Samenvatting

Periodieke functie

Gegeven is een functie .
De functie is periodiek met periode als:

Als een periodieke functie is met periode , dan geldt voor elk getal :

Als je een formule kent om te berekenen voor waarden van in een zeker interval van lengte , dan kun je berekenen voor elke waarde van .

 

 

Harmonische beweging

Als een cirkel met constante snelheid doorlopen wordt, spreekt men van een harmonische beweging.
De grafiek van de hoogte is dan een sinusoïde.
De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de evenwichtswaarde, het verschil tussen de maximale en gemiddelde hoogte noemen we de amplitude.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Standaard cirkelbeweging

De "moeder" van alle periodieke bewegingen is de standaard cirkelbeweging.

De standaard cirkelbeweging ontstaat als een kogeltje als volgt in een cirkelvormige baan draait:

De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.

de tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip ;
de eerste coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip .

 

 

 

 

De amplitude is , de evenwichtswaarde en de periode .

 

 

Radialen

De grootte van een hoek kun je behalve in graden ook meten in radialen.
Je meet de lengte van de boog die de benen van de hoek van de eenheidscirkel afsnijden. Hoeveel stralen deze booglengte lang is, is de hoek gemeten in radialen, afgekort .

komt overeen met radialen.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exacte waarden van sin en cos

Voor hoeken die een veelvoud zijn van en weet je de exacte waarde van en . Zie tabel voor hoeken in het eerste kwadrant.
Voor andere hoeken bepaal je de waarde met de symmetrie van de grafieken van en , of met behulp van de eenheidscirkel.

 

 

Formules van sinusoïden

De grafiek van schommelt keer zo snel als de grafiek van . De periode is .

De sinusoïde ontstaat uit de golf
door deze eenheden naar rechts te verschuiven.
Als een negatief getal is, betekent dat een verschuiving naar links.


Voor de sinusoïde geldt:


Voor de grafiek van geldt hetzelfde voor de evenwichtswaarde, amplitude en periode.
Verder geldt:

 

 

Vergelijkingen met sin en cos

Oplossen vergelijkingen:

Hierin kan elke gehele waarde aannemen (positief én negatief).

Symmetrie van en in beeld:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oplossen van de vergelijkingen:

Bereken dan twee opvolgende oplossingen van de vergelijking. Noem deze oplossingen en .
Dan zijn en alle oplossingen van de vergelijking, waarbij een willekeurig geheel getal is.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

Het berekenen van de twee opvolgende oplossingen van zo'n vergelijking mag vaak met de GR, met de optie intersect.
Een algebraïsche aanpak illustreren we hieronder met twee uitgewerkte voorbeelden naast elkaar:

Noem ,

Noem ,

dus

dus

Met :

Met :

De andere oplossing met symmetrie

De andere oplossing met symmetrie

van de sinusgrafiek:

van de cosinusgrafiek:

of

of

of

of

De periode is

De periode is

Dus alle oplossingen:

Dus alle oplossingen:

of

of