Rechte lijnen zijn er in alle soorten en maten. De standaard-formule bestaat uit een richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de \(\small y\)-as. Je kunt de vergelijking ook omschrijven, door bijvoorbeeld links en rechts met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, maar de lijn blijft dezelfde. Er zijn 'speciale' rechte lijnen; de verticale lijn, de horizontale lijn en de lijn door de oorsprong. Deze hebben bepaalde eigenschappen. Wanneer twee lijnen loodrecht op elkaar staan hebben hun richtingscoëfficiënten een speciale eigenschap. Naast zogenaamde loodlijnen hebben we ook nog middelloodlijnen.
Al deze soorten rechte lijnen komen in deze paragraaf voorbij. Ook leer je hoe je de omgeschreven cirkel maakt en hoe je het middelpunt ervan kan bepalen.
Opgaven
Dubbele afstand
Apollonios van Perga
In paragraaf 'Cirkels' zullen we bewijzen dat de punten \(\small X\) die twee keer zo ver van \(\small A\) afliggen als van \(\small B\) inderdaad een cirkel vormen.
Een dergelijke cirkel wordt een cirkel van Apollonius genoemd.
Apollonius (ca. 262–190 v.Chr) was een Grieks meetkundige en astronoom, beroemd door zijn werken over kegelsneden.
Bron: Wikipedia
Herhaling
René Descartes
1596 - 1650
In dit hoofdstuk werken we meestal met een vlak waarin een assenstelsel is aangebracht. De assen (die loodrecht op elkaar staan) heten \(\small x\)-as en \(\small y\)-as.
Het snijpunt van die assen is \(\small O\), de oorsprong. In het vlak kunnen we elk punt aangeven met een paar coördinaten. Zo kun je meetkundige problemen vaak algebraïsch oplossen. Deze aanpak is van Descartes. We spreken daarom wel van het Cartesisch vlak. In teksten zie je ook wel de term \(\small Oxy\)-vlak.
Richtingscoëfficiënt
De lijn met vergelijking \(\small y=ax+b\) heeft richtingscoëfficient \(\small a\) en snijdt de \(\small y\)-as in \(\small (0,b)\).
Opmerking
Door \(\small a \) te variëren, krijg je alle mogelijke lijnen door \(\small P\) op de verticale (= evenwijdig aan de \(\small y\)-as) na. Verticale lijnen hebben geen richtingscoëfficiënt.
In e van de vorige opgave wordt gevraagd voor welke \(\small a \) de lijn door \(\small P\) verticaal loopt. Die waarde van \(\small a \) bestaat dus niet.
De lijnen ax+by=c
Speciale rechte lijnen
Het midden van een lijnstuk
Het gemiddelde van \(\small 6\text{,}3\) en \(\small 7\text{,}4\) ligt midden tussen \(\small 6\text{,}3\) en \(\small 7\text{,}4\) op de getallenlijn.
\(\small {1 \over 2}(a+b)\) is het gemiddelde van de getallen \(\small a\) en \(\small b\). Het ligt op de getallenlijn midden tussen \(\small a\) en \(\small b\).
Het midden van het lijnstuk met eindpunten \(\small (a,b)\) en \(\small (p,q)\) is \(\small ({1 \over 2}(a+p),{1 \over 2}(b+q))\).
Het midden van een lijnstuk
Gelijkbenig trapezium
Parallellogram
Loodlijnen
Hiernaast is een lijn \(\small k\) getekend en een aantal lijnen die loodrecht op \(\small k\) staan. Die hebben alle dezelfde richtingscoëfficiënt. We willen graag weten hoe je de richtingscoëfficiënt van zo'n loodlijn vindt als je die van \(\small k\) weet.
Gegeven twee lijnen \(\small k\) en \(\small m\) niet evenwijdig aan de assen.
Dan: \(\small k\) en \(\small m\) staan loodrecht op elkaar \(\small \iff\) het product van hun richtingscoëfficiënten is gelijk aan \(\small \text{-}1\).
Voorbeeld
Gegeven is de lijn \(\small k\) met vergelijking \(\small y=\text{-}1{2 \over 3}x+1{1 \over 3}\) met daarop het punt \(\small P(\text{-}1,3)\).
We zoeken een vergelijking van de lijn door \(\small P\) loodrecht op \(\small k\).
Dat gaat zo.
De lijn door \(\small P\) loodrecht op \(\small k\) noemen we \(\small m\) en de richtingscoëfficiënt van \(\small m\) noemen we \(\small a\).
Dan \(\small a \cdot \text{-}1{2 \over 3}=\text{-}1\), dus \(\small a={3 \over 5}\).
Een vergelijking van \(\small m\) is: \(\small y={3 \over 5}x+b\). \(\small P(\text{-}1,3)\) ligt op \(\small m\), dus: \(\small 3={3 \over 5} \cdot \text{-}1+b \rightarrow b=3{3 \over 5}\).
Een vergelijking van \(\small m\) is: \(\small y={3 \over 5}x+3{3 \over 5}\).
