In dit thema staan periodieke functies samen met de sinus en de cosinus centraal.
Periodieke functies zijn functies met regelmaat. Denk bijvoorbeeld aan de beweging van je trappers of die van een reuzenrad. Deze bewegingen zijn te beschrijven met de sinus en de cosinus regel.
Nadat je kennis hebt gemaakt met periodieke bewegingen en functies zul je je verdiepen in de standaard cirkelbeweging: dit is de basis waarmee we alle andere bewegingen gaan beschrijven. Die ontstaan namelijk uit variaties op deze standaard beweging. We introduceren hier ook de nieuwe eenheid 'radialen' om hoeken te meten waarmee we gemakkelijker over de cirkelbeweging kunnen praten.
Je gaat ook vergelijkingen binnen deze functies oplossen. Omdat de functies periodiek zijn, zijn er veel meer oplossingen dan dat je tot nu toe gewend bent. Je zult zien hoe je hiermee moet werken.
Gedurende het hele hoofdstuk wordt ook je kennis over de sinus en de cosinus opgefrist.
Wat kan ik straks?
Aan het einde van dit thema kun je:
een periodieke functie herkennen.
de periode van een periodieke functie geven.
de positie van een kogeltje dat de standaard cirkelbeweging doorloopt berekenen.
de formule van een sinusoïde opstellen uit een afbeelding of uit een verhaaltje.
vergelijkingen met de sinus en de cosinus van een periodieke functie oplossen.
de sinus en cosinus exact berekenen.
Wat ga ik doen?
Het thema 'Sinus en co' bestaat uit de volgende onderdelen:
Onderdeel
Tijd (SLU)
Inleiding
0,5
§ Periodieke bewegingen
2
§ Periodieke functies
2
§ De standaard cirkelbeweging
2
§ Sinusoïden
2
§ Vergelijkingen
2
§ Het leven van alledag
2
§ Sinus en cosinus exact
2
Afsluiting
Samenvatting (goed doornemen)
0,5
Diagnostische toets
0,5
Extra opgaven (keuze)
1
Thema-opdracht (keuze)
2
Totaal
±18,5
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
Gegeven is een functie \(\small y=f(x)\).
De functie is periodiek met periode \(\small p\) als:
bij twee \(\small x\)-waarden die \(\small p\) verschillen precies dezelfde \(\small y\)-waarden horen,
er geen kleiner positief getal dan \(\small p\) is met deze eigenschap.
Als \(\small f\) een periodieke functie is met periode \(\small p\), dan geldt voor elk getal \(\small x\): \(\small \ldots=f(x-p)=f(x)=f(x+p)=f(x+2p)=f(x+3p)=\ldots\)
Als je een formule kent om \(\small f(x)\) te berekenen voor waarden van \(\small x\) in een zeker interval van lengte \(\small p\), dan kun je \(\small f(x)\) berekenen voor elke waarde van \(\small x\).
Harmonische beweging
Als een cirkel met constante snelheid doorlopen wordt, spreekt men van een harmonische beweging.
De grafiek van de hoogte is dan een sinusoïde.
De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de evenwichtswaarde, het verschil tussen de maximale en gemiddelde hoogte noemen we de amplitude.
Standaard cirkelbeweging
De "moeder" van alle periodieke bewegingen is de standaard cirkelbeweging.
De standaard cirkelbeweging ontstaat als een kogeltje als volgt in een cirkelvormige baan draait:
de straal van de baan is \(\small 1\text{ cm}\);
het middelpunt is \(\small (0,0)\);
het kogeltje draait in positieve richting (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);
de snelheid is \(\small 1\text{ cm/s}\): het kogeltje legt elke seconde een afstand van \(\small 1\text{ cm}\) af langs de cirkel;
op tijdstip \(\small 0\) is het kogeltje in \(\small (1,0)\).
De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.
\(\small \text{sin}(t)=\) de tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip \(\small t\); \(\small \text{cos}(t)=\) de eerste coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip \(\small t\).
De amplitude is \(\small 1\), de evenwichtswaarde\(\small 0\) en de periode\(\small 2\pi\).
Radialen
De grootte van een hoek kun je behalve in graden ook meten in radialen.
Je meet de lengte van de boog die de benen van de hoek van de eenheidscirkel afsnijden. Hoeveel stralen deze booglengte lang is, is de hoek gemeten in radialen, afgekort \(\small \text{rad}\).
\(\small 180°\) komt overeen met \(\small \pi\) radialen.
\(\small \text{graden}\)
\(\small 30°\)
\(\small 45°\)
\(\small 60°\)
\(\small 90°\)
\(\small 120°\)
\(\small 135°\)
\(\small 150°\)
\(\small 210°\)
\(\small 315°\)
\(\small \text{rad}\)
\(\small {1 \over 6}\pi\)
\(\small {1 \over 4}\pi\)
\(\small {1 \over 3}\pi\)
\(\small {1 \over 2}\pi\)
\(\small {2 \over 3}\pi\)
\(\small {3 \over 4}\pi\)
\(\small {5 \over 6}\pi\)
\(\small 1{1 \over 6}\pi\)
\(\small 1{3 \over 4}\pi\)
Exacte waarden van sin en cos
Voor hoeken die een veelvoud zijn van \(\small {1 \over 6}π\) en \(\small {1 \over 4}π\) weet je de exacte waarde van \(\small \text{sin}\) en \(\small \text{cos}\). Zie tabel voor hoeken in het eerste kwadrant.
