Je gaat in deze paragraaf aan de slag met mogelijke combinaties.
Combinaties bepaal je bijvoorbeeld aan de hand van routes in een
plattegrond of de driehoek van Pascal. Ook leer je hoe je het aantal
combinaties noteert en hoe je deze kunt berekenen uit het aantal permutaties.
Opgaven
Voorbereiding hightea
Helpers viswedstrijd
Organisatie klassenfeest
Schijven op bord
Voorbeeld:
Op een bord met negen velden worden vijf witte en vier donkere schijven
geplaatst. Een voorbeeld zie je hiernaast.
Hoeveel mogelijkheden zijn er?
Voor elk vakje heb je de keuze uit twee mogelijkheden: een witte of
donkere schijf. Bij de voorbeeldopstelling hoort het volgende rijtje.
vakje
\(\small 1\)
\(\small 2\)
\(\small 3\)
\(\small 4\)
\(\small 5\)
\(\small 6\)
\(\small 7\)
\(\small 8\)
\(\small 9\)
wit/donker
w
d
w
w
d
w
d
w
d
Ieder rijtje (bestaande uit vijf "w"-tjes en vier "d"-tjes) kan worden voorgesteld
door een route in een rooster. Zo’n route bestaat uit negen stappen: je moet vijf
keer naar rechts en vier keer naar boven. De route die bij de
voorbeeldopstelling hoort, zie je hiernaast. Het aantal mogelijke opstellingen
is daarom gelijk aan het aantal kortste routes van \(\small (0\text{,}0)\) naar \(\small (5\text{,}4)\). Dit noteer
je met het combinatiegetal \(\small \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix}\). Uit de driehoek van Pascal kun je aflezen
dat er \(\small 126\) mogelijke opstellingen zijn. Dit aantal kun je ook berekenen met je
rekenmachine: \(\small \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 \\ 5 \end{pmatrix}=9\space \text{C} \space 4=126\).
Zieke bomen
Als bij het kiezen van \(\small k\) elementen uit \(\small n\) de volgorde niet van belang is, dan
spreken we van een combinatie van \(\small k\) uit \(\small n\)(of een ongeordende greep van \(\small k\) uit \(\small n\) zonder herhaling).
Het aantal combinaties van \(\small k\) elementen uit \(\small n\) elementen noteren we als: \(\small \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\).
Een combinatie is op te vatten als een herhaalde keuze uit twee alternatieven:
wel/niet, voor/tegen, Ajax/PEC, nul/een, enzovoorts. Elke combinatie kan
daarom worden vertaald naar een rijtje bestaande uit twee symbolen en
worden voorgesteld door een route in een rooster.
Profiel aanvullen
Kaartspel toepen
Basketbalcompetitie
Kloppend met de driehoek van Pascal
Opmerking:
Je hebt nu op twee manieren berekend hoeveel permutaties er zijn van \(\small 4\) uit \(\small 10\): \(\small \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}⋅4⋅3⋅2⋅1\) en ook \(\small 10⋅9⋅8⋅7\).
Hieruit volgt: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10} \\
4
\end{array}} \right) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\).
Bereken met rekenmachine
Opmerking:
Het aantal combinaties van 4 uit 10 kun je uit het aantal permutaties van
4 uit 10 berekenen: \(\small \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}={\text{aantal permutaties van 4 uit 10} \over 4⋅3⋅2⋅1}\).
Het aantal combinaties (van \(\small k\) uit \(\small n\)) kan worden uitgedrukt in drie
faculteitsgetallen: \(\small {n! \over k!*(n−k)!}\).
Je kunt dit resultaat als volgt verklaren. \(\small 9\) elementen laten zich op \(\small 9!\) manieren rangschikken; bij elke rangschikking kan
je een streep zetten tussen het vierde en vijfde element, bijvoorbeeld: \(\small 4\space 7\space 1\space 3 \space | \space 8\space 5 \space2 \space6\space 9\).
Bij een combinatie van \(\small 4\) elementen uit \(\small 9\) gaat het er alleen om welke getallen
VOOR en welke getallen ACHTER de streep staan.
Voor de streep betekent: uitgekozen; achter de streep: niet uitgekozen. Omdat je
de getallen voor de streep op \(\small 4!\) en de getallen achter de streep op \(\small 5!\) manieren
kunt rangschikken, volgt nu: \(\small \begin{pmatrix} 9\\4 \end{pmatrix}={9! \over 4!⋅5!}\).
Opmerking:
Om de formule die je van \(\small \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\) gevonden hebt ook goed te krijgen voor het
randgeval \(\small k=n\), spreken we af: \(\small 0!=1\).
Er geldt dan \(\small \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix}={n! \over n!⋅0!}={n! \over n!⋅1}=1\).
Ook het combinatiegetal \(\small \begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix}\) krijgt nu betekenis: \(\small \begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix}={n! \over 0!⋅n!}=1\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Je gaat in deze paragraaf aan de slag met mogelijke combinaties.
