Niet natuurlijke exponenten

Niet natuurlijke exponenten

Niet natuurlijke exponenten

Wat ga ik leren?

In deze paragraaf spreken we af wat we onder ax (met a>0) zullen verstaan als x niet natuurlijk is, dus niet 0, 1, 2,….
We doen dat zó, dat de rekenregels die we in de vorige paragraaf gezien hebben, ook nu weer gelden.
Met deze rekenregels leer je om moeilijke formules te vereenvoudigen en uit te rekenen zonder rekenmachine.

Opgaven

Gebroken exponenten

Gebroken exponenten

We gaan weer verder met de bacteriekolonie die zich elk uur verdubbelt. De deling
van de bacteriën vindt natuurlijk niet precies op de hele uren plaats. De ene bacterie
zal zich eerder delen dan de andere. We mogen wel aannemen dat het delingsproces
goed gespreid is in de tijd. We willen nu weten hoeveel keer zo groot het aantal bacteriën
per half uur wordt.

Anneke denkt dat het aantal bacteriën elk half uur \(\small 1{1\over2}\) keer zo groot wordt.

a Laat zien dat dat niet strookt met het gegeven dat het aantal bacteriën per uur twee
keer zo groot wordt.

 

Anneke doet een nieuwe poging: het aantal bacteriën wordt elk half uur \(\small 1\text{,}4\) keer zo groot.

b Laat zien dat ook dat niet klopt.

 

Hoeveel keer zo groot wordt het aantal bacteriën per half uur?

c Zoek dat getal in drie decimalen nauwkeurig.

 

Het gezochte getal uit de vorige vraag noemen we de groeifactor per half uur.
Noemen we deze groeifactor \(\small x\), dan is de groeifactor per uur \(x \cdot x=x^{2}\).
Dus: \(x=\sqrt{2}≈1\text{,}4142...\)

d Zoek de groeifactor per \(\small 20\) minuten (dat is \(\small 1\over3\) uur).

 

Betekenis van \(\small 2 {1\over3}\)
Een bacteriekolonie wordt elk uur \(\small 2\) keer zo groot.
Dan wordt de kolonie elke \(\small 20\) minuten \(\small 2 {1\over3}\) keer zo groot.
(\(\small 2\) minuten is \(\small 1\over3\) uur).

Betekenis van \(\small 2{4\over5}\)
Een bacteriekolonie wordt elk uur \(\small 2\) keer zo groot.
Dan wordt de kolonie elke \(\small 48\) minuten \(\small 2{4\over5}\) keer zo groot.
(\(\small 48\) minuten is \(\small 4\over5\) uur.)

e Zeg precies wat de betekenis is van \(\small 6 ^{2\over3}\) in termen van de groei van een bacteriekolonie.
   Teken op de GR de grafiek van \(\small y=6^{x}\).
   Lees uit de grafiek af hoe groot \(\small 6 ^{2\over3}\) ongeveer is.
   Bereken met de rekenmachine de derde macht van dat getal.
   Leg uit dat \(\small (6{2\over3})^{3}=36\).

f Dezelfde opdracht voor \(\small 6^{1 {1\over3}}\).
   Hoe groot is \(\small (6^{1 {1\over3}})^{3}\) (zonder rekenmachine)?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Macht met gebroken exponent

Het kwadraat van x12 is x, dus x12=√x;
De derde macht van x13 is x, dus x13=3√x;
De vierde macht van x14 is x, dus x14=4√x.

De n-de macht van x1n is x, dus x1n=n√x, n=2,3,4....

In de vorige opgave heb je ook gezien: 623=3√62 en 643=3√64.
Verder zou volgens rekenregel 1 voor machten moeten gelden:
3√6⋅3√6=613⋅613=623 enzovoort.
We maken dus de volgende afspraak.

Afspraak
Voor alle positieve getallen a, p en q met p en q geheel geldt:
apq=q√ap=q√ap.

 

 

 

Voorbeeld:

Soms komt een macht met een gebroken exponent mooi uit, bijvoorbeeld:
2713. De derde macht van dit getal is 27. Dus moet dat getal wel 3 zijn!

We kennen nu ook 2723, als volgt:
2723=(2713)2=32=9.

