Je gaat in deze paragraaf leren wat machtsverbanden zijn.
Je leert hoe deze verbanden vast te leggen zijn in formules en, onder andere, gebruikt kunnen worden in de natuur.
Ook kun je aan het eind van deze paragraaf formules omschrijven en berekenen via de algebraïsche weg.
Opgaven
Toenemend en afnemend stijgend
Biologen proberen verbanden in de natuur vast te leggen in formules. Veel van die verbanden zijn machtsverbanden. Een voorbeeld hiervan vind je in de laatste opgaven van de vorige paragraaf, de 'Warmteverlies dier'-opdrachten.
Toenemend en afnemend stijgend
Als \(\small y\) evenredig is met een macht van \(\small x\), noemen we het verband van \(\small y\) en \(\small x\) een machtsverband.
Dus een machtsfunctie is een verband van de vorm \(\small y=c⋅x^{α}\), voor zekere getallen \(\small c\) en \(\small α\).
Voorbeeld:
Hoe groter een zoogdier, hoe groter zijn hersenen. Er is een verband tussen het
hersengewicht \(\small H\) en lichaamsgewicht \(\small G\) van een dier (beide in gram).
Het verband blijkt een machtsverband. De grafiek ziet er ongeveer uit als in het
eerste plaatje.
Hier is sprake van afnemende stijging.
Hoe zwaarder een zoogdier, hoe zwaarder zijn skelet. Het verband tussen het
skeletgewicht \(\small S\) en \(\small G\) ziet er ongeveer uit als in het tweede plaatje.
Hier is sprake van toenemende stijging.
In deze paragraaf bekijken we verbanden van de vorm: \(\small y=c⋅x^{α}\). Hierbij hoeft het getal \(\small α\) niet geheel te zijn. Voor niet gehele
exponenten \(\small α\) zijn de verbanden alleen gedefinieerd voor positieve getallen \(\small x\). We zullen in deze paragraaf als invoer steeds positieve waarden nemen.
Verder nemen we de constanten \(\small α\) en \(\small c\) steeds positief.
Gewicht dieren
Grafieken machtsfuncties
Macht uitzoeken
Terugrekenen
Er is een skelet van een mammoet gevonden. Het skelet weegt ongeveer \(\small 2000\) kg.
Om het gewicht van de mammoet te berekenen, moet je 'terugrekenen' met de formule \(\small 0\text{,}06G^{1\text{,}1}\). Hoe dat gaat, bekijken we nu.
Als \(\small x^{α}=a\), met \(\small x\) en \(\small a\) positief, dan \(\small x=a^{1\over α}\), voor alle \(\small α≠0\).
Verband tussen gewicht
Voorbeeld:
Voor welke \(\small x\) geldt: \(\small 0\text{,}1x^{0\text{,}2}=0\text{,}3\)?
Oplossing
\(\small 0\text{,}1x^{0\text{,}2}\)
\(\small =\)
\(\small 0\text{,}3\)
Deel door \(\small 0\text{,}1\)
\(\small x^{0\text{,}2}\)
\(\small =\)
\(\small 3\)
Als \(\small x^{α}=a\) , dan \(\small x=a^{1\over α}\)
\(\small x\)
\(\small =\)
\(\small 3^{1\over 0\text{,}2}=3^5=243\)
Algebraïsche weg
Voorbeeld:
Bereken langs algebraïsche weg in drie decimalen het positieve getal \(\small x\) waarvoor \(\small 10x=\sqrt[{3}]{x}\).
Oplossing
\(\small 10x\)
\(\small =\)
\(\small \small \sqrt[{3}]{x}\)
\(\small \sqrt[{3}]{...}=(...)^{1\over3}\)
\(\small 10x\)
\(\small =\)
\(\small x^{1\over3}\)
Delen door \(\small x^{1\over3}\)
\(\small 10x^{2\over3}\)
\(\small =\)
\(\small 1\)
Delen door \(\small 10\)
\(\small x^{2\over3}\)
\(\small =\)
\(\small 0\text{,}1\)
Als \(\small x^{α}=a\) , dan \(\small x=a^{1\over α}\)
\(\small x\)
\(\small =\)
\(\small 0\text{,}1^{3\over2}\)
Dus \(\small x=0\text{,}032\).
Huidoppervlak mens
Uitdrukken x in y
Voorbeeld:
Gegeven is het verband \(\small y= 0\text{,}3x^{2\text{,}2}\). Druk \(\small x\) uit in \(\small y\).
Schrijf het resultaat in de vorm \(\small x=a \cdot y^{b}\), met \(\small a\) en \(\small b\) in twee decimalen.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
