Een auto die steeds harder optrekt, een vliegtuig dat opstijgt, een speer die wordt geworpen: al deze gebeurtenissen zijn in een grafiek weer te geven. Je ziet dan een zekere toename en/of afname in de grafiek. In deze paragraaf gaan we aan de slag met de gemiddelde groei in zo'n grafiek over een langere periode. De periode is aangegeven met een interval. De groei is te berekenen met het differentiequotiënt.
Het is niet altijd noodzakelijk om het differentiequotiënt uit te rekenen: voor bepaalde grafieken zijn er standaard regels voor de gemiddelde groei over een bepaald interval.
Opgaven
Snelheid
Twee foto's
In deze eerste twee opgaven worden snelheden gemeten.
Beide zijn gemiddelde snelheden. In de tweede opgave heb je een goede benadering voor de snelheid op een bepaald moment berekend, omdat het tijdsinterval erg klein is. Aan het eind van hoofdstuk Hellingen zijn we dit ook al tegengekomen. Deze snelheid op een bepaald moment wordt de momentane snelheid genoemd. Wij spreken meestal van groeisnelheid.
In dit hoofdstuk gaat het om het berekenen van groeisnelheid. Dat hoeft niet de snelheid van een auto (in \(\small \text{km/u}\)) te zijn, het kan ook de groeisnelheid van kapitaal (in \(\small\text{euro}\) per \(\small\text{jaar}\)) zijn, of de snelheid waarmee een vat leeg loopt (in \(\small\text{liter}\) per \(\small\text{minuut}\)).
Gemiddelde groei
Opmerking:
Het woord interval komt uit het Latijn en betekent letterlijk tussenruimte. Het interval \(\small [3,5]\) is de verzameling getallen tussen \(\small 3\) en \(\small 5\), inclusief \(\small 3\) en \(\small 5\) zelf. De vierkante haken geven aan dat de getallen \(\small 3\) en \(\small 5\) zelf ook mee doen. Bij eenhoekige haken doen de randen niet mee. Bijvoorbeeld:
Tijdsinterval \(\small [3,5]\) betekent alle waarden van \(\small t\) waarvoor \(\small 3 \le t \le 5\).
Tijdsinterval \(\small ⟨3,5⟩\) betekent alle waarden van t waarvoor \(\small 3 \lt t \lt 5\).
Zakje gooien
Temperatuur
Zonnebloem
Groei in de standaardparabool
Van een functie wordt de gemiddelde groei op het \(\small x\)-interval \(\small [a,b]\) berekend door het differentiequotiënt\(\small {\Delta y \over \Delta x}\) op dat interval uit te rekenen. Differentiequotiënt betekent letterlijk "uitkomst van deling van verschillen".
Ofwel: de gemiddelde groei is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van het verbindingslijnstuk tussen de twee punten op de grafiek bij \(\small x=a\) en \(\small x=b\).
Interval [a,b]
Bijzondere gevallen
Waarschijnlijk heb je bij d van de vorige opgave de volgende formule gevonden: \({b^2-a^2 \over b-a}=b+a\).
In de twee volgende opgaven gaan we deze formule bewijzen.
Bewijs van de formule
Uit de voorgaande opgaven volgt het volgende:
De gemiddelde groei van \(\small y=x^2\) op het \(\small x\)-interval \(\small [a,b]\) (met \(\small a \ne b\)) is \(\small {\Delta y \over \Delta x}={b^2-a^2 \over b-a}={(b-a)(b+a) \over (b-a)}=b+a\).
Verschillende intervallen
Groei in andere grafieken
Differentiequotiënt
Voor \(\small y=x^2\) hebben wij het mooie resultaat dat de gemiddelde groei op het \(\small x\)-interval \(\small [a,b]\) gelijk is aan \(\small a+b\).
Bij andere functies zit er vooralsnog niets anders op dan de waarde van het differentiequotiënt \(\small {\Delta y \over \Delta x}\) uit te rekenen.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Differentiëren'. Het onderwerp van deze les is: gemiddelde groei.
Een auto die steeds harder optrekt, een vliegtuig dat opstijgt, een speer die wordt geworpen: al deze gebeurtenissen zijn in een grafiek weer te geven. Je ziet dan een zekere toename en/of afname in de grafiek. In deze paragraaf gaan we aan de slag met de gemiddelde groei in zo'n grafiek over een langere periode. De periode is aangegeven met een interval. De groei is te berekenen met het differentiequotiënt.
Het is niet altijd noodzakelijk om het differentiequotiënt uit te rekenen: voor bepaalde grafieken zijn er standaard regels voor de gemiddelde groei over een bepaald interval.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, gemiddelde groei, havo 4, interval, stercollectie, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Differentiëren'. Het onderwerp van deze les is: gemiddelde groei.
Een auto die steeds harder optrekt, een vliegtuig dat opstijgt, een speer die wordt geworpen: al deze gebeurtenissen zijn in een grafiek weer te geven. Je ziet dan een zekere toename en/of afname in de grafiek. In deze paragraaf gaan we aan de slag met de gemiddelde groei in zo'n grafiek over een langere periode. De periode is aangegeven met een interval. De groei is te berekenen met het differentiequotiënt.
Het is niet altijd noodzakelijk om het differentiequotiënt uit te rekenen: voor bepaalde grafieken zijn er standaard regels voor de gemiddelde groei over een bepaald interval.