 

Macht met gebroken exponent

Bereken op deze manier ook zonder rekenmachine de volgende machten. Je kunt natuurlijk wel je rekenmachine gebruiken om je antwoord te controleren.

\(\small 1000^{1\over3}\), \(\small 1000^{2\over3}\), \(\small 16^{1\over4}\), \(\small 16^{3\over4}\), \(\small 49^{1\over2}\), \(\small 49^{1{1\over2}}\)

 

Rekenen met gebroken exponenten

Rekenen met gebroken exponenten

a Bereken zonder rekenapparaat:
   \(\small 64^{1\over2}\), \(\small 64^{1\over3}\), \(\small 64^{1\over6}\), \(\small 64^{5\over6}\).
   Leg uit hoe je hieraan komt.

b Test zonder rekenmachine of de regels 1, 2, 3 en 4 ook voor gebroken exponenten gelden in de volgende gevallen:

  1. \(\small 64^{1\over2} \cdot 64^{1\over3}=64^{{1\over2}+{1\over3}}\)

  2. \(\small 64^{1\over2}:64^{1\over3}=64^{{1\over2}-{1\over3}}\)

  3. \(\small (64^{1\over2})^{1\over3}=64^{{1\over2}*{1\over3}}\)

  4. \(\small 64^{1\over3} \cdot 1000^{1\over3}=(64 \cdot 1000)^{1\over3}\)

 

Vereenvoudigen met rekenregels

In het vervolg gaan we ervan uit dat de rekenregels ook voor machten met gebroken exponenten gelden.

 

 

 

Voorbeeld:

In het volgende gebruiken we de rekenregels voor machten met gebroken exponent.
(a13)7=a73 (Regel 3)
a⋅a12=a112 (Regel 1)
Dus: (a13)7a⋅a12=a73⋅112=a56 (Regel 2 en het voorgaande)
Vereenvoudigen met rekenregels

Vereenvoudig als in het voorbeeld.

\({(a^{4})^{1\over2} \over (a^{1\over4})^{5}}\) \({b^{3} \cdot b^{1\over3} \over (b^{1\over2})^{6}}\)
\( {(c^{12})^{2\over3} \over c^{1\over2} \cdot c^{1\over3} \cdot c^{1\over6}}\) \( {(d^{4\over3})^{3\over2} \over (d^{2\over5})^{5\over2}}\)

 

 

Zonder worteltekens


Voorbeeld:

3√x4=(x4)13=x43

 
Zonder worteltekens

Schrijf zo ook zonder worteltekens:

\(\small \sqrt{a^{3}}\) \(\small \sqrt[{3}]{b^2}\) \(\small \sqrt{\sqrt{c}}\) \(\small \sqrt[{3}]{\sqrt{d^5}}\)

 

 

Grafieken

Grafieken

a Leg uit dat voor elke \(\small x> 0\) geldt: \(\small x^{1{1\over2}}=x\sqrt{x}\).

b Teken op de GR in één window met \(\small 0<x≤2\) de grafieken van \(\small y=x\), \(\small y=x^{1{1\over2}}\) en \(\small y=x^2\).

 

 

Zonder worteltekens 2

Zonder worteltekens 2

Schrijf zonder worteltekens:

\(\small x^2\sqrt{x}\) \(\small x\sqrt[{3}]{x}\) \(\small {x \over \sqrt[{3}]{x}}\)

 

 

Negatieve exponenten

Negatieve exponenten

We bekijken nog eens de bacteriekolonie die zich elk uur verdubbelt. Op een gegeven ogenblik is er een aantal bacteriën. Drie uur daarvoor waren er minder bacteriën.

a Hoeveel keer zoveel?

 

In overeenstemming hiermee spreken we af dat \(\small 2^{\text{-}3}= {1\over8}\).

Als je dan \(\small 3\) uur teruggaat in de tijd, wordt de kolonie \(\small 2^{\text{-}3}\) keer zo groot.

b Zeg precies wat de betekenis is van \(\small 6^{\text{-}1\text{,}5}\) in termen van de groei van een bacteriekolonie.

c Leg aan de hand van de groei van een bacteriekolonie uit dat \(\small 6^{\text{-}1\text{,}5} \cdot 6^{\text{-}2\text{,}3}=6^{\text{-}3\text{,}8}\).

