Het vaasmodel

Het vaasmodel

Het vaasmodel

Wat ga ik leren?

In de vorige paragrafen heb je kennis gemaakt met geordende
en ongeordende grepen.
In deze paragraaf maken we een model bij deze grepen: het
vaasmodel.
Dit model kan je helpen te herkennen of je te maken hebt met een
ongeordende greep of een geordende greep (al dan niet met
herhaling). Tevens helpt het model je een juiste boom of rooster
bij het probleem te vinden.

 

 

 

 

 

Opgaven

Treintje vullen

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

In een vaas zitten zeven briefjes met daarop de nummers \(\small 1\), \(\small 2\), \(\small 3\), \(\small 4\), \(\small 5\), \(\small 6\) en \(\small 7\).
Je kunt nu op de volgende vier manieren drie briefjes uit de vaas trekken.

Trekken met terugleggen, waarbij je let op de volgorde waarin de briefjes
getrokken worden. Je hebt dan te maken met een geordende greep met
herhaling.
Om het aantal grepen te bepalen kun je een wegendiagram tekenen. Elke
(driewegs)route van links naar rechts correspondeert met een geordende greep
met herhaling. De aangegeven route hoort bij de geordende greep \(\small 3\text{-}7\text{-}3\).
Het aantal grepen is \(\small 7^3=343\).

 

Trekken zonder terugleggen, waarbij je let op de volgorde. Je hebt dan te maken
met een permutatie (een geordende greep zonder herhaling). Om het aantal
permutaties te bepalen kun je een boom tekenen. Elk eindpunt van de boom
correspondeert met een permutatie. Het aangegeven eindpunt hoort bij de
permutatie \(\small 3\text{-}6\text{-}1\).
Het aantal is dan \(\small 7×6×5=210\).

 

Trekken zonder terugleggen, waarbij je niet let op de volgorde. Je hebt dan te
maken met een combinatie (een ongeordende greep zonder herhaling).
Om het aantal combinaties te berekenen kun je een rooster tekenen. Elke
kortste route van linksonder naar rechtsboven correspondeert met een
combinatie. De route hiernaast hoort bij de combinatie \(\small 3\text{-}5\text{-}7\).
Het aantal is \(\small \begin{pmatrix} 7\\3 \end{pmatrix}=35\).

 

Als je de vorige paragraaf (Herhalingscombinaties) hebt overgeslagen, sla dan
ook het volgende stukje theorie en de opgaven die als facultatief zijn
gemarkeerd over.

 

Trekken met terugleggen, waarbij je niet let op de volgorde. Je hebt dan te
maken met een herhalingscombinatie (een ongeordende greep met herhaling).
Om het aantal grepen te bepalen kun je een rooster tekenen. Elke kortste route in
het rooster van linksonder naar rechtsboven correspondeert met een ongeordende
greep met herhaling. De aangegeven route hoort bij de greep \(\small 3\text{-}3\text{-}7\).
Het aantal is \(\small \begin{pmatrix} 9\\3 \end{pmatrix}=84\).

 

 

 

 

 

 

 

 

Kiepwagon vullen

Rijtjes van 8 met nul en één

Rijtjes van 8 met nul, één en twee

Telefoonnummers maken

Eieren verven

Bak met letters

Er zijn \(\small \begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\) rijtjes van lengte \(\small 10\) met twee \(\small 0\)’en, drie \(\small 1\)’en, vier
\(\small 2\)'en en één \(\small 3\).

 

 

 

Opmerking:

Als je eerst de drie \(\small 1\)'en aanwijst, dan de vier \(\small 2\)'en en dan de twee \(\small 0\)'en, vind je
voor dit aantal: \(\small \begin{pmatrix} 10\\3 \end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\).

Verder geldt:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ 2 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8 \\ 3 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ 2 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8 \\ 3 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 4 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 1 \end{array}} \right) = \frac{{10!}}{{4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!}}\).

Getallen in vaas

  • Het arrangement Het vaasmodel is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-10-12 13:31:54
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur en 0 minuten

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode. (2022).

    Systematisch uitschrijven

    https://maken.wikiwijs.nl/154969/Systematisch_uitschrijven

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van