In deze paragraaf spreken we af wat we onder \(\small a^{x}\) (met \(\small a>0\)) zullen verstaan als \(\small x\)niet natuurlijk is, dus niet 0, 1, 2,….
We doen dat zó, dat de rekenregels die we in de vorige paragraaf gezien hebben, ook nu weer gelden.
Met deze rekenregels leer je om moeilijke formules te vereenvoudigen en uit te rekenen zonder rekenmachine.
Opgaven
Gebroken exponenten
Macht met gebroken exponent
Het kwadraat van \(\small x^{1\over2}\) is \(\small x\), dus \(\small x^{1\over2}=\sqrt{x}\);
De derde macht van \(\small x^{1\over3}\) is \(\small x\), dus \(\small x^{1\over3}=\sqrt[{3}]{x}\);
De vierde macht van \(\small x^{1\over4}\) is \(\small x\), dus \(\small x^{1\over4}=\sqrt[{4}]{x}\).
De \(\small n\)-de macht van \(\small x^{1\over n}\) is \(\small x\), dus \(\small x^{1\over n}=\sqrt[{n}]{x}\), \(\small n=2,3,4...\).
In de vorige opgave heb je ook gezien: \(\small 6^{2\over3}=\sqrt[{3}]{6^{2}}\) en \(\small 6^{4\over3}=\sqrt[{3}]{6^{4}}\).
Verder zou volgens rekenregel 1 voor machten moeten gelden: \(\small \sqrt[{3}]{6} \cdot \sqrt[{3}]{6}=6^{1\over3} \cdot 6^{1\over3}=6^{2\over3}\) enzovoort.
We maken dus de volgende afspraak.
Afspraak
Voor alle positieve getallen \(\small a\), \(\small p\) en \(\small q\) met \(\small p\) en \(\small q\) geheel geldt: \(\small a^{p \over q}=\sqrt[{q}]{a^{p}}=\sqrt[{q}]{a}^{p}\).
Voorbeeld:
Soms komt een macht met een gebroken exponent mooi uit, bijvoorbeeld: \(\small 27^{1\over3}\). De derde macht van dit getal is \(\small 27\). Dus moet dat getal wel \(\small 3\) zijn!
We kennen nu ook \(\small 27^{2\over3}\), als volgt: \(\small 27^{2\over3}=(27^{1\over3})^{2}=3^{2}=9\).
Rekenen met gebroken exponenten
Vereenvoudigen met rekenregels
In het vervolg gaan we ervan uit dat de rekenregels ook voor machten met gebroken exponenten gelden.
Voorbeeld:
In het volgende gebruiken we de rekenregels voor machten met gebroken exponent. \(\small (a^{1\over3})^{7}=a^{7\over3}\) (Regel 3) \(\small a \cdot a^{1\over2}=a^{1{1\over2}}\) (Regel 1)
Dus: \({(a^{1\over3})^{7} \over a \cdot a^{1\over2}} = a^{{7\over3} \cdot 1{1\over2}} = a^{5\over6}\) (Regel 2 en het voorgaande)
We spreken af: \(\small a^{\text{-}p}={1\over a^{p}}\), voor \(\small a> 0\) en \(\small p>0\).
In woorden: \(\small a^{\text{-}p}\) en \(\small a^p\) zijn elkaars omgekeerde.
Rekenregel 3
Door de afspraken die we gemaakt hebben over \(\small a^{x}\) (met \(\small a>0\)) als \(\small x\) niet natuurlijk is, gelden de volgende rekenregels ook als de exponent niet natuurlijk is.
Rekenregels voor machten
\(a^{x} \cdot a^{y}=a^{x+y}\)
\(a^{x}:a^{y}=a^{x-y}\)
\((a^{x})^{y}=a^{x*y}\)
\( (a \cdot b)^{x}=a^{x} \cdot b^{x}\)
Deze regels gelden voor alle positieve getallen \(\small a\), \(\small b\), en willekeurige getallen \(\small x\) en \(\small y\).
Het arrangement Niet natuurlijke exponenten is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
