de grafiek aan.
c Bepaal \(Δx\) en \(Δy\) op \([‐1,2]\) en bereken daarmee de gemiddelde groeisnelheid van \(y\) op \([‐1,2]\).
d Hoe kun je (zonder te rekenen) in de grafiek zien dat de gemiddelde groeisnelheid van \(y\) op \([‐1,1]\) groter is dan de gemiddelde groeisnelheid op \([‐2,1]\)?
\(g\) is de functie die door \((0,0)\) gaat en constante groeisnelheid \(1\) heeft.
e Teken de grafiek van \(g\) op het werkblad en geef een formule voor \(g\).
f Bepaal de punten van de grafiek van \(f\) waar de groeisnelheid van \(f\) even groot is als de groeisnelheid van \(g\).
Hoe heb je dat gedaan?
Een formule voor \(f(x)\) is: \(f(x)=‐x^3+4x\).
Waarschijnlijk heb je bij vraag f het punt op de grafiek van \(f\) gezocht waar die even steil loopt als de grafiek van \(g\).
Dat gebeurt ongeveer in de punten met eerste coördinaat \(‐1\) en \(1\).
g Je kunt dat controleren met de GR door inzoomen.
Je kunt dit onderdeel ook in een "GeoGebra-applet" bekijken.
Met de schuifknop kun je de lijn \(y=x\) naar het punt \((1,3)\) schuiven.
Als je uitvergroot zie je dat beide grafieken ongeveer even steil lopen.
Als je ver genoeg inzoomt op de grafiek van \(f\) in \((1,3)\), zie je (bijna) geen verschil meer tussen de grafiek van \(f\) en de lijn door \((1,3)\) met helling \(1\). De helling van \(f\) in \((1,3)\) is \(1\) (ongeveer) en de lijn \(y=x+2\) is een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van \(f\) in dat punt.
Je kunt de helling van de grafiek in een punt goed 'zien' op de GR door in te zoomen. Een berekening van die helling kun je maken door de gemiddelde groeisnelheid te bepalen op een heel klein interval waar de eerste coördinaat van dat punt in ligt.
h Bereken met behulp van de formule van \(f(x)\) de gemiddelde groeisnelheid op het interval \([0,99;1,01]\).