Voorbeeld \(\small k\) is de lijn door de punten \(\small (2,5)\) en \(\small (10,1)\).
Het punt \(\small P(4,2)\) wordt gespiegeld in \(\small k\).
We berekenen de coördinaten van het spiegelbeeld exact.
figuur 1
figuur 2
De lijn door \(\small P\) loodrecht op \(\small k\) noemen we \(\small m\). Het snijpunt van \(\small k\) en \(\small m\) noemen we \(\small S\). Het spiegelbeeld van \(\small P\) noemen we \(\small Q\).
Dan liggen \(\small P\) en \(\small Q\) even ver van \(\small S\).
We berekenen eerst de coördinaten van \(\small S\), dat is het snijpunt van \(\small k\) en de lijn door \(\small P\) loodrecht op \(\small k\). De richtingscoëfficiënt van \(\small k\) is \(\small \text{-}{1 \over 2}\), dus die van \(\small m\) is \(\small 2\). Een vergelijking van \(\small m\) is \(\small y=2x+b\). \(\small m\) gaat door \(\small P\), dus \(\small 2=2 \cdot 4+b \rightarrow b=\text{-}6\).
Een vergelijking van \(\small m\) is dus \(\small y=2x-6\). Een vergelijking van \(\small k\) is: \(\small y=\text{-}{1 \over 2}x+6\). \(\small m\) met \(\small k\) snijden: \(\small \text{-}{1 \over 2}x+6=2x-6 \iff 2{1 \over 2}x={1 \over 2}\iff x=4{4 \over 5}\), dus \(\small S\) ligt op \(\small (4{4 \over 5},3{3 \over 5})\).
Van \(\small P\) naar \(\small S\) moet je \(\small {4 \over 5}\) naar rechts en \(\small 1{3 \over 5}\) naar boven, dus van \(\small S\) naar \(\small Q\) ook, dus: \(\small Q=(4{4 \over 5}+{4 \over 5},3{3 \over 5}+1{3 \over 5})=(5{3 \over 5},5{1 \over 5})\).
Vlieger
Rechthoek
Middelloodlijn
Gegeven twee punten \(\small A\) en \(\small B\).
De punten die even ver van \(\small A\) als van \(\small B\) liggen, vormen de middelloodlijn van lijnstuk \(\small AB\). Deze lijn gaat door het midden van lijnstuk \(\small AB\) en staat loodrecht op lijn \(\small AB\).
Loodrechte lijn l
Gelijkbenige driehoek
Snijpunt middelloodlijnen
Opmerking
Als je de cirkel met middelpunt \(\small M\) tekent die door \(\small O\) gaat, gaat hij dus ook door \(\small A\) en \(\small B\).
We noemen deze cirkel de omgeschreven cirkel van driehoek \(\small OAB\).
In deel 1 h/v hoofdstuk 10 is dit aan de orde geweest.
De omgeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die door de hoekpunten van de driehoek gaat.
Het middelpunt van deze cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Lijnen en cirkels'. Het onderwerp van deze les is: rechte lijnen.
Rechte lijnen zijn er in alle soorten en maten. De standaard-formule bestaat uit een richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y
-as. Je kunt de vergelijking ook omschrijven, door bijvoorbeeld links en rechts met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, maar de lijn blijft dezelfde. Er zijn 'speciale' rechte lijnen; de verticale lijn, de horizontale lijn en de lijn door de oorsprong. Deze hebben bepaalde eigenschappen. Wanneer twee lijnen loodrecht op elkaar staan hebben hun richtingscoëfficiënten een speciale eigenschap. Naast zogenaamde loodlijnen hebben we ook nog middelloodlijnen.
Al deze soorten rechte lijnen komen in deze paragraaf voorbij. Ook leer je hoe je de omgeschreven cirkel maakt en hoe je het middelpunt ervan kan bepalen.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, havo 4, middelloodlijnen, middelpunt, omgeschreven cirkel, rechte lijnen, stercollectie, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Lijnen en cirkels'. Het onderwerp van deze les is: rechte lijnen.
Rechte lijnen zijn er in alle soorten en maten. De standaard-formule bestaat uit een richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y
-as. Je kunt de vergelijking ook omschrijven, door bijvoorbeeld links en rechts met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, maar de lijn blijft dezelfde. Er zijn 'speciale' rechte lijnen; de verticale lijn, de horizontale lijn en de lijn door de oorsprong. Deze hebben bepaalde eigenschappen. Wanneer twee lijnen loodrecht op elkaar staan hebben hun richtingscoëfficiënten een speciale eigenschap. Naast zogenaamde loodlijnen hebben we ook nog middelloodlijnen.
Al deze soorten rechte lijnen komen in deze paragraaf voorbij. Ook leer je hoe je de omgeschreven cirkel maakt en hoe je het middelpunt ervan kan bepalen.
Rechte lijnen zijn er in alle soorten en maten. De standaard-formule bestaat uit een richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de 
Hiernaast is een lijn 