 

Rekenregels voor negatieve exponenten

We spreken af: a-p=1ap, voor a>0 en p>0.
In woorden: a-p en ap zijn elkaars omgekeerde.

 

Rekenregels voor negatieve exponenten

 

a Als rekenregel 1 ook geldt voor negatieve exponenten, dan moet gelden: \(\small a^{\text{-}p} \cdot a^{p}=a^0\).
   Ga na dat dat inderdaad het geval is.

b Als rekenregel 2 ook geldt voor negatieve exponenten, dan moet gelden: \(\small a^{p}:a^{\text{-}p}=a^{2p}\).
   Ga na dat dat inderdaad het geval is.

 

Rekenregel 3

Door de afspraken die we gemaakt hebben over ax (met a>0) als x niet natuurlijk is, gelden de volgende rekenregels ook als de exponent niet natuurlijk is.

 

 

 

 

 

Rekenregels voor machten

  1. ax⋅ay=ax+y

  2. ax:ay=ax−y

  3. (ax)y=ax∗y

  4. (a⋅b)x=ax⋅bx


Deze regels gelden voor alle positieve getallen a, b, en willekeurige getallen x en y.

 

Rekenregel 3

Laat met behulp van regel 3 zien dat: \(\small ({1\over a})^{p}=a^{\text{-}p}\), (\(\small a>0\)).

 

 

 

Zonder rekenmachine

 

Voorbeeld:

4-2=142=116

8-23=(23)-23=23⋅-23=2-2=122=14

 

Zonder rekenmachine

Bereken zonder rekenmachine, gebruik de rekenregels.
(Werk van links naar rechts)

\(\small 4^{\text{-}{1\over2}}\) \(\small 4^{\text{-}1{1\over2}}\)
\(\small ({1\over9})^{\text{-}{1\over2}}\) \(\small ({1\over9})^{\text{-}1{1\over2}}\)
\(\small 0\text{,}001^{\text{-}{2\over3}}\) \(\small 0\text{,}001^{\text{-}1{2\over3}}\)
\(\small (2{1\over2})^{\text{-}1}\) \(\small (({1\over2})^{4})^{\text{-}{1\over2}}\)

 

 

Als macht van x

Als macht van x

 

 

 

a Schrijf als macht van \(\small x\), dus in de vorm: \(\small x^{...}\).

\(\small {(x^{2})^{3}\over {x^{\text{-}1}}}\) \(\small (x\sqrt{x}\sqrt[{3}]{x})^{6}\)

b Schrijf de volgende vormen zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

\(\small (2x)^{3} \cdot 2x^{3}\)

\(\small (2x)^{\text{-}2} \cdot 2x^{3}\)

 

 

Je kunt nog meer oefenen met 'mini-loco - Rekenregels voor machten'.

Planeten om de zon

Planeten om de zon

Er draaien acht planeten om de zon. Onze aarde doet \(\small 1\) jaar over één omloop.
Mercurius en Venus doen korter over een rondje, de andere planeten doen er
langer over. Algemeen: hoe verder een planeet van de zon staat, des te langer
is zijn omlooptijd. Aan de astronoom Johannes Kepler (1571-1630) danken we de
volgende formule:
\(\small T=0\text{,}2R^{1{1\over2}}\). Hierin is \(\small R\) de afstand tot de zon in miljoenen km en is \(\small T\) de omlooptijd
in dagen.

a De aarde is (gemiddeld) \(\small 149\text{,}5\) miljoen km van de zon verwijderd.
   Bereken hiermee de omlooptijd. Klopt het redelijk?

b Saturnus is veel verder van de zon verwijderd dan de aarde: \(\small 1427\) miljoen km.
   Bereken de omlooptijd van Saturnus in jaren.

 

 

 

 

 

Invoer en uitvoer

Invoer en uitvoer

 

 

 

We bekijken het verband \(\small y=x^{3}\).
Bij invoer \(\small 3\) is de uitvoer \(\small 27\).

a Als je de invoer \(\small 2\) keer zo groot maakt, hoeveel keer zo groot wordt dan de uitvoer?