Voor andere hoeken bepaal je de waarde met de symmetrie van de grafieken van \(\small \text{sin}\) en \(\small \text{cos}\), of met behulp van de eenheidscirkel.
\(\small \text{hoek in rad}\)
\(\small 0\)
\(\small {1 \over 6}π\)
\(\small {1 \over 4}π\)
\(\small {1 \over 3}π\)
\(\small {1 \over 2}π\)
\(\small \text{sin}\)
\(\small 0\)
\(\small {1 \over 2}\)
\(\small {1 \over 2}\sqrt{2}\)
\(\small {1 \over 2}\sqrt{3}\)
\(\small 1\)
\(\small \text{cos}\)
\(\small 1\)
\(\small {1 \over 2}\sqrt{3}\)
\(\small {1 \over 2}\sqrt{2}\)
\(\small {1 \over 2}\)
\(\small 0\)
Formules van sinusoïden
De grafiek van \(\small y=\text{sin}(cx)\) schommelt \(\small c\) keer zo snel als de grafiek van \(\small y=\text{sin}(x)\). De periode is \(\small {2π \over c}\).
De sinusoïde \(\small y=a+b\text{sin}(c(x-d))\) ontstaat uit de golf \(\small y=a+b\text{sin}(cx)\) door deze \(\small d\) eenheden naar rechts te verschuiven.
Als \(\small d\) een negatief getal is, betekent dat een verschuiving naar links.
Voor de sinusoïde \(\small y=a+b\text{sin}(c(x-d))\) geldt:
De evenwichtswaarde is \(\small a\);
De amplitude is \(\small |b|\);
De periode is \(\small {2π \over c}\);
Als \(\small b \gt 0\) gaat de grafiek gaat bij \(\small x=d\) stijgend door de evenwichtsstand.
Als \(\small b \lt 0\), dan gaat de grafiek bij \(\small x=d\) dalend door de evenwichtsstand.
Voor de grafiek van \(\small y=a+b\text{cos}(c(x-d))\) geldt hetzelfde voor de evenwichtswaarde, amplitude en periode.
Verder geldt:
Als \(\small b \gt 0\) gaat de grafiek gaat bij \(\small x=d\) door een maximum.
Als \(\small b \lt 0\), dan gaat de grafiek bij \(\small x=d\) door een minimum.
Vergelijkingen met sin en cos
Oplossen vergelijkingen:
\(\small \text{sin}(t)=\)
Dan geeft de GR (met \(\small \text{sin}^{\text{-}1}\)): \(\small t=\)
Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing: \(\small t=\)\(\small {}+k⋅2π\) of \(\small t= \pi - {}\)\(\small {}+k⋅2π\).
\(\small \text{cos}(t)=\)
Dan geeft de GR (met \(\small \text{cos}^{\text{-}1}\)): \(\small t=\)
Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing: \(\small t=\)\(\small {}+k⋅2π\) of \(\small t= \pi - {}\)\(\small {}+k⋅2π\).
Hierin kan \(\small k\) elke gehele waarde aannemen (positief én negatief).
Symmetrie van \(\small \text{sin}\) en \(\small \text{cos}\) in beeld:
Oplossen van de vergelijkingen:
\(\small a+b\text{sin}(c(x-d))=e\)
\(\small a+b\text{cos}(c(x-d))=e\)
Bereken dan twee opvolgende oplossingen van de vergelijking. Noem deze oplossingen \(\small x_1\) en \(\small x_2\).
Dan zijn \(\small x_1+k⋅{2π \over c}\) en \(\small x_2+k⋅{2π \over c}\)alle oplossingen van de vergelijking, waarbij \(\small k\) een willekeurig geheel getal is.
Voorbeeld:
Het berekenen van de twee opvolgende oplossingen van zo'n vergelijking mag vaak met de GR, met de optie intersect.
Een algebraïsche aanpak illustreren we hieronder met twee uitgewerkte voorbeelden naast elkaar:
\(\small 3+5\text{sin}(4(x-1))=2\)
\(\small 3+5\text{cos}(4(x-1))=2\)
Noem \(\small t=4(x-1)\),
Noem \(\small t=4(x-1)\),
dus \(\small 3+5\text{sin}(t)=2\)
dus \(\small 3+5\text{cos}(t)=2\)
\(\small \text{sin}(t)=\text{-}{1 \over 5}\)
\(\small \text{cos}(t)=\text{-}{1 \over 5}\)
Met \(\small \text{sin}^{\text{-}1}\): \(\small t=\text{-}0\text{,}2013\ldots\)
Met \(\small \text{cos}^{\text{-}1}\): \(\small t=1\text{,}7721\ldots\)
Het arrangement Thema: Sinus en co - 4H Wiskunde B is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Sinus en cosinus'.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
arrangeerbaar, cosinus, havo 4, sinus, stercollectie, wiskunde b
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
