Periodieke functie
Gegeven is een functie .
De functie is periodiek met periode als:
bij twee -waarden die
verschillen precies dezelfde
-waarden horen,
er geen kleiner positief getal dan is met deze eigenschap.
Als een periodieke functie is met periode
, dan geldt voor elk getal
:
Als je een formule kent om te berekenen voor waarden van
in een zeker interval van lengte
, dan kun je
berekenen voor elke waarde van
.
Harmonische beweging
Als een cirkel met constante snelheid doorlopen wordt, spreekt men van een harmonische beweging.
De grafiek van de hoogte is dan een sinusoïde.
De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de evenwichtswaarde, het verschil tussen de maximale en gemiddelde hoogte noemen we de amplitude.
Standaard cirkelbeweging
De "moeder" van alle periodieke bewegingen is de standaard cirkelbeweging.
De standaard cirkelbeweging ontstaat als een kogeltje als volgt in een cirkelvormige baan draait:
de straal van de baan is ;
het middelpunt is ;
het kogeltje draait in positieve richting (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);
de snelheid is : het kogeltje legt elke seconde een afstand van
af langs de cirkel;
op tijdstip is het kogeltje in
.
De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.
de tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip
;
de eerste coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip
.
De amplitude is , de evenwichtswaarde
en de periode
.
Radialen
De grootte van een hoek kun je behalve in graden ook meten in radialen.
Je meet de lengte van de boog die de benen van de hoek van de eenheidscirkel afsnijden. Hoeveel stralen deze booglengte lang is, is de hoek gemeten in radialen, afgekort .
komt overeen met
radialen.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Exacte waarden van sin en cos
Voor hoeken die een veelvoud zijn van en
weet je de exacte waarde van
en
. Zie tabel voor hoeken in het eerste kwadrant.
Voor andere hoeken bepaal je de waarde met de symmetrie van de grafieken van en
, of met behulp van de eenheidscirkel.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Formules van sinusoïden
De grafiek van schommelt
keer zo snel als de grafiek van
. De periode is
.
De sinusoïde ontstaat uit de golf
door deze
eenheden naar rechts te verschuiven.
Als een negatief getal is, betekent dat een verschuiving naar links.
Voor de sinusoïde geldt:
De evenwichtswaarde is ;
De amplitude is ;
De periode is ;
Als gaat de grafiek gaat bij
stijgend door de evenwichtsstand.
Als , dan gaat de grafiek bij
dalend door de evenwichtsstand.
Voor de grafiek van geldt hetzelfde voor de evenwichtswaarde, amplitude en periode.
Verder geldt:
Als gaat de grafiek gaat bij
door een maximum.
Als , dan gaat de grafiek bij
door een minimum.
Vergelijkingen met sin en cos
Oplossen vergelijkingen:
Dan geeft de GR (met ):
Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing:
of
.
Dan geeft de GR (met ):
Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing:
of
.
Hierin kan elke gehele waarde aannemen (positief én negatief).
Symmetrie van en
in beeld:
Oplossen van de vergelijkingen:
Bereken dan twee opvolgende oplossingen van de vergelijking. Noem deze oplossingen en
.
Dan zijn en
alle oplossingen van de vergelijking, waarbij
een willekeurig geheel getal is.
|
Voorbeeld: Het berekenen van de twee opvolgende oplossingen van zo'n vergelijking mag vaak met de GR, met de optie intersect.
|