Neem een willekeurige invoer.

b Laat zien dat de uitvoer bij verdubbeling van de invoer \(\small 8\) keer zo groot wordt.

 

Remweg auto

Remweg auto

Een auto rijdt met een snelheid van \(\small v\) km/u. Als de auto plotseling uit alle macht
moet remmen (men spreekt dan van een noodstop), legt hij nog een aantal meters
af voordat hij stil staat. Dat aantal meters is de remweg \(\small r\).
Volgens een vuistregel geldt: \(\small r=0\text{,}0075v^{2}\).

Bij een snelheid van \(\small 20\) km/u is de remweg \(\small 3\) meter.

a Hoeveel keer zo lang is de remweg als de snelheid \(\small 2\) keer zo hoog is?

De snelheid is \(\small 32\) km/u.

b Hoeveel keer zo lang wordt de remweg nu als de snelheid \(\small 2\) keer zo hoog wordt?

c Bereken met welke snelheid de auto reed, als zijn remweg bij een noodstop \(\small 170\)
meter bedraagt.

 

 

 

 

 

 

 

Vervolg remweg auto

Vervolg remweg auto

 

 

We gaan verder met de vorige opgave.

Laat met een berekening zien dat algemeen geldt: de remweg wordt \(\small 4\) keer zo lang bij een snelheid die \(\small 2\) keer zo groot is.

Hint: Vergelijk \(\small r\) als je \(\small v\) invult met \(\small r\) als je \(\small 2v\) invult.

 

Warmteverlies dier

Warmteverlies dier

Het warmteverlies van een dier hangt af van zijn huidoppervlakte: via een grotere
huid gaat meer warmte verloren dan via een kleinere huid. De warmteproductie
hangt af van zijn volume: een groot dier produceert meer warmte dan een klein
dier. Biologen vergelijken daarom de huidoppervlakte \(\small H\) (in \(\small m^2\) ) met het
lichaamsgewicht \(\small G\) (in kg).
Het verband tussen \(\small H\) en \(\small G\) wordt gegeven door de formule \(\small H=c \cdot G ^{2\over3}\). De
constante \(\small c\) hangt af van de vorm van het dier en is dus per diersoort verschillend.
Een paar voorbeelden:
\(\small c_{koe}=0\text{,}09\), \(\small c_{aap}=0\text{,}12\), \(\small c_{egel}=0\text{,}075\) en \(\small c_{muis}=0\text{,}09\).
Voor een koe en een muis geldt dus: \(\small H=0\text{,}09 \cdot G ^{2\over3}\). Een koe weegt gemiddeld \(\small 500\)
kg, een muis \(\small 0\text{,}05\) kg.

a Bereken de huidoppervlakte van een koe en van een muis.

b Hoe verhouden zich de lichaamsgewichten van een koe en een muis?
   En hoe de huidoppervlakten?

 

 

 

 

 

 

 

 

Vervolg warmteverlies dier

Vervolg warmteverlies dier

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

We gaan verder met de vorige opgave.

Stel dat van een diersoort twee formaten voorkomen. De formaten hebben
dezelfde vorm, dus ook dezelfde constante \(\small c\). Het grote formaat is \(\small 8\) keer
zo zwaar als het kleine formaat.

a Bereken algebraïsch hoe zich dan de huidoppervlakten van de twee
formaten verhouden.

Hint: Stel dat het gewicht van het kleine formaat \(\small g\) is. Dan is het gewicht
van het grote formaat \(\small 8 \cdot g\).
Wat zijn dan de huidoppervlaktes van beide formaten (uitgedrukt in \(\small g\))? Laat
zien dat de huidoppervlakte van het grote formaat \(\small 4\) keer zo groot is als van
het kleine formaat.

b Dezelfde vraag als in het vorige onderdeel maar nu is het grote formaat \(\small 7\)
keer zo zwaar als het kleine.

 

Grotere dieren kunnen gemakkelijker extreme kou verdragen dan kleine dieren.

c Kun je dat gezien de formule verklaren?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Het arrangement Niet natuurlijke exponenten is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-10-12 12:19:33
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2022).

    Evenredig

    https://maken.wikiwijs.nl/154966/Evenredig

